2.6 探索勾股定理（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“探索勾股定理”核心知识点，系统梳理直角三角形三边数量关系的探索过程，涵盖定理内容、面积法证明（如赵爽弦图）、逆定理判定及勾股数应用，构建从观察猜想到推理验证再到综合运用的学习支架。 该资料以探究式设计培养数学眼光，通过拼图验证等活动发展几何直观与创新意识，结合折叠、网格等题型强化数学思维（推理能力、空间观念），分层练习与易错提醒助力学生用数学语言表达问题，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺。

第二章 特殊三角形 2.6 探索勾股定理 课标要点 1.经历勾股定理的观察、猜想、拼图验证与探索过程，掌握勾股定理的内容，理解直角三角形三边之间的数量关系，明确勾股定理仅适用于直角三角形。 2.掌握勾股定理的文字表述与符号表达式，即在Rt△中，两直角边的平方和等于斜边的平方，熟记公式形式，能根据直角三角形边长位置准确套用公式。 3.理解勾股定理的拼图证明原理，通过面积法推导勾股定理，体会数形结合思想、等积转化思想，掌握几何定理常见的面积证明方法。 4.能熟练运用勾股定理，已知直角三角形任意两条边长，求解第三条边长，能处理整数、小数、根式等不同形式的边长计算，规范化简计算结果。 5.了解常见勾股数，熟记基础勾股数，理解勾股数的整数特征，能快速利用勾股数简化直角三角形边长计算。 6.能结合直角三角形的特殊性质、等腰三角形、简单图形折叠等知识，综合运用勾股定理解决基础几何综合计算问题，提升几何建模与运算能力。 学习重难点 重点： 1.掌握勾股定理的内容与公式，明确适用条件为直角三角形，能准确区分直角边与斜边，正确代入公式进行边长计算。 2.熟练运用勾股定理已知两边求第三边，掌握变式公式，灵活求解直角三角形各边长。 3.掌握基础勾股数，能利用勾股数快速解题，简化运算过程。 难点： 1.理解勾股定理的面积法证明原理，掌握数形结合、等积转化的数学思想，突破单纯记公式的浅层学习。 2.区分斜边与直角边，避免公式代换错误，在边长未知、条件模糊的题型中分类讨论，防止漏解、错解。 3.结合折叠、动点、等腰直角三角形等综合题型，灵活运用勾股定理建立方程求解边长，掌握几何方程解题思想。 4.综合运用勾股定理与直角三角形特殊性质，解决多步几何计算问题，提升几何综合应用能力。 知识点 勾股定理（重点） 1. 勾股定理：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么。 C B A 直角边 直角边 斜边 2. 勾股定理的运用：①已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； ②用于解决带有平方关系的证明问题； ③利用勾股定理，作出长为的线段。 易错提醒 1）非直角三角形绝对不能使用勾股定理； 2）公式代入时分不清斜边和直角边，习惯性乱代数值； 3）求边长开方后需舍去负数，边长为正数。 随学随练 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，求的长． 【答案】 【分析】先根据已知求出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：在中， ， ， ， ． 知识点 勾股定理的证明（重点） 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 ，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 ，所以。 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。 特别提醒 教材采用面积法证明，核心思路：图形割补、面积不变，通过大图形面积等于各小图形面积和推导公式。 随学随练 1．勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1) 证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 知识点 勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 2. 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的一般步骤： ①首先确定最大边（如）； ②验证与是否具有相等关系：若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形。 易错提醒 1）必须用最短两边平方和与最长边平方对比，随意组合计算会判定错误； 2）只能判定是否为直角三角形，不能直接得出锐角、钝角三角形； 3）逆定理与勾股定理易混淆（定理：直角→边长关系；逆定理：边长关系→直角）。 随学随练 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 知识点 勾股数 1. 勾股数：像8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 易错提醒 1）勾股数必须是正整数，小数、分数不算勾股数； 2）熟记常用勾股数，不可记错倍数关系； 3）并非所有满足平方关系的数都是勾股数，需满足整数条件。 随学随练 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、，，不是正整数，故不是勾股数； B、，，，故不是勾股数； C、，且，，均为正整数，故是勾股数； D、，，不是正整数，故不是勾股数． 拓展 勾股定理与勾股定理逆定理双向对比 1．二者为互逆逻辑定理，是判定直角三角形与计算边长的核心依据，适用场景、推理方向完全相反，具体对比如下： 对比维度 勾股定理 勾股定理逆定理 前提条件 已知三角形为直角三角形 任意普通三角形，未知形状 核心内容 两直角边的平方和等于斜边的平方： 三角形两边平方和等于第三边平方，则为直角三角形 逻辑方向 由图形性质推边长数量关系 由边长数量关系推图形性质 核心用途 求边长、平方关系证明、作二次根式线段 判定三角形是否为直角三角形 活学活用 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，然后利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：设，则， ∵于点， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． 2．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 拓展 勾股定理三种证明方法共性与区别 证明方法 图形构造方式 核心特点 外嵌正方形法 四个全等直角三角形拼成边长为的大正方形 图形规整，计算简单，是最通用的基础证明方法 内嵌正方形法 四个全等直角三角形拼成斜边为边长的大正方形，内部形成小正方形 利用边长差值构造图形，贴合斜边平方推导逻辑 直角梯形法 两个全等直角三角形拼接成直角梯形 图形构造最简，仅用两个三角形，计算步骤最少 活学活用 1．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 2．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明．证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 因为的面积分别为和，梯形的面积为 所以． 所以， 即． 题型 利用勾股定理解三角形 解题贴士 在直角三角形中，分清斜边与直角边，套用；已知两边直接求第三边；已知一边、两边数量关系设未知数，列方程求解。 ▌例1．（25-26八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得到结果． 【详解】解：设另一条直角边长为 ∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为 ∴根据勾股定理可得 整理得 ∵三角形边长为正数 ∴ ▌例2．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 【答案】(1)21 (2)9 【分析】（1）利用勾股定理求出，再由求解； （2）利用勾股定理求出，再由求解． 【详解】（1）解：如图1，当在三角形的内部时， 在中,      在中,      ∴； （2）如图2，当在三角形的外部时， 在 中,      在 中,      ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，先确定斜边，再代入公式计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是斜边，和是直角边， 由勾股定理得， 代入，， 可得， 解得． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·北京西城·期末）如图，在中，，D是的中点．若，，则的长为________． 【答案】6 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∴． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）在中，，，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理，能够正确使用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 又∵，， ∴． 题型 勾股数 解题贴士 1）满足的三个正整数为勾股数； 2）一组勾股数同时扩大正整数倍，仍然是勾股数。 ▌例1．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．7，11，13 【答案】A 【详解】解：勾股数定义为：三个正整数，，（为最大数），满足． 选项A，，，均为正整数，且，，∴，因此，，是勾股数； 选项B，，，不是正整数，不是勾股数； 选项C，，，不是正整数，不是勾股数； 选项D，，，均为正整数，但，，，因此，，不是勾股数． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·湖北·期末）勾股数又称毕达哥拉斯三元数，是指三个满足勾股定理的正整数，下列属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，较小两数的平方和等于最大数的平方，逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：选项A，，不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意． 选项B，，，，故这组数不是勾股数，不符合题意． 选项C，，，三个数均为正整数且满足勾股定理，故这组数是勾股数，符合题意． 选项D，，，，故这组数不是勾股数，不符合题意． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：根据勾股数的定义依次判断： 选项A中不是正整数，选项C中三个数都是小数，不是正整数，因此A、C不符合定义，排除； 选项B中，，，，不满足平方关系，因此B不符合定义，排除； 选项D中，，，都是正整数，且，满足勾股数的定义，故选D． 题型 勾股树 解题贴士 以直角三角形三边向外作正方形，两个小正方形面积之和等于大正方形面积；逐层利用面积转化进行计算。 ▌例1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 【答案】C 【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． 【答案】 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形，面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 【详解】解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2028 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， ∴“生长”了2027次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2028． 题型 勾股定理中图形面积问题 解题贴士 以直角三角形三边向外作同类图形（正方形、半圆等），两小图形面积之和 = 最大图形面积；借助面积公式结合勾股定理转化计算。 ▌例1．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． ▌例2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出． 【详解】解：由题意得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，在Rt中，，，以，为直径的半圆的面积分别为，，则________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了半圆的面积公式、勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 根据半圆面积公式，求出、即可解决问题． 【详解】解：由题意知，． 在Rt中，，由勾股定理，得． ∵， ∴． 故答案为． 题型 网格中的勾股定理 解题贴士 把线段看作网格直角三角形斜边，横向、纵向格数为直角边，用勾股定理求线段长度；再利用长度判断三角形形状。 ▌例1．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B均在格点上，则线段的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：由图，可得 ． ▌例2．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： ▌对点练1-1．（25-26八年级下·北京·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，由作图可知，， 在中，，， ∴. ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，每个小正方形的边长为1，的三边，，中边长是无理数的是________． 【答案】a 【分析】本题考查了无理数的定义，网格与勾股定理．先根据网格与勾股定理进行列式，求出每条边的长度，再分析每条边长度是不是无理数，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵都是有理数，是无理数， ∴的三边，，中边长是无理数的是a， 故答案为：a ▌对点练1-3．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 题型 勾股定理中折叠问题 解题贴士 1）折叠前后对应边相等、对应角相等； 2）设未知线段长，在图中找到包含的直角三角形，列勾股方程求解。 ▌例1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． ▌例2．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由折叠和平行线的性质得到，进而证明即可； （2）由折叠得，，，设，则，然后根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由折叠得，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得， ． ▌对点练1-5．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题． 设，由折叠可知，结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设， ， 由折叠可知， ∵四边形是长方形，， ， ， 解得：， 的长为10． 题型 利用勾股定理求平方和（差） 解题贴士 1）构造直角三角形，把线段平方转化为边长平方； 2）结合线段等量代换，整体求平方和或平方差，不必求出线段本身。 ▌例1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． ▌对点练1-3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 题型 勾股定理的证明 解题贴士 多采用面积法证明：用割补法表示同一个图形面积，列出两种面积表达式，化简推导出。 ▌例1．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 证明，得出，根据，，的面积分别为，和，梯形的面积为，得出，再化简即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，的面积分别为，和，梯形的面积为， ∴， ∴， 化简，得． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：∵将右半部分翻转，大小不变， ∴，故C正确； ∵，故D不正确， ，故B正确， ∴ ， ∴，故A正确． 故选：D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东潮州·期中）图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是    （       ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【分析】利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理． 【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， ∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理． ▌对点练1-3．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 题型 勾股定理与数轴结合 解题贴士 在数轴上构造直角边为整数的直角三角形，以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴交点表示无理数。 ▌例1．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，即可得到点D表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图得，， ∴， ∴点D表示的数是． ▌例2．在数轴上找出对应的点． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用以及数轴与实数，构造直角三角形利用勾股定理得到所需长度是解题的关键． 作数轴，且使，连接，以O为圆心，为半径画弧交数轴的正半轴于P，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，点P为所求 ∵， ∴． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山西阳泉·期末）我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A表示的实数为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出正方形对角线的长，确定圆的半径，再根据圆心位置和点的方向确定点表示的数即可． 【详解】解： 正方形的边长为1， 对角线长， 圆心表示的数为，半径为，且点在圆心的右侧， 点表示的实数为，即． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． 【答案】 【详解】解：由图可知， 即数轴上的点表示的数是． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）在数轴上作出对应的点，记为． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．如图点B对应的数为，点D对应的数为，作轴，截取，根据勾股定理可得，再以点D为圆心，以为半径画弧与数轴的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为对应的点． 题型 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 解题贴士 1）找出三边中最大边，验证最大边的平方是否等于另外两边平方和，成立则为直角三角形； 2）最大边对角为直角。 ▌例1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，6，10 C．6，8，15 D．5，12，14 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴，∴可以构成直角三角形，符合题意； B、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D、∵，，∴，∴不可以构成直角三角形，不符合题意. ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建莆田·期末）下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对选项A，∵勾股定理逆定理指出，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，已知，符合直角三角形的判定条件，∴是直角三角形，符合题意； 对选项B，∵三角形内角和为，，∴，得，是等边三角形，不是直角三角形，不符合题意； 对选项C，所有三角形的内角和都为，该条件无法判定是直角三角形，不符合题意； 对选项D，设，，，∵，∴，解得，最大角，不是直角，因此不能判定是直角三角形，不符合题意． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ∴，即是直角三角形． 【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可． 【详解】略 ▌对点练1-3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析 【分析】先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴，即是直角三角形． 基础通关 1.（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题考查数学思想，熟练掌握每种数学思想的适用场合是关键． 结合题干的描述，判断对应的数学思想即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 4．（2026·广西柳州·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【答案】B 【分析】根据图形特征，小正方形的边长为直角三角形两直角边之差，即为，大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即，结合已知条件利用完全平方公式建立方程组求解即可． 【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 ， 即①， ， ②， 得 ， ， 大正方形的边长为直角三角形的斜边， 大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即， 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 6．（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 【答案】 【分析】在网格中以为斜边构建直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以为斜边构建直角三角形， 平移距离． 7．在中，，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 9．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，过点作，垂足为，，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由如下： ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形． 【分析】先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理逆定理求解即可． 【详解】略 10．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 11．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 素养提升 1．（25-26八年级下·湖北黄冈·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由勾股定理的逆定理，只需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、最长边为，则，即，，能构成直角三角形； B、最长边为，则，即，，能构成直角三角形； C、最长边为，则，即，，能构成直角三角形； D、最长边为，则，，，得到，即，，不能构成直角三角形． 2．（25-26八年级下·安徽池州·期末）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴，解得． 3．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，以的两直角边为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．16 【答案】B 【分析】由题意得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， ∵在中，， ∴． 4．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， 故A选项能证明勾股定理； B、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 6．（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，，，． (1)数轴上点A表示的数为___________；比较点A表示的数与4的大小：_________． (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)； (2)解：如图，点F表示的数为，即为所求． 【分析】（1）根据勾股定理求出，即可得到的长，从而得出点A表示的数．先比较与2的大小，进而得出与4的大小关系； （2）在表示的点D处作垂线，在该垂线上取点E，使得，连接，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴负半轴于点F，则点F为所求． 【详解】（1）解：由图可得，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数是． ∵， ∴． （2）解：由作图可得，， ∴在中，， ∴， ∴点F表示的数是，即为所求． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，再由即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，， ∴， ∴． 迁移创新 1．（25-26七年级下·广东珠海·期末）综合与实践 按照国际标准，A系列纸为长方形．如图所示，将纸进行两次折叠（折痕分别是和），使线段和均落在边上，点的对应点为点．请结合图形解决以下问题： (1)线段与之间的数量关系是：________；（填“相等”或“不相等”） (2)若纸的宽为，长为，则________； (3)已知，试判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1)相等 (2) (3)，理由如下： 由折叠可知： 【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结果； （2）易得为等腰直角三角形，进而求出，即可得出结果； （3）根据平行线的性质，折叠的性质，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：由折叠可知，； （2）解：由折叠可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）略 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可； （2）由题意得，正方形的面积是，正方形的面积是，两式相加得到，即可得解； （3）设，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （4）设的两直角边分别为，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； （3）解：设，，则， ， ， ， ； （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.6 探索勾股定理 课标要点 1.经历勾股定理的观察、猜想、拼图验证与探索过程，掌握勾股定理的内容，理解直角三角形三边之间的数量关系，明确勾股定理仅适用于直角三角形。 2.掌握勾股定理的文字表述与符号表达式，即在Rt△中，两直角边的平方和等于斜边的平方，熟记公式形式，能根据直角三角形边长位置准确套用公式。 3.理解勾股定理的拼图证明原理，通过面积法推导勾股定理，体会数形结合思想、等积转化思想，掌握几何定理常见的面积证明方法。 4.能熟练运用勾股定理，已知直角三角形任意两条边长，求解第三条边长，能处理整数、小数、根式等不同形式的边长计算，规范化简计算结果。 5.了解常见勾股数，熟记基础勾股数，理解勾股数的整数特征，能快速利用勾股数简化直角三角形边长计算。 6.能结合直角三角形的特殊性质、等腰三角形、简单图形折叠等知识，综合运用勾股定理解决基础几何综合计算问题，提升几何建模与运算能力。 学习重难点 重点： 1.掌握勾股定理的内容与公式，明确适用条件为直角三角形，能准确区分直角边与斜边，正确代入公式进行边长计算。 2.熟练运用勾股定理已知两边求第三边，掌握变式公式，灵活求解直角三角形各边长。 3.掌握基础勾股数，能利用勾股数快速解题，简化运算过程。 难点： 1.理解勾股定理的面积法证明原理，掌握数形结合、等积转化的数学思想，突破单纯记公式的浅层学习。 2.区分斜边与直角边，避免公式代换错误，在边长未知、条件模糊的题型中分类讨论，防止漏解、错解。 3.结合折叠、动点、等腰直角三角形等综合题型，灵活运用勾股定理建立方程求解边长，掌握几何方程解题思想。 4.综合运用勾股定理与直角三角形特殊性质，解决多步几何计算问题，提升几何综合应用能力。 知识点 勾股定理（重点） 1. 勾股定理：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么。 C B A 直角边 直角边 斜边 2. 勾股定理的运用：①已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； ②用于解决带有平方关系的证明问题； ③利用勾股定理，作出长为的线段。 易错提醒 1）非直角三角形绝对不能使用勾股定理； 2）公式代入时分不清斜边和直角边，习惯性乱代数值； 3）求边长开方后需舍去负数，边长为正数。 随学随练 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，求的长． 知识点 勾股定理的证明（重点） 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 ，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 ，所以。 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。 特别提醒 教材采用面积法证明，核心思路：图形割补、面积不变，通过大图形面积等于各小图形面积和推导公式。 随学随练 1．勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 知识点 勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 2. 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的一般步骤： ①首先确定最大边（如）； ②验证与是否具有相等关系：若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形。 易错提醒 1）必须用最短两边平方和与最长边平方对比，随意组合计算会判定错误； 2）只能判定是否为直角三角形，不能直接得出锐角、钝角三角形； 3）逆定理与勾股定理易混淆（定理：直角→边长关系；逆定理：边长关系→直角）。 随学随练 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 知识点 勾股数 1. 勾股数：像8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 易错提醒 1）勾股数必须是正整数，小数、分数不算勾股数； 2）熟记常用勾股数，不可记错倍数关系； 3）并非所有满足平方关系的数都是勾股数，需满足整数条件。 随学随练 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 拓展 勾股定理与勾股定理逆定理双向对比 1．二者为互逆逻辑定理，是判定直角三角形与计算边长的核心依据，适用场景、推理方向完全相反，具体对比如下： 对比维度 勾股定理 勾股定理逆定理 前提条件 已知三角形为直角三角形 任意普通三角形，未知形状 核心内容 两直角边的平方和等于斜边的平方： 三角形两边平方和等于第三边平方，则为直角三角形 逻辑方向 由图形性质推边长数量关系 由边长数量关系推图形性质 核心用途 求边长、平方关系证明、作二次根式线段 判定三角形是否为直角三角形 活学活用 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 拓展 勾股定理三种证明方法共性与区别 证明方法 图形构造方式 核心特点 外嵌正方形法 四个全等直角三角形拼成边长为的大正方形 图形规整，计算简单，是最通用的基础证明方法 内嵌正方形法 四个全等直角三角形拼成斜边为边长的大正方形，内部形成小正方形 利用边长差值构造图形，贴合斜边平方推导逻辑 直角梯形法 两个全等直角三角形拼接成直角梯形 图形构造最简，仅用两个三角形，计算步骤最少 活学活用 1．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 2．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 题型 利用勾股定理解三角形 解题贴士 在直角三角形中，分清斜边与直角边，套用；已知两边直接求第三边；已知一边、两边数量关系设未知数，列方程求解。 ▌例1．（25-26八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D．或 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·北京西城·期末）如图，在中，，D是的中点．若，，则的长为________． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）在中，，，，求的长． 题型 勾股数 解题贴士 1）满足的三个正整数为勾股数； 2）一组勾股数同时扩大正整数倍，仍然是勾股数。 ▌例1．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．7，11，13 ▌对点练1-1．（25-26八年级下·湖北·期末）勾股数又称毕达哥拉斯三元数，是指三个满足勾股定理的正整数，下列属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， ▌对点练1-2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 题型 勾股树 解题贴士 以直角三角形三边向外作正方形，两个小正方形面积之和等于大正方形面积；逐层利用面积转化进行计算。 ▌例1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 题型 勾股定理中图形面积问题 解题贴士 以直角三角形三边向外作同类图形（正方形、半圆等），两小图形面积之和 = 最大图形面积；借助面积公式结合勾股定理转化计算。 ▌例1．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 ▌例2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 ▌对点练1-2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，在Rt中，，，以，为直径的半圆的面积分别为，，则________（结果保留）． 题型 网格中的勾股定理 解题贴士 把线段看作网格直角三角形斜边，横向、纵向格数为直角边，用勾股定理求线段长度；再利用长度判断三角形形状。 ▌例1．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B均在格点上，则线段的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 ▌例2．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为______． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·北京·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，每个小正方形的边长为1，的三边，，中边长是无理数的是________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 题型 勾股定理中折叠问题 解题贴士 1）折叠前后对应边相等、对应角相等； 2）设未知线段长，在图中找到包含的直角三角形，列勾股方程求解。 ▌例1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 ▌例2．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-2．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． ▌对点练1-5．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 题型 利用勾股定理求平方和（差） 解题贴士 1）构造直角三角形，把线段平方转化为边长平方； 2）结合线段等量代换，整体求平方和或平方差，不必求出线段本身。 ▌例1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． ▌对点练1-3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 题型 勾股定理的证明 解题贴士 多采用面积法证明：用割补法表示同一个图形面积，列出两种面积表达式，化简推导出。 ▌例1．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    ▌对点练1-1．（25-26八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东潮州·期中）图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是    （       ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 ▌对点练1-3．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 题型 勾股定理与数轴结合 解题贴士 在数轴上构造直角边为整数的直角三角形，以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴交点表示无理数。 ▌例1．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． ▌例2．在数轴上找出对应的点． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山西阳泉·期末）我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．张华同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如图），以数字所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点A，则点A表示的实数为______． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）在数轴上作出对应的点，记为． 题型 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 解题贴士 1）找出三边中最大边，验证最大边的平方是否等于另外两边平方和，成立则为直角三角形； 2）最大边对角为直角。 ▌例1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，6，10 C．6，8，15 D．5，12，14 ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建莆田·期末）下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． ▌对点练1-3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．判断的形状，并说明理由． 基础通关 1.（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 4．（2026·广西柳州·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，则的面积为________． 6．（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 7．在中，，，则_______． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 9．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，过点作，垂足为，，．试判断的形状，并说明理由． 10．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 11．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 素养提升 1．（25-26八年级下·湖北黄冈·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·安徽池州·期末）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，以的两直角边为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．16 4．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 6．（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，，，． (1)数轴上点A表示的数为___________；比较点A表示的数与4的大小：_________． (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 迁移创新 1．（25-26七年级下·广东珠海·期末）综合与实践 按照国际标准，A系列纸为长方形．如图所示，将纸进行两次折叠（折痕分别是和），使线段和均落在边上，点的对应点为点．请结合图形解决以下问题： (1)线段与之间的数量关系是：________；（填“相等”或“不相等”） (2)若纸的宽为，长为，则________； (3)已知，试判断与的位置关系，并证明． 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $