专题02定义与命题及证明期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题02定义与命题及证明期中复习讲义 1.理解定义的含义，能识别数学定义，区分定义、描述性语句；知道定义是对名称和术语的含义加以描述、作出明确规定。 2.掌握命题的概念：会判断一句话是不是命题；能把命题改写成 “如果……，那么……” 的标准形式，准确找出命题的条件（题设）和结论。 3.区分真命题、假命题；知道要说明一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可。了解基本事实、定理的概念，清楚定理一定是真命题，可以作为推理依据。 4.理解证明的含义，明白证明是从已知出发，依据基本事实、定义、定理，经过一步步推理，判断一个命题为真的过程。 5.掌握证明题的规范书写格式，分清已知、求证、证明三部分；推理过程每一步能说出对应的依据，做到有理有据。 6.会利用证明的方法推导、证明角度关系，重点掌握三角形内角和定理的证明，以及三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，外角大于任意一个不相邻的内角），并用来进行角度计算与推理。 7.能结合平行线、三角形内角、外角进行简单几何推理证明，学会识图，梳理角之间的等量关系。 8.易错点梳理： 疑问句、祈使句、感叹句不是命题； 改写命题时，不能随意增加、改变原意； 证明过程跳步、不写推理依据； 混淆外角性质，错误把相邻内角算入外角关系。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是命题 ★ 题型二 写出命题的题设与结论 ★ 题型三 判断命题真假 ★ 题型四 举例说明假（真）命题 ★★ 题型五 举反例 ★★ 题型六 定理与证明 ★ 题型七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 ★★★ 题型八 逻辑推理与论证 ★★★ 题型九 三角形内角和定理的证明 ★★★ 题型十 三角形的外角的定义及性质 ★★ 题型十一 几何与代数背景下的推理与论证 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:核心基础概念（必背） 概念 定义 关键考点 定义 对名称、术语的含义作出准确、规范的描述 句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情对错的语句 只有判断句是命题；疑问、命令、画图句都不是 真命题 条件成立，结论一定成立的命题 可以作为推理依据 假命题 条件成立，结论不一定成立的命题 只需1 个反例即可推翻 反例 满足命题条件，但不满足结论的例子 证明假命题的唯一方法 知识点02:命题 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 知识点03:原命题与逆命题（高频考点） 类型 变换方法 真假规律 原命题 原有命题：如果 P，那么 Q 真命题逆命题不一定真 逆命题 互换条件与结论：如果 Q，那么 P 假命题逆命题可真可假 知识点04:公理、定理、证明（几何核心） 名称 定义 是否需要证明 能否当推理依据 公理（基本事实） 人们长期实践公认正确的命题 不需要证明 可以直接用 定理 经过推理证明为正确的真命题 必须证明 可以直接用 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理，逐步推理得到结论的过程 — 几何大题书写核心 知识点05:证明题书写规范（老师最看重） 1.每一步推理必须写依据 2.依据仅限：已知、定义、公理、定理 3.逻辑连贯，不跳步、不臆造条件 4.先写条件推导，最后得出结论 知识点06:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点07:三角形的外角 1.外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (1)每个顶点对应 2 个相等外角，一个三角形共 6 个外角； (2)一个外角与相邻内角互为邻补角，和为 180。 2.数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 3.外角解题优势 遇到求 “飞镖模型、八字模型、折叠角度” 时，用外角性质可省去多次内角和计算，简化推理步骤。 知识点08高频易错点汇总 错误行为 规范要求 推理无依据、乱写依据 每一步必须标注定义 / 公理 / 定理 / 等式性质 文字命题不画图、不写已知求证 文字类几何命题必须画图，规范书写已知、求证 跳关键步骤，逻辑断层 初学完整写出每一步，不省略核心推导 用测量、举例证明真命题 证明真命题只能逻辑推理，特例不能作证明 混淆外角相邻、不相邻内角 外角仅等于两个不相邻内角之和，不含相邻内角 认为外角一定大于三角形所有内角 外角只大于两个不相邻内角，小于相邻内角 题型一、判断是否是命题 1．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 【答案】B 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项、“作的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； B选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意； C选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； D选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意． 2．下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 【答案】A 【分析】本题根据命题的定义判断即可，命题是指对一件事情作出判断的语句． 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． 3．下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是命题，不符合题意； B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，故不是命题，符合题意； C、正确，是判断语句，不符合题意； D、正确，是判断语句，不符合题意． 故选：B． 【点睛】主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题． 题型二、写出命题的题设与结论 4．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 【答案】 两个角是相等的角的余角 这两个角相等 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”． 5．对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 6．命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题由题设和结论组成，把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面，把结论“这两个角相等”写在那么的后面即可． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”． 故选B． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题． 题型三、判断命题真假 7．下列命题中，其中是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．同旁内角相等，两直线平行 C．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】根据直角的性质 平行线的判定 实数的性质 垂直的基本定理，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：∵所有直角的度数都是 ∴如果两个角是直角，那么它们相等，故A是真命题； ∵平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，不是同旁内角相等，两直线平行 ∴B是假命题； ∵若两个实数的平方相等，则两个实数相等或互为相反数，例如，但 ∴C是假命题； ∵只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项未限定同一平面 ∴D是假命题． 8．下列命题中：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】结合对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，以及两直线平行，同位角相等、两直线平行，同旁内角互补等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角， 例如角平分线分成的两个角相等但不是对顶角， 故①是假命题． 两直线平行时同位角才相等，缺少前提条件， 故②是假命题． 若两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补， 例如与的角两边可分别垂直， 故③是假命题． 综上，真命题的个数为0． 9．下列命题中，假命题有（     ） ①同位角相等；②一个角的邻补角一定不小于这个角；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题要求判断各命题真假，找出假命题的组合，根据平面几何的基本概念和定理逐一判断即可． 【详解】解：①只有两直线平行时，同位角才相等，该命题未说明两直线平行，∴①是假命题； ②举例，若一个角为，它的邻补角为，，∴“邻补角一定不小于这个角”不成立，②是假命题； ③根据同一平面内直线的位置关系判定，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，∴③是真命题； ④根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∴④是真命题， 假命题为①②，因此选A符合题意． 题型四、举例说明假（真）命题 10．对于命题“如果，那么”，若要说明该命题是假命题，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出反例，即找出满足条件，但不满足结论的的值即可． 【详解】解：选项A：，满足，且，符合反例要求； 选项B：，满足，但，满足结论，不符合要求； 选项C：，满足，但，满足结论，不符合要求； 选项D：，不满足，不符合命题条件，不符合要求． 11．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的的值即可． 【详解】解：选项A：∵，， ∴，，可得，满足命题条件，又，不满足命题结论， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项C：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项D：，，，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 12．有如下四个命题：其中真命题的个数为（　　） ①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数； ②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数； ③两个符号相反的分数之间至少有一个整数； ④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，举例判断命题的真假即可． 【详解】解：和之间只有整数0，既没有正整数也没有负整数，故①②错，③④正确． 故选：B． 题型五、举反例 13．若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，即反例需同时满足和． 【详解】解：对各选项逐一验证： 选项A：， ，得，满足命题条件，又，即，不满足命题结论，该选项可以作为反例； 选项B：，满足，也满足，不能作为反例； 选项C：，满足，也满足，不能作为反例； 选项D：，，不满足命题条件，不能作为反例． 14．写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例：______． 【答案】中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状． 【详解】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形． 故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 15．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【答案】B 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，且，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，且，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意． 题型六、定理与证明 16．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 17．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 18．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 题型七、写出一个命题的已知、求证及证明过程 19．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 20．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 21．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 题型八、逻辑推理与论证 22．在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．今天甲说：“昨天是我说谎的日子．”乙说：“昨天也是我说谎的日子．”问今天是星期______． 【答案】四 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题干条件以及甲乙说话内容进行分析，即可作答． 【详解】解：∵甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话，且今天甲说：“昨天是我说谎的日子． ∴甲只有在星期一和星期四才能说:“昨天是我说谎的日子”， ∵乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．且今天乙说：“昨天也是我说谎的日子．” ∴乙只有在星期四和星期日才能说:“昨天是我说谎的日子”； 综合起来，今天是星期四； 故答案为：四 23．四个小朋友踢球，不小心打碎了玻璃，四人中只有1人说谎．小方说：是小强打碎的；小强说：不是我打碎的；小明说：是小方打碎的；小林说：我没打碎．打碎玻璃的是：__________．（填人名） 【答案】小方 【分析】小方和小强的表述互相矛盾，两人必有一真一假，结合只有1人说谎的条件，剩余两人一定都说真话，可直接推出结果． 【详解】解：∵小方说“是小强打碎的”，小强说“不是我打碎的”，两人表述矛盾， ∴小方和小强必有一人说真话，一人说假话， ∵四人中只有1人说谎， ∴说谎者一定在小方和小强之中，小明和小林说的都是真话， ∵小明说“是小方打碎的”是真话， ∴打碎玻璃的是小方． 24．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【答案】C 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 题型九、三角形内角和定理的证明 25．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可． 【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的 即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和． 26．如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理、平行线的性质．根据对顶角相等可知，根据三角形内角和为可以求出，根据两直线平行同位角相等可得． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 27．如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 故⑤正确， ∵在中，， 又∵，， ∴， 故⑥正确， ∵在中，无法确定， 又∵， ∴无法确定， ∴无法确定平分，故③错误， ∵在中，无法确定，且， ∴无法确定，故④错误； 故选：B． 题型十、三角形的外角的定义及性质 28．如图，，，三点共线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，三点共线， ， ，， ， 故选：B． 29．如图，，于点C，的延长线与交于点E，若，则等于________． 【答案】 【分析】先根据三角形的外角性质求解的度数，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 30．如图，在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论：①，②，③，④，正确的是________． 【答案】①④/④① 【分析】由角平分线的定义可得，，再结合三角形外角的定义及性质即可判断①正确；由角平分线的定义和三角形内角和定理即可判断②③错误；由角平分线的定义并结合三角形外角的定义及性质即可判断④正确． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故①正确； ∵，分别平分，， ∴，， ∴，故②③错误； ∵分别平分，为外角的平分线， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①④． 题型十一、几何与代数背景下的推理与论证 31．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 32．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 【答案】 35 【分析】根据题意，按照“选择高强度要求前一天必须休息”的规则，枚举所有符合要求的徒步方案，计算每种方案的总徒步距离，比较后得到最远距离. 【详解】解：枚举所有符合规则的方案，计算总距离如下： 当安排2次高强度，第1天高强度、第3天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第4天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第5天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第2天高强度、第4天高强度时，总距离为： 其余方案的总距离均小于， 比较得最远距离为. 33．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】(1)证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． (2)证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【详解】（1）略 （2）略 解答题 34．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举反例加以说明． (1)如果，那么C是AB的中点． (2)三条线段长分别为a，b，c，如果，那么这三条线段一定能组成三角形． (3)三角形的内角和等于180°． 【答案】(1)假命题．反例：当点C在AB的延长线上，且时，不是的中点． (2)假命题．反例：当时，，但长为5，1，3的三条线段不能组成三角形． (3)真命题 【分析】（1）利用点在线段的延长线上，并且满足，判断此时是不是的中点； （2）任意写出三个不相等的数，满足，但不能组成三角形，据此即可判断； （3）根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）解：假命题．反例：当点在线段的延长线上，且时，不是的中点． （2）解：假命题．反例：当时，，但长为，，的三条线段不能组成三角形． （3）解：真命题． 【点睛】本题考查的是判断命题真假的题目，关键是判断命题的说法是否正确． 35．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题， 反例：当时，． 【分析】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 36．如图，已知，点E在的延长线上．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴． 【详解】略． 37．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】 命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：略． 38．填写下列空格：已知，如图，，，．求证：． 证明：（已知）， ________（   ） （   ）， ________（   ）． （已知）， （   ）， 即． ________（   ）， （   ）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；等式的性质； ；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质得出，继而得出，由得出，继而得出，即可得证． 【详解】略． 39．小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见下表，已知小亮有且仅在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，请你判断此次比赛谁是冠军． 参赛者 比赛项目 总分 A B C 小明 2 小亮 3 小颖 1 【答案】此次比赛的冠军是小亮． 【分析】根据比赛规则和已知条件，结合无并列名次的要求，分情况讨论所有可能的得分情况，计算三人总分，即可判断出冠军． 【详解】解：∵每个项目无并列情况，每个项目分数为3分，2分，1分，小亮在A项目得3分，且小亮有两个项目得分相同，分情况讨论： 情况1：小亮两个相同得分为3分，另一个得分为3分的项目为B项目， ∵B项目小明得2分， ∴B项目小颖得1分， ∵C项目小颖得1分，无并列， ∴小亮C项目只能得2分，C项目剩余3分归小明，此时小亮总分为（分），小明总分最高为（分），小颖总分最高为（分），三人总分各不相同，符合条件，小亮总分最高； 情况2：小亮两个相同得分为3分，另一个得分为3分的项目为C项目， ∵C项目小颖得1分， ∴C项目剩余2分归小明， ∵B项目小明得2分，无并列， ∴小亮B项目只能得1分，B项目剩余3分归小颖，此时小亮总分为（分），若小明A项目得2分，小颖A项目得1分，小明总分为（分），小颖总分为（分），三人总分各不相同，符合条件，小亮总分最高； 若小明A项目得1分，小颖A项目得2分，小明总分为（分），小颖总分为（分），仍满足小亮总分最高； 情况3：小亮两个相同得分为2分，则小亮B、C项目均得2分，B项目小明已得2分，存在并列，不符合题意，舍去． 情况4：小亮两个相同得分为1分，则小亮B、C项目均得1分，C项目小颖已得1分，存在并列，不符合题意，舍去． 综上，所有符合题意的情况中，小亮总分均为最高． 40．数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； 【答案】(1)证明：如图，过点A作， 则，．(两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． (2)∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ． 【分析】（1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． （2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可得证； 【详解】（1）证明：略． （2）推理说明：略． 41．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴． （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02定义与命题及证明期中复习讲义 1.理解定义的含义，能识别数学定义，区分定义、描述性语句；知道定义是对名称和术语的含义加以描述、作出明确规定。 2.掌握命题的概念：会判断一句话是不是命题；能把命题改写成 “如果……，那么……” 的标准形式，准确找出命题的条件（题设）和结论。 3.区分真命题、假命题；知道要说明一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可。了解基本事实、定理的概念，清楚定理一定是真命题，可以作为推理依据。 4.理解证明的含义，明白证明是从已知出发，依据基本事实、定义、定理，经过一步步推理，判断一个命题为真的过程。 5.掌握证明题的规范书写格式，分清已知、求证、证明三部分；推理过程每一步能说出对应的依据，做到有理有据。 6.会利用证明的方法推导、证明角度关系，重点掌握三角形内角和定理的证明，以及三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，外角大于任意一个不相邻的内角），并用来进行角度计算与推理。 7.能结合平行线、三角形内角、外角进行简单几何推理证明，学会识图，梳理角之间的等量关系。 8.易错点梳理： 疑问句、祈使句、感叹句不是命题； 改写命题时，不能随意增加、改变原意； 证明过程跳步、不写推理依据； 混淆外角性质，错误把相邻内角算入外角关系。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是命题 ★ 题型二 写出命题的题设与结论 ★ 题型三 判断命题真假 ★ 题型四 举例说明假（真）命题 ★★ 题型五 举反例 ★★ 题型六 定理与证明 ★ 题型七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 ★★★ 题型八 逻辑推理与论证 ★★★ 题型九 三角形内角和定理的证明 ★★★ 题型十 三角形的外角的定义及性质 ★★ 题型十一 几何与代数背景下的推理与论证 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:核心基础概念（必背） 概念 定义 关键考点 定义 对名称、术语的含义作出准确、规范的描述 句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情对错的语句 只有判断句是命题；疑问、命令、画图句都不是 真命题 条件成立，结论一定成立的命题 可以作为推理依据 假命题 条件成立，结论不一定成立的命题 只需1 个反例即可推翻 反例 满足命题条件，但不满足结论的例子 证明假命题的唯一方法 知识点02:命题 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 知识点03:原命题与逆命题（高频考点） 类型 变换方法 真假规律 原命题 原有命题：如果 P，那么 Q 真命题逆命题不一定真 逆命题 互换条件与结论：如果 Q，那么 P 假命题逆命题可真可假 知识点04:公理、定理、证明（几何核心） 名称 定义 是否需要证明 能否当推理依据 公理（基本事实） 人们长期实践公认正确的命题 不需要证明 可以直接用 定理 经过推理证明为正确的真命题 必须证明 可以直接用 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理，逐步推理得到结论的过程 — 几何大题书写核心 知识点05:证明题书写规范（老师最看重） 1.每一步推理必须写依据 2.依据仅限：已知、定义、公理、定理 3.逻辑连贯，不跳步、不臆造条件 4.先写条件推导，最后得出结论 知识点06:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点07:三角形的外角 1.外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (1)每个顶点对应 2 个相等外角，一个三角形共 6 个外角； (2)一个外角与相邻内角互为邻补角，和为 180。 2.数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 3.外角解题优势 遇到求 “飞镖模型、八字模型、折叠角度” 时，用外角性质可省去多次内角和计算，简化推理步骤。 知识点08高频易错点汇总 错误行为 规范要求 推理无依据、乱写依据 每一步必须标注定义 / 公理 / 定理 / 等式性质 文字命题不画图、不写已知求证 文字类几何命题必须画图，规范书写已知、求证 跳关键步骤，逻辑断层 初学完整写出每一步，不省略核心推导 用测量、举例证明真命题 证明真命题只能逻辑推理，特例不能作证明 混淆外角相邻、不相邻内角 外角仅等于两个不相邻内角之和，不含相邻内角 认为外角一定大于三角形所有内角 外角只大于两个不相邻内角，小于相邻内角 题型一、判断是否是命题 1．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 2．下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 3．下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．等角的补角相等 题型二、写出命题的题设与结论 4．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 5．对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 6．命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 题型三、判断命题真假 7．下列命题中，其中是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．同旁内角相等，两直线平行 C．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．下列命题中：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．下列命题中，假命题有（     ） ①同位角相等；②一个角的邻补角一定不小于这个角；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型四、举例说明假（真）命题 10．对于命题“如果，那么”，若要说明该命题是假命题，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 11．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 12．有如下四个命题：其中真命题的个数为（　　） ①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数； ②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数； ③两个符号相反的分数之间至少有一个整数； ④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 题型五、举反例 13．若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（     ）． A．， B．， C．， D．， 14．写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例：______． 15．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 题型六、定理与证明 16．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 17．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 题型七、写出一个命题的已知、求证及证明过程 19．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 20．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 21．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 题型八、逻辑推理与论证 22．在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．今天甲说：“昨天是我说谎的日子．”乙说：“昨天也是我说谎的日子．”问今天是星期______． 23．四个小朋友踢球，不小心打碎了玻璃，四人中只有1人说谎．小方说：是小强打碎的；小强说：不是我打碎的；小明说：是小方打碎的；小林说：我没打碎．打碎玻璃的是：__________．（填人名） 24．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 题型九、三角形内角和定理的证明 25．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（    ） A． B． C． D． 26．如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则______． 27．如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 题型十、三角形的外角的定义及性质 28．如图，，，三点共线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．如图，，于点C，的延长线与交于点E，若，则等于________． 30．如图，在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论：①，②，③，④，正确的是________． 题型十一、几何与代数背景下的推理与论证 31．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 32．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 33．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 解答题 34．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举反例加以说明． (1)如果，那么C是AB的中点． (2)三条线段长分别为a，b，c，如果，那么这三条线段一定能组成三角形． (3)三角形的内角和等于180°． 35．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 36．如图，已知，点E在的延长线上．求证：． 37．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 38．填写下列空格：已知，如图，，，．求证：． 证明：（已知）， ________（   ） （   ）， ________（   ）． （已知）， （   ）， 即． ________（   ）， （   ）． 39．小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见下表，已知小亮有且仅在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，请你判断此次比赛谁是冠军． 参赛者 比赛项目 总分 A B C 小明 2 小亮 3 小颖 1 40．数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； 41．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $