专题05 图形的轴对称 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题05图形的轴对称期中复习讲义 1.理解轴对称、轴对称图形的概念，能够准确区分轴对称图形和两个图形成轴对称，会识别常见的轴对称图形，找准对称轴。 2.掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段相等、对应角相等，能利用性质进行线段、角度的简单计算。 3.会画已知点、线段、三角形等简单图形关于某条直线的对称图形，规范完成轴对称作图。 4.能结合轴对称的性质解决简单的折叠问题，读懂折叠前后边角不变的等量关系，理清折叠题型的解题思路。 5.理解轴对称的最值原理（两点一线最短路径），能识别基础的轴对称最短路径模型，会分析、求解简单最值问题。 6.辨析易错点：区分 “一个图形自身轴对称” 和 “两个图形成轴对称”；注意对称轴是直线，不是线段或射线；折叠问题不漏找相等边角。 题型 考察方向 难度 题型一 轴对称图形的识别 ★ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 ★ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 ★★ 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 ★★ 题型五 求对称轴条数 ★ 题型六 画轴对称图形 ★★ 题型七 设计轴对称图案 ★★ 题型八 台球桌面上的轴对称问题 ★★★ 题型九 轴对称中的光线反射问题 ★★★ 题型十 折叠问题 ★★★ 题型十一 最短路径问题 ★★★★ 题型十二 线段问题 ★★★★ 题型十三 面积问题 ★★★★ 题型十四 角度问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 关键区分：轴对称是 “两个图形间的对称”，轴对称图形是 “一个图形自身的对称”；二者核心共性 —— 折叠后重合，对应量相等 轴对称图形与轴对称的区别与联系 知识点02：轴对称图形和轴对称的性质 1.两个图形成轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线是任何一组对应点所连线段的垂直平分线。 2.轴对称图形的性质： 轴对称图形的对称轴，是任何一组对应点所连线段的垂直平分线。 3.对应线段与对应角的性质： 轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）中，对应线段相等，对应角相等。 4.全等与轴对称的关系： 成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等。但全等的两个图形不一定是轴对称图形。 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04：折叠问题解题思路（轴对称高频题型） 折叠本质就是轴对称，折叠前后两部分关于折痕对称，直接可得： 1.对应边相等、对应角相等； 2.折痕是对应点连线的垂直平分线； 3.常结合线段垂直平分线、全等三角形进行角度、边长计算。 知识点05：拓展：轴对称最短路径模型（将军饮马） 1.模型：直线同侧两点，在直线上找一点，使两点到该点距离之和最小； 2.方法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线交点即为所求； 3.原理：两点之间线段最短，利用轴对称转化线段。 知识点06：高频易错点汇总 错误认知 正确内容 出错原因 对称轴是线段或射线 对称轴一定是直线 概念记忆模糊，看图只看到图形内一段 轴对称图形和两个图形成轴对称没有关联 轴对称图形拆分可得到成轴对称的两个图形，二者可以相互转化 分不清 “一个图形” 和 “两个图形” 的分类 全等图形一定成轴对称 全等图形位置任意，不一定能沿直线折叠重合 颠倒逻辑：成轴对称一定全等，全等不一定轴对称 画对称点只截取相等线段，不画垂线 对称点连线必须与对称轴垂直，缺一不可 忽略性质 “对称轴垂直平分对称点连线” 折叠后只有对应角相等，忽略线段相等 折叠前后对应边、对应角全部相等 做题只关注角度，遗漏线段等量条件 等腰直角三角形只有 1 条对称轴 等腰直角三角形仅 1 条对称轴（斜边中垂线），直角边不是对称轴 混淆直角边与对称轴定义 题型一、轴对称图形的识别 1．陆丰市碣石中学有着悠久的历史，今年是碣石中学建校70周年，关于碣石中学的四个字中可以看作是轴对称图形的是（     ）． A．碣 B．石 C．中 D．学 2．下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C．D． 3．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A．B．C． D． 题型二、成轴对称的两个图形的识别 4．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 5．如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）    A． B． C． D．   6．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可） 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 7．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．在广州博物馆里，藏有不少青铜器，其中有明确信息的青铜礼器，是战国时期的件铜编钟，该编钟1975年出土于增城石滩氮肥厂．如图①是编钟的一种．小颖绘制了编钟从正面看到的轮廓如图②所示，她发现绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 9．如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为______． 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 10．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 11．如图，直线表示铁路，，两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，则这样的点的位置有________处． 12．如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 题型五、求对称轴条数 13．下列图形中，有4条对称轴的图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图的方格中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成轴对称图形，则该小正方形的序号是___________，该轴对称图形有___________条对称轴． 15．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 题型六、画轴对称图形 16．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是_____． 18．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型七、设计轴对称图案 19．如图所示，在“”网格中，有个涂成黑色的小方格，若再从余下的个小方格中随机选取一个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的有（   ）个 A． B． C． D． 20．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 21．如图，在的网格中有一格点三角形，在这个网格图中要再画一个格点三角形，使其与关于某条直线对称，则符合条件的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八、台球桌面上的轴对称问题 22．如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 23．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 24．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型九、轴对称中的光线反射问题 25．如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 26．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 27．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 题型十、折叠问题 28．嘉嘉把按照如图所示的方式进行折叠，得到的线段一定是的（     ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不对 29．把沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则的度数为________． 30．如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十一、最短路径问题 31．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 32．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 33．如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（     ） A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点 B．过点作直线的垂线，垂足即为点 C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点 D．连接并延长与直线的交点，即为点 题型十二、线段问题 34．如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，若的周长为20，则长为（   ） A．10 B．12 C．20D．无法确定 35．如图，在中，，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______，的最小值为______． 36．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，边上的高与交于点E，点F是线段的中点，点P为线段上一动点，连接，，则下列关于周长的说法正确的是（    ） A．点P与点M重合时，的周长最小 B．点P与点N重合时，的周长最小 C．点P与点E重合时，的周长最小 D．点P与点F重合时，的周长最小 题型十三、面积问题 37．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 38．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 39．如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 题型十四、角度问题 40．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    41．如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 42．如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解答题 43．按要求解答下列各题： (1)画出关于直线对称的 (2)在直线上作出点，使得的周长最小；（保留作图痕迹） 44．【情境】2023年3月11日，2023斯诺克6红球世锦赛决赛，丁俊晖以8﹣6击败本土作战的塔猜亚•乌诺，继2016年后第二次夺得冠军．在台球比赛中，球台边也叫“库”，球撞击一次球台边叫做“一库”，球撞击两次球台边叫做“两库”，以此类推… 【建模】（1）在台球桌上也有我们熟悉的数学模型：如图①，在长方形球台内有白球B、红球H两点，从点B出发，击中球台边，反弹击中点H（“一库”）．请画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【应用】（2）若让白球B弹“两库”击中红球H会有_____种情况，请选择一种情况在图②中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【拓展】（3）若让白球B弹“三库”击中红球H会有_______种情况，请在图③中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 45．如图，在中，是上的一点，，是上的两点，将和分别沿，折叠后，得到四边形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 46．如图，在中，是边上的高． (1)若，请证明：； (2)若，，，点是边上的中点，求的最小值． 47．图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 48．新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05图形的轴对称期中复习讲义 1.理解轴对称、轴对称图形的概念，能够准确区分轴对称图形和两个图形成轴对称，会识别常见的轴对称图形，找准对称轴。 2.掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段相等、对应角相等，能利用性质进行线段、角度的简单计算。 3.会画已知点、线段、三角形等简单图形关于某条直线的对称图形，规范完成轴对称作图。 4.能结合轴对称的性质解决简单的折叠问题，读懂折叠前后边角不变的等量关系，理清折叠题型的解题思路。 5.理解轴对称的最值原理（两点一线最短路径），能识别基础的轴对称最短路径模型，会分析、求解简单最值问题。 6.辨析易错点：区分 “一个图形自身轴对称” 和 “两个图形成轴对称”；注意对称轴是直线，不是线段或射线；折叠问题不漏找相等边角。 题型 考察方向 难度 题型一 轴对称图形的识别 ★ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 ★ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 ★★ 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 ★★ 题型五 求对称轴条数 ★ 题型六 画轴对称图形 ★★ 题型七 设计轴对称图案 ★★ 题型八 台球桌面上的轴对称问题 ★★★ 题型九 轴对称中的光线反射问题 ★★★ 题型十 折叠问题 ★★★ 题型十一 最短路径问题 ★★★★ 题型十二 线段问题 ★★★★ 题型十三 面积问题 ★★★★ 题型十四 角度问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 关键区分：轴对称是 “两个图形间的对称”，轴对称图形是 “一个图形自身的对称”；二者核心共性 —— 折叠后重合，对应量相等 轴对称图形与轴对称的区别与联系 知识点02：轴对称图形和轴对称的性质 1.两个图形成轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线是任何一组对应点所连线段的垂直平分线。 2.轴对称图形的性质： 轴对称图形的对称轴，是任何一组对应点所连线段的垂直平分线。 3.对应线段与对应角的性质： 轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）中，对应线段相等，对应角相等。 4.全等与轴对称的关系： 成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等。但全等的两个图形不一定是轴对称图形。 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04：折叠问题解题思路（轴对称高频题型） 折叠本质就是轴对称，折叠前后两部分关于折痕对称，直接可得： 1.对应边相等、对应角相等； 2.折痕是对应点连线的垂直平分线； 3.常结合线段垂直平分线、全等三角形进行角度、边长计算。 知识点05：拓展：轴对称最短路径模型（将军饮马） 1.模型：直线同侧两点，在直线上找一点，使两点到该点距离之和最小； 2.方法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线交点即为所求； 3.原理：两点之间线段最短，利用轴对称转化线段。 知识点06：高频易错点汇总 错误认知 正确内容 出错原因 对称轴是线段或射线 对称轴一定是直线 概念记忆模糊，看图只看到图形内一段 轴对称图形和两个图形成轴对称没有关联 轴对称图形拆分可得到成轴对称的两个图形，二者可以相互转化 分不清 “一个图形” 和 “两个图形” 的分类 全等图形一定成轴对称 全等图形位置任意，不一定能沿直线折叠重合 颠倒逻辑：成轴对称一定全等，全等不一定轴对称 画对称点只截取相等线段，不画垂线 对称点连线必须与对称轴垂直，缺一不可 忽略性质 “对称轴垂直平分对称点连线” 折叠后只有对应角相等，忽略线段相等 折叠前后对应边、对应角全部相等 做题只关注角度，遗漏线段等量条件 等腰直角三角形只有 1 条对称轴 等腰直角三角形仅 1 条对称轴（斜边中垂线），直角边不是对称轴 混淆直角边与对称轴定义 题型一、轴对称图形的识别 1．陆丰市碣石中学有着悠久的历史，今年是碣石中学建校70周年，关于碣石中学的四个字中可以看作是轴对称图形的是（     ）． A．碣 B．石 C．中 D．学 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：沿某条直线对折后，“碣”“石”“学”的直线两旁部分均无法完全重合，不是轴对称图形； “中”沿中间竖直直线对折，两旁部分完全重合，是轴对称图形． 2．下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一观察各选项图形，判断是否存在一条直线使图形沿该直线对折后两部分完全重合即可． 【详解】解： A、图形中箭头方向相反，找不到对称轴，不是轴对称图形； B、 图形沿过圆心的水平直线或竖直直线对折，两部分均能完全重合，是轴对称图形； C、 图形中的斜杠与车辆组合，找不到对称轴，不是轴对称图形； D 、图形中的车辆为侧面且带有斜杠，找不到对称轴，不是轴对称图形． 3．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 题型二、成轴对称的两个图形的识别 4．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可． 【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称， 故选：． 5．如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）    A． B． C． D．   【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断. 【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是   故选：A． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形. 6．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可） 【答案】都是轴对称图形 【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征． 【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征． 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 7．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 8．在广州博物馆里，藏有不少青铜器，其中有明确信息的青铜礼器，是战国时期的件铜编钟，该编钟1975年出土于增城石滩氮肥厂．如图①是编钟的一种．小颖绘制了编钟从正面看到的轮廓如图②所示，她发现绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形， ∴，故A选项正确，不符合题意； 垂直平分，故B选项正确，不符合题意； ，无法判断的度数，故C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 9．如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，，设中边上的高为h，利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，，设中边上的高为h， ∵面积为，， ∴， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， 的最小值为， 故答案为：． 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 10．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先得出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，且， ∴， ∵， ∴． 11．如图，直线表示铁路，，两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，则这样的点的位置有________处． 【答案】 【分析】将实际问题转化为数学问题，然后作点关于直线的对称点，连接，如图所示，由对称性及两点之间线段最短分析得出满足题意的点即可． 【详解】解：要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，即在直线上找一点，使有最小值， 作点关于直线的对称点，连接，如图所示： 由对称性可知，则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段的长， 即连接，与直线的交点就是满足题意的点，如图所示： 综上所述，这样的点的位置有处． 12．如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作点D关于的对称点G，则，当三点共线，且时，取得最小值，推出，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 作点D关于的对称点G，连接， 则，， ∴， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为3． 题型五、求对称轴条数 13．下列图形中，有4条对称轴的图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿着一条直线折叠直线两旁的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，解答即可． 【详解】解：图形1，3，4中各有4条对称轴，图形2中有3条对称轴． 14．如图的方格中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成轴对称图形，则该小正方形的序号是___________，该轴对称图形有___________条对称轴． 【答案】 ② 1 【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合．逐一尝试涂黑四个序号的小正方形即可． 【详解】解：涂黑①、③、④时，都无法找到一条直线让新图形对折后完全重合； 涂黑序号②的小正方形，如图：阴影组成的图形满足轴对称的要求． 涂黑②后得到的轴对称图形，只存在1条直线，沿这条直线对折，图形两侧都能完全重合，因此只有1条对称轴． 15．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 题型六、画轴对称图形 16．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，根据题意作出图形是解答本题的关键． 根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示：与成轴对称的格点三角形一共4个， 故选：B． 17．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是_____． 【答案】5 【分析】此题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有、、、、共5个， 故答案为：5． 18．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】画出△ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可． 【详解】解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为轴对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 题型七、设计轴对称图案 19．如图所示，在“”网格中，有个涂成黑色的小方格，若再从余下的个小方格中随机选取一个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称的性质设计出图案即可，熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：从余下的个小方格中选取个涂成黑色，能使完成的图案为轴对称图案的情形有种，如图， 故选：． 20．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 【答案】 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有种． 21．如图，在的网格中有一格点三角形，在这个网格图中要再画一个格点三角形，使其与关于某条直线对称，则符合条件的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】通过变换对称轴的位置，确定对称格点三角形的个数． 【详解】解：如图，分别以的网格的中间两条直线和两条对角线所在直线为对称轴， 则符合条件的三角形共有4个． 题型八、台球桌面上的轴对称问题 22．如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 23．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 24．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据反射角等于入射角，依次找出小球每次碰到长方形边上的点，得到碰撞点以次为一个周期循环，进而求出第次碰撞对应的点． 【详解】解：根据反射角等于入射角的规律，分析小球的运动路径，依次确定每次碰撞的点位：第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次：从向右上反弹，沿对角线穿过网格，碰到长方形的上边（点右侧的顶边位置）； 第次：从上边的碰撞点向右下反弹，碰到长方形的右边点位置； 第次：从右边的碰撞点向左下反弹，最终落在底边点，和第次的碰撞点完全重合； 小球的碰撞位置以次为一个周期循环出现，计算周期余数： ， 余数为，说明第次碰撞的位置，与一个周期内第次碰撞的位置相同，对应点为． 题型九、轴对称中的光线反射问题 25．如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题关键．延长与交于点，由反射定理可得，结合平行线的性质得到，再利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长与交于点， 由反射定理可得， ，， ， ， ， ， 即太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是， 故选：D． 26．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 27．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反射定律得到，再利用直角三角形的内角和，算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， ． 题型十、折叠问题 28．嘉嘉把按照如图所示的方式进行折叠，得到的线段一定是的（     ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质得到，再根据角平分线的定义即可得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴线段平分， ∴线段一定是的角平分线． 29．把沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则的度数为________． 【答案】/15度 【分析】设，，由折叠的性质可得，，由平角的定义求出，利用三角形内角和定理求出，再结合平角的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 题型十一、最短路径问题 31．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到C方案小于A方案，再根据垂线段的长短进行判断即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和图中所给垂线段长度，可得所引天然气支管道长度最短的是C选项． 32．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 33．如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（     ） A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点 B．过点作直线的垂线，垂足即为点 C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点 D．连接并延长与直线的交点，即为点 【答案】C 【分析】要使最短，根据“两点之间线段最短”可知：作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接 ∴直线垂直平分， ∴， ∵， ∴此时的值最小，最小值为线段的长， 则点即为所作． 题型十二、线段问题 34．如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，若的周长为20，则长为（   ） A．10 B．12 C．20D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长． 【详解】解：∵P点关于，的对称点，， ∴，， ∴的周长， ∵的周长是20， ∴． 故选：C． 35．如图，在中，，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______，的最小值为______． 【答案】 【分析】①利用等边三角形的性质和判定出，即可求解； ②过点作定直线的对称点，连，利用轴对称的性质分析出，求出的长即可． 【详解】①∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②过点作定直线的对称点，连， ∴，， ∴ ∴为等边三角形， ∴为的中垂线，， ∴，连接， ∴，又， ∴，，三点共圆，为直径， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，圆周角性质，三角函数的比值关系等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 36．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，边上的高与交于点E，点F是线段的中点，点P为线段上一动点，连接，，则下列关于周长的说法正确的是（    ） A．点P与点M重合时，的周长最小 B．点P与点N重合时，的周长最小 C．点P与点E重合时，的周长最小 D．点P与点F重合时，的周长最小 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、最短路径问题等知识点，将求三角形周长的最小值转化为求得最小值成为解题的关键．如图：连接，由垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得；由于为定值，则要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可；又，即当A、P、C三点共线时，有最小值，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 题型十三、面积问题 37．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 38．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 39．如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 【答案】 【分析】作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线，结合图形的对称性列式计算即可． 【详解】解：作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线 由题意得：，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：. 题型十四、角度问题 40．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    【答案】/度 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 41．如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 42．如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 解答题 43．按要求解答下列各题： (1)画出关于直线对称的 (2)在直线上作出点，使得的周长最小；（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的特点作图即可； （2）作点A关于直线m的对称点D，连接交直线m于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 44．【情境】2023年3月11日，2023斯诺克6红球世锦赛决赛，丁俊晖以8﹣6击败本土作战的塔猜亚•乌诺，继2016年后第二次夺得冠军．在台球比赛中，球台边也叫“库”，球撞击一次球台边叫做“一库”，球撞击两次球台边叫做“两库”，以此类推… 【建模】（1）在台球桌上也有我们熟悉的数学模型：如图①，在长方形球台内有白球B、红球H两点，从点B出发，击中球台边，反弹击中点H（“一库”）．请画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【应用】（2）若让白球B弹“两库”击中红球H会有_____种情况，请选择一种情况在图②中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【拓展】（3）若让白球B弹“三库”击中红球H会有_______种情况，请在图③中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【答案】 （1）如图①所示： （2）6，如图②⑦: （3）4，如图所示: 【分析】本题考查了轴对称的运用，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，镜面对称，轴对称最短路线问题等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行画图和推理是解此题的关键． （1）按要求作图即可； （2）根据要求画出6种路径即可； （3）根据要求画出4种路径即可． 【详解】解：（1）作点关于的对称点，连接交于，连接，为白球的路径， （2）略 （3）略 45．如图，在中，是上的一点，，是上的两点，将和分别沿，折叠后，得到四边形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，，， ， ． (2)． 【分析】（1）根据折叠可知，，，由此即可证明； （2）根据折叠可知，，根据对应角相等及三角形外角即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ，，， ， ， ． 46．如图，在中，是边上的高． (1)若，请证明：； (2)若，，，点是边上的中点，求的最小值． 【答案】(1)见解答； (2) 【分析】根据等角对等边可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知，等量代换可证； 延长到，使，连接，，根据对称性可知的最小值为，利用可证：，根据全等三角形对应边相等可证：，利用的长即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ，， 是边上的高， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长到，使，连接，， 是边上的高， 是的垂直平分线， ， ， 的最小值为， ，， ， 点是边上的中点， ， 又，， 在和中， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的判定，角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，能将两线段和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键． 47．图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）取点D，使得，构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形解答即可； （2）取点E，使得，，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形，矩形的面积为，符合题意． （3）根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了等腰梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握网格作图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，取点D，使得， 构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形， 则点D即为所求． （2）解：如图所示，取点E，使得， ，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形， 矩形的面积为，符合题意， 则点E即为所求． （3）解：根据题意，得． 48．新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)或 (2)①或；②或 【分析】（1）分两种情况：点M在下方和点M在上方，分别画出示意图，求出的关系式，再根据“奋进角”的定义建立方程求解即可； （2）①由轴对称的性质可得，根据平角的定义可推出，再根据“奋进角”的定义建立方程求解即可；②由轴对称的性质可得，由“奋进角”的定义可推出；设，则，，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点M在下方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或； 如图所示，当点M在上方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或（舍去）； 综上所述，的度数为或； （2）解：①由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ②由轴对称的性质可得， ∵与为“奋进角”，， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， 综上所述，的度数为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $