专题07 逆命题和逆定理及直角三角形 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题07逆命题和逆定理及直角三角形期中复习讲义 1.理解命题、逆命题、逆定理的概念，会写出一个命题的逆命题；能区分命题真假，知道并不是所有真命题的逆命题都是真命题，会判断逆命题是否成立，分清定理和逆定理。 2.掌握直角三角形的定义、内角性质：直角三角形两锐角互余；反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.掌握直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能运用这个定理进行线段计算与证明，熟悉它的逆用。 4.掌握含 30° 角的直角三角形性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，能结合边角关系求解边长。 5.掌握直角三角形全等的判定定理 HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；清楚 HL 只适用于直角三角形，会区分 HL 和普通三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS），规范书写直角三角形全等证明过程。 6.能综合运用直角三角形性质、全等判定进行几何推理、线段和角度计算；会结合等腰、轴对称知识做综合题型。 7.明确易错点：①每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理；②斜边中线定理前提必须是直角三角形；③使用 HL 判定全等时，必须先指明是直角三角形，不能直接对普通三角形使用 HL。 题型 考察方向 难度 题型一 写出命题的逆命题 ★ 题型二 判断是否为互逆命题 ★ 题型三 互逆定理 ★★ 题型四 线段垂直平分线的判定 ★★★ 题型五 直角三角形的两个锐角互余 ★★ 题型六 斜边的中线等于斜边的一半 ★★★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★★ 题型八 用 HL 证全等（HL） ★★★ 题型九 全等的性质和 HL 综合（HL） ★★★★ 题型十 旋转模型 ★★★★ 题型十一 垂线模型 ★★★★ 题型十二 角平分线的判定定理 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 知识点02:直角三角形基本概念 定义：有一个角是直角90的三角形叫做直角三角形。 边角名称：夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。 表示方法：Rt△ABC， ∠C=90 内角特点：直角三角形只有一个直角，另外两个均为锐角。 知识点03:直角三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点04:直角三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点05:线段的垂直平分线 垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 图形性质：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点06:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点07：高频易错点汇总 1.使用 HL 时，忘记标注 “Rt△”，书写格式扣分； 2.混淆：斜边中线等于斜边一半，不是直角边中线； 3.认为所有定理都有逆定理，忽略逆命题必须为真才存在逆定理； 4.直接用 SSA 证明普通三角形全等，混淆 HL 适用范围； 5.等腰直角三角形角度记错，误以为锐角是 60°。 题型一、写出命题的逆命题 1．“等腰三角形是轴对称图形”请写出它的逆命题：___________________________________． 2．命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是（     ） A．三个角相等的是等边三角形 B．三个角不相等的三角形不是等边三角形 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．不是等边三角形的三个角不相等 3．下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 题型二、判断是否为互逆命题 4．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 5．下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．下列命题的逆命题错误的是（    ）. A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．在一个三角形中，等边对等角 D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 题型三、互逆定理 7．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 8．已知定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于．与其互逆的定理是（   ） A．如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形 B．等边三角形的内角都是 C．三个内角不相等的三角形不是等边三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 9．下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 题型四、线段垂直平分线的判定 10．若是△所在平面内的点，且，则下列说法正确的是（    ） A．点是△三边垂直平分线的交点 B．点是△三条角平分线的交点 C．点是△三边上高的交点 D．点是△三边中线的交点 11．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作、和、，始终有，请大家考虑一下伞杆与B、C的连线的位置关系为________． 12．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五、直角三角形的两个锐角互余 13．如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，是高，，则_________． 15．如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 题型六、斜边的中线等于斜边的一半 16．如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 17．如图，分别是的高，M为的中点，，则的周长是_________． 18．如图，交于点为斜边的中点，若，，则和之间的数量关系为（     ） A． B． C． D． 题型七、锐角互余的三角形是直角三角形 19．在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 20．、、为的三个内角，在下列条件中：①，②，③，④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 题型八、用 HL 证全等（HL） 22．如图，能直接用“”判定的条件是（     ） A．， B．， C．， D．， 23．如图，是的中点，平分，若，则的度数为_________． 24．如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型九、全等的性质和 HL 综合（HL） 25．如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为______． 26．如图，于C，，，，则的长为_________． 27．如图，在中，，平分，点D在边上，，则_____ ． 题型十、旋转模型 28．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 29．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 30．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 题型十一、垂线模型 31．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   32．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    33．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 题型十二、角平分线的判定定理 34．如图，过点作于点，于点，若，，则的度数是___________．    35．如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 ____________（用含α、β的关系式表示）． 36．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 解答题 37．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 38．已知：如图，，与相交于点P． (1)求证：． (2)连接，求证：． 39．如图，已知于点，，的延长线交边于点． (1)若，，求的长； (2)线段和有什么关系?为什么? 40．如图，中，是边上的高，是边上的中线，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数与的长． 41．如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 42．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 43．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07逆命题和逆定理及直角三角形期中复习讲义 1.理解命题、逆命题、逆定理的概念，会写出一个命题的逆命题；能区分命题真假，知道并不是所有真命题的逆命题都是真命题，会判断逆命题是否成立，分清定理和逆定理。 2.掌握直角三角形的定义、内角性质：直角三角形两锐角互余；反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.掌握直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能运用这个定理进行线段计算与证明，熟悉它的逆用。 4.掌握含 30° 角的直角三角形性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，能结合边角关系求解边长。 5.掌握直角三角形全等的判定定理 HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；清楚 HL 只适用于直角三角形，会区分 HL 和普通三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS），规范书写直角三角形全等证明过程。 6.能综合运用直角三角形性质、全等判定进行几何推理、线段和角度计算；会结合等腰、轴对称知识做综合题型。 7.明确易错点：①每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理；②斜边中线定理前提必须是直角三角形；③使用 HL 判定全等时，必须先指明是直角三角形，不能直接对普通三角形使用 HL。 题型 考察方向 难度 题型一 写出命题的逆命题 ★ 题型二 判断是否为互逆命题 ★ 题型三 互逆定理 ★★ 题型四 线段垂直平分线的判定 ★★★ 题型五 直角三角形的两个锐角互余 ★★ 题型六 斜边的中线等于斜边的一半 ★★★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★★ 题型八 用 HL 证全等（HL） ★★★ 题型九 全等的性质和 HL 综合（HL） ★★★★ 题型十 旋转模型 ★★★★ 题型十一 垂线模型 ★★★★ 题型十二 角平分线的判定定理 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 知识点02:直角三角形基本概念 定义：有一个角是直角90的三角形叫做直角三角形。 边角名称：夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。 表示方法：Rt△ABC， ∠C=90 内角特点：直角三角形只有一个直角，另外两个均为锐角。 知识点03:直角三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点04:直角三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点05:线段的垂直平分线 垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 图形性质：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点06:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点07：高频易错点汇总 1.使用 HL 时，忘记标注 “Rt△”，书写格式扣分； 2.混淆：斜边中线等于斜边一半，不是直角边中线； 3.认为所有定理都有逆定理，忽略逆命题必须为真才存在逆定理； 4.直接用 SSA 证明普通三角形全等，混淆 HL 适用范围； 5.等腰直角三角形角度记错，误以为锐角是 60°。 题型一、写出命题的逆命题 1．“等腰三角形是轴对称图形”请写出它的逆命题：___________________________________． 【答案】轴对称图形是等腰三角形 【详解】解：“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是轴对称图形是等腰三角形． 2．命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是（     ） A．三个角相等的是等边三角形 B．三个角不相等的三角形不是等边三角形 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．不是等边三角形的三个角不相等 【答案】C 【详解】解：“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3．下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 【答案】D 【分析】先根据逆命题的定义，交换原命题的题设与结论，得到各选项的逆命题，再用初中数学知识判断逆命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题为同位角相等，逆命题为如果有两个角相等，那么这两个角是同位角．相等的角不一定是同位角，因此逆命题是假命题； B、原命题为对顶角相等，逆命题为如果两个角相等，那么它们是对顶角．相等的角不一定是对顶角，因此逆命题是假命题； C、原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形．仅对应角相等不能判定两个三角形全等，因此逆命题是假命题； D、原命题为若，则，逆命题为若，则． ∵相等的两个数的绝对值一定相等， ∴逆命题是真命题． 题型二、判断是否为互逆命题 4．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 5．下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】运用不等式的基本性质即可判断①的原命题和逆命题是否正确； 运用不等式的基本性质先判断出②的原命题是否正确，再判断逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正确；运用直角三角形的性质判断③的原命题正确与否，再判断逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”正确与否，问题即可解答. 【详解】①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题. ②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况. ③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形. 故只有①的原命题与其逆命题都是真命题. 故选A. 【点睛】本题考查判断原命题与逆命题正确与否的问题，首先判断原命题的条件及结论，将其对调即可写出其逆命题是解题的关键. 6．下列命题的逆命题错误的是（    ）. A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．在一个三角形中，等边对等角 D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【答案】A 【分析】根据互逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据相关定理判断即可． 【详解】A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误； B、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的任意一点在线段垂直平分线上，逆命题正确； C、在一个三角形中，等边对等角的逆命题是在一个三角形中，等角对等边，逆命题正确； D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角平分线上，逆命题正确； 故选A． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 题型三、互逆定理 7．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 8．已知定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于．与其互逆的定理是（   ） A．如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形 B．等边三角形的内角都是 C．三个内角不相等的三角形不是等边三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了互逆定理，互逆定理是通过交换原定理的条件和结论而形成的．原定理的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于”，因此互逆定理应为“如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形”． 【详解】解：∵原定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于， ∴互逆定理：如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， 故选：A． 9．下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理． 【详解】解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于，逆命题为三个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，存在逆定理； B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定理； C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题为真命题，存在逆定理； D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理． 题型四、线段垂直平分线的判定 10．若是△所在平面内的点，且，则下列说法正确的是（    ） A．点是△三边垂直平分线的交点 B．点是△三条角平分线的交点 C．点是△三边上高的交点 D．点是△三边中线的交点 【答案】A 【分析】根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上判断即可． 【详解】解：∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， ∵PB=PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上， ∴点P是△三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定．熟练掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 11．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作、和、，始终有，请大家考虑一下伞杆与B、C的连线的位置关系为________． 【答案】垂直 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上，点D在线段的垂直平分线上， ∴根据两点确定一条直线得出直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直． 【点睛】题考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识点，注意：①到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，②两点确定一条直线． 12．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，故①②正确； 无法得到平分，故③错误； 四边形的面积为；故④正确； 故选C． 题型五、直角三角形的两个锐角互余 13．如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：根据直角三角形的性质可得， ， ∴需要补的角的度数是． 14．如图，在中，是高，，则_________． 【答案】 【分析】先求出，可求出的长，再求出的长，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是高， ， ， ， ． 15．如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】过点作于，根据直角三角形的两个锐角互余得到得出，根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时． 题型六、斜边的中线等于斜边的一半 16．如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点为的中点， ， ， ． 17．如图，分别是的高，M为的中点，，则的周长是_________． 【答案】13 【分析】先根据直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵分别是的高，M为的中点，， ∴在中，，在中，． 又∵， ∴的周长． 18．如图，交于点为斜边的中点，若，，则和之间的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵M为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七、锐角互余的三角形是直角三角形 19．在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形判定，根据已知条件求出和的度数，再根据角度判断三角形的形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 又∵三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， 故选：． 20．、、为的三个内角，在下列条件中：①，②，③，④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵、、为的三个内角， ∴， ① ， ， 代入得，即， 是直角三角形； ② ， 设，，， 则， 解得， ， 是直角三角形； ③ ， 设，则，， 代入得， 解得， 最大角， 不是直角三角形； ④ ， ， 是钝角三角形，不是直角三角形； 综上，符合条件的共2个． 21．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 题型八、用 HL 证全等（HL） 22．如图，能直接用“”判定的条件是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵要用“”判定， ∴两个直角三角形要有一条直角边对应相等，且斜边对应相等， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 23．如图，是的中点，平分，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线；构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 24．如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示， ，是的平分线， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 题型九、全等的性质和 HL 综合（HL） 25．如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，根据“”证即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 26．如图，于C，，，，则的长为_________． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 27．如图，在中，，平分，点D在边上，，则_____ ． 【答案】5 【分析】证明，可得，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十、旋转模型 28．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理求出∠A′CB′=30°，然后利用旋转的性质得到BC=B′C，再利用全等三角形的判定和性质得到A′B=A′B′进而求出此题的答案． 【详解】解：如图，连接A′BA′B．    ∵∠A=45°，∠B'=105°， ∴∠A′CB′=180°−45°−105°=30°， ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°后得到△A'B'C， ∴∠B′CB=60°，AB=A′B′=， ∴∠A′CB=60°−30°=30°， ∴∠A′CB′=∠A′CB， 在△A′B′C和△A′BC中 , ∴△A′B′C≌△A′BC， ∴A′B′=A′B=， 故选A． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的有关知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 29．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 【答案】 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 30．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 题型十一、垂线模型 31．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 32．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 33．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型十二、角平分线的判定定理 34．如图，过点作于点，于点，若，，则的度数是___________．    【答案】/度 【分析】根据，，，可得为的角平分线． 【详解】∵，，， ∴为的角平分线． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键． 35．如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 ____________（用含α、β的关系式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 36．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴平分．即：， 同理可得：， 又∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选为：C． 解答题 37．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 【答案】(1)证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， 【分析】（1）先证明，，再利用证明，可得到，则； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 38．已知：如图，，与相交于点P． (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1) 证明：∵, ∴， ∴， 即． ∵， ∴； (2) 证明：连接，延长，交于点F， ∵， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 即． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，再根据“角角边”得出答案； （2）根据全等三角形的性质得，即可得点P在线段的垂直平分线上．再根据，进而得出点A在线段的垂直平分线上，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）略 39．如图，已知于点，，的延长线交边于点． (1)若，，求的长； (2)线段和有什么关系?为什么? 【答案】(1)4 (2)； 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）由全等的性质即可求解； （2）由全等的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：； 理由略． 40．如图，中，是边上的高，是边上的中线，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数与的长． 【答案】(1)证明：是边上的高， ． 是边上的中线， 是的中点． 在中，． ， 是等腰三角形． 点是的中点， （等腰三角形三线合一）． (2)的度数为，的长为 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知可得，根据三线合一，即可得证； （2）根据等边对等角以及三角形外角的性质结合已知可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ． 是的外角， ． ， ，且平分， ． 在中，， 故：的度数为，的长为2． 41．如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图，过点E分别作，垂足分别为点F、G， ∵点E是平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点G， ∵， ∴； (2) 解：补全图形如下： 之间的数量关系为：． 证明如下： 如图，在线段上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵． 【分析】（1）过点E分别作，垂足分别为点F、G，则由角平分线性质定理得，从而可证明，得，再由三角形内角和定理即可求证； （2）依题补全图形即可；在线段上截取，先证明，得；再证明，得，再由即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． 42．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵在与中， ∴ ． (2) 证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $