八年级数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（新教材冀教版）

2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．根据全等图形的定义：两个图形放在一起能够完全重合，是全等图形，符合题意； B根据全等图形的定义：两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意． 2．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根非负，负数没有平方根的性质，化简各选项即可判断对错． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为，即，A错误； B、被开方数，负数没有平方根，无意义，B错误； C、，C错误； D、，计算正确． 3．（3分）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（     ） A．26 B．11 C．8 D．5 【答案】B 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 4．（3分）将分式中a与b的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（     ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】把原分式中的a、b分别用替换，求出替换后的分式即可得到答案． 【详解】解：将分式中a与b的值同时扩大为原来的2倍得： ， ∴分式的值缩小为原来的． 5．（3分）邯郸广府古城是中国历史文化名镇、国家级湿地公园，历史文化底蕴深厚，距今已有2600多年历史，城墙周长4500米．嘉嘉和淇淇来广府古城游玩，他们两个人准备沿城墙环行一周．嘉嘉的速度是淇淇速度的倍，环行完嘉嘉比淇淇少用分钟．设淇淇每分钟行x米，依题意，可列分式方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设淇淇每分钟行x米，则嘉嘉每分钟行米，根据时间等于路程除以速度，结合环行完嘉嘉比淇淇少用分钟列方程即可． 【详解】解：设淇淇每分钟行x米，则嘉嘉每分钟行米， 由题意得，． 6．（3分）已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） 的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式值为0、无意义的条件求，确定分式后求解，再计算． 【详解】解：∵当时，分式值为0， ∴，且， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴， ∴， ∴分式为， ∵当时，分式值为， ∴， ， ， ， ， ∵当时，分式值为b， ∴， ∴． 7．（3分）如图，，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理以及平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∵， ∴，故A错误； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确； C、∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误； D、如图，设与交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和不平行，故D错误． 8．（3分）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．嘉琪设计了下面的方案： 如图，将两根小棒，的中点O固定在一起，将两根木棒的A、B端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得C，D之间的距离即为内径的长度．对于嘉琪的方案，珍珍和亮亮有如下判断，则下列判断正确的是（     ） 珍珍：嘉琪的方案中，必须保证两根小棒的长度相等（即）； 亮亮：根据嘉琪的方案，判定图中三角形全等的依据是． A．只有亮亮的判断正确 B．只有珍珍的判断正确 C．珍珍和亮亮的判断都正确 D．珍珍和亮亮的判断都错误 【答案】A 【分析】由线段中点的定义可得，由“对顶角相等”可得，进而利用“”证明，据此分析判断即可． 【详解】解：∵O为，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 即利用“”可证明， ∴， ∴C，D之间的距离即为内径的长度，该方案中不需要， ∴亮亮的判断正确，珍珍的判断错误． 9．（3分）若分式方程有增根，则的值为（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先由增根使分母为0确定的值，再代入去分母后的整式方程求． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴，即． 原方程去分母，得． 把代入上式，得， ∴． 10．（3分）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 【答案】D 【分析】先根据新定义运算求出的结果，再根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵负数没有平方根和算术平方根，因此排除A、B选项， 又∵， ∴结果的立方根是，D正确． 11．（3分）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴的周长． ∵， ∴的周长为． 故选：A． 12．（3分）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，一元一次方程与几何动点，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P在上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： 则（秒）， 此时， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： 则 ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于2或或16秒时，与全等， 故选：D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）算式与一个实数相乘的结果为有理数，写出一个符合条件的实数m：______________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的减法运算法则求出的结果为，再根据，且2是有理数可得答案． 【详解】解： ， ∵，且2是有理数， ∴是有理数， ∴符合题意 ． 14．（3分）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，分式方程的行程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时；根据距离相等，甲比乙早到1小时，即乙所用时间比甲多1小时，列出方程． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时千米， 乙跑完全程所需时间为小时， 甲跑完全程所需时间为小时； 由甲比乙早到1小时，得， 故答案为：． 15．（3分）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 16．（3分）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为_________，的度数为_________； （2）若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可求得，根据角平分线定义可求得，根据三角形内角和定理可得，根据，可求得，根据计算即可得到，根据计算可得； （2）如图，在上截取，连接，可证，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）如图，在上截取，连接， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）下面是小颖和小轩同学解方程的过程： 小颖 小轩 解：去分母， 得………………第一步 去括号，得………………第二步 化简，得………………第三步 解： 移项，得………………第一步 分式相加，得………………第二步 提公因式，得………………第三步 约分，得………………第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： (1)你选择的是________同学，出错在第______步，错误的原因是________________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)解：选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号． 或选择的是小轩同学，出错在第四步， 错误原因是约分时，分子分母同时除以，没有考虑是否为零． (2)解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验，把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解． 【分析】（1）根据两位同学解分式方程的过程即可得出结果； （2）按去分母、去括号、求解、检验的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号，导致符号错误； 选择的是小轩同学，出错在第四步， 错误原因是约分时未考虑；············3分 （2）解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验，把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解．············7分 18．（8分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． (1)求整式P； (2)求整式M； (3)若整式P的值是4，求此时x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，计算即可； （2）由题意得，即可解答； （3）由（1）知，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得 ；············2分 （2）解：由题意得， 则 ；············4分 （3）解：由（1）知， ∵整式P的值是4， ∴，即， ∴，即此时x的值为．············8分 19．（8分）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，；············2分 （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积；············5分 （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：．············8分 20．（8分）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点H，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分，点F在射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，证明，即可证明； （2）根据三角形内角和求出的值，根据角平分线的定义得到，进而得到，计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分，点F在射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；············3分 （2）解：在中， ∵，， ∴， 又是的平分线， ∴， ∴， ∵于点H， ∴．············8分 21．（9分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如：． (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b； (2)已知且为有理数，则c的值为_________； (3)若，且a，m，n均是正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)3 (3)21或9 【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出的表达式； （2）根据题意可得，即可求解． （3）根据题意，，首先确定的值，通过分析或者，然后即可确定的值． 【详解】（1）解：， ， ．············4分 （2）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， ∴．············6分 （3）解：， ， ∵a，m，n为正整数， ， ∴， ∵为正整数， 或， 或．············9分 22．（9分）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 【答案】(1) (2) (3)方案③最节省费用 【分析】（1）先分别求得甲、乙两个工程队的工作效率，进而可求解； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分别求得方案①和方案③的所付的工程款项，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设完成这项工程的规定日期是x天， 根据题意，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲、乙两队合作1天完成的工作量为；············3分 （2）解：由题意，列方程得，，           化简得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解， ∴．············6分 （3）解：∵， ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴方案③最节省费用．············9分 23．（11分）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边取倒数，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）两边取倒数得，配完全平方求； （2）两边取倒数得，所求式取倒数后配方； （3）三式分别取倒数，相加得，所求式为其倒数． 【详解】（1）解：由知， 两边取倒数得， 即， ∴， ∴；············3分 （2）解：由知， 两边取倒数得， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴．············6分 （3）解：由知、均不为0， 两边取倒数得， 即； 同理，， 三式相加得， ∴， ∴．············11分 【点睛】本题考查“倒数法”与配方法的综合：把已知等式两边取倒数，凑出（或其变形），再用完全平方公式求目标式的值或其倒数；第（3）问把、、看作整体，三式相加后取倒数即得． 24．（12分）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即；············3分 （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴；············6分 （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；············9分 （4）解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形．············12分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B B B A B A B D A D 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（答案不唯一） 14． 15．68 16． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)解：选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号． 或选择的是小轩同学，出错在第四步， 错误原因是约分时，分子分母同时除以，没有考虑是否为零． (2)解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验，把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解． 【分析】（1）根据两位同学解分式方程的过程即可得出结果； （2）按去分母、去括号、求解、检验的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号，导致符号错误； 选择的是小轩同学，出错在第四步， 错误原因是约分时未考虑；············3分 （2）解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验，把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解．············7分 18．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，计算即可； （2）由题意得，即可解答； （3）由（1）知，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得 ；············2分 （2）解：由题意得， 则 ；············4分 （3）解：由（1）知， ∵整式P的值是4， ∴，即， ∴，即此时x的值为．············8分 19．（8分） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，；············2分 （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积；············5分 （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：．············8分 20．（8分） 【答案】(1) 证明：∵平分，点F在射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，证明，即可证明； （2）根据三角形内角和求出的值，根据角平分线的定义得到，进而得到，计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分，点F在射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；············3分 （2）解：在中， ∵，， ∴， 又是的平分线， ∴， ∴， ∵于点H， ∴．············8分 21．（9分） 【答案】(1)， (2)3 (3)21或9 【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出的表达式； （2）根据题意可得，即可求解． （3）根据题意，，首先确定的值，通过分析或者，然后即可确定的值． 【详解】（1）解：， ， ．············4分 （2）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， ∴．············6分 （3）解：， ， ∵a，m，n为正整数， ， ∴， ∵为正整数， 或， 或．············9分 22．（9分） 【答案】(1) (2) (3)方案③最节省费用 【分析】（1）先分别求得甲、乙两个工程队的工作效率，进而可求解； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分别求得方案①和方案③的所付的工程款项，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设完成这项工程的规定日期是x天， 根据题意，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲、乙两队合作1天完成的工作量为；············3分 （2）解：由题意，列方程得，，           化简得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解， ∴．············6分 （3）解：∵， ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴方案③最节省费用．············9分 23．（11分） 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）两边取倒数得，配完全平方求； （2）两边取倒数得，所求式取倒数后配方； （3）三式分别取倒数，相加得，所求式为其倒数． 【详解】（1）解：由知， 两边取倒数得， 即， ∴， ∴；············3分 （2）解：由知， 两边取倒数得， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴．············6分 （3）解：由知、均不为0， 两边取倒数得， 即； 同理，， 三式相加得， ∴， ∴．············11分 【点睛】本题考查“倒数法”与配方法的综合：把已知等式两边取倒数，凑出（或其变形），再用完全平方公式求目标式的值或其倒数；第（3）问把、、看作整体，三式相加后取倒数即得． 24．（12分） 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即；············3分 （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴；············6分 （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；············9分 （4）解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形．············12分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材冀教版八年级数学上册第12~15章。 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（3分）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（     ） A．26 B．11 C．8 D．5 4．（3分）将分式中a与b的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（     ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 5．（3分）邯郸广府古城是中国历史文化名镇、国家级湿地公园，历史文化底蕴深厚，距今已有2600多年历史，城墙周长4500米．嘉嘉和淇淇来广府古城游玩，他们两个人准备沿城墙环行一周．嘉嘉的速度是淇淇速度的倍，环行完嘉嘉比淇淇少用分钟．设淇淇每分钟行x米，依题意，可列分式方程是（     ） A． B． C． D． 6．（3分）已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） 的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 7．（3分）如图，，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（3分）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．嘉琪设计了下面的方案： 如图，将两根小棒，的中点O固定在一起，将两根木棒的A、B端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得C，D之间的距离即为内径的长度．对于嘉琪的方案，珍珍和亮亮有如下判断，则下列判断正确的是（     ） 珍珍：嘉琪的方案中，必须保证两根小棒的长度相等（即）； 亮亮：根据嘉琪的方案，判定图中三角形全等的依据是． A．只有亮亮的判断正确 B．只有珍珍的判断正确 C．珍珍和亮亮的判断都正确 D．珍珍和亮亮的判断都错误 9．（3分）若分式方程有增根，则的值为（     ） A．3 B．2 C． D． 10．（3分）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 11．（3分）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（3分）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）算式与一个实数相乘的结果为有理数，写出一个符合条件的实数m：______________． 14．（3分）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为___________． 15．（3分）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 16．（3分）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为_________，的度数为_________； （2）若，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）下面是小颖和小轩同学解方程的过程： 小颖 小轩 解：去分母， 得………………第一步 去括号，得………………第二步 化简，得………………第三步 解： 移项，得………………第一步 分式相加，得………………第二步 提公因式，得………………第三步 约分，得………………第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： (1)你选择的是________同学，出错在第______步，错误的原因是________________； (2)请写出正确的解答过程． 18．（8分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． (1)求整式P； (2)求整式M； (3)若整式P的值是4，求此时x的值． 19．（8分）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 20．（8分）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点H，求的度数． 21．（9分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如：． (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b； (2)已知且为有理数，则c的值为_________； (3)若，且a，m，n均是正整数，求a的值． 22．（9分）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 23．（11分）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边取倒数，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，直接写出的值． 24．（12分）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材冀教版八年级数学上册第12~15章。 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（3分）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（     ） A．26 B．11 C．8 D．5 4．（3分）将分式中a与b的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（     ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 5．（3分）邯郸广府古城是中国历史文化名镇、国家级湿地公园，历史文化底蕴深厚，距今已有2600多年历史，城墙周长4500米．嘉嘉和淇淇来广府古城游玩，他们两个人准备沿城墙环行一周．嘉嘉的速度是淇淇速度的倍，环行完嘉嘉比淇淇少用分钟．设淇淇每分钟行x米，依题意，可列分式方程是（     ） A． B． C． D． 6．（3分）已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） 的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 7．（3分）如图，，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（3分）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．嘉琪设计了下面的方案： 如图，将两根小棒，的中点O固定在一起，将两根木棒的A、B端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得C，D之间的距离即为内径的长度．对于嘉琪的方案，珍珍和亮亮有如下判断，则下列判断正确的是（     ） 珍珍：嘉琪的方案中，必须保证两根小棒的长度相等（即）； 亮亮：根据嘉琪的方案，判定图中三角形全等的依据是． A．只有亮亮的判断正确 B．只有珍珍的判断正确 C．珍珍和亮亮的判断都正确 D．珍珍和亮亮的判断都错误 9．（3分）若分式方程有增根，则的值为（     ） A．3 B．2 C． D． 10．（3分）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 11．（3分）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（3分）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）算式与一个实数相乘的结果为有理数，写出一个符合条件的实数m：______________． 14．（3分）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为___________． 15．（3分）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 16．（3分）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为_________，的度数为_________； （2）若，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）下面是小颖和小轩同学解方程的过程： 小颖 小轩 解：去分母， 得………………第一步 去括号，得………………第二步 化简，得………………第三步 解： 移项，得………………第一步 分式相加，得………………第二步 提公因式，得………………第三步 约分，得………………第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： (1)你选择的是________同学，出错在第______步，错误的原因是________________； (2)请写出正确的解答过程． 18．（8分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． (1)求整式P； (2)求整式M； (3)若整式P的值是4，求此时x的值． 19．（8分）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 20．（8分）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点H，求的度数． 21．（9分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如：． (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b； (2)已知且为有理数，则c的值为_________； (3)若，且a，m，n均是正整数，求a的值． 22．（9分）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 23．（11分）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边取倒数，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”，利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，直接写出的值． 24．（12分）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $