专题01 动点与外接、内切球归类（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 动点与外接、内切球归类 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 球基础思维1：内切球 椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解 1、 三角形内切圆 2、 类比：三棱锥 1．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 2．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知正方体的棱长为2，点在该正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证平面平面，确定点的轨迹，再求点到轨迹圆心的距离，最后加上半径即可得到的最大值. 【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径. 易证，平面平面，平面， 平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，，，    则，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故，   点到平面的距离为， 圆的半径为，由得，，， 的最大值为.故选：. 3．（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）点、为正四面体的内切球球面上的两个动点，为棱上的一动点，则当取最大值时，（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图将正四面体放入一正方体内，使正四面体棱长为正方体的面对角线，据此可得内切球圆心位置及内切球半径.又注意到当固定时，与球相切时，最大，据此可得答案. 【详解】如图将正四面体放入一正方体内，使正四面体棱长为正方体的面对角线. 设正方体棱长为，则，再设内切球半径为， 则，其中为四面体表面积，则. 易得内切球球心为正方体中心，如下图作出平面关于内切球的截面. 固定时，为使最大，则应使与球相切，即如下图与圆相切， 则，又易得（取等号时），则， 即当最大时，，从而此时. 4．（25-26·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为，，，同理， 内切球与平面相切，切点在上，①， 在等腰梯形中，②，， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则，此棱台的表面积是： ． 题型02 球基础思维2：补形长方体 1.正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝. 2.对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题． 1．（2027·湖南衡阳·一模）已知三棱锥中，面，，，．点是该三棱锥外接球面上的任意一点，则（    ） A．有最大值12，最小值0 B．是定值6 C．是定值3 D．随变化，取值范围为 【答案】B 【分析】由题意可将三棱锥放入长方体中，其中长、宽、高分别为1，1，2，从而可得为三棱锥外接球的直径，求出的值即可得答案. 【详解】因为面，， 可将三棱锥放入长方体中，其中长、宽、高分别为1，1，2，且为长方体的体对角线， 故为三棱锥外接球的直径，则， 所以是定值6． 2．（24-25·湖北武汉·j阶段检测）已知三棱锥中，平面ACD，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A．8π B．12π C．24π D．40π 【答案】A 【详解】在中，，，，所以， 所以. 又平面，所以三棱锥可补成长方体， 为长方体的体对角线，也就是三棱锥外接球直径. 如图，    设三棱锥外接球半径为，则. 所以三棱锥外接球的表面积为：. 3．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：几何法，由线面垂直、直角三角形性质，确定A1C中点是外接球球心，求出半径再算球体积; 方法二：补形法，三条棱两两垂直，补成长方体，长方体体对角线就是外接球直径，直接求半径. 【详解】法一：因为平面ABC，平面ABC，所以，取的中点为，连接，， 在中，．过作，交AC于，则为AC的中点且， 所以平面ABC，连接，因为平面ABC，所以， 在中，，因此，所以， 因此即三棱锥外接球的球心．由题意，，，因此， 则外接球的半径为，则外接球的体积． 法二：把三棱锥补成一个长方体，如图，易知外接球直径为，由题意，，， 则，因此外接球半径为，外接球的体积． 4．（25-26高三·陕西安康·阶段练习）已知，，，是表面积为的球的球面上的四个点，且，，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】把三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球就是三棱锥的外接球，可求，再利用三棱锥的体积公式求值. 【详解】如图， 因为，，，所以可以把三棱锥补成长方体， 则长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 因为长方体外接球的直径为体对角线，设为. 由，所以. 设，则. 所以. 题型03 球重要核心思维：线面垂直型 线面垂直型： 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理） 1.模板图形原理 图1 图2 2. 计算公式 面面垂直型基本图形 一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型， 1．（25-26·宁夏银川·阶段检测）已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接， 则平面. 因为平面，所以， 作，连接，又， 所以四边形是矩形，所以，又， 则，即. 设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为. 因为，所以是正三角形， 由正弦定理得，可得， 所以， 则外接球的表面积为. 2．（25-26高一下·广东湛江·期末）三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定和的外接圆圆心和半径，再根据平面平面和球的性质求出球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】取中点，等边三角形的高， 设是等边三角形的中心，是等腰三角形的外心， 则等边三角形的外接圆半径为，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由正弦定理得等腰三角形的外接圆半径为，所以， 设O是三棱锥的外接球的球心，R是外接球的半径， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， ，平面，所以平面， 由球的性质知平面，平面，所以， 所以在中，由勾股定理得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 3．（25-26高三重庆·阶段检测）已知三棱锥，平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的外心分别为，为线段的中点， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，交于点，利用勾股定理和正弦定理计算半径即可. 【详解】设的外心分别为，为线段的中点， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，交于点， 则为球心，， 则为二面角的平面角， 又平面平面，则，则四边形为长方形， 因为，，所以在中由余弦定理可得， 则， 在和中利用正弦定理得， 则， 则， 则三棱锥外接球的表面积为. 4．（25-26高三·江西九江阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，求出的长，以、为邻边作平行四边形，连接，求出、的长，可知为三棱锥外接球的球心，求出球的半径，结合球体体积公式计算即可. 【详解】过点作交于点， 因为，，，故四边形为矩形， 所以，且，，故， 由勾股定理可得， ，又因为，故，则， 以、为邻边作平行四边形，连接， 则四边形为菱形，所以， 又因为，则为等边三角形，于是得出， 所以为的外心， 又因为平面，平面，且， 由勾股定理可得， 所以，故为三棱锥外接球的球心，且该球的半径为， 所以三棱锥外接球的体积为. 题型04 球技巧应用：两线交心法 表面有等边三角形或者直角三角形：双线交点定心法（特殊三角形圆心垂线交点确定球心法） 1、 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； 1．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是等腰直角三角形，斜边长为分别是的中点，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，证得平面，由是等腰直角三角形，且斜边长为，得到，再由正得到边长为2，其外接圆半径为，结合球的截面圆的性质，求得三棱锥的外接球的半径为，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，因为是等腰直角三角形，且斜边为，所以， 又因为分别是的中点，所以， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为直角三角形， 由是等腰直角三角形，且斜边长为，可得， 因为，所以是边长为2的正三角形，其外接圆半径为， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以球的体积为. 故选：A.    2．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作平面，由线面垂直的性质定理可得为外接圆的圆心，由正弦定理可得，设外接球半径，列式计算可得，再由求得表面积公式计算可解. 【详解】如图，过作平面，交平面于点.连接，，. 因为平面，平面，平面， 所以，，. 在，，中，，为公共边， 所以. 所以，即为外接圆的圆心. 因为平面.所以三棱锥的外接球的球心在直线上. 设三棱锥的外接球的球心为，连接. 令三棱锥的外接球的半径为，则. 在中，由正弦定理可得. 在中，. 在中，， 即，解得. 所以外接球的表面积. 3．（25-26高三·广西南宁·阶段检测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定三棱锥外接球球心的位置，进而求出外接球半径，再利用球的表面积公式求球的表面积. 【详解】如图，取的中点E，连接， 因为，所以，， 所以，又，所以． 分别取与的外心，易知点分别在上， 过点G，F分别作两平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心． 由已知可得，，连接OE，易得， 所以，则，则， 所以在中，， 即三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 4．（25-26·广东东莞·期中）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，．E，F分别是，的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用侧棱长表示出，再在侧面中，利用余弦定理列方程求出侧棱长，然后可得三条侧棱两两垂直，通过补形法即可求解. 【详解】设，则，， 因为， 所以，则， 在中，因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 可知，即，所以，，两两垂直， 可以把三棱锥补形棱长为的正方体，可知球即为正方体的外接球， 其体对角线即为外接球的直径，即，， 所以球的表面积． 题型05 球模型：二面角模型 二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法 (1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1 (2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2； (3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O. 1．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）在三棱锥中，若，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，，结合已知条件即可得到即为二面角的平面角；判断出外接球球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上，设和外心分别为，，连接，，，，结合三角形外心性质及直角三角形即可求出半径，代入球的面积公式求解即可. 【详解】取中点，连接，. 在等边中，为中点，所以，. 在等边中，为中点，所以，. 所以即为二面角的平面角，所以. 设外接球的球心为，则球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上. 设和外心分别为，，连接，，，. 则平面，，；平面，，. 所以，所以. 在中，. 在中，，. 即三棱锥外接球的半径为， 所以. 2．（2026·福建泉州·模拟预测）在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，确定即为二面角的平面角，然后根据余弦定理求出，进而求出球的半径和表面积. 【详解】在菱形中，已知，，都是等边三角形， ，取的中点为，连接，则. 所以即为二面角的平面角，. 所以. 由余弦定理得. 所以，因此三棱锥所有棱长：， 所以三棱锥为正四面体. 所以棱切球的半径为，那么球的表面积为. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据面面垂直的性质，结合直角三角形的性质判断球心的位置，进而列方程求得半径，再利用球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以是以为斜边的等腰直角三角形， 设的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且. 又因为二面角的大小为， 所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设为， 如图，连接，设球的半径为， 所以有， 所以三棱锥外接球的表面积为. 4．（25-26高三·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补形为直三棱柱，利用直三棱柱外接球与三棱锥外接球相同的性质，先求底面正三角形外接圆半径，再结合棱柱高计算外接球半径，最终求出外接球表面积. 【详解】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 题型06 堆叠球 堆叠球是立体几何内接外切球的高频难点，核心是多球依次相切且均与同一几何体的面相切（如正四面体 、正四棱锥内的内切球 + 多层相切小球、正方体内相外切且均内切于正方体的双球等）， 解题关键是将空间问题平面化（轴截面 、 截面转化）+ 利用相似三角形 或 几何比例求半径 + 结合球的表面积 或者体积公式计算，以下结合真题总结通用规律和典型题型解法。 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图： 显然，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 因为，则，显然，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，即， 设球与球相切于点S，则， 设球的半径为，同理可得，即，， 所以， 故选：B 2．（25-26·安徽阜阳·阶段检测）如图，这是某重器上一零件的结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体的三个面均相切，最小球与中等球和正四面体的三个面均相切.若AB=15，则该模型中4个中等球的表面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据棱长求出正四面体的内切球（最大球）的半径，再结合与正四面体同一顶点的三个面都相切的球的位置性质，利用两球相切的球心距与半径的关系求出单个中等球的半径，最后计算4个中等球的表面积之和得到结果. 【详解】如图所示，设为最大球的球心，大正四面体底面的中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接， 则，a，，， 最大球所对应的正四面体的高， 因为，所以，所以， 因为大正四面体的棱长为，所以，， 中等球与四面体三个面、大球相切，设其半径为，对应的四面体的高为， 则中等球与大球的球心距为，也等于，又同上可得， 所以，整理得 所以该模型中4个中等球的表面积之和S=4S中=. 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若，则该模型中一个小球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设大球的球心为，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，高为，的中点为，连接. 棱长，则，， 正四面体的高. 因为，所以，所以. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的表面积为. 4．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在一个棱长为4的正方体封闭容器中，放入两个半径为的小球，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征可得两个球的球心在正方体的一条体对角线上，进而列出方程求解即得. 【详解】如果一个小球与正方体的公共顶点的三个面都相切，球心在这个点为端点的正方体体对角线上，由条件得正方体体对角线长， 则另一个小球与这条体对角线的另一端点所在的三个面都相切，该球球心也在这条体对角线上，如下图所示    要使球半径最大，两个半径相等的小球必相切，因此一个球的球心到这条体对角线一个端点距离最小值， 球心到与球相切的三个面的距离为，根据相似比相等可得， 代入可得，解得， 所以小球半径的最大值为. 题型07 翻折型球 1．（25-26湖南长沙·阶段检测）如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点．记三棱锥的体积为，其外接球的体积为．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得、，确定三棱锥的高，三角形面积公式求出的面积，结合三棱锥体积公式计算；根据平面，可先求的外接圆半径，再求出外接球半径，最后用球的体积公式计算，进而求比值. 【详解】正方形折叠后，重合于，可得：， ， 由原正方形的直角得：，故， 又，且平面，因此平面， 对：， 故为直角三角形，面积， 三棱锥体积：； 平面，且为直角三角形，斜边为， 因此：外接圆半径，球心到平面的距离， 设外接球半径，则， 外接球体积：， 因此. 2．（25-26·辽宁大连·阶段检测）已知菱形的边长为，．将沿对角折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知三棱锥为正四面体，由的截面圆半径、球心到截面圆距离和球半径构成的直角三角形求出球的半径，进而得到表面积. 【详解】已知菱形边长为，， 可得，折叠后， 因此三棱锥的所有棱长均为，即该三棱锥是正四面体. 设的外接圆圆心为，连接,则平面,三棱锥的外接球球心必在上， 连接并延长交于，则为中点，则， 则, 设三棱锥的外接球半径为，由，得， 解得，所以外接球的表面积. 3．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可. 【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 4．（2026·天津滨海新区·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，分别是和的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥，则下列说法中，正确的个数为（   ） ①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为9． ②取线段中点，则翻折过程中，三棱锥与四棱锥体积比为定值． ③翻折过程中，直线始终与平面平行． ④当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设分别为的中点，当平面，求解体积判断①；到平面的距离为，再结合等体积转化求解判断②；证明，再根据线面平行的判定定理即可判断③；由已知可推得平面平面，设球心为，的外心为，点为等腰梯形的外心，可得四边形为矩形，进而求出即半径的长，即可得出外接球的表面积判断④. 【详解】如图1，设分别为的中点，则， 对于①：当平面平面时，四棱锥的体积最大， 因为为的中点，且为等边三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 此时体积，故①错误； 对于②，因为线段中点， 在翻折过程中，到平面的距离为， 因为是边长为4的等边三角形，分别是的的中点， 所以，， 所以， ， 所以翻折过程中，三棱锥与四棱锥体积比为，是定值，故②正确； 对于③，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面，即翻折过程中，直线始终与平面平行，故③正确； 对于④，当时，由，可知，即， 又，且平面，则平面， 又平面，则平面平面， 设四棱锥的外接球球心为，的外心为，则平面， 如图2，易知点为等腰梯形的外心，则平面， 则四边形为矩形，且， 从而有， 从而该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为，故④正确. 题型08 不规则几何体与球 翻折型求球，主要解决翻折前与翻折后的几何体的形状与点线面关系，可以借助几何体形状转化为前边这些常见的求解方法。 1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，再由棱锥的体积公式计算即可； 【详解】由题意正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合， 所以正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设为 所以，解得， 故选：C. 2．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取正方形的中心分别为，则球心在线段上，设，半径为，然后利用外接球的定义，列方程求解即可． 【详解】取正方形的中心分别为， 由题意知球心在线段上，连接， 设，则，设半径为， 则，则， 故几何体的外接球的表面积． 3．（25-26高一下·广东汕头·期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则不正确的是（ ） A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B．鳖臑的四个面均为直角三角形 C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 【答案】A 【分析】应用线面垂直结合新定义判断A，B，应用体积公式计算判断C，应用外接球性质判断D. 【详解】对于A，如图，由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误， 对于B，如图由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确， 对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以阳马的体积，鳖臑的体积， 所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确， 对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点， 所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体， 所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确. 4．（25-26高二下·陕西西安·期末）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形与几何体对称性确定底面矩形外接圆圆心、中点与上下中点连线底面，构造等腰梯形算出长度；设球心到底面距离、外接球半径，分球心在线段上、延长线上两种情况，结合列方程求解，第一种情况无解，第二种求出与，最终代入球表面积公式算出结果. 【详解】如图，连接，设. 因为四边形为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心，连接. 则平面，分别取的中点. 根据几何体的对称性可知，直线交于点． 连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以. 连接，在与中，易知. 所以梯形为等腰梯形，所以，且． 设，球的半径为，连接， 当在线段上时，由球的性质可知， 易得，则，此时无解． 当在线段的延长线上时，由球的性质可知： ，解得，所以， 所以球O的表面积. 题型09 组合体与球 因为图形所限制，一般其况下，两个组合体结合处的平面，恰好是外接圆一个小圆（或者大圆）上。 1．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r，弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h，根据已知得出内切球的半径，求出棱柱的高，再利用，进而利用体积公式求解即可. 【详解】如图，设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r， 弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h， 因为，，则，， 因为，所以， 设内切球与圆弧BC所在曲面相切于点N， 则，则，，， 所以， 所以．    故选：C 2．（25-26高一下·重庆·期中）图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为，可得该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上，且,由几何关系可得,解方程即可求解. 【详解】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为， 设正六棱锥的上顶点为,正六棱柱底面的中心为, 连接，则,正六棱柱底面 该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上， 且, 设该几何体外接球的半径为,则,解得：, 所以球的体积为 3．（第三部分 检测小卷 第八周 检测小卷27）如图所示的锥体的底面是半径均为2的圆B与圆C部分重叠后所形成的轴对称图形，O为BC中点，A为锥体的顶点且AO垂直于底面，动点P，Q满足，若，，设该几何体的体积为，其外接球的体积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出底面面积，再利用锥体体积公式计算，根据对称性，球的大圆截面过平面ABC，再利用正弦定理即可得到半径，根据体积公式得出体积即可. 【详解】如图①，记圆B与圆C交于点M，N，则四边形BMCN为菱形，， 则，， 故， 两扇形的面积之和为． 由，得P、B、C、Q四点共线，且，， 又，所以，结合，可知， 故． 因为AO垂直于底面，平面ABC，所以平面ABC垂直于底面， 又BC为底面的对称轴，所以平面ABC必为此锥体的外接球的大圆截面， 如图②所示，设点G为外接球球心，外接球半径为R， 由正弦定理可得， 解得， ，故．    故选：C. 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体性质结合球的特征计算求解得出，最后应用球的表面积公式计算即可. 【详解】如图，由题意可知旋转角度为，设上下正四边形的中心分别为，， 连接，则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点， 因为棱长为4，可知，，． 过点B作于点C，则，，四边形为矩形，即，， 则， 即该“四角反棱柱”外接球的半径， 故该“四角反棱柱”外接球的表面积为， 故选：A． 题型10 动点与球最值：距离最值 球的动点最值是立体几何内接外切球的高频难点，核心围绕球面上动点到定点 、 定线、 定面的距离最值、动点构成线段 、角 、 面积与 体积等等的最值展开，解题关键是确定球心与半径，结合空间几何性质（垂线段最短、直径最长）、截面转化、函数最值求解，从以下方面入手： 1.距离最值思维核心：球面上一点P到定点A的距离，满足∣OA−R∣≤PA≤OA+R（O为球心，R为球半径），即连线段过球心时取最值简称为“近日点、远日点”（“近日”点：OA−R，“远日”点：OA+R） 2、线面距离转化：球面上动点到定线 或者定面的距离最值，转化为球心到定线或者定面的距离d与球半径R的组合： 3、到定面：最小值=∣d−R∣，最大值=d+R； 到定线：要先求球心到定线的距离d，再由勾股定理得动点到定线的距离最值为d2±R2​（这个地方需结合截面验证）。 4、截面化归思想：所有空间动点最值，过球心和动点 、 定点、 定线作截面，将空间问题转化为圆的动点最值（平面几何），利用圆的性质（如弦长、切线、圆心距）求解。 5、 轨迹定位法：若动点满足额外约束（如PM=k、∠MPN=θ），先确定动点在球面上的轨迹是小圆（截面圆），再在小圆上求最值。 1．（2026·新疆·二模）桌面上有以下四种几何体，设P是几何体表面上的一点，任意转动几何体（始终与桌面保持接触），则点P到桌面的距离最大的几何体是（    ） A．棱长为1的正方体 B．表面积为的球 C．轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D．体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 【答案】D 【分析】逐一求出选项ACD中几何体外接球直径及选项B中球的直径即可. 【详解】对于A，棱长为1的正方体外接球直径为，点P到桌面的距离最大值为； 对于B，表面积为的球直径为2，点P到桌面的距离最大值为2； 对于C，轴截面是边长为1的正方形的圆柱外接球直径为，点P到桌面的距离最大值为； 对于D，设体积为且轴截面为直角三角形的圆锥底面圆半径为，则， 解得，因此此圆锥外接球直径为3，点P到桌面的距离最大值为3. 2．（26-27高二上·辽宁大连·阶段检测）若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的直径的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意，将平面的方程化为的形式，从而得到该平面的法向量及经过的点坐标，再应用向量法求点面距，结合球体的特征确定球直径的最小值． 【详解】由平面的方程可化为， 则平面的一个法向量为，且过点. 又球经过点，则. 所以点到平面的距离为. 所以球直径最小值为． 3．（25-26高一下·河北沧州·期末）若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得， 所以， 故，两点间距离的最大值为. 4．（25-26·云南文山·阶段检测）已知A，B，C三点在球O的球面上，且，若球O上的动点D到点A，B，C所在平面的距离的最大值为，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直角的外接圆半径，再结合球上点到平面的最大距离与球半径、球心到平面距离的关系，利用球的截面性质列方程求出球半径，最后代入球体积公式计算. 【详解】因为，故为直角三角形，斜边为其外接圆直径， 由勾股定理得， 因此外接圆半径. 设球心到平面的距离为，根据球的截面性质，有， 球上动点到平面的最大距离为，由题意得，即， 将、代入截面性质公式得， 展开整理得，解得. 则球的体积. 题型11 动点与球：体积最值 立体几何中与球相关的体积最值问题，核心围绕多面体（棱锥、棱柱、四面体等）内接于球或球与多面体相切展开，本质是通过确定球的核心参数（球心、半径），结合空间几何性质将体积最值转化为高或者 底面积 与距离的最值，再利用基本不等式、函数单调性、几何边界条件求解， 最值转化，容易出问题的地方是这几方面 1. 混淆 “球心到平面的距离”：求点到平面的最大距离时，需先判断球心在平面内侧 、 外侧，若平面过球心，则d=0，最大距离为R； 2、 忽略底面积的最值约束：若底面为动面，不可直接将高取最值，需先利用基本不等式求底面积的最大值，再结合高的最值求体积； 3、误将 “截面圆半径” 当作球半径：多面体的底面外接圆是球的截面圆，其半径r≤R，需用R2=d2+r2换算，不可直接用r代替R； 4、基本不等式使用条件：利用a+b≥2ab​时，需保证、均为正数且和为定值，否则需用函数单调性求解（如立方和函数y=x3+(k−x)3在x=0或x=k时取边界值）。 1．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推得平面，根据体积最大值求出三棱锥的高，利用直角三角形的勾股定理计算即得. 【详解】如图，因，，则的面积为， 要使三棱锥的体积取得最大值，需使平面，设直线交平面于点，连接， 则即三棱锥的高，由三棱锥体积公式解得， 在中，由余弦定理，，即， 再由正弦定理，，解得，设球的半径为，则， 在中，，解得，故球的表面积为. 2．（26-27高三上·山东·阶段检测）由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为（）的液体，在正方体自由旋转的过程中，若液体形成的几何体可能是三棱锥，则x的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，液体能形成三棱锥，本质是液面可截出一个以正方体顶点为顶点、三条侧棱沿正方体棱的 “墙角型” 三棱锥，再根据三棱锥体积公式，结合正方体的性质判断三棱锥体积的最大值，进而得出结论． 【详解】由题意，正方体自由旋转时液面为水平面，等价于用一个平面截正方体， 截出的几何体为三棱锥，该三棱锥的顶点是正方体的一个顶点， 三条侧棱分别在从该顶点出发的三条正方体棱上； 设侧棱长为，，则液体形成体积， 当且仅当时，． 3．（25-26高一下·辽宁大连·期末）在三棱锥中，底面是等边三角形，⊥，二面角的大小为.若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．12 D．24 【答案】B 【分析】先求出外接球半径，作出辅助线，得到外接球球心，根据二面角大小和外接球半径得到，并得到点到平面的距离最大值，得到体积最大值. 【详解】设三棱锥外接球的半径为，则，解得， ⊥，设的外心为，则是棱的中点， 设等边的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线， 两垂线交于点，则即为三棱锥的外接球球心， 因为二面角的大小为，所以， 设，则，， 于是，， ， 连接，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得，所以， 因为⊥，所以当时，点到平面的距离最大， 此时，且， 其最大距离为，其中， 所以三棱锥的体积最大值为. 4．（25-26·湖北鄂州阶段检测）设、、、是同一个半径为5的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为16，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得外接圆半径，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，即可得结果． 【详解】不妨设，设，则，所以， 设的外接圆的圆心为，半径为，则， 则球心到平面的距离， 当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为. 题型12 内切与外切混合型 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中锥体与内切球的关系：(V为几何体的体积，S为多面体的表面积，r为内切球的半径) 1．（24-25高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为P，若球的体积为，则四棱锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用球的体积公式求出球半径，再结合几何体的结构特征求出正方体棱长，利用等积法求出内切球半径即可得解. 【详解】令球的半径为，由球的体积为，得，解得， 记对角线交点为，由对称性得位于一条直线上，设正方体棱长为， 在中，，， 在中，，则，解得， 在中，，解得， 四棱锥是一个底面边长为6，高为9，侧棱长为的正四棱锥，斜高， 四棱锥的表面积， 设四棱锥的内切球半径为，则， 即，解得，则， 所以四棱锥的内切球的表面积为. 故选：B 2．（2026·河北保定·模拟预测）在边长为 2 的菱形ABCD 中， 沿对角线 BD 将△ABD 折起得到三棱锥，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的关键是折叠问题（菱形沿对角线BD折起形成三棱锥），需通过坐标系法确定各点位置，再利用外接球球心到各顶点距离相等的性质求解半径． 【详解】折叠前：菱形边长为，，故、为等边三角形，， 设中点为，则，，且． 建系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面方向为轴， 得，，，设折叠后，由得， 由，，，故，解得， 代入得，故， 设外接球球心，由得；由得，解得； 由得，解得， 球心，半径，故外接球表面积． 3．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）球O内切于侧棱长为2的正三棱柱（与五个面均相切），球与球O以及三棱柱同一顶点的三个面均相切，则球的半径__________． 【答案】 【分析】确定球的半径,利用两球相切关系求球的半径,进而利用位似关系建立关于的方程并求解. 【详解】如图所示， 正三棱柱的高（侧棱长）为 .因为球 内切于该三棱柱，与上、下底面均相切， 所以球 的直径等于三棱柱的高. 球 与三棱柱的三个侧面也相切，则球 在下底面上的投影圆（即下底面正三角形的内切圆）半径为 . 设正三角形 的边长为 ， 根据正三角形内切圆半径公式可得. 正三角形 的外接圆半径（顶点 到下底面中心 的距离）为： 设 为下底面 的中心，由于球心 在正三棱柱的中心轴线上，且到顶面的距离为 . 在 中： ， 球 与顶点 处相交的三个面（下底面 和两个侧面 、）均相切. 球 也与这三个面均相切，且与球 外切. 因此球心 必在线段 上，设球 的半径为 ， 则两球心距 ， 顶点 到球心 的距离 ， 由两球位似可得，即， 整理得， 所以. 4．（25-26高一下·安徽合肥·期末）若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得. 【详解】如图： 过圆锥的旋转轴作轴截面， 因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设为. 取中点，连接，则点在线段上，且. 由题意，，所以，所以， 所以，. 所以该圆锥的侧面积为. 题型13 返璞归真：定义型 当几何体不规则，或者所给的数量关系不特殊时，可以考虑直接用球的定义法。 1.定球心：外接球，球心到接点的距离相等且为半径； 2.利用球心到截面小圆距离，与小圆半径和球的半径构成勾股数组 3.对于球的定义，可以借助空间几何坐标关系求解：球面上点到球心的距离是定值（半径） 1．（25-26·陕西西安·期中）已知四面体中，，平面平面，平面平面，，过点B作，，分别交，于点M，N．设三棱锥，四棱锥的外接球半径分别为，，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】对于三棱锥，由平面平面，平面平面，,平面，可知平面，再由，可知平面,又，从而得到，再根据，从而得到平面，故，最后再利用三角形外心作面的垂线找到球，计算出；对于四棱锥，通过三棱锥的分别会发现，故四边形四个顶点在以线段为直径的圆上，再取中点,作平面的垂线，找到球心，计算出，最后求出的最大值. 【详解】因为平面平面，平面平面， ,平面， 所以，平面，故 又平面， 所以，平面平面，平面平面， ,平面, 所以，平面, 平面， 所以，， 由于,,, 所以，平面，故, 在中，取中点,作平面的垂线交于，则 由于为直角三角形，,又， 故,为斜边的中点，那么, 又在中, , 所以，即点为三棱锥外接球球心，， 在四边形中，，故四边形四个顶点在以线段为直径的圆上，取中点,作平面的垂线交于，则, 由于为直角三角形, ,又， 故,为斜边的中点, 所以，, 故点为四棱锥的外接球球心，, 平面平面，平面平面 又平面平面 所以，平面, 平面, 所以， 所以， 即， 设(为参数,)，则 ，， 所以，的最大值为. 2．（25-26高三·北京·阶段检测）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为______ 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，建立空间直角坐标系，通过球心到点的距离建立方程即可求解球心坐标，进而求解外接球半径. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示坐标系 因为几何体的下底面边长为2，几何体的高为， 因此，，，，，，，， 根据对称性，几何体的外接球球心一定在上底面中心和下底面中心的连线上，即球心一定在轴上， 设球心的坐标为，外接球半径为， 在中， 在中，， 因此，解得， 所以， 故几何体的外接球的表面积. 3．（2026·河南·模拟预测）在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】由三棱锥的性质结合已知条件求出，构造空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用正三角形的性质求出重心坐标，进而设圆心坐标，利用三棱锥外接球的性质构造方程求出半径，进而利用球的面积公式求解． 【详解】已知，则是等边三角形， 面积为， 三棱锥的体积，解得， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 等边三角形的外接圆圆心为，设外接球球心为， 则， ，则，解得， ， 外接球的面积． 4．（25-26高三·四川自贡·阶段检测）在四面体ABCD中，，且，则该四面体ABCD外接球的体积_________． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用等量关系求出球心坐标，进而求得外接球半径即可求体积. 【详解】由题得：，，以为原点建系如图所示， 则，，，设， 则，，其中 因为，，所以①， 由，整理得②， 联立①②得：，，所以， 设外接球球心为，半径为，则，， ，， 因为，所以，解得， 又 ，所以，解得：，则， 因为，所以，解得：， 则球心，半径， 所以该四面体ABCD外接球的体积为. Jieshu 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 动点与外接、内切球归类 题型脑图•核心考法搭建 球基础思维1：内切球 不规则几何体与球 球基础思维2：补形长方体 组合体与球 球重要核心思维：线面垂直型 动点与球最值：距离最值 球技巧应用：两线交心法 动点与外接、内切球归类 动点与球：体积最值 球模型：二面角模型 内切与外切混合型 堆叠球 返璞归真：定义型 翻折型球 考法深研·解题技能进阶 题型01球基础思维1：内切球 点方法技巧 椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解 一、三角形内切圆 11.1 1 SMBC SMBD+SADBC+SMDC=rC+ra+rb=r (a+b+c)=r= 2SMABC 2 2 2 2 a+b+c B 二、 类比：三棱锥 1/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 1 1 Vp-4c-Vo-nc+Vo-c 3 3 3 (SABCD+SMBC 3 →P= 3V D-ABC SARCD+SMARC+SMCD+SMABD 1.(25-26高三下湖南长沙阶段检测)已知在正三棱合ABC-AB,C1中，AB=6,4B=2,此正三棱合存 在内切球，则此正三棱台的高为（) A.1 B.√2 c.√5 D.2 2,(25-26高二上湖北襄阳期中)已知正方体ABCD-ABCD,的棱长为2，点P在该正方体的内切球表 面上运动，且满足DP/平面ABC,则AP的最大值为() A. 3 B·6 6 C. D.26 3.(26-27高三上，湖北荆州阶段检测)点M、N为正四面体ABCD的内切球球面上的两个动点，T为棱 AB上的一动点，则当∠MTN取最大值时，cos∠MTN=() A号 9 c 02 4,(25-26湖北武汉阶段检测)在正三棱合ABC-ABC中，AB=2,AB>AB,侧棱A4与底面ABC所 成角的余弦值为 3 ·若此三棱合存在内切球（球与棱合各面均相切），则此棱合的表面积是() 2 C. 3v5 4 04 题型02球基础思维2：补形长方体 点方法技巧 1.正方体的棱长为a,球的半径为R,则： ①若球为正方体的外接球，则2R=: ②若球为正方体的内切球，则2R=a: ③球与正方体的各棱相切，则2R=a. 长方体的长、宽、高分别为，b,c,则外接球直径=长方体对角线，即：2R=, 2对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法（构造长方体）解决·外接球的直径等于 长方体的体对角线长.即2R=Va+b+C(长方体的长、宽、高分别为ab、9.秒杀公式：R=三 棱锥的三组对棱长分别为x、y、).可求出球的半径从而解决问题. 2/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,(2027湖南衡阳一模)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=2.点 M是该三棱锥外接球面上的任意一点，则MP+MC（) A.有最大值12，最小值0 B.是定值6 C.是定值3 D.随M变化，取值范围为[0,6] 2.(24-25湖北武汉阶段检测)已知三棱锥A-BCD中，BC⊥平面ACD,AC=1,AD=V3,CD=2 ,BC=2,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（) A.8π B.12π C.24π D.40π 3.(25-26高三黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，在三棱锥A-ABC中，AA⊥平面ABC,AB⊥BC, 44=2.AB=BC= 2。则此三棱维的外接球体积为() A A·2 B·36m C·9r D.5 一元 6 4.(25-26高三陕西安康阶段练习)已知P,A,B,C是表面积为29π的球0的球面上的四个点，且 PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,PA=2,PB=3,则三棱锥P-ABC的体积为（) A.4 B.8 C.12 D.24 题型03球重要核心思维：线面垂直型 点方法技巧 线面垂直型： 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是 「，满足正弦定理) 1模板图形原理 3/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 2 PC R=2 r:其中2CD 2. sin A 计算公式 面面垂直型基本图形 一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型， 1. (25-26宁夏银I川阶段检测)已知三棱锥P-ABC中，若PA⊥平面ABC,AB=AC=BC=PA=2,则 三棱锥P-ABC外接球的表面积为() A·4r 。号 C.56x 3 D. 2.(25-26高-下.广东湛江期末)三棱锥P-ABC中，△PAC是边长为2V3的等边三角形，AB=BC=2 平面PAC⊥平面ABC,则该三棱锥的外接球的表面积为() A.16π B.20π C.24z D.32π 3.(25-26高三重庆阶段检测)已知三棱锥P-ABC,平面PAB1平面ABC,PA=PB=4,AB=4V3 ∠ACB=120°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()】 A.96元 B.80m C.64π D.48π 4·(25-26高三江西九江阶段检测)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC∥AD AB⊥AD,PA=AB=V3,BC=2,AD=3,则三棱锥P-BCD外接球的体积为() A B 4π 32π A ·3 B·43元 C·36r D.3 题型04球技巧应用：两线交心法 点方法技巧 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 表面有等边三角形或者直角三角形：双线交点定心法（特殊三角形圆心 垂线交点确定球心法) 1、包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、等边或者直角：(1)等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心 1,(25-26高三上山西大同阶段检测)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上， PA=PB=AB,△ABC是等腰直角三角形，斜边BC长为2V2,E,F分别是PA,PC的中点，∠BEF=90°，则 球O的体积为()】 4. 8√21元 B.112V6m 27 27 C·26m D·4N2π 2,(25-26高二下浙江嘉兴期末)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2,AC=√2 ,∠ABC=45° 则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为() A·4 8号 C·5m 。 3,(25-26高三·广西南宁阶段检测)在三棱锥A-BCD中，△ABD, △BCD均为等边三角形.BD=2V3 ,AC=3,则该三棱锥外接球的表面积为（） 13π 26元 52π A·4元 B·3 C. 3 0. 3 4.(25-26广东东莞期中)如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形.PA=PB=PC ·E,F分别是PA,AB的中点，EC·EF=O,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为() A·6 . -元 3 c.6 D·42m 题型05球模型：二面角模型 5/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点方法技巧 二面角型，多采用两个外心垂线交线定球心法 ()选定一个面，定外接圆的圆心O1 (2)选定另一个面，定外接圆的圆心O; (3)分别过O1作该底面的垂线，过O作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O. 1.(25-26高三下江苏泰州开学考试)在三棱锥S-ABC中，若SA=AB=BC=SC=AC=2,二面角 2π S-AC-B为3，则三棱锥g-ABC外接球的表面积为() 8π B.3 25π C.4 24π D. 5 2.2025福走泉州模拟预测在蒸形ABCD巾.已知M8=25B1D-子沿D格，BCD折起得 到三棱锥C'-ABD,使二面角C'-BD-A的余弦值为3，若球0与三棱锥C'-ABD的各条棱均相切，则 球0的表面积为() A.6π B.12π C.18π D.24元 3,(2026山西忻州模拟预测)在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=√2 且二面角P-AB-C的大小为90°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为() A智 16π 64π B·4 C.3 0.3 4.(25-26高三安徽阜阳阶段检测)在平行四边形ABCD中，AD=V2AB=V2BD=2√2，现将△BCD 沿BD折起，使二面角C-BD-A的大小为6O°，则三棱锥C-ABD外接球的表面积为() 28π A·20元 B·28π 。号 D.3 题型06堆叠球 点方法技巧 堆叠球是立体几何内接外切球的高频难点，核心是多球依次相切且均与同一几何体的面相切（如正四面 体、正四棱锥内的内切球+多层相切小球、正方体内相外切且均内切于正方体的双球等) 解题关键是将空间问题平面化（轴截面、截面转化）+利用相似三角形或几何比例求半径+结合 球的表面积或者体积公式计算，以下结合真题总结通用规律和典型题型解法。 1.(2025甘肃白银模拟预测)已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球O是该四棱锥的内切球，球 O2与球O相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球O与球O相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切， 6/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 球O2的半径大于球O的半径，则球O与球0的表面积之比为（) A·7-43 B.97-565 c.6-35 8 D. 7-185 32 2.(25-26安徽阜阳阶段检测)如图，这是某重器上一零件的结构模型，中间最大球为正四面体的内切 球，中等球与最大球和正四面体的三个面均相切，最小球与中等球和正四面体的三个面均相切.若AB=15, 则该模型中4个中等球的表面积之和为() A.4 5π 675π 675π C.32 D.128 3.(2026安徽模拟预测)如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、 正四面体的三个面均相切若AB=12,则该模型中一个小球的表面积为（) B A.6π B.V6π C.2W5π D.8元 4·(25-26高二下·浙江阶段检测)在一个棱长为4的正方体封闭容器中，放入两个半径为”的小球，则” 的最大值为() A.1 B.3 C.3-V5 D.23-2 题型07翻折型球 点方法技巧 7/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26湖南长沙阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且 AE=2,BF=1, 将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P.记三棱锥P-DEF的体积为Y =(） 其外接球的体积为y·则立 (1) (2) A. 5W5π 8.25v5x 4 4 c.255 D. 25vV5元 8 24 2,(25-26辽宁大连阶段检测)已知菱形ABCD的边长为V2,∠BAD=60°.将AABD沿对角BD折起， 折起后A,C两点的距离为√2，则折起后所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为() A.3π B.9元 C.2π D.23π 3.(25-26高一下浙江期中)如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将△ACD沿直线AC折起至 △ACP处，使得点P在平面ABC上的射影在AE上若三棱锥P-ABC的外接球表面积为8π，则P到平面 ABC的距离为() R 4 A.3 16 B.9 C.g D.1 4.(2026天津滨海新区模拟预测)如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、E分别是AB和AC 的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P-BCED,则下列说法中，正确的个数为 () ①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为9， ②取线段AD中点F,则翻折过程中，三棱锥B-CEF与四棱锥P-BCED体积比为定值， ③翻折过程中，直线BC始终与平面PDE平行 52 ④当PB=√10时.该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为 D D D 8/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型08不规则几何体与球 点方法技巧 翻折型求球，主要解决翻折前与翻折后的几何体的形状与点线面关系，可以借助几何体形状转化为前边 这些常见的求解方法。 1·(24-25高二上·辽宁抚顺期中)如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接 15+5W5 联、内切球、内棱切球都存在并且三球球心重合已知某正二十面体的棱长为1，体积为2，则孩 正二十面体的内切球的半径为（) A.3*6 8. 5+√5 4 4 c. V3+15 D. V5+V5 12 12 2,(26-27高二上·江西南昌阶段检测)如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而 成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2 ,该几何体的高为√3，则该几何体外接球的表面积为() G H 7π A·3 8. 25π 3 c.28x 49π 3 D. 3 3.(25-26高一下，广东汕头期末)堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术商 功》·如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）·如图2，再沿堑堵的一顶点 与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为警臑.则不正确的是( 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 堑堵 阳马 鳖臑 图1 图2 A·阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B.鳖臑的四个面均为直角三角形 C,阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D.堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 4,(25-26高二下陕西西安期末)中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建 筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形， EFIIAB,AB=2EF=2,△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A,B,C,D,E,F都在球O的球 面上，则球O的表面积为（) D 图1 图2 11π 11π 11π A·8 B.6 11元 ·4 D.2 题型09组合体与球 点方枝巧 因为图形所限制，一般其况下，两个组合体结合处的平面，恰好是外接圆一个小圆（或者大圆)上。 1.(25-26高三全国二轮复习)如图，由面直三棱柱中AB=AC-3∠B4C-号，且直线B4C分 别与圆弧BC相切于点B,C,若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（) A C B B A.6-2π 3 8.12-7m 3 C.6-2v3m 3 D.12-23m 2.(25-26高一下重庆期中)图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长 周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋它的 主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为() 图1 图2 π 6 C·32 0·16元 3,(第三部分检测小卷第八周检测小卷27)如图所示的锥体的底面是半径均为2的圆B与圆C部分重 叠后所形成的轴对称图形，O为BC中点，A为锥体的顶点且AO垂直于底面，动点P,Q满足 BC=PB=CO,若C=2PAQ设该九何体的体积为K,其外接球的体积为5，则 ---0- B A.8r-V,=12 B.12%-V3=24 C.18Y-V2=36 D.12y-3y2=16 4·(2025陕西咸阳模拟预测)取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个 多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”.图中“四角反棱柱”的棱 长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（) A.(32+8V2)元 B.2√2元 C.(8+2V2)元 D.(8+16√2)元 题型10动点与球最值：距离最值 点方法技巧 球的动点最值是立体几何内接外切球的高频难点，核心围绕球面上动点到定点、定线、 定面的距离最值、动点构成线段、角、面积与体积等等的最值展开，解题关键是确定 球心与半径，结合空间几何性质（垂线段最短、直径最长）、截面转化、函数最值求解， 从以下方面入手： 1.距离最值思维核心：球面上一点P到定点A的距离，满足|OA-RL≤PA≤OA+R(0为球 心，R为球半径)，即连线段过球心时取最值简称为“近日点、远日点”(“近日”点： 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA-R,“远日”点：0A+R) 2、线面距离转化：球面上动点到定线或者定面的距离最值，转化为球心到定线或者定面 的距离d与球半径R的组合： 3、到定面：最小值=【d-R|,最大值=d+R: 到定线：要先求球心到定线的距离d,再由勾股定理得动点到定线的距离最值为d2士R2 (这个地方需结合截面验证)。 4、截面化归思想：所有空间动点最值，过球心和动点、定点、定线作截面，将空间问 题转化为圆的动点最值（平面几何)，利用圆的性质（如弦长、切线、圆心距）求解。 5、轨迹定位法：若动点满足额外约束（如PM=k、∠MPN=0),先确定动点在球面上的轨 迹是小圆（截面圆），再在小圆上求最值。 1·(2026新疆二模)桌面上有以下四种几何体，设P是几何体表面上的一点，任意转动几何体（始终与 桌面保持接触)，则点P到桌面的距离最大的几何体是() A.棱长为1的正方体 B.表面积为4π的球 9π C.轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D,体积为8且轴截面为直角三角形的圆锥 2.(26-27高二上辽宁大连阶段检测)若向量i=(4,B,C)是平面α的一个法向量，且平面a经过点 (x,%,zo),则平面α的方程为A(x-)+B(y-%)+C(z-)=0.已知球M经过点(3,4，-2)，且与平 面2x+y-2z=2相切.则球M的直径的最小值为() A.4 B.V27 C.26 D.2N3 3.(25-26高一下，河北沧州期末)若球O被一个平面截得的截面圆的面积为5π，且球心0到该平面的距 离为2，设A为球O的球面上的动点，B为截面圆圆周上的动点，则A,B两点间距离的最大值为() A.V30 B.5+5 C.V35 D.6 4,(25-26云南文山阶段检测)已知A,B,C三点在球0的球面上.且AC⊥BC,AC=2W2,BC=2,若 球O上的动点D到点A,B,C所在平面的距离的最大值为V6+V5,则球O的体积为() A.16π B.24π C.8v6π D.246π 题型11动点与球：体积最值 点方法技巧 立体几何中与球相关的体积最值问题，核心围绕多面体（棱锥、棱柱、四面体等)内接于 球或球与多面体相切展开，本质是通过确定球的核心参数（球心、半径），结合空间几何 性质将体积最值转化为高或者底面积与距离的最值，再利用基本不等式、函数单调性、 几何边界条件求解， 最值转化，容易出问题的地方是这几方面 1.混淆“球心到平面的距离”：求点到平面的最大距离时，需先判断球心在平面内侧 外侧，若平面过球心，则d=0,最大距离为R: 12/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2、 忽略底面积的最值约束：若底面为动面，不可直接将高取最值，需先利用基本不等式 求底面积的最大值，再结合高的最值求体积： 3、误将“截面圆半径”当作球半径：多面体的底面外接圆是球的截面圆，其半径 r≤R,需用R2=d2+r2换算，不可直接用r代替R; 4、基本不等式使用条件：利用a+b≥2ab时，需保证、均为正数且和为定值，否则需用函 数单调性求解（如立方和函数y=x3+(k-x)3在x=0或x=k时取边界值）。 1·(26-27高三上·河北沧州阶段检测)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在以O为球心的球面上，若 3 AB=BC=V3:∠ABC= 且三棱锥p-ABC的体积的最大值为3 ， 则球，的表面积为(】 B·4π C·16π D·64π 2.(26-27高三上·山东阶段检测)由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不 计)，注入体积为x(0<x<1)的液体，在正方体自由旋转的过程中，若液体形成的几何体可能是三棱 锥，则x的最大值为() 1 1 1 A·6 B·4 C.3 D 3.(25-26高一下辽宁大连期未)在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是等边三角形，AP⊥PC,二面角 5π P-AC-B的大小为6若三棱锥p-ABC外接球的表面积为112π则该三棱锥p-ABC体积的最大值为 () A.6 B.12 C.12V5 D.24 4.(25-26湖北鄂州阶段检测)设A、B、C、D是同一个半径为5的球的球面上四点，△ABC为等腰直 角三角形且面积为16，则三棱锥D-ABC体积的最大值为() 32 0.3 题型12内切与外切混合型 点方法技巧 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多 面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合， 其中锥体与内切球的关系：”-专”W为几何体的体积，S为多面体的表面积，上为内切球 的半径) 1·(24-25高-下重庆北碚期中)如图为一个正方体ABCD-ABCD与一个半球O构成的组合体，半球 O的底面圆与正方体的上底面ABCD的四边相切，球心O与正方形AB,CD的中心重合，将此组合体重 新置于一个球O中（球O未画出），使正方体的下底面ABCD的顶点均落在球O的表面上，半球O1与球O 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1331 内切.设切点为P,若球o的体积为6π，则四棱锥P-ABCD的内切球的表面积为（) A.(44+8V10)元 B.(44-8V10)元 C.(52+8N22)元 D.(52-8W22)元 2.(2026河北保定模拟预测)在边长为2的菱形ABCD中， ∠BAD= 3'沿对角线BD将△ABD折起 得到三棱锥/-BCD若B.CD-)则三棱锥-BCD外接球的表面积为《) A.9 52π 16π 14π B.3 C·5m D.3 3.(26-27高三上河北廊坊开学考试)球O内切于侧棱长为2的正三棱柱ABC-ABC(与五个面均相 切)，球O与球O以及三棱柱同一顶点的三个面均相切，则球O的半径r= 4. (25-26高一下·安徽合肥期末)若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则 该圆锥的侧面积为。 题型13返璞归真：定义型 点方法技巧 当几何体不规则，或者所给的数量关系不特殊时，可以考虑直接用球的定义法。 1.定球心：外接球，球心到接点的距离相等且为半径； 2.利用球心到截面小圆距离，与小圆半径和球的半径构成勾股数组 3对于球的定义，可以借助空间几何坐标关系求解：球面上点到球心的距离是定值（半径） 1,(25-26陕西西安期中)已知四面体A-BCD中，AD=4,平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面 BCD,BC⊥CD,过点B作BM⊥AC,BN⊥AD,分别交AC,AD于点M,N.设三棱锥A-BMN, 四棱锥B-CDNM的外接球半径分别为片，5，则+22的最大值为 2·(25-26高三北京阶段检测)如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上 底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何 体的高为√3，则该几何体外接球的表面积为 14/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 3.(2026河南模拟预测)在三棱锥P-ABC中，AB=BC=AC=2,点P在平面ABC内的射影为棱AB 的中点，三棱锥P-ABC的体积为1，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 4. (25-26高三四川自贡阶段检测)在四面体ABCD中，AB=V3,AD=BC=1,CD=V6,且 ∠BAD=∠ABC= 2 ,则该四面体ABCD外接球的体积 Jieshu 15/15