专题01 数列通项公式的求法17种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 数列通项公式的求法17种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 观察法 1.核心逻辑 观察数列前若干项，分别看符号、分子、分母、增减、平方、幂次规律，写出一个通项；小题可以代入验证。正负交替用或控制符号。 2.解题步骤 ①分开观察：符号、分子、分母； ②分别写出各部分的表达式，组合； ③代入前几项检验；图形点数题，先列出前几项再找规律。 3.易错提醒 只看局部规律；符号搞错；图形数列数错点数；通项答案不唯一，写出一个合理即可。 1．（2026高二·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·江西·期中）数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·陕西西安·阶段检测）已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 4．【多选】（2026高二·安徽阜阳·阶段检测）数列，…的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数. （1）； （2）； （3）. 题型02 等差等比定义求通项 1.核心逻辑 递推变形得到后项减前项为常数（等差）；后项比前项为非零常数（等比）。 等差：；等比：。 2.解题步骤 ①对递推式变形，证明（等差）或（等比）； ②读出首项、公差/公比； ③套公式写通项。 3.易错提醒 等比数列漏掉；变形只验证前两项，没有对任意成立；正负项忽略符号。 6．（26-27高三·辽宁·阶段检测）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：． 7．（26-27高三·安徽·开学考试）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 8．（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 9．（2026·广东汕头·模拟预测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026高三·河南南阳·开学考试）已知正项数列中，，，，则______，______． 题型03 由an与Sn的关系求通项 1.核心逻辑 。 已知或者，利用作差消得到的递推；求出表达式，带回检验，满足就合并，不满足写分段。 2.解题步骤 ①令求； ②，写出，两式相差消去； ③整理得到递推，判断等差/等比； ④检验是否符合得到的式子，决定写分段还是合并。 3.易错提醒 直接，忽略；不作检验，把不满足的强行并入通项。 11．（2026·湖南永州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 12．（26-27高三·天津和平·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（     ） A．9 B．21 C．45 D．93 13．（26-27高三·广东深圳·开学考试）设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知数列的前n项和为，满足，则（     ） A．11 B．31 C．61 D．81 16．（2026高三·全国·专题练习）若是数列的前项和，已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 17．（2026高二·江西上饶·期中）对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2028 D． 题型04 因式分解 1.核心逻辑 递推或式子得到二次型等式，因式分解得到相邻两项关系；正项数列直接舍去负根。 2.解题步骤 ①移项整理为二次等式； ②因式分解，得到； ③根据数列各项正负舍去不合理因式； ④得到等差或可累乘递推，求通项。 3.易错提醒 不看正项条件保留负的因式；因式分解出错。 18．（2026高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 19．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知正数数列，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 20．（2026·江西·模拟预测）已知各项为正数的数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 21．（2026高三·安徽池州·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和. 22．（2026高三·福建泉州·期中）已知数列和均为正项数列，数列的前项和为，且满足， (1)求数列和的通项公式； (2)将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，求数列的前100项和. 题型05 累加法求通项 1.核心逻辑 适用于，差是关于的函数。 · 左右累加，中间抵消：。 2.解题步骤 ①变形为； ②依次写出的式子； ③左右两边分别相加，裂项/等差等比求和； ④得到，检验。 3.易错提醒 累加项数搞错，只加到；求和计算错误；忘记带回。 23．（2026高三·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则的通项公式为________． 24．（2026高一·上海·期末）在数列中，已知，且，则______． 25．（2026高二·辽宁·期中）在首项为1的数列中，则______ 26．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 题型06 累乘法求通项 1.核心逻辑 适用于，比是关于的函数。 中间约分。 2.解题步骤 ①化为； ②依次写出； ③左右连乘，约分； ④，检验。 3.易错提醒 项数搞错；约分不干净；漏掉首项。 27．（2026高二·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 28．（2026高二·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 29．（2026高三·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 30．（2026高二·湖北恩施·阶段检测）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 31．（2026高二·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 题型07 构造法求通项 1.核心逻辑 一阶线性递推：，构造，解出，则为等比数列。 也可以处理，双递推。 2.解题步骤 ①设待定系数，对比原式求出； ②证明新数列为等比，写出新数列通项； ③回代解。 3.易错提醒 待定系数计算错误；分不清公比；构造完忘记回代求原数列。 32．（2026高二·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 33．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 34．（2026高二·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．已知数列满足，，，则通项公式______ 36．（2026高三·广东·阶段检测）在数列中，，且，则的通项公式为_________． 题型08 同除以指数 1.核心逻辑 递推形如；两边同除以，构造新数列，转化为可以累加法或者再构造等比。 2.解题步骤 ①等式两边同时除以指数； ②令，整理与关系； ③求，还原。 3.易错提醒 除以指数幂的时候指数写错；不会识别指数型递推。 37．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 38．（2026高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为__________. 39．（山东省淄博第五中学2025-2026学年高二学期期中数学试题）已知数列满足，，则数列的通项公式为___________ 40．（2026高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________. 题型09 取倒数求通项 1.核心逻辑 分式递推，两边取倒数，得到为等差或可构造等比。 2.解题步骤 ①两边取倒数，拆成； ②识别新数列是等差或等比； ③求出，再取倒数得到。 3.易错提醒 变形时分母拆分出错；忽略。 41．（2026高二·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 42．（2026·山东济宁·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 43．（2026高三·内蒙古赤峰·阶段检测）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 44．（2026高二·福建宁德·阶段检测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 45．（2026高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，设的前n项和为，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 题型10 不动点法求通项 1.核心逻辑 分式线性递推 ；解特征不动点方程。 两个不同不动点：为等比； 重不动点：为等差数列。 2.解题步骤 ①写出不动点方程，求解不动点； ②按一重根/两个不同根构造新数列； ③求新数列通项，回代。 3.易错提醒 分不清重根、双不动点两种模型；不动点计算错误。 46．（2026高二·江西九江·期末）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 47．（26-27高二·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 48．在数列中，，且，求其通项公式． 题型11 对数变换法 1.核心逻辑 正项数列，递推为幂次形式；两边取对数，把幂次降为乘法，转化等差/等比。 2.解题步骤 ①各项为正数，等式两边同时取对数； ②得到与的递推； ③求出对数形式通项，再还原指数得到。 3.易错提醒 数列有负数不能取对数；对数运算性质误用。 49．设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有． 50．（2026高三·江苏盐城·期中）已知数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型12 周期数列 1.核心逻辑 递推推导出，为周期；求大项，对取模。 2.解题步骤 ①算出前若干项，找出周期； ②求：计算除以周期的余数； ③余数为0对应最后一个周期项。 3.易错提醒 算错周期；余数为0处理错误。 51．（26-27高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 52．（26-27高三·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 53．（26-27高二·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 54．（2026高二·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 55．（2026高二·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 56．（2026高二·辽宁鞍山·期中）若数列的前项和为，且满足，，，则的值为(    ) A．0 B．3 C．4 D．5 题型13 等和数列 1.核心逻辑 递推形如，两项之和为函数；向后写一式作差，得到隔项递推（奇数项一组、偶数项一组）。 2.解题步骤 ①写出；两式相减得； ②分开求奇数子列、偶数子列通项； ③合并或者写分段通项。 3.易错提醒 直接当成普通等差，不区分奇偶子列。 57．（2026·湖南永州·模拟预测）已知数列满足，则____________． 58．（2026高三·江苏·期末）若数列满足，（），则______. 59．（2026·山西太原·模拟预测）数列满足，则___________. 60．（2026高三·福建龙岩·期末）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（    ） A．99 B．103 C．107 D．198 题型14 等积数列 1.核心逻辑 ，两项乘积为函数；再写一式相除，得到隔项关系；正项可以取对数转为等和。 2.解题步骤 ①写出；两式相除，得到； ②奇偶子列分别为等比； ③分别求奇数项、偶数项。 3.易错提醒 除法运算时分母不为零；不区分奇偶。 61．已知，，求． 题型15 前n项积型 1.核心逻辑 是前项积，则。 2.解题步骤 ①，； ②，； ③检验是否满足。 3.易错提醒 忽略条件；把积直接当成和。 62．（2026高二·安徽阜阳·期末）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．11 B．18 C．19 D．37 63．（2026高二·江苏苏州·期中）记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 64．（2026高三·山西运城·期中）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 65．（2026高三·云南昭通·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（   ） A． B． C． D． 66．（2026·黑龙江·模拟预测）已知为等比数列的前项积，若，且（    ） A． B． C． D． 67．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 题型16 正负相间讨论、奇偶讨论型 1.核心逻辑 递推对奇数和偶数表达式不一样；分开处理奇数子列、偶数子列，得到分段通项。 2.解题步骤 ①令为奇数，推导奇数项子数列；令为偶数推导偶数项子数列； ②分别写出奇、偶的通项； ③结果写分段形式。 3.易错提醒 不做分段，强行写成统一表达式；奇偶下标换算出错。 68．（2026高三·湖南常德·期末）已知数列满足首项，，则数列的前2n项的和为_____________． 69．数列满足，前16项和为508，则__． 70．（2026高三·黑龙江·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，． (1)若数列满足，求的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求． 71．（2026高三·广东·阶段检测）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和. 72．（2026高三·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 题型17 构造常数列解决递推数列通项公式 1.核心逻辑 变形递推式，得到，即为常数列，，快速解。常见：。 2.解题步骤 ①对原式变形，整理出前后相等的新数列； ②则； ③解方程解。 3.易错提醒 看不出常数列模型；变形移项出错。 73．（2026高二·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 74．（2026高三·广东惠州·期中）已知正项数列满足且， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列通项公式的求法17种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 观察法 1.核心逻辑 观察数列前若干项，分别看符号、分子、分母、增减、平方、幂次规律，写出一个通项；小题可以代入验证。正负交替用或控制符号。 2.解题步骤 ①分开观察：符号、分子、分母； ②分别写出各部分的表达式，组合； ③代入前几项检验；图形点数题，先列出前几项再找规律。 3.易错提醒 只看局部规律；符号搞错；图形数列数错点数；通项答案不唯一，写出一个合理即可。 1．（2026高二·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时代入各选项检验即可. 【详解】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 2．（2026高二·江西·期中）数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分子：，规律为. 分母：，规律为. 所以通项可以为 3．（2026高二·陕西西安·阶段检测）已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过逐项验证即可判断. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误， 对于D，，符合，故正确. 4．【多选】（2026高二·安徽阜阳·阶段检测）数列，…的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由于该数列的奇数项为负，偶数项为正， 故数列，…各项的符号可以用或表示，不能用， 又各项分母分别为，，，，…，故该数列各项的分母为， 故排除B选项，AC正确； 又该数列的奇数项为负，偶数项为正，也可用分段函数的形式表示，即，D正确. 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） 通项公式为，第项的点数为； （2） 通项公式为，第项的点数为； （3） 通项公式为，第项的点数为 【详解】（1）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （2）设第项的点数为， 因为，，，， 所以该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （3）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： 题型02 等差等比定义求通项 1.核心逻辑 递推变形得到后项减前项为常数（等差）；后项比前项为非零常数（等比）。 等差：；等比：。 2.解题步骤 ①对递推式变形，证明（等差）或（等比）； ②读出首项、公差/公比； ③套公式写通项。 3.易错提醒 等比数列漏掉；变形只验证前两项，没有对任意成立；正负项忽略符号。 6．（26-27高三·辽宁·阶段检测）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知，， 所以 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以， 故. （2）略 7．（26-27高三·安徽·开学考试）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 【答案】A 【详解】题意知是首项为，公差为3的等差数列， 因为，所以，即， 当时，， 又因为各项均为正数，则. 8．（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的定义，得到数列为等差数列，求得，得到，结合裂项法求和，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． 9．（2026·广东汕头·模拟预测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列递推公式推出数列是等差数列，求出数列的通项，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 所以． 10．（2026高三·河南南阳·开学考试）已知正项数列中，，，，则______，______． 【答案】 2 【分析】先根据已知递推关系式列方程组，求得的值，然后将已知递推关系式化简、变形，得到数列是首项为，公比为2的等比数列， 进而得到，最后利用累乘法求得． 【详解】由，得，消去， 得，则． 由，得， 又，所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以， 所以当时，， 经检验当时上式也成立， 所以． 故答案为：；. 题型03 由an与Sn的关系求通项 1.核心逻辑 。 已知或者，利用作差消得到的递推；求出表达式，带回检验，满足就合并，不满足写分段。 2.解题步骤 ①令求； ②，写出，两式相差消去； ③整理得到递推，判断等差/等比； ④检验是否符合得到的式子，决定写分段还是合并。 3.易错提醒 直接，忽略；不作检验，把不满足的强行并入通项。 11．（2026·湖南永州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】因为，所以， 作差可得，即， 又，代入可得， 所以数列从第二项起为公比是2的等比数列， 所以. 12．（26-27高三·天津和平·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（     ） A．9 B．21 C．45 D．93 【答案】C 【分析】先利用与的关系，得到，即可证明是公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为，所以当时，， 则，化简得到， 所以是公比的等比数列， 当时，，即，得到， 所以. 13．（26-27高三·广东深圳·开学考试）设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，； 当时，由， 得， 两式相减得，所以， 又不适合上式，所以的通项公式为. 所以. 14．（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得 ，再根据求得. 【详解】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. 15．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知数列的前n项和为，满足，则（     ） A．11 B．31 C．61 D．81 【答案】D 【分析】根据数列的前项和为与的关系，利用相减法得递推关系式，根据递推关系式求解，从而得的值. 【详解】因为，所以， 则当时，，相减得， 即，所以， 又当时，，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 16．（2026高三·全国·专题练习）若是数列的前项和，已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，将进行转化，再构造新的数列，求出的通项公式，最后利用分组求和，求出. 【详解】解：由题意得，当时,，， 因为，所以， 设，则，所以， 则，设，则， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 因此，所以，即， 当时，，因此，， 所以， 即， 化简整理得. 17．（2026高二·江西上饶·期中）对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2028 D． 【答案】C 【分析】根据新定义利用作差法求得，再由等差数列前项和公式计算求解. 【详解】由已知，所以， 所以， 时，， 两式相减得， 所以，也适合，所以是等差数列， 所以 所以. 题型04 因式分解 1.核心逻辑 递推或式子得到二次型等式，因式分解得到相邻两项关系；正项数列直接舍去负根。 2.解题步骤 ①移项整理为二次等式； ②因式分解，得到； ③根据数列各项正负舍去不合理因式； ④得到等差或可累乘递推，求通项。 3.易错提醒 不看正项条件保留负的因式；因式分解出错。 18．（2026高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 【答案】A 【分析】根据给定的递推公式，结合，求出数列的通项公式，从而得解. 【详解】当时，，解得， 当时，， 作差得， 整理得， 因为，所以，所以， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 故． 19．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知正数数列，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因式分解，从而可推导得，再利用累乘法计算数列的通项公式；（2）根据裂项相消法计算数列的前项和. 【详解】（1）∵， ∴， 又，∴，即． 又， 且，∴ （2），∴，， 又， ∴. 20．（2026·江西·模拟预测）已知各项为正数的数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系即可求出结果； （2）利用错位相减法即可求出结果. 【详解】（1）， 两式相减得：， 由于，则， 当时，，得， ，则， 所以是首项和公差均为2的等差数列，故． （2）① 所以② 由得：， 所以 ． 21．（2026高三·安徽池州·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和. 【答案】(1) (2)9089 【分析】（1）根据题意，由与的关系，即可得到数列是等差数列。从而得到其通项公式； （2）根据题意，由分组求和即可得到结果. 【详解】（1）依题意，当时，解得， ，当时，有，作差得： ， ， ， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， . （2）由（1）得，，又，同时， . 所以的前100项和为9089. 22．（2026高三·福建泉州·期中）已知数列和均为正项数列，数列的前项和为，且满足， (1)求数列和的通项公式； (2)将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，求数列的前100项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，即可求出数列的通项公式，再根据，即可求出的通项公式； （2）通过计算发现数列前项中与数列中相同的项共有项，即为数列中前项的偶数项，根据题意可知，前项为数列的前项中剔除与数列相同的项剩余的项，和数列中的前项中剔除与数列相同的项后剩余的项，再根据等差数列前项和公式和等比数列前项和公式，利用分组求和即可求出结果. 【详解】（1）解：因为 当时， 又，所以， 当时，因为， 所以 两式相减，可得 所以， 又，所以. 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即； 又，所以； （2）解：由（1）可知，当时，， 又，所以 ， 所以数列前项中与数列中相同的项共有项，即即为数列中前项中的偶数项， 将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则前项为数列的前项中剔除与数列相同的项剩余的项，和数列中的前项中剔除与数列相同的项后剩余的项， 所以数列的前100项和为： . 题型05 累加法求通项 1.核心逻辑 适用于，差是关于的函数。 · 左右累加，中间抵消：。 2.解题步骤 ①变形为； ②依次写出的式子； ③左右两边分别相加，裂项/等差等比求和； ④得到，检验。 3.易错提醒 累加项数搞错，只加到；求和计算错误；忘记带回。 23．（2026高三·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】利用累加法计算可得. 【详解】因为，， 所以， 即，，，，， 所以， 即，则， 当时也成立，所以， 故答案为：． 24．（2026高一·上海·期末）在数列中，已知，且，则______． 【答案】 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ． 故答案为：. 25．（2026高二·辽宁·期中）在首项为1的数列中，则______ 【答案】 【分析】先用累加法求出，再用错位相减法求和结合即可解出. 【详解】因为， 所以， ， ， ， 以上各式相加得：， 令，① ，② 错位相减：有，， 即， 所以， 又因为，所以有，所以, 检验时，符合上式，所以. 故答案为： 26．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 题型06 累乘法求通项 1.核心逻辑 适用于，比是关于的函数。 中间约分。 2.解题步骤 ①化为； ②依次写出； ③左右连乘，约分； ④，检验。 3.易错提醒 项数搞错；约分不干净；漏掉首项。 27．（2026高二·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 28．（2026高二·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 29．（2026高三·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 30．（2026高二·湖北恩施·阶段检测）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 31．（2026高二·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 题型07 构造法求通项 1.核心逻辑 一阶线性递推：，构造，解出，则为等比数列。 也可以处理，双递推。 2.解题步骤 ①设待定系数，对比原式求出； ②证明新数列为等比，写出新数列通项； ③回代解。 3.易错提醒 待定系数计算错误；分不清公比；构造完忘记回代求原数列。 32．（2026高二·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 33．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 34．（2026高二·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 35．已知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【分析】根据题中递推关系构造两个等比数列，联立方程求解通项公式； 【详解】因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为3， 因此①， 又因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 因此②， ① ②两式相减可得. 故答案为：. 36．（2026高三·广东·阶段检测）在数列中，，且，则的通项公式为_________． 【答案】 【分析】利用待定系数法，设，变形得出，对比题干中的等式，求出、的值，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式. 【详解】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 题型08 同除以指数 1.核心逻辑 递推形如；两边同除以，构造新数列，转化为可以累加法或者再构造等比。 2.解题步骤 ①等式两边同时除以指数； ②令，整理与关系； ③求，还原。 3.易错提醒 除以指数幂的时候指数写错；不会识别指数型递推。 37．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 38．（2026高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 39．（山东省淄博第五中学2025-2026学年高二学期期中数学试题）已知数列满足，，则数列的通项公式为___________ 【答案】 【分析】由已知可得，利用为等差数列求的通项公式. 【详解】由得， 故为等差数列，公差为1，首项为1， 所以 所以. 故答案为： 40．（2026高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________. 【答案】 【分析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算. 【详解】解法一：设，整理得，可得， 即，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：， 整理得，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即， 当时，则 ， 故， 显然当时，符合上式，故. 故答案为：. 题型09 取倒数求通项 1.核心逻辑 分式递推，两边取倒数，得到为等差或可构造等比。 2.解题步骤 ①两边取倒数，拆成； ②识别新数列是等差或等比； ③求出，再取倒数得到。 3.易错提醒 变形时分母拆分出错；忽略。 41．（2026高二·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 42．（2026·山东济宁·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 43．（2026高三·内蒙古赤峰·阶段检测）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，由，得，故数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，则， 所以数列的前n项和为. 故选：B 44．（2026高二·福建宁德·阶段检测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 45．（2026高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，设的前n项和为，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法及等比数列通项公式求得，然后利用等比数列求和公式求得，进而求解即可. 【详解】由，得，即， 因此， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，所以的前n项和为， 所以. 故选：C 题型10 不动点法求通项 1.核心逻辑 分式线性递推 ；解特征不动点方程。 两个不同不动点：为等比； 重不动点：为等差数列。 2.解题步骤 ①写出不动点方程，求解不动点； ②按一重根/两个不同根构造新数列； ③求新数列通项，回代。 3.易错提醒 分不清重根、双不动点两种模型；不动点计算错误。 46．（2026高二·江西九江·期末）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，，； (2)证明：由， 又， 故数列是以为首项、为公比的等比数列. (3)证明：由（2）得，故. 所以， 则 【分析】（1）依次计算出，作差法比较大小； （2）计算出，证明出结论； （3）由（2）得，故，由等比数列求和公式可得. 【详解】（1），由题意，， ， 则，故. （2）略 （3）略 47．（26-27高二·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【答案】(1)证明：因为，所以数列是等差数列 (2) 【分析】（1）根据等差数列定义结合题意计算即可证明； （2）根据等差数列通项公式求法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 48．在数列中，，且，求其通项公式． 【答案】 【分析】根据特征方程解出，令，得到，利用取倒数法求出，即可求出的通项公式． 【详解】因为， 所以特征方程为，解得, 令，代入原递推式得, 因为，所以， 故, 因此，，从而, 又因为，所以． 题型11 对数变换法 1.核心逻辑 正项数列，递推为幂次形式；两边取对数，把幂次降为乘法，转化等差/等比。 2.解题步骤 ①各项为正数，等式两边同时取对数； ②得到与的递推； ③求出对数形式通项，再还原指数得到。 3.易错提醒 数列有负数不能取对数；对数运算性质误用。 49．设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有． 【答案】 恒成立，，则， 则，， 当时，，故，即， 取，满足； 当且时，是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 故， 故，取，得到恒成立. 综上所述：存在常数，使得对于任意的，都有． 【分析】变换得到，考虑和两种情况，确定是首项为，公比为的等比数列，计算通项公式得到证明. 【详解】略 50．（2026高三·江苏盐城·期中）已知数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，得到是首项为，公比为的等比数列，，计算得到答案. 【详解】，，易知，故， 故是首项为，公比为的等比数列，，， 故. 故选：C. 题型12 周期数列 1.核心逻辑 递推推导出，为周期；求大项，对取模。 2.解题步骤 ①算出前若干项，找出周期； ②求：计算除以周期的余数； ③余数为0对应最后一个周期项。 3.易错提醒 算错周期；余数为0处理错误。 51．（26-27高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，再利用周期性代入求值即得 【详解】由题意得，，，，，,， 则数列的周期为， 故. 52．（26-27高三·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 53．（26-27高二·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推出数列的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， ……， 所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. 54．（2026高二·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 55．（2026高二·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推公式逐项计算得到数列是周期为3的数列，即可求解. 【详解】因为 ，所以, ，，，， 所以数列是周期数列，周期为 ，故． 56．（2026高二·辽宁鞍山·期中）若数列的前项和为，且满足，，，则的值为(    ) A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，求得数列前7项的值，得到数列是周期为6的数列，结合前六项的和为0，即可求解. 【详解】方法一： 数列的前项和为，且满足，，，可得 ，，，， ，，， 所以数列是周期为6的数列，其中， 所以. 故C选项正确. 方法二： 由可得，则数列前项和满足： 所以. 又因为，即. 所以数列是周期为6的数列，故. 故C选项正确. 题型13 等和数列 1.核心逻辑 递推形如，两项之和为函数；向后写一式作差，得到隔项递推（奇数项一组、偶数项一组）。 2.解题步骤 ①写出；两式相减得； ②分开求奇数子列、偶数子列通项； ③合并或者写分段通项。 3.易错提醒 直接当成普通等差，不区分奇偶子列。 57．（2026·湖南永州·模拟预测）已知数列满足，则____________． 【答案】 【分析】利用余弦函数的周期性可得数列满足，再由累加法利用等差数列前和可得结果. 【详解】由余弦函数性质可知数列是以为周期的周期数列， 易知，，，， 则，且，可得； 由累加法可得 ； 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据三角函数的周期性可得数列中的周期或类周期规律，再利用等差数列和等比数列性质，利用累加法或累乘法即可求得结果. 58．（2026高三·江苏·期末）若数列满足，（），则______. 【答案】3268 【分析】由数列递推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案. 【详解】由题意可得，作差得， 故 ， 故答案为：3268 59．（2026·山西太原·模拟预测）数列满足，则___________. 【答案】 【分析】根据题意得利用的值，结合等差数列求和公式求解. 【详解】由题可得 因为 ， 又因为， 故答案为：. 60．（2026高三·福建龙岩·期末）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（    ） A．99 B．103 C．107 D．198 【答案】B 【分析】根据递推公式，构造新数列为等比数列，求出数列通项，再并项求和，将用表示，再结合通项公式，即可求解. 【详解】由得， ∴为等比数列，∴， ∴，， ∴， ①为奇数时，，； ②为偶数时，，， ∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解， 综上所述，. 故选：B. 【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题. 题型14 等积数列 1.核心逻辑 ，两项乘积为函数；再写一式相除，得到隔项关系；正项可以取对数转为等和。 2.解题步骤 ①写出；两式相除，得到； ②奇偶子列分别为等比； ③分别求奇数项、偶数项。 3.易错提醒 除法运算时分母不为零；不区分奇偶。 61．已知，，求． 【答案】， 【分析】取对数，构造数列是等比数列进而求即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以， 所以， 所以，. 题型15 前n项积型 1.核心逻辑 是前项积，则。 2.解题步骤 ①，； ②，； ③检验是否满足。 3.易错提醒 忽略条件；把积直接当成和。 62．（2026高二·安徽阜阳·期末）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．11 B．18 C．19 D．37 【答案】C 【分析】由积与项的关系得是等差数列，从而求得. 【详解】当时，，所以， 又，所以， 所以当时，， 即，即， 所以是首项为2，公差为1的等差数列. 所以. 63．（2026高二·江苏苏州·期中）记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用累加法求得，再由求解即可. 【详解】由题意， 当时，，，， 累加得， 所以 又当时，也满足， 所以. 故选：C. 64．（2026高三·山西运城·期中）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 65．（2026高三·云南昭通·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到是公差为2的等差数列，进而得到，再求出即可． 【详解】因为，故2），故， 故，所以是公差为2的等差数列， 因为，所以， 所以，所以． 故选：C． 66．（2026·黑龙江·模拟预测）已知为等比数列的前项积，若，且（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比中项的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质，得，所以. 故选:B. 67．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由前n项积，求出通项，得解. 【详解】，，又， ，. . 故选：C. 题型16 正负相间讨论、奇偶讨论型 1.核心逻辑 递推对奇数和偶数表达式不一样；分开处理奇数子列、偶数子列，得到分段通项。 2.解题步骤 ①令为奇数，推导奇数项子数列；令为偶数推导偶数项子数列； ②分别写出奇、偶的通项； ③结果写分段形式。 3.易错提醒 不做分段，强行写成统一表达式；奇偶下标换算出错。 68．（2026高三·湖南常德·期末）已知数列满足首项，，则数列的前2n项的和为_____________． 【答案】 【分析】当为奇数时，由递推关系得，构造为等比数列，可求出通项，结合即可分组求和. 【详解】当为奇数时，，即，此时为以为首项，公比为3的等比数列， 故，即. . 故答案为： 【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当为奇数或为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n项的和． 69．数列满足，前16项和为508，则__． 【答案】3 【分析】根据,讨论n的奇偶性，可分别得到当为奇数时有，当为偶数时，从而结合前16项和为508，可得，结合列出等式，即可求得答案. 【详解】由， 当为奇数时，有， 可得， ， 累加可得； 当为偶数时，， 可得，，，． 可得． , ， ，即． 故答案为：3． 70．（2026高三·黑龙江·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，． (1)若数列满足，求的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据数列的递推公式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，分为奇数、偶数两种情况讨论，设、，可得出数列的通项公式，分别求出、，相加可得. 【详解】（1）解：因为数列满足，， 则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，则. （2）解：由（1）可得， 所以，， 当为奇数时，设，则， 则； 当为偶数时，设，则，则. 综上所述，. 因为 ， ， 所以，. 71．（2026高三·广东·阶段检测）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设，根据等差数列性质可求得，进而求解即可； （2）结合（1）可得，进而得到，再分为偶数，为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由等差数列性质可知，结合，于是， 于是数列的公差为， 故. （2）由， 注意到， 故当为偶数时，， 当为奇数时，. 综上所述，. 72．（2026高三·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) 当时，，解得； 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为2的等比数列. (2) 【分析】（1）根据与的关系结合题设求证即可； （2）由（1）可得，进而得到，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，即， 所以， 设数列的前项和为， 所以 . 题型17 构造常数列解决递推数列通项公式 1.核心逻辑 变形递推式，得到，即为常数列，，快速解。常见：。 2.解题步骤 ①对原式变形，整理出前后相等的新数列； ②则； ③解方程解。 3.易错提醒 看不出常数列模型；变形移项出错。 73．（2026高二·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 74．（2026高三·广东惠州·期中）已知正项数列满足且， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据常数列的性质进行求解即可； （2）利用放缩法，结合等比数列前项和公式、题中定义进行求解即可. 【详解】（1）由，得，可知数列是常数列， 所以，所以，所以； （2）由（1）可得，则， 显然， 由于， 故，且， 故，. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $