专题01 建系解决向量相关问题7种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 建系解决向量相关问题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 建系求向量数量积 1.核心逻辑 对几何图形（平行四边形、正方形、梯形、三角形）建立平面直角坐标系，求出所有关键点坐标，向量终点减起点得到向量坐标，直接套数量积坐标公式计算。 2.解题步骤 ①观察图形，优先选直角、顶点作为坐标原点，坐标轴贴合图形边； ②读出/计算图形所有顶点坐标； ③向量坐标 = 终点坐标 − 起点坐标； ④代入直接计算结果； ⑤遇到中点、等分点，用中点坐标公式求对应点。 3.易错提醒 向量坐标搞反（起点−终点）；复杂图形建系不合理，坐标计算量大容易算错；没有看清中点、等分条件。 1．（2026高一·山东·期末）已知平行四边形中，，，为的中点，则__________． 【答案】 【分析】使用坐标法求解. 【详解】以为原点建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，，， 所以. 2．（2026高一·四川眉山·期末）若正方形边长为2，是的中点，于点，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过建立平面直角坐标系，求出各点坐标及E点坐标，逐一验证各选项即可 【详解】以A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系： 则，，则， 设，则, 因为，所以，故， 因为E在直线上，所以存在唯一的实数使得，即， 即，即，所以，则， 对于A项，由，则，故A错误； 对于B项，，故，故B错误； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，故D错误.    3．（2026高一·全国·专题练习）在中，是的中点，，，则________． 【答案】-16 【详解】解析  解法1：坐标法 以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（图略）， 设，，．由得， 则． 解法2：特例法 假设是的等腰三角形，则，， ，， 所以． 解法3： ． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在等腰梯形中，，，，，，．则（   ） A．62 B．38 C． D． 【答案】A 【详解】解析  在等腰梯形中，，，， 所以，，过作，垂足为，过作，垂足为， 在直角三角形中，，， 在直角三角形中，，， 又，所以， 以为原点，为轴，过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系： 则，，，， 因为，所以，因为， 所以，所以，， 所以．故选：A． 5．（2026高一·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足，则的值为________． 【答案】 【详解】解析  如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系： 则，，，则，由相似三角形易得． 设，则，因为， 所以，解得． 则，所以．故答案为：． 题型02 三角形建系求数量积最值 1.核心逻辑 三角形（等边、直角、普通三角形）内存在动点，建系之后设出动点参数，数量积化简得到一次或者二次函数，结合动点的取值区间，求函数最值。等边三角形常把底边中点放在原点。 2.解题步骤 ①合理建系，写出三角形三个顶点固定坐标； ②设出动点坐标，若点在边上，用一个参数表示动点，限定参数取值范围； ③把目标数量积整理成关于参数的函数； ④闭区间二次函数：看对称轴，比较对称轴、区间端点函数值，得到最大、最小值。 3.易错提醒 忽略动点所在线段的参数取值范围；二次函数直接取顶点，不判断顶点是否落在区间内。 6．（2026高一·陕西汉中·期末）已知为边长为3的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标将最小值的问题转化为二次函数闭区间的最小值问题即可求解 【详解】作中点，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立如图平面直角坐标系. 设，， 则， 所以 该二次函数对称轴为，此时有最小值. 7．（2026高一·广东汕头·期末）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点，通过，得出， 将表示为的函数，利用函数的性质求最值. 【详解】以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图坐标系. 则，设， 因为，所以得. 所以. . ，所以，所以. 所以. 当时，取得最小值，最小值为. 8．（2026高一·广东深圳·期末）已知等边三角形的边长为2，设是平面内的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设动点， . 【详解】设中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，等边的边长为2， 则， 设动点，则，，， ， 所以， 当时，取得最小值. 9．（2026高一·广东深圳·期末）已知为边长为8的等边三角形，设点M为边的中点，点P在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A．16 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可． 【详解】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为等边的边长为，所以． 又点为边的中点，所以， 设，则， 所以． 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 10．（2026高一·吉林·期末）在直角三角形中，，M，N是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标表示数量积，然后求得范围. 【详解】以为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则， 直线方程为， 设，，， 由对称性不妨设， ， 所以，，由得，，所以， ， 所以时，取得最小值4，或时，取得最大值6， 所以的取值范围是.    11．（26-27高二·广西桂林·阶段检测）若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，将向量数量积转化为关于动点坐标的二次函数，即可求解最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立直角坐标系， 由等边边长为，可得各点坐标：，，， 因为为中点，故的坐标为， 设，其中， 则，， 由向量数量积的坐标运算得： ， 该式为开口向上的二次函数，对称轴为， 在区间上最大值在离对称轴更远的端点处取得： 当时，，故最大值为. 12．（2026高一·北京昌平·期末）在中，，，.若是中点，为线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理解得，建立平面直角坐标系，设，，可得，进而分析最值. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，设，， 则，，，可得， 则， 当时，取到最小值. 13．（2026高一·湖北咸宁·期末）已知是边长为4的等边三角形，，其中，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形法则以及向量共线的性质得出点在直线上，由数量积运算，且当时取得最小值，建立平面直角坐标系，进一步由坐标计算求解. 【详解】设点为的中点，为中点， 由得， 因为，所以点在直线上， 以的中点为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则 ， 当时，最小， 设， 则， 又， 由，解得， 所以， 则， 即的最小值. 14．（2026高一·北京西城·期末）在中，，，P为所在平面内一点，则的最小值为（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出向量的数量积，再结合配方的方法求得最值. 【详解】，以为原点，方向为轴，方向为轴建立平面直角坐标系，如下图所示 因为， 所以，，， 设，则，，， 所以， 则， 配方可得， 因为，，当，时二者最小值都是0， 所以的最小值为，故选项B正确. 题型03 四边形建系求数量积最值 1.核心逻辑 矩形、正方形、直角梯形、菱形、平行四边形，优先利用图形自带直角建系；边上动点引入参数，把数量积转化二次函数求值域；菱形可以把对角线放在坐标轴。 2.解题步骤 ①矩形、直角梯形：以直角顶点为原点；菱形将对角线放在坐标轴； ②写出四边形各个顶点坐标； ③边上动点设参数，明确参数上下界； ④计算向量、数量积，整理函数； ⑤结合参数范围求最值、取值范围。 补充：正方形内部圆轨迹动点，可以写出圆的参数方程。 3.易错提醒 菱形建系不要默认边在坐标轴；动点包含端点还是不含端点，影响能否取到最值。 15．（2026高一·广东深圳·期末）已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（   ） A．6 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，然后利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图平面直角坐标系. 于是， 所以 所以. 16．（2026高一·天津滨海新区·期末）在直角梯形中，已知，，，点F是边的中点，点是线段上一个动点．则的取值范围是________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案. 【详解】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有， 设，则， 且， 由， 因，故. 17．（2026高三·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建系，写出各点坐标，计算数量积表达式，由参数范围最终求得数量积取值区间为. 【详解】如图： 以为原点，为轴，与垂直方向为轴，由， 则： 设，即， 那么     数量积， 的取值范围是. 18．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）如图，正方形的边长为，、分别是、边上的动点，且满足，与相交于点．    (1)若为中点，求的值； (2)（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，则，，，，             ，，             ，             故，                 故恒有．     （ⅱ） 【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，则，，，，             ，， ． （2）（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设， 则，，，， ，， ， 故， 故恒有． （ⅱ）由（ⅰ）知，所以点轨迹是以为直径的圆在正方形内部的部分． 设在上的投影向量为，则 ， 由M点轨迹知，与同向共线，且， 故. 19．（2026高一·湖南长沙·期末）如图，在边长为的正方形中． (1)求； (2)若为边上一动点，且，问当为何值时，可使最小，并求出的最小值． 【答案】(1) (2) 当时，最小，最小值为 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. （2）由可得，，得到，求出二次函数 的最小值即可. 【详解】（1）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 由正方形边长为，得，，， 则，， 故. （2）由，，， 得， 则，， 故. 由于二次函数开口向上，对称轴为， 代入得最小值为， 即时，取最小值. 20．（26-27高三·北京·开学考试）已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则______；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由题设建立平面直角坐标系，利用数量积坐标表示可得答案 【详解】连接，设交于，由题设可得，据此如下图建立平面直角坐标系. 则. ，则,，从而； 设，其中. 则，从而，当，即与重合时取等号. 21．（26-27高三·安徽蚌埠·开学考试）如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，结合圆的方程，即可求得的取值范围. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，， 所以圆的方程为. 设，则. 由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得， 所以，即的取值范围为. 22．【多选】（26-27高三·重庆·阶段检测）如图，已知四边形是边长为3的正方形，点为线段上靠近点的三等分点，点分别为线段和线段上的两个动点（不含端点），且满足，点为的重心，则（     ） A．点到直线的距离为定值 B．的最小值为 C． D．有最大值 【答案】ACD 【分析】以为原点建系，设，根据重心坐标公式判断A；利用坐标计算模长，再结合基本不等式求最值判断B；利用极化恒等式判断C；利用坐标计算，再结合不等式求最值判断D. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以， 因为为的重心，所以，故点到直线的距离为定值， 故A正确； 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为，则B错误； 设交于点，所以为线段的中点， 则， 同理， 所以，故C正确； 因为， 所以 ，等号成立时， 则有最大值，故D正确. 23．（2026高一·河北邯郸·期末）已知点P在矩形的边及其内部运动，且，，，若的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算及数量积运算可得，当与反向共线时，取得最小值为，再利用坐标法结合数量积运算列式求解即可. 【详解】， , 所以， 当与反向共线时，取得最小值为， 此时， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 所以，又， 所以，解得. 24．（2026高一·山东聊城·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”．某同学用“七巧板”拼作了一个如图所示的正方形，若正方形的边长为，点，，，，分别是线段，，，，的中点，点为内（包括边界）一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，根据向量加法和数量积坐标运算求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为正方形的边长为4， 点，，，，分别是线段，，，，的中点， 可得， 设， 则， 则， 所以. 25．（2026高一·江西景德镇·期末）在梯形中，，，，．点是腰上一点，且，与交于点. (1)用表示 (2)若， （i）求的值； （ii）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）设，，根据向量的线性运算分别得，，根据平面向量基本定理即可建立方程组，运算得解； （2）（i）过点作交于点，可得四边形是平行四边形，在中，由余弦定理可得，以点为坐标原点，为轴，建立如图平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量数量积坐标运算得解； （ii）设，利用向量数量积坐标运算得到的表达式，利用二次函数求出最值. 【详解】（1）设，， 因为，，所以， 所以， ， 又，所以， 所以， 所以，解得， 所以. （2）（i）过点作交于点，又， 所以四边形是平行四边形，故，，， 在中，由余弦定理可得， 所以，即，解得. 以点为坐标原点，为轴，建立如图平面直角坐标系， 由，，，可得，，， 所以，， 所以. （ii）设， 则，，， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 26．（2026高一·全国·专题练习）如下图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析  以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 过点作轴，过点作轴， 因为，，且， 则，所以，，，， 设，则，， 所以， 所以的最小值为．故答案为：B． 题型04 多边形建系求数量积最值 1.核心逻辑 正多边形（正六边形、正八边形），把中心放在坐标原点，利用对称性写出各个顶点坐标；动点在多边形边上运动，引入参数表达坐标，计算数量积求范围。 2.解题步骤 ①正多边形：中心置于原点，一个顶点放在x轴； ②写出各个顶点坐标； ③动点在边上，用参数表示动点； ④计算数量积，得到函数，求取值范围。 3.易错提醒 正多边形顶点坐标计算出错；混淆多边形边界，搞错参数区间。 27．（2026高一·全国·专题练习）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解析  以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，， ，，，， 设，于是， 因为，所以， 故的取值范围是．故答案为：． 28．（2026高一·全国·专题练习）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析  方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是． 题型05 建系设三角函数值求数量积最值 1.核心逻辑 动点在圆、圆弧上运动，使用三角换元（圆的参数方程）：圆心半径，动点，为参数。数量积化简为，用辅助角公式求三角函数值域。 2.解题步骤 ①建立坐标系，确定圆/圆弧圆心半径； ②使用圆参数方程，用表示动点坐标； ③代入数量积运算，整理得到三角函数式； ④辅助角公式； ⑤结合题目给的实际范围求最值。 3.易错提醒 忽略圆弧对应的角度范围，直接用求值域；辅助角公式计算错误。 29．（2026高三·湖南·阶段检测）平面图形斜二测画法为矩形，，，求取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意直观图是边长为1的正方形.该正方形可在斜二测坐标系内绕中心旋转，利用斜二测向量还原公式得到原四边形对角线向量，求出数量积，借助辅助角公式求得取值范围. 【详解】因为直观图是矩形，且，对角线互相垂直， 因此是正方形，，. 设与斜二测轴夹角为，则直观图中，. 根据斜二测坐标变换规则，对应原图形向量： ，. 因为原图形为平行四边形，所以，， 则 ， 利用辅助角公式化简得，其中. 因为， 所以的取值范围为. 30．（2026高一·河北·期末）在中，，，若点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据设出点坐标，根据向量的数量积及辅助角公式求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，设， 则，， 所以 . 因为，所以的最小值为. 31．（2026高一·山东日照·期末）如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 【答案】 2 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，，. 因为为圆心为的单位圆的一条动直径， 设，则， 所以，， 所以 ， 其中. 因为，所以， 所以当时，取得最大值， 最大值为. 32．（2026高一·全国·专题练习）如图，点是半径为1，圆心角为的圆弧上的点． (1)若为圆弧的中点，点在线段上运动，求的最小值； (2)若，分别为线段，的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【详解】解析  （1）以为原点，为轴，反方向为轴，建立直角坐标系，如图， 则，，，设（）， 则，所以， 当时，，即的最小值为． （2）由题意，，设，，所以， 因为，则， 故，所以． 33．（2026高一·全国·专题练习）如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析  设（），如图， 以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立平面直角坐标系． 则由已知可得，，，， 根据三角函数的定义知，． 则，，所以 ， 因为，所以．则， 当，即时，该式子有最小值为．故选：A． 题型06 建系求向量模长问题 1.核心逻辑 向量模长；求模的最值等价先求模的平方，模平方运算避开根号，求出最值之后再开根号。 2.解题步骤 ①建系，写出点与向量坐标； ②先计算模的平方，转化为函数； ③结合参数范围，求模平方的最大、最小值； ④再开根号得到模长最值。 3.易错提醒 直接带根号运算，计算繁琐；求出模平方忘记开根号当作模长结果。 34．（2026高一·河北·期末）在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过向量数乘表示动点位置，将线段长度最值转化为含参数的向量模长最值问题，利用函数单调性求解，核心考查平面向量的线性运算及模长公式的应用. 【详解】以为坐标原点，、的方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系. ∵ 正方形边长为，∴. ∵ 为的中点，∴. ∴ . ∵ 为线段上的动点，设，， ∴ . ∵ 为的中点， ∴ . ∴ . 令，∵ ，∴ . 代入化简得. ∵ ，∴ 随的增大而增大， ∴ 当时，取得最小值，最小值为. 35．（2026·湖南益阳·模拟预测）在中，，，，为边的6等分点（），则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题利用向量中线公式，由的等分点的位置关系，得到，，于是五个向量的和化简为，再借助直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出，进而求得向量和的模长为． 【详解】 如图，为边的6等分点（）， 是线段的中点， 所以是的中线， 所以，， 所以， 在中，，为边的中点， ， ， 所以． 36．【多选】（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）已知在中，，，，，点P为线段的中点，则下列结论正确的有（    ） A．内切圆的半径为 B． C． D．在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】由正弦定理确定为直角三角形，，再结合内切圆半径公式、坐标法与向量运算规则逐一验证选项. 【详解】在中，由正弦定理， 代入，，，得，故，，为直角三角形. 选项A：直角三角形内切圆半径，正确； 选项B：建系设，由得， 点P为线段的中点，故，， ，正确； 选项C：，错误； 选项D：， 在向量上的投影向量为，正确. 37．（2026高一·全国·专题练习）已知在中，，，是线段上的一点（不与端点重合），且，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解析  解法1：坐标法 建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图， 由，得， 由题意易知，，则． 得，经检验等号取不到． 另一方面，当点与点，重合时应取得最大值， 此时，或，，结合可得， 但点不与端点重合，故最大值取不到．综上，的取值范围是． 解法2：如图，易得是直角三角形，设的中点为， 则，且．设， 由， 得，即在方向上的投影恒为． 过点作的垂线，设垂足为，则恒有． 又，所以为的中点，即为等腰三角形， 所以，．故的取值范围为． 题型07 建系求向量角度问题 1.核心逻辑 向量夹角公式；建系算出数量积与两个向量的模，代入公式求出夹角余弦，再得到角度。 注意：向量夹角范围。 2.解题步骤 ①建立坐标系，求出两个向量坐标； ②分别计算数量积、两个向量的模； ③代入夹角余弦公式算出； ④由的值，结合求出夹角； ⑤判断是锐角、直角、钝角。 3.易错提醒 混淆直线夹角与向量夹角（直线夹角，向量夹角）；忘记分母是两个模的乘积。 38．（2026高一·江苏宿迁·期中）四边形是正方形，是的中点，是边上的一点，且，连接与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设正方形的边长为3，写出点的坐标，利用向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平间直角坐标系， 设正方形的边长为3， 则， 故， 所以. 故选：B 39．（2026高一·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长度； (2)若与交于点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中利用勾股定理求得、、，确定的正弦、余弦值，再结合两角和的余弦公式以及余弦定理即可求解. （2）解法一：构建平面直角坐标系，利用垂直关系，确定点坐标，利用平面向量的方法求解.解法二：在利用余弦定理确定，利用同角关系确定，再利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1），， ，，，， 在中，，， ， 在中，， ． （2）解法一：如图，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，，， ，，过点作于点， ，即， 整理得， ，，，， ，，， ∴， 为与的夹角，，， ∴． 解法二：，在中，，，， 则， ， 则 ． 40．（2026高一·河北邢台·阶段检测）某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．    【答案】 / 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标性质可求的坐标，设，根据求出，利用向量的夹角公式可求，从而可求. 【详解】    建立如图所示的平面直角坐标系，则, 因为，故， 故，故，故. 设，故， 故，而， 所以， 整理得，故或. 若，则，， 故， 而为三角形内角，故. 若，则， 故， 而为三角形内角，故, 综上，. 41．【多选】（2026高一·四川绵阳·期中）已知在四边形ABCD中，，且，为的中点.则下列说法正确的有（ ） A．四边形的面积为 B． C．的外接圆的周长为 D． 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积求解判断A；先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解外接圆半径判断C；建立平面直角坐标系，利用向量夹角坐标公式求解判断B；利用数量积的坐标运算求解判断D. 【详解】连接，，且，则， 所以，，所以， 所以四边形的面积为 ，故A正确； 连接，在中，由余弦定理可得， 设的外接圆的半径为R，则由正弦定理得，即， 则外接圆的周长为，故C正确； 如图： 建立平面直角坐标系，可得， ，，所以， 又，所以，故B错误； ，，所以，故D正确. 42．（2026高一·全国·专题练习）在中，，是边上任意一点（点与点，不重合），且，则________． 【答案】75° 【详解】解析  解法1：坐标法 建立如图所示的平面直角坐标系，设， 由，代入坐标得， 由于的任意性，故，从而， 因为，所以． 解法2：向量转化法 ， 其中是的中点，因为，所以． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 建系解决向量相关问题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 建系求向量数量积 1.核心逻辑 对几何图形（平行四边形、正方形、梯形、三角形）建立平面直角坐标系，求出所有关键点坐标，向量终点减起点得到向量坐标，直接套数量积坐标公式计算。 2.解题步骤 ①观察图形，优先选直角、顶点作为坐标原点，坐标轴贴合图形边； ②读出/计算图形所有顶点坐标； ③向量坐标 = 终点坐标 − 起点坐标； ④代入直接计算结果； ⑤遇到中点、等分点，用中点坐标公式求对应点。 3.易错提醒 向量坐标搞反（起点−终点）；复杂图形建系不合理，坐标计算量大容易算错；没有看清中点、等分条件。 1．（2026高一·山东·期末）已知平行四边形中，，，为的中点，则__________． 2．（2026高一·四川眉山·期末）若正方形边长为2，是的中点，于点，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）在中，是的中点，，，则________． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在等腰梯形中，，，，，，．则（   ） A．62 B．38 C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足，则的值为________． 题型02 三角形建系求数量积最值 1.核心逻辑 三角形（等边、直角、普通三角形）内存在动点，建系之后设出动点参数，数量积化简得到一次或者二次函数，结合动点的取值区间，求函数最值。等边三角形常把底边中点放在原点。 2.解题步骤 ①合理建系，写出三角形三个顶点固定坐标； ②设出动点坐标，若点在边上，用一个参数表示动点，限定参数取值范围； ③把目标数量积整理成关于参数的函数； ④闭区间二次函数：看对称轴，比较对称轴、区间端点函数值，得到最大、最小值。 3.易错提醒 忽略动点所在线段的参数取值范围；二次函数直接取顶点，不判断顶点是否落在区间内。 6．（2026高一·陕西汉中·期末）已知为边长为3的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（     ） A． B． C． D． 7．（2026高一·广东汕头·期末）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 8．（2026高一·广东深圳·期末）已知等边三角形的边长为2，设是平面内的动点，则的最小值为________． 9．（2026高一·广东深圳·期末）已知为边长为8的等边三角形，设点M为边的中点，点P在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A．16 B． C．9 D． 10．（2026高一·吉林·期末）在直角三角形中，，M，N是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27高二·广西桂林·阶段检测）若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 12．（2026高一·北京昌平·期末）在中，，，.若是中点，为线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．（2026高一·湖北咸宁·期末）已知是边长为4的等边三角形，，其中，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·北京西城·期末）在中，，，P为所在平面内一点，则的最小值为（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 题型03 四边形建系求数量积最值 1.核心逻辑 矩形、正方形、直角梯形、菱形、平行四边形，优先利用图形自带直角建系；边上动点引入参数，把数量积转化二次函数求值域；菱形可以把对角线放在坐标轴。 2.解题步骤 ①矩形、直角梯形：以直角顶点为原点；菱形将对角线放在坐标轴； ②写出四边形各个顶点坐标； ③边上动点设参数，明确参数上下界； ④计算向量、数量积，整理函数； ⑤结合参数范围求最值、取值范围。 补充：正方形内部圆轨迹动点，可以写出圆的参数方程。 3.易错提醒 菱形建系不要默认边在坐标轴；动点包含端点还是不含端点，影响能否取到最值。 15．（2026高一·广东深圳·期末）已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（   ） A．6 B． C．0 D． 16．（2026高一·天津滨海新区·期末）在直角梯形中，已知，，，点F是边的中点，点是线段上一个动点．则的取值范围是________． 17．（2026高三·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）如图，正方形的边长为，、分别是、边上的动点，且满足，与相交于点．    (1)若为中点，求的值； (2)（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有； （ⅱ）求的最大值． 19．（2026高一·湖南长沙·期末）如图，在边长为的正方形中． (1)求； (2)若为边上一动点，且，问当为何值时，可使最小，并求出的最小值． 由正方形边长为，得，，， 则，， 故. 20．（26-27高三·北京·开学考试）已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则______；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为______. 21．（26-27高三·安徽蚌埠·开学考试）如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 22．【多选】（26-27高三·重庆·阶段检测）如图，已知四边形是边长为3的正方形，点为线段上靠近点的三等分点，点分别为线段和线段上的两个动点（不含端点），且满足，点为的重心，则（     ） A．点到直线的距离为定值 B．的最小值为 C． D．有最大值 23．（2026高一·河北邯郸·期末）已知点P在矩形的边及其内部运动，且，，，若的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C． D． 24．（2026高一·山东聊城·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”．某同学用“七巧板”拼作了一个如图所示的正方形，若正方形的边长为，点，，，，分别是线段，，，，的中点，点为内（包括边界）一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·江西景德镇·期末）在梯形中，，，，．点是腰上一点，且，与交于点. (1)用表示 (2)若， （i）求的值； （ii）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值． 26．（2026高一·全国·专题练习）如下图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型04 多边形建系求数量积最值 1.核心逻辑 正多边形（正六边形、正八边形），把中心放在坐标原点，利用对称性写出各个顶点坐标；动点在多边形边上运动，引入参数表达坐标，计算数量积求范围。 2.解题步骤 ①正多边形：中心置于原点，一个顶点放在x轴； ②写出各个顶点坐标； ③动点在边上，用参数表示动点； ④计算数量积，得到函数，求取值范围。 3.易错提醒 正多边形顶点坐标计算出错；混淆多边形边界，搞错参数区间。 27．（2026高一·全国·专题练习）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是________． 28．（2026高一·全国·专题练习）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型05 建系设三角函数值求数量积最值 1.核心逻辑 动点在圆、圆弧上运动，使用三角换元（圆的参数方程）：圆心半径，动点，为参数。数量积化简为，用辅助角公式求三角函数值域。 2.解题步骤 ①建立坐标系，确定圆/圆弧圆心半径； ②使用圆参数方程，用表示动点坐标； ③代入数量积运算，整理得到三角函数式； ④辅助角公式； ⑤结合题目给的实际范围求最值。 3.易错提醒 忽略圆弧对应的角度范围，直接用求值域；辅助角公式计算错误。 29．（2026高三·湖南·阶段检测）平面图形斜二测画法为矩形，，，求取值范围为______． 30．（2026高一·河北·期末）在中，，，若点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高一·山东日照·期末）如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 32．（2026高一·全国·专题练习）如图，点是半径为1，圆心角为的圆弧上的点． (1)若为圆弧的中点，点在线段上运动，求的最小值； (2)若，分别为线段，的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围． 33．（2026高一·全国·专题练习）如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型06 建系求向量模长问题 1.核心逻辑 向量模长；求模的最值等价先求模的平方，模平方运算避开根号，求出最值之后再开根号。 2.解题步骤 ①建系，写出点与向量坐标； ②先计算模的平方，转化为函数； ③结合参数范围，求模平方的最大、最小值； ④再开根号得到模长最值。 3.易错提醒 直接带根号运算，计算繁琐；求出模平方忘记开根号当作模长结果。 34．（2026高一·河北·期末）在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·湖南益阳·模拟预测）在中，，，，为边的6等分点（），则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 36．【多选】（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）已知在中，，，，，点P为线段的中点，则下列结论正确的有（    ） A．内切圆的半径为 B． C． D．在向量上的投影向量为 37．（2026高一·全国·专题练习）已知在中，，，是线段上的一点（不与端点重合），且，则的取值范围是________． 题型07 建系求向量角度问题 1.核心逻辑 向量夹角公式；建系算出数量积与两个向量的模，代入公式求出夹角余弦，再得到角度。 注意：向量夹角范围。 2.解题步骤 ①建立坐标系，求出两个向量坐标； ②分别计算数量积、两个向量的模； ③代入夹角余弦公式算出； ④由的值，结合求出夹角； ⑤判断是锐角、直角、钝角。 3.易错提醒 混淆直线夹角与向量夹角（直线夹角，向量夹角）；忘记分母是两个模的乘积。 38．（2026高一·江苏宿迁·期中）四边形是正方形，是的中点，是边上的一点，且，连接与交于点，则（   ） A． B． C． D． 39．（2026高一·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长度； (2)若与交于点，求． 40．（2026高一·河北邢台·阶段检测）某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．    41．【多选】（2026高一·四川绵阳·期中）已知在四边形ABCD中，，且，为的中点.则下列说法正确的有（ ） A．四边形的面积为 B． C．的外接圆的周长为 D． 42．（2026高一·全国·专题练习）在中，，是边上任意一点（点与点，不重合），且，则________． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $