2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中测评模拟卷

2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中测评模拟素养达标卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：前3章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． （第3题） （第5题） （第6题） 4．某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（    ） A． B． C． D． 5．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 8．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 二、填空题 9．已知一元二次方程有一个根为1，则__________． 10．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 11．直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是______． 12．一次函数和反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为________． 13．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 14．如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 15．如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为__________． （第14题） （第15题） （第16题） 16．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 17．如图，平面直角坐标系中，A为函数（）图像上的一点，其中，，交x轴于点C，,若四边形的面积为12，则k的值为______． 18．如图，直径的夹角，为弧上的一个动点（不与点，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为2，则的长为__________． 三、解答题 19．解方程： (1)． (2)． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两根，且，求k的值． 21．如图，是的外接圆，，平分，且交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点、，连接，． (1)求一次函数关系式和的值： (2)求的面积． 23．如图，在中，． (1)尺规作图：作出的外接圆； (2)连接、，若，则的度数为___________． 24．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)填空： ①当时，与之间的函数关系式是_________； ②当时，与之间的函数关系式是_________； ③_________； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 25．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 26．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … (2)通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） (3)已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 27．阅读下列材料，并按要求解答相关问题： 【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论． 如图1，若是一条定线段，且，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边为直径的（直径两端点A、B除外） (1)已知：如图2，四边形是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接相交于点P． ①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数． ②求点P运动的路经长． (2)已知：如图3，在图2的条件下，连接，请直接写出E、F运动过程中，的最小值． 28．如图，是的直径，，点是半圆上一动点，且与点分别在的两侧． (1)如图1，若，求的度数； (2)求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中测评模拟素养达标卷》参考答案 1．C 【分析】需依据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、当时，方程二次项系数为0，不是一元二次方程； B、将右边展开得，移项化简后为，不含二次项，不是一元二次方程； C、方程为整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，二次项系数，是一元二次方程； D、方程分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程． 2．C 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 3．B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 4．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 5．A 【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 6．D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．由两点的坐标可以得到直线轴，则直线BC的垂直平分线为直线，再由外心的定义可知外心的纵坐标为1，设的外心为，利用两点距离公式和外心的性质求解，即可解题． 【详解】解： B点坐标为，C点坐标为， 直线轴， 直线的垂直平分线为直线， 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 外心的纵坐标为1， 设的外心为， ， ， 解得， 外心的坐标为， 故选：D． 7．D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 8．B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 9．0 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为1， ∴， 故答案为：0． 10． 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，将点代入反比例函数解析式，即可求解的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 11． 【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】解：∵直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d， ∴d的取值范围是； 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交；反之也成立. 12． 【分析】一次函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据原点对称点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个函数图象的交点也关于原点中心对称， ∵已知其中一个交点坐标为， ∴另一个交点为关于原点的对称点，坐标为． 13．且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 14． 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 15．/ 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算． 先利用菱形性质得、，点为中点，故，进而得；构造等边，结合证，将转化为；再用勾股定理算、（即扇形半径）；最后用扇形面积公式算，减去得阴影面积． 【详解】解：如图，连接，在上取点，使，连接， 在菱形中，，点O是对角线的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 16．十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 17． 【分析】如图：过点A分别作轴于点D，轴于点E，由题意易得，则有，设点A的横坐标为a，则纵坐标为，然后根据四边形的面积可进行求解． 【详解】解：如图：过点A分别作轴于点D，轴于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点A的横坐标为a，则纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：（负根舍去）， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18． 【分析】延长交圆于点，延长交圆于点，连接，作于，如图所示．根据垂径定理，，推出且，由，推出，得到弦的长为定值，的长也为定值．也可取特殊位置，快速求解． 【详解】解：（演绎推理法）延长交圆于点，延长交圆于点，连接，作于，如图所示： 根据垂径定理可知，， 则是的中位线， ∴且， ∵， ， ∵，， ， 为弧上的一个动点（不与点，重合）， ， ，， 是的角平分线，且， 在中，，，则， ，则， ∴， 故答案为：． （特殊位置法）当于圆心时，延长交圆与点，延长交圆于点，连接，如图所示： 根据垂径定理，， ∵，， ∴， ， ， ，， 是的中位线，即，且， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线的判定与性质、邻补角、四边形内角和、圆周角定理、等腰三角形的性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，得到，并确定为定值是解题的关键．对于填空题，不需要严格的证明，选取特殊位置法求解能更直观快速． 19．(1)， (2)， 【详解】（1）解：整理原方程， 得 ， 因式分解，得 ， 即或 ． 解得，． （2）解：对于方程， 得，， ， 计算判别式得 ， 代入求根公式得 ． 解得，． 20．(1)证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算判别式并配方，证明其恒正即可得证． （2）利用根与系数的关系代入已知等式求解k的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系得，， ， ， 解得． 21．(1) 证明：连接，如图： ∵， ∴是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，如图：根据，得出是的直径，从而得出，由平分，根据圆周角定理得出，从而得出是等腰直角三角形，垂径定理得出，结合，得出，即可证明是的切线； （2）在直角三角形中，勾股定理算出，由（1）知是等腰直角三角形，从而算出． 【详解】（1）略． （2）解：在直角三角形中，，，， ∴， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的知识点是切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识点，解题关键是掌握圆周角定理． 22．(1)；3 (2)4 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，将数形结合进行简单计算是解题的关键． （1）先根据待定系数法求出一次函数解析式，再求出点D的坐标，再利用待定系数法即可求出k的值． （2）联立一次函数与反比例函数，求出点B的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与y轴交于点． 将代入， 得， 解得：， ∴一次函数关系式为∶ ． ∵点在一次函数上， 代入得∶， 解得：， ∴D点坐标为． 又∵在反比例函数上， 代入得：． （2）解：联立方程 解得：或 ∴，． 一次函数与x轴交于点B， 令，得，即． 23．(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】本题考查了三角形的外接圆，尺规作图---作线段的垂直平分线，弦与圆心角的关系等知识点． （1）先画出该三角形两边的垂直平分线，相交于点O，以为半径画圆即可； （2）连接，根据弦与圆心角的关系得到，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴． 故答案为：． 24．(1)①；②；③ (2)9分钟 【分析】（1）根据待定系数法分别求解一次函数和反比例函数表达式，再把 代入反比例函数表达式求解； （2）把分别代入两个函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，当时，与之间的函数关系是一次函数关系， 设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则； ②设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， ③把代入，则； （2）把代入，则，解得 把代入，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 25．(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 26．(1)，画图如下： (2)增大 (3)或 【分析】（1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，分情况根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入得， . 画图略 （2）解：通过观察图象，当时，随着的增大而增大． （3）解：把代入得，， ， 设，如图，当在的左边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 设，如图，当在的右边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 综上：或. 27．(1)①的大小不会发生变化，的度数总等于；②点P运动的路经的长； (2)的最小值为． 【分析】（1）①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可； ②利用题干中的结论和圆的弧长公式解答即可； （2）通过分析得到当点P运动的轨迹的圆心与P，C两点在一条直线上时，取得最小值，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，理由： ∵四边形是边长为8的正方形， ∴， ∵点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，的度数总等于； ②∵，是一条定线段，， ∴所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边为直径的圆， 由于点E与点B重合，点F与点C重合时，点P与点B重合，点E与点C重合，点F与点D重合时，点P与正方形的对角线的交点重合， ∴点P运动的路经为以的中点为圆心，以的长为半径，圆心角为的圆弧， ∴点P运动的路经的长； （2）解：的最小值为，理由： 由（1）②知：在图2的条件下，在E、F运动过程中，点P运动的路经为以的中点为圆心，以的长为半径，圆心角为的圆弧， ∴当P，C两点与圆弧的圆心在一条直线上时，的值最小， 设的中点为O，则， 在中， ∵， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的弧长公式，勾股定理，点的运动轨迹，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的结论是解题的关键． 28．(1) (2) 证明：过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（ASA）， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用直径所对的圆周角是直角求出，从而可得，再根据已知，求出，进而求出答案； （2）过点作，交的延长线于点，利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明，从而可得，，进而得到是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $