期中讲义02 反比例函数（6大考点专练）2026-2027学年九年级数学上册复习讲义+重难点专题训练（苏科版）

期中讲义02 反比例函数（6大考点专练） 【考点一】 反比例函数的概念 【考点四】 反比例函数与一次函数综合 【考点二】 图象与性质判断 【考点五】 实际应用（跨学科建模） 【考点三】 k 的几何意义（面积） 【考点六】 压轴综合（数形结合） 考点 1 反比例函数的概念 一般地，形如 y ＝ （k 为常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数。 说明：三种表达形式等价；自变量 x ≠ 0（分母不为 0），函数值 y ≠ 0；比例系数 k ≠ 0。判断一个函数是否反比例函数，可看两变量之积是否恒为非零常数 k。 考点 2 反比例函数的图象 （1）图象是双曲线，由两支曲线组成；当 k > 0 时，两支分别位于第一、三象限；当 k < 0 时，两支分别位于第二、四象限。 （2）图象关于原点中心对称，也是轴对称图形（对称轴为直线 y ＝ x 与 y ＝ －x）。 （3）描点法作图步骤：列表（取成对对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连接；两支均不过原点、不与坐标轴相交。 （4）双曲线与坐标轴永不相交（因 x ≠ 0、y ≠ 0）。 考点 3 反比例函数的性质 增减性（核心限定“同一象限内”）： 当 k > 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 注意：不能笼统地说“整个函数 y 随 x 增大而增大/减小”，必须分象限讨论；比较函数值大小时，应依据点所在象限与同一象限内的增减性综合判断。 |k| 越大，双曲线离坐标原点越远、弯曲程度越小。 考点 4 比例系数 k 的几何意义 设 P(x, y) 为双曲线 y ＝ 上任意一点，过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，则矩形 OAPB 的面积恒为 |k|，即 推论：由双曲线上一点与原点、两轴上的垂足构成的直角三角形面积恒为 |k| 的一半，即 应用：已知面积反求 k 时，须结合图象所在象限判断 k 的正负，即由 |k| 定大小、由象限定符号。 考点 5 用待定系数法求解析式 步骤：设解析式 y ＝ （k ≠ 0）→ 代入一个已知点坐标 → 求出 k → 写出解析式； 结合 k 的几何意义：已知矩形面积与位置时，可由 |k| 定大小、由象限定符号求得 k。 考点 6 反比例函数与一次函数综合 （1）交点：联立 y ＝ 与 y ＝ ax ＋ b，解方程组得交点坐标； （2）比较大小：当 x 取同一值时，比较两图象的上下位置； （3）求面积：以坐标轴或两交点连线为底，利用交点坐标构造三角形、四边形求面积（常用坐标轴割补法）； （4）交点个数：将联立方程转化为一元二次方程，由判别式判断两图象交点的个数（0、1 或 2 个）。 【考点一】反比例函数的概念与解析式 1．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】将反比例函数关系式进行变形，逐项判断即可． 【详解】解：由得． A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点代入反比例函数解析式，求解m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴代入解析式得：． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为__________． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故答案为：． 【考点二】图象与性质判断 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．点在反比例函数的图象上 D．当时， 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的性质依次进行判断即可得． 【详解】解：反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故A正确，B不正确， 当时，，则点在反比例函数的图象上，故C正确， 当时，，故D正确， 故选：B． 7．（24-25九年级上·江苏溧阳·期中）若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式的方法是解题的关键．先代入求出的值，再根据反比例函数的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：代入得，， 反比例函数为， A、，故此选项说法不正确，不符合题意； B、因为，所以函数图象经过点，故此选项说法正确，符合题意； C、当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，不符合题意； D、当时，，故此选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 8．（2024九年级·江苏连云港·期中）反比例函数的图象在第_______象限． 【答案】二 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 根据反比例函数确定图象分布在第二、四象限，再根据确定图象在第二象限即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二象限， 故答案为：二． 9．（24-25九年级·江苏扬州·期中）已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数图象所在象限可得比例系数小于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限， ∴， 解得． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为______； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【答案】(1) 函数的图象如图所示： (2)①增大；②；③ (3)或 【知识点】判断（画）反比例函数图象、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据描点、连线可作出函数图象； （2）根据（1）中函数图象可分别求解①②③； （3）由题意先得出当时，x的值，然后借助（1）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，y随x的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为； 故答案为增大；； （3）解：当时，则有，解得：， 结合（1）中函数图象可知：当或时，； 故答案为或． 【考点三】 k 的几何意义（面积） 11．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设，则，再利用待定系数法求得直线的解析式，与函数联立成方程组，解方程组即可求得C的坐标，然后代入三角形面积公式求解即可．表示出A、B、C的坐标是解题的关键 【详解】解：设，则， ∴直线为， 由，解得， ∴， ∴ 故选：A．    13．（2024九年级上·江苏南通·期中）如图，O是坐标原点，平行四边形的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过顶点B，则平行四边形的面积为（　　） A．27 B．18 C．15 D．12 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义得，进而求得，进一步得到，根据平行四边形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，    ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∴直线轴， ∴B、A、D三点共线， ∵， ∴四边形是矩形， ∵函数的图象经过顶点B， ∴， ∵平行四边形的顶点A的坐标为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，正确得出的长是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，点、为反比例函数图像上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点、恰好为、的中点，当的面积为时，的值为______________________．    【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积、坐标与图形、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，设点的坐标为，则点，，根据三角形的面积公式可得出，即可得解．利用反比例函数图像上点的坐标特征表示出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点、恰好为、的中点，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ______ ．    【答案】-2 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据已知条件得到三角形ABC的面积= ，得到|k|=2，即可得到结论． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴AB∥CO， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为-2． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确是解题的关键． 16．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、比较反比例函数值或自变量的大小、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，根据图形面积求比例系数（解析式），根据矩形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将两点横坐标代入函数，求出，再根据比较大小； （2）先四边形是矩形，再说明，，然后四边形的面积为，求出的值． 【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵轴，垂足为，轴，垂足为，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴，解得：， ∴， 又在函数的图象上， ∴． 17．（24-25九年级·江苏盐城·期中）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为． （1）求k和m的值； （2）点C（x，y）在反比例函数y=的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围； （3）过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值． 【答案】（1）k=1,m=；（2）y的取值范围为≤y≤1；（3）线段PQ长度的最小值为2. 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=可求出k的值； （2）根据反比例函数得性质求解； （3）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a，），根据勾股定理得到OP=，从而得到OP最小值为，于是可得到线段PQ长度的最小值． 【详解】（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m， ∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=， ∴m=； ∴点A的坐标为（2，）， 把A（2，）代入y=，得= ∴k=1； （2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=， 又∵反比例函数y=，在x＞0时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1； （3）由图象可得：P，Q关于原点对称， ∴PQ=2OP， 反比例函数解析式为y=，设P（a，）， ∴OP=， ∴OP最小值为， ∴线段PQ长度的最小值为2． 【点睛】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 【考点四】反比例函数与一次函数综合 18．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 【答案】/0.75 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正确表示出A、B、C的坐标是解题的关键． 设，则，再利用待定系数法求得直线的解析式，与函数联立成方程组，解方程组即可求得C的坐标，然后代入三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴， 将代入，则， ∴ 则， 设直线， 则， 解得 ∴直线为， 由，解得或（舍） ∴， ∴ 故答案为：． 19．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 20．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于两点，这两个点的横坐标分别是和． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)9 (2)或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得A的坐标，进而利用待定系数法求解即可； （2）根据图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集是或． 21．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为_________． 【答案】(1)为，； (2)或。 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、联立函数解析式解方程组以及利用函数图象解不等式的方法是解题的关键． （1）先将点横坐标代入一次函数求，得点坐标后代入反比例函数求，再联立两个函数解析式解方程组求点坐标． （2）观察图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：点在上， ， ， 在上， ， ， 反比例函数表达式为， 联立得， 两边同乘得， ， 或， 当时，， ； （2）解： ，， 观察图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为或． 22．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出：当时，的取值范围是_________； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点C，连结，则的面积为_________． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：由图象可得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方； ∴当时，的取值范围为或； （3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 23．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集： (3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【详解】（1）解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 【考点五】实际应用（跨学科建模） 24．（24-25九年级上·江苏南通·期中）面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为cm，高为cm，且当=5cm，=6cm， （1）求与的函数关系式； （2）求当=4cm时，下底长多少？ 【答案】（1）；（2）下底长15cm． 【知识点】实际问题与反比例函数 【详解】试题分析：本题考查了列反比例函数关系的几何应用. （1）先根据梯形的面积公式得到梯形的面积，进而根据梯形的面积表示出梯形的高即可； （2）把y=4代入（1）得到的式子求出上底，再乘以3即为下底长． （1）∵x=5cm，y=6cm，上底长是下底长的， ∴下底长为10cm， ∴梯形的面积=×（5+10）×6=45， ∴梯形的高= ∴； （2）当y=4cm时，x=7.5， ∴2x=15． 答：下底长15cm． 25．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【答案】(1)所求函数关系式为 (2)需要5台这样的挖掘机 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以16即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． （2）解：当时，， ， ， 答：需要5台这样的挖掘机． 26．（24-25九年级上·江苏南通·期中）一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度v（km/h）的变化，所需时间t（h）的变化情况如图所示． （1）甲、乙两地相距　 　km；t与v之间的函数关系式是　 　； （2）当汽车的平均速度为75km/h时，从甲地到乙地所需时间为多少h？ 【答案】（1）600；；（2）所需时间为8小时． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）直接利用距离公式求出甲乙两地距离；(2)利用t与v之间的函数关系式，得出t的值． 【详解】（1）600；； （2）当v=75 km/h时，=8（小时） 答：所需时间为8小时． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确得出s与t，v的函数关系式． 27．（24-25九年级上·江苏南通·期中）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件． (1)写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式； (2)广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)设计师可以拿到“特殊贡献奖” 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可； （2）分别求得销量不低于80件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能． 【详解】（1）解：当时，设，把代入得， ； 当时，设，把代入得， ； （2）解：当时，又得，，即，有5天； 当时，由， 解得：，即，有5天， 共有（天， 因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大． 28．（24-25九年级上·江苏溧阳·期中）丽水苛公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）.根据经验，v,t的一组对应值如下表： v(千米/小时) 75 80 85 90 95 t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 （1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t(小时)的函数表达式；     （2）汽车上午7:30从丽水出发，能否在上午10:00之前到达杭州市？请说明理由：     （3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围. 【答案】（1）v= ；（2）汽车上午7:30从丽水出发，不能在上午10:00之前到达杭州市场；（3）平均速度v的取值范围是75≤v≤ 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v=，利用待定系数法求出k即可； （2）根据时间t=2.5，求出速度，即可判断； （3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可； 【详解】（1）解：（1）根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象（如图所示）， 根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试.设v与t的函数表达式为v= , ∵当v=75时，t=4，∴k=4×75=300. ∴v= . 将点（3.75,80），（3.53,85），（3.33,90），（3.16，95）的坐标代入v= 验证： ， ， ， ， ∴v与t的函数表达式为v= . （2）解：∵10-7.5=2.5， ∴当t=2.5时，v= =120>100. ∴汽车上午7:30从丽水出发，不能在上午10:00之前到达杭州市场. （3）解：由图象或反比例函数的性质得，当3.5≤t≤4时，75≤v≤ . 答案：平均速度v的取值范围是75≤v≤ . 【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 29．（26-27九年级上·江苏南京·期中）综合与实践 【提出问题】密度计中蕴含哪些数学知识？ 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自身的重力，重力不变，浮力就不变． ，，， ， ． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例函数． 【解决问题】 (1)下列说法正确的是___________（填序号） ①增大，增加；②增大，减小； ③密度均匀增加时，深度的变化量相同； ④密度计刻度数值上小下大，刻度间距上疏下密． (2)综合与实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度（假设该密度计上下粗细均匀）．当该密度计竖直漂浮在酒精中时，露出酒精液面高度为；竖直漂浮在水中时，露出水面高度为；竖直漂浮在某盐溶液中时，露出液面的高度为，求①该盐溶液的密度；②该密度计可以测量的液体密度应大于多少？（参考数据：，） 【答案】(1)②④ (2)①该盐溶液的密度为；②该密度计可以测量的液体密度应大于． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据反比例函数的性质，进行判断即可； （2）①设密度计总长度为，根据，以及反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，列出方程求出的值，进而求出反比例函数的解析式，再求出盐溶液的密度即可；②求出密度计完全浸没时，液体的密度即可得出结果. 【详解】（1）解：∵与成反比例函数，且密度计的均为正数，即，， ∴反比例函数的图象在第一象限，随着的增大而减小， ∵反比例函数的图象为曲线， ∴当密度均匀增加时，深度的变化量不相同， ∵越大对应越小， ∴密度计上方刻度数值小，下方刻度数值大； 又∵随的变化越来越慢， ∴相同密度差对应的刻度间距上疏下密； 故正确的是②④； （2）解：①设密度计总长度为， 由题意，得， 解得， ∴， ， ∴当时，； ∴该盐溶液的密度为； ②当密度计整个浸没时，即时，； ∴该密度计可以测量的液体密度应大于． 30．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … (1)___________，___________； 【问题探究】 (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 (3)结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图像； ②当时，的解集为___________ 【答案】(1)；； (2)①如图： ②减小； (3)①如图： ②或． 【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的增减性、实际问题与反比例函数、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象；②找出当时，结合函数图象，找出满足函数的图象在函数的图象上方（包括相交）部分对应的的取值范围． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得． （2）①作图：略； ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． （3）①作图：略 ②由函数图象知，当或时，函数的图象在函数的图象的上方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为或． 【考点六】 压轴综合（数形结合） 31．（25-26九年级·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求k的值． 【答案】(1)证明：∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)①；② 【知识点】二次根式的乘法、分母有理化、解一元二次方程——直接开平方法、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）①根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可； ②利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，点在上， ， ， ， 如图，交点的坐标为，即， ， ． ②解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点， ，， ∵， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵在上， ， 整理得：， ，是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将代入， 得，整理得， 联立，得， ∵， ∴， 即， 解得， 代入，得． 32．（25-26九年级·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为， (2) (3)点坐标为或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、图形上与已知两点构成直角三角形的点、 求矩形在坐标系中的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，求得，可得，进而可得反比例函数为，联立解析式即可求出交点坐标 （2）由面积比，结合共底三角形面积比等于高之比，得点，进而求出点C横坐标，由此求出直线解析式，可得点坐标，再根据计算面积即可； （3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况讨论直角的位置，根据勾股定理列方程求解出点坐标，再根据平移确定点N坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数，解得， 故． 将代入反比例函数，得， 因此反比例函数为：， 联立一次函数与反比例函数，得 解方程组得，， 故点坐标为. （2）解：如图，直线与y轴交于点H． ∵，，， ∴， ∵，点在第三象限， ∴， 故 ∴直线解析式为：， ∴点坐标为， ∴ （3）解：设点坐标为， ∵，， ∴， ， ， 以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，分三种情况 ①当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；，， ∴点坐标为， 将点向左平移1单位，上平移2单位得到点， ∴点坐标为， ②当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；， ∴点坐标为， 将点向右平移1单位，下平移2单位得到点， ∴点坐标为， ③当时，， ， 整理得： 解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 此时不存在满足条件的M， 综上所述：使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，点坐标为或． 【点睛】解（3）的关键是根据矩形的性质，利用勾股定理列方程求解． 33．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于、两点，与直线交于点E． (1)求的表达式； (2)点P在反比例函数图象上，且在直线下方，若求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且点P在第一象限，如图2所示，将点P沿射线方向平移个单位得到点，点F在反比例函数图象上，且满足，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】分母有理化、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS）、一次函数与反比例函数的交点问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，则，求解即可； （3）根据平移求出，当F点在第三象限时，过作轴交于G点，根据所给条件推导出，则直线与反比例函数图象的交点为F点；当F点在第一象限时，过作轴，且，过H点作，且，连接，可得，则直线与反比例函数图象的交点为F点． 【详解】（1）解：将代入中， ∴， ∴， 将代入， ∴， ∴， 将，代入中， ∴， 解得， ∴的表达式为； （2）解：过点P作轴交于点Q， 当时，解得， ∴， 设，则， ∴， 解得， 经检验，均为原分式方程的解， ∵ ∴或； （3）解：∵点P在第一象限， ∴， ∵点P沿射线方向平移个单位， ∴P点向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴， 当F点在第三象限时，过作轴交于G点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ∴； 当F点在第一象限时，当时，， 即， 过作轴，且，过H点作，且，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在线段上， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ， ∴； 综上所述：F点坐标为或． 34．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 35．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； (2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”． （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得． （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 36．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． (3)如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 【答案】(1)②③ (2)①；② (3)存在，或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据新定义逐个验证，即可求解． （2）①设，根据，在直线上得出，根据，是“瞬移点”得出，即可得出； ②联立，根据根与系数的关系可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，得出，即可建立方程求解． （3）根据新定义求得，根据正方形的性质以及全等三角形的性质得出的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ①，②，③， ∴是“2瞬移点”的有②③； （2）解：①设， ∵，在直线上， ∴ ∴， ∵，是“瞬移点”， ∴， ∴， ②联立 消去y得，， ，， ， ∵有两个交点A，B， ∴，即， 又∵B在A的右侧，则， ， 如图所示，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∵A，B在第一象限，则， ， ； 所以， ， 经检验是原方程的解， ∴m的值为3； （3）解：存在， ∵，， ①当时，解得：，满足， 此时， 当在第三象限时，如图所示， 过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在第四象限时， 设，则与关于对称， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当时，解得：，满足，结论同①， ∵不能为对角线，且，不存在其他情形， 综上所述，或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义02 反比例函数（6大考点专练） 【考点一】 反比例函数的概念 【考点四】 反比例函数与一次函数综合 【考点二】 图象与性质判断 【考点五】 实际应用（跨学科建模） 【考点三】 k 的几何意义（面积） 【考点六】 压轴综合（数形结合） 考点 1 反比例函数的概念 一般地，形如 y ＝ （k 为常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数。 说明：三种表达形式等价；自变量 x ≠ 0（分母不为 0），函数值 y ≠ 0；比例系数 k ≠ 0。判断一个函数是否反比例函数，可看两变量之积是否恒为非零常数 k。 考点 2 反比例函数的图象 （1）图象是双曲线，由两支曲线组成；当 k > 0 时，两支分别位于第一、三象限；当 k < 0 时，两支分别位于第二、四象限。 （2）图象关于原点中心对称，也是轴对称图形（对称轴为直线 y ＝ x 与 y ＝ －x）。 （3）描点法作图步骤：列表（取成对对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连接；两支均不过原点、不与坐标轴相交。 （4）双曲线与坐标轴永不相交（因 x ≠ 0、y ≠ 0）。 考点 3 反比例函数的性质 增减性（核心限定“同一象限内”）： 当 k > 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 注意：不能笼统地说“整个函数 y 随 x 增大而增大/减小”，必须分象限讨论；比较函数值大小时，应依据点所在象限与同一象限内的增减性综合判断。 |k| 越大，双曲线离坐标原点越远、弯曲程度越小。 考点 4 比例系数 k 的几何意义 设 P(x, y) 为双曲线 y ＝ 上任意一点，过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，则矩形 OAPB 的面积恒为 |k|，即 推论：由双曲线上一点与原点、两轴上的垂足构成的直角三角形面积恒为 |k| 的一半，即 应用：已知面积反求 k 时，须结合图象所在象限判断 k 的正负，即由 |k| 定大小、由象限定符号。 考点 5 用待定系数法求解析式 步骤：设解析式 y ＝ （k ≠ 0）→ 代入一个已知点坐标 → 求出 k → 写出解析式； 结合 k 的几何意义：已知矩形面积与位置时，可由 |k| 定大小、由象限定符号求得 k。 考点 6 反比例函数与一次函数综合 （1）交点：联立 y ＝ 与 y ＝ ax ＋ b，解方程组得交点坐标； （2）比较大小：当 x 取同一值时，比较两图象的上下位置； （3）求面积：以坐标轴或两交点连线为底，利用交点坐标构造三角形、四边形求面积（常用坐标轴割补法）； （4）交点个数：将联立方程转化为一元二次方程，由判别式判断两图象交点的个数（0、1 或 2 个）。 【考点一】反比例函数的概念与解析式 1．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为__________． 【考点二】图象与性质判断 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．点在反比例函数的图象上 D．当时， 7．（24-25九年级上·江苏溧阳·期中）若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 8．（2024九年级·江苏连云港·期中）反比例函数的图象在第_______象限． 9．（24-25九年级·江苏扬州·期中）已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是__________． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为______； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【考点三】 k 的几何意义（面积） 11．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为（　　）    A． B． C． D．3 13．（2024九年级上·江苏南通·期中）如图，O是坐标原点，平行四边形的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过顶点B，则平行四边形的面积为（　　） A．27 B．18 C．15 D．12 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，点、为反比例函数图像上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点、恰好为、的中点，当的面积为时，的值为______________________．    15．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ______ ．    16．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． (1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）； (2)若四边形的面积为，求的值． 17．（24-25九年级·江苏盐城·期中）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为． （1）求k和m的值； （2）点C（x，y）在反比例函数y=的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围； （3）过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值． 【考点四】反比例函数与一次函数综合 18．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 19．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 20．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于两点，这两个点的横坐标分别是和． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集． 21．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为_________． 22．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出：当时，的取值范围是_________； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点C，连结，则的面积为_________． 23．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集： (3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【考点五】实际应用（跨学科建模） 24．（24-25九年级上·江苏南通·期中）面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为cm，高为cm，且当=5cm，=6cm， （1）求与的函数关系式； （2）求当=4cm时，下底长多少？ 25．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 26．（24-25九年级上·江苏南通·期中）一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度v（km/h）的变化，所需时间t（h）的变化情况如图所示． （1）甲、乙两地相距　 　km；t与v之间的函数关系式是　 　； （2）当汽车的平均速度为75km/h时，从甲地到乙地所需时间为多少h？ 27．（24-25九年级上·江苏南通·期中）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件． (1)写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式； (2)广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？ 28．（24-25九年级上·江苏溧阳·期中）丽水苛公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）.根据经验，v,t的一组对应值如下表： v(千米/小时) 75 80 85 90 95 t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 （1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t(小时)的函数表达式；     （2）汽车上午7:30从丽水出发，能否在上午10:00之前到达杭州市？请说明理由：     （3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围. 29．（26-27九年级上·江苏南京·期中）综合与实践 【提出问题】密度计中蕴含哪些数学知识？ 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自身的重力，重力不变，浮力就不变． ，，， ， ． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例函数． 【解决问题】 (1)下列说法正确的是___________（填序号） ①增大，增加；②增大，减小； ③密度均匀增加时，深度的变化量相同； ④密度计刻度数值上小下大，刻度间距上疏下密． (2)综合与实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度（假设该密度计上下粗细均匀）．当该密度计竖直漂浮在酒精中时，露出酒精液面高度为；竖直漂浮在水中时，露出水面高度为；竖直漂浮在某盐溶液中时，露出液面的高度为，求①该盐溶液的密度；②该密度计可以测量的液体密度应大于多少？（参考数据：，） 30．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … (1)___________，___________； 【问题探究】 (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 (3)结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图像； ②当时，的解集为___________ 【考点六】 压轴综合（数形结合） 31．（25-26九年级·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求k的值． 32．（25-26九年级·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于、两点，与直线交于点E． (1)求的表达式； (2)点P在反比例函数图象上，且在直线下方，若求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且点P在第一象限，如图2所示，将点P沿射线方向平移个单位得到点，点F在反比例函数图象上，且满足，请直接写出点F的坐标． 34．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； (2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 36．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． (3)如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $