期中讲义02 反比例函数（8大考点专练）2026-2027学年九年级数学上册复习讲义+重难点专题训练（人教版）

期中讲义02 反比例函数（8大考点专练） 【考点一】反比例函数概念辨析 【考点五】二次函数与反比例函数 【考点二】求反比例函数解析式 【考点六】反比例函数与一次函数综合 【考点三】图象与性质、增减性比较大小 【考点七】存在性综合 【考点四】k 的几何意义与面积问题 【考点八】实际应用建模 考点一　反比例函数的概念 一般地，形如 y= （k 为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中 k 称为比例系数。自变量 x 的取值范围是 x≠0 的一切实数。 判断一个函数是否为反比例函数，关键看三点：一是解析式能化为分式或乘积形式；二是比例系数 k≠0；三是自变量 x 的次数为 -1。注意区分正比例函数 y=kx（k≠0）与反比例函数 y=。 考点二　反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，由两支组成，无限延伸，但两支永不与坐标轴相交，坐标轴是它的渐近线。性质由 k 的符号决定。 k＞0：　 k＜0：　 特别强调“在每个象限内”这一前提：增减性只在同一个象限内成立，不能跨越象限比较大小。反比例函数的图象还关于原点成中心对称，同时关于直线 y=x 和 y=-x 成轴对称。 考点三　k 的几何意义 过双曲线 y=上任意一点 P(x,y) 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足为 A、B，则矩形 OAPB 的面积等于 |k|；由 P 与两垂足、原点构成的直角三角形面积等于 |k|/2。这是面积定值问题的核心依据。 矩形面积：　 三角形面积：　 考点四　反比例函数与一次函数综合 求交点坐标，将两个解析式联立成方程组，通常转化为一元二次方程求解；判断两个函数图象能否共存，关键是看比例系数 k 的符号是否一致（如 y=kx 与 y= 的 k 必须同号）；比较函数值大小，则利用图象，在给定自变量区间内直观判定。 考点五　反比例函数的实际应用 从实际问题中抽象出“两个变量的乘积为定值”的关系（如行程问题中速度与时间、压强与受力面积、工程问题、杠杆原理等），建立反比例函数模型求解。求解时须注意自变量必须落在使实际意义成立的取值范围内，不能取使分式无意义的 0 或负值。 考查维度 高频考点 常见形式 命题趋势 概念与解析式 反比例函数判断、由图象上点确定 k 选择题、填空题 基础必考，侧重概念辨析 图象与性质 k 的符号与象限、增减性、对称性 选择题、填空题 常与一次函数图象共存考查 k 的几何意义 面积定值问题 填空、解答题 高频，常作压轴小题 函数综合 与一次函数交点、面积、不等式 解答题 综合能力考查的重点 实际应用 建模求解析式、解决实际问题 解答题 多联系物理情境（压强、杠杆等） 【考点一】反比例函数概念辨析 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可． 【详解】解：① ，不是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④ ，分母不是，不是反比例函数； ⑤ ，即，是反比例函数； ⑥ ，不是反比例函数； ⑦ ，即，是正比例函数，不是反比例函数． ∴ 是反比例函数的有②、③、⑤，共3个． 故选：B． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知是关于x的反比例函数，则_____． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义，函数形式应为 （），因此指数部分必须为，且系数非零，据此计算即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且 解得：且， 综上所述，． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖南·期中）下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是__________填所有正确的序号． 【答案】 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，判断函数是否为反比例函数，需满足形式（k为常数且），或等价形式如．需逐一分析每个函数是否符合条件，注意分母是否为的一次式，以及是否存在其他变形导致不符合定义的情况． 【详解】解：，未明确说明的取值范围，可能为0，因此不符合题意； ，由于（无论为何实数），分母为，分子为常数且不为零，故符合反比例函数的定义； ，可化简为，分子为常数且，符合定义，故是反比例函数； ，分母为，不符合分类函数的形式，不属于反比例函数，故不符合； ，此为正比例函数，与反比例函数形式不同，故不符合； ，为反比例函数与常数的组合，不符合纯反比例函数的定义，故不符合； ，该函数可化为，自变量的指数是，不等于，不符合反比例函数的定义，故不符合； ，即，显然符合反比例函数的定义，故是反比例函数； ，变形为，即，符合反比例函数的定义，故是反比例函数． 综上，符合条件的函数为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）已知函数． (1)若y是x的正比例函数，则m的值为________； (2)若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为________． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，将一般式转化为的形式成为解题的关键． （1）根据（k是不等于零的常数）是正比例函数，据此即可解答； （2）根据一般式转化为的形式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且，解得或． 故答案为：或． （2）解：∵是反比例函数， ∴且，解得， ∴， ∴故y关于x的函数表达式为． 6．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【知识点】由反比例函数值求自变量、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 【考点二】求反比例函数解析式 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）若反比例函数的图象经过点，则下列不在这个函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解答本题的关键． 先将代入反比例函数解析式，求出，然后再将各个点代入解析式中，判断是否在函数图象上即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， ， ， A、因为，所以点在函数图象上，故A选项不符合题意； B、因为，所以点在函数图象上，故B选项不符合题意； C、因为，所以点不在函数图象上，故C选项符合题意； D、因为，所以点在函数图象上，故D选项不符合题意； 故选：C． 8．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知点在反比例函数的图象上，则下列不在此反比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质（反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值），解题的关键是先确定的值，再验证点的横纵坐标乘积是否等于． 先由点代入反比例函数得，再分别计算各选项点的横纵坐标乘积，判断是否等于，乘积不等于的点即为不在图象上的点． 【详解】解：已知点在反比例函数上，代入得 ， ∴， 反比例函数为． 选项A：点，计算，满足，在此图象上； 选项B：点，计算，满足，在此图象上； 选项C：点，计算，不满足，不在此图象上； 选项D：点，计算，满足，在此图象上． 因此，不在此反比例函数图象上的点是C． 故选：C． 9．（2024九年级上·四川眉山·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将沿直线翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线经过点C，则k的值为_____． 【答案】 【知识点】折叠问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，作轴于D，轴于E，设，依据直线的解析式即可得到点A和点B的坐标，进而得出，，再根据勾股定理即可得到，进而得出，即可得到k的值． 【详解】解：作轴于D，轴于E，如图， 设， 当时，，则， 当时，，解得：，则， ∵沿直线翻折后，点O的对应点为点C， ∴，， 在中，，① 在中，，② ①-②得， 把代入①得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式； （2）先求出直线的解析式，根据直线平移得到直线的解析式，即可求出交点B的坐标 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． 11．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，一次函数与反比例函数图象交于点． (1)反比例函数解析式：___________，一次函数解析式：___________ (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点距离的计算； （1）设反比例函数解析式为，一次函数解析式为，先将点代入反比例函数解析式求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入一次函数解析式即可求出； （2）由题意得，分类讨论：当D点在C点上方时，，当C点在D点上方时，，分别求出a的值，再根据点在反比例函数第二象限的图象上，最后确定a的值. 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，一次函数解析式为， ∵一次函数与反比例函数图象交于点， ∴， 解得： ∴， 代入得：， 解得： ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为. 故答案为：，. （2）解：轴， 由题意得， ， 当D点在C点上方时，， 化简得： 解得：或， 当C点在D点上方时，， 化简得： 解得：或， 点在第二象限， 或. 故答案为：或. 【考点三】图象与性质、增减性比较大小 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．该图象关于直线对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 根据反比例函数（）的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：反比例函数， 选项A、当时，，则点在图象上，A正确； 选项B、，则图象在第一、三象限，B正确； 选项C、当时，随的增大而减小，C错误； 选项D、若点在图象上，则，即，点也在图象上，则图象关于直线对称，D正确， 故选：C． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．图象关于原点对称 C．图象经过点 D．若，则 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的性质．根据反比例函数图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：， 图象在第二、四象限，关于原点对称，故A，B正确，不符合题意； 将代入解析式得， 图象经过点，故C正确，不符合题意； 根据反比例函数在或上，随着的增大而增大， 当时，、的大小无法确定，故D错误，符合题意； 故选：D． 14．（24-25九年级·海南海口·期中）点、、都在反比例函数的图象上，、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数图象性质．由反比例函数解析式可得双曲线所在象限及在各自象限内函数的增减性，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在各象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 15．（24-25九年级上·山东烟台·期中）点和点在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为_________． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小． 判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 【详解】解：的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期中）关于反比例函数的下列说法：①该函数的图象在第二、四象限；②若两点在该函数图象上，且，则；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则b的范围是．其中正确的是__________（填序号）． 【答案】①③④ 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，由可以判断①；根据反比例函数增减性可以判断②；根据反比例函数性质可以判断③；根据一元二次方程根的判别式可以判断④． 【详解】解：， ∴其图象在第二、四象限，故①正确； 由，不能确定与的大小，故②错误； 时，， ∴当时，，故③正确； 由，得， ， ， ，故④正确． 综上分析可知：正确的是①③④． 故答案为：①③④． 17．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； (2)在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 【答案】(1)， 画图如下： (2) 由图象可知：在每一个象限内，随的增大而增大， ∵和在反比例函数图象上， ∴当在同一象限内时，， 当不在同一象限内时，； 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数图象所在的象限，判断的取值范围，利用对称性画出另一支的示意图即可； （2）分在同一象限内，和不在同一象限内两种情况进行讨论说明即可． 【详解】（1）解：由图象可知，反比例函数图象过第二象限，则另一支在第四象限， ∴， ∴， （2）略 18．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【答案】(1) (2)3 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知反比例函数的增减性求参数、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）由一次函数解析式求出、的坐标，进而求得点坐标，代入即可求得的值． （2）设，则，由于的值在时，随的增大而增大，随的值的增大而增大，即可得出随的增大而增大．再由点，则当时，，所以当时，S值最小，把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， ，． 为线段的中点， ∴， ， 反比例函数的图象过点， ， ∴， （2）解：点是反比例函数的图象上一个动点， 设， ， 设，则， 随的增大而增大， 在中，， 时，随的增大而增大， 随的增大而增大． 由（1）知，， ∴当时，， ∴当时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键． 【考点四】k 的几何意义与面积问题 19．（25-26九年级·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 20．（24-25九年级上·山东济南·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，连接，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，求出、的坐标，从而得到直线的解析式，得到点的坐标，根据进行计算即可得出答案，求出、的坐标是解此题的关键． 【详解】解：如图，   ，反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”， ， 整理得：， 解得：，， 当时，，当时，， ，， 设直线解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， ， ， ， 故选：A． 21．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为______ 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特点，矩形的性质，正方形的性质，理解反比例函数图像上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质和正方形的性质是解决问题的关键． 根据点的坐标为及矩形的性质得，，再根据正方形的性质设，则，进而得点，然后根据点，均在反比例函数的图像上，得，由此解出，进而可得点的坐标． 【详解】解：点，四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴设， ∴， ∴点， ∵点，均在反比例函数的图像上， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 【答案】/0.75 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正确表示出A、B、C的坐标是解题的关键． 设，则，再利用待定系数法求得直线的解析式，与函数联立成方程组，解方程组即可求得C的坐标，然后代入三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴， 将代入，则， ∴ 则， 设直线， 则， 解得 ∴直线为， 由，解得或（舍） ∴， ∴ 故答案为：． 23．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点在双曲线上，顶点B在双曲线（，且）上，边在x轴上．    ①若，则的长度为_________； ②若的面积是7，则k的值是_________． 【答案】 3 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数定义是解决本题的关键． ①先求出点A、B的坐标，则可求，然后根据平行四边形的性质求解即可； ②根据平行四边形的性质和点A的坐标可求，进而求出点B的坐标，即可求出k的值． 【详解】解：①∵在上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点B的纵坐标为2， 又点B在上， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴； ②∵的面积是7，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3，． 24．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，正比例函数与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点，轴于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一点，连接，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式． （1）把代入正比例函数解析式，可求得的值，然后代入反比例函数解析式，可求得的值，即可求解函数解析式； （2）先求出的面积，即可得到的面积，然后设点坐标为，再由面积公式建立方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，把代入中，得， 即， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：， ， 、B关于原点对称， ， 到的距离为， ， ∵ ， 设点坐标为，则到的距离为， ，解得或， 点坐标为或． 25．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； (2)出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离． 【答案】(1) (2)6米 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用及坐标与图形的关系． （1）由，得，设双曲线的解析式为，将代入得，进而求得解析式； （2）设点C的坐标为，将点C代入得到点C的横坐标，进而求出B，C之间的水平距离． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴点B的坐标为， 设段滑梯所在的双曲线的解析式为（k为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：设点C的坐标为，将代入， 得，解得，（米）， ∴B，C之间的水平距离为6米． 26．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，点、在反比例函数（）的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)由图象直接写出、的大小关系； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、比较反比例函数值或自变量的大小、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据图象即可得； （2）根据矩形的判定与性质可得，再根据点A、B的坐标可得，从而可得，因此，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：轴，轴，， 四边形是矩形， ， 、， ， ， 解得， ， 将点代入得：． 【考点五】二次函数与反比例函数 27．（2024·宁夏银川·期中）如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 28．（24-25九年级·黑龙江大庆·期末）函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、反比例函数图象与系数的关系，先根据二次函数图象得到字母系数的正负，再判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：由二次函数解析式得，对称轴为， A、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象符合题意；故正确； B、当，抛物线开口方向向上，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，抛物线与y轴交于负半轴，本图象不符合题意；故错误； C、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； D、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； 故选：A． 29．（24-25九年级·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 30．（24-25九年级·宁夏银川·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、反比例函数、二次函数图象综合判断、求反比例函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【考点六】反比例函数与一次函数综合 31．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数及一次函数图像，掌握反比例函数、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 分别根据k的符号判断反比例函数和一次函数的图像即可解答． 【详解】解：A．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，与矛盾，不符合题意； B．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即与矛盾，不符合题意； C．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即与矛盾，不符合题意； D．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，符合题意． 故选：D． 32．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是____． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象的性质，利用图象法，写出直线的图象在反比例函数的图象的下方的对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得或时， 故答案为：或， 33．（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）首先求出，然后代入求出；然后联立和求出或6，然后将代入即可得到； （2）找出图象中直线在反比例函数图象上方时x的范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 34．（24-25九年级·甘肃张掖·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； (3)结合函数图象，直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）点的坐标为，，利用三角形面积公式进行解答即可； （3）由（2）及函数图象,令解之可进行求解． 【详解】（1）解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的横坐标是． ∴ ∴点 把代入得到， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：一次函数的图象与x轴交于点C， 令，得， ∴点的坐标为， ∵过点A作轴于点B． ∴ ∴， ∴的面积； （3）解：∵， ∴根据图象可知：当一次函数的值大于反比例函数的值． 令，解得或， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围为或． 35．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与x轴交于点C． (1)求k，m，b的值； (2)观察图像，直接写出关于x的不等式（）的解集； (3)连接，，求的面积； (4)将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度，若平移后的图像与反比例函数（）的图像只有一个交点，求n的值． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与方程组的解的关系等知识． （1）要求一次函数和反比例函数的表达式，可根据待定系数法求解； （2）要求不等式的解集，实质是求一次函数的图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即可得出的取值范围； （3）要求的面积，根据分割法即可求解； （4）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）将的坐标代入，得，∴． 当时，，∴； 将的坐标代入，得； （2）不等式（）的解集为； （3）如图， 一次函数的表达式为． 当时，，∴点C的坐标为， ∴； （4）将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度为，令，整理得． ∵平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ∴，解得（舍去），，∴． 【考点七】存在性综合题 36．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 37．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，反比例函数的图象经过点A，已知点，且，． (1)求k的值． (2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】三线合一、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式． （1）过点作轴于点，由等腰三角形的性质得到，再结合三角形的面积求出，得到点，再由待定系数法求解即可； （2）反比例函数解析式为，则设，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵点，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 将点代入，则； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴反比例函数解析式为 设， ∵， ∴， 解得， ∴ 38．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段与上述反比例函数的图象相交于点D． (1)求k的值和直线的解析式； (2)在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，； 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立得到方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，延长交轴于点，根据三角形不等关系可知：，所以此时的值最大，   把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段， ，即，， 设的表达式为， 将代入得到，， 解得，， 的表达式为， 联立，解得，， 点的横坐标大于0， 的横坐标为4， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 令，代入得到， ． 39．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求反比例函数解析式 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵A的坐标为都在一次函数的图像上 ，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：直线与x轴交于点C，， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴ ； （3）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 40．（24-25九年级·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；；；； (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】两点之间线段最短、矩形性质理解、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； （3）设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数、一次函数及矩形的综合应用，考查坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 41．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b的值和反比例函数解析式； (2)如图1，P为反比例函数的图象一点，使得，求P点坐标； (3)若点M是x轴上的一点，点N为平面中的一点，是否存在这样的M，N两点，使得A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)或或或； (3)存在，或或或或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到菱形的性质、一次函数的图象和性质，解一元二次方程等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由于和的底都可以看成，在轴负半轴截取, ，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P，进而得出直线和得解析式，连接直线和双曲线，求出交点即可； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和得列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点， 当时，，即点， 将点A的坐标代入反比例函数表达式，得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：对于，当时，， ∴， 令，则， ∴ 由于和的底都可以看成，在轴负半轴截取, ，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P， 同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P， ∵， 则直线m、n的表达式分别为：和， 联立直线和双曲线， 解得：，， 当时，；当时，， 点P的坐标为或； 联立直线和双曲线和， 解得：， 当时，；当时，， 点P的坐标为或， 综上可知，点P的坐标为或或或； （3）解：存在，理由： 设点， 联立方程组得， 解得，， ∴， ∴ 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或或； 综上，点N的坐标为：或或或或． 【考点八】实际应用建模 42．（25-26九年级·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【知识点】实际问题与反比例函数、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 43．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信的．经研究，电磁波的波长（单位：m）是电磁波的频率f（单位：MHz）的反比例函数，其图象如图所示． (1)电磁波的波长与频率之间的关系式为______； (2)当电磁波的频率为50MHz时，求它的波长． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）将，直接代入反比例函数表达式即可． 【详解】（1）设反比例函数为。 根据题意可知，点在反比例函数的图象上，可得 ． 解得 ． 所以，电磁波的波长与频率之间的关系式为． 故答案为： （2）当时，可得 ． 答：当电磁波的频率为时，它的波长为． 44．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）某种新型材料需先将材料加热到，再进行加工操作．材料停止加热后温度是时间的反比例函数，其图象如图所示． (1)材料停止加热后y与x的函数表达式为________． (2)停止加热后当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么可以加工的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． （1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，； 故加工的时长为． 45．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表： 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 6 4 3 (1)求出关于的反比例函数表达式； (2)机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间． 【答案】(1) (2)秒 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设这个反比例函数表达式为，根据表格中的数据求出即可； （2）分别求出、时的速度及相应的时间，比较后得出结论． 【详解】（1）解：设这个反比例函数表达式为， ∵当时，， ∴， 反比例函数表达式为； （2）当时，， （秒）， 当时，， （秒）， （秒）， 机器狗所用的最短时间为198秒． 46．（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表： 等待时间x 1 2 5 10 20 满意度y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度； (3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？ 【答案】(1) (2)12.5 (3)10 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是： （1）观察表格发现：，然后设，把，代入求解即可； （2）把代入（1）中所求函数关系式，即可求解； （3）把代入（1）中所求函数关系式，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察表格发现：， 则设， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴学生的满意度为12.5； （3）解：当时，， 解得， 草图如下： 由图象知：当时，， ∴最多可以让学生等待10分钟． 47．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【知识点】实际问题与反比例函数、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 48．（25-26九年级上·山西运城·期中）在研究电流和电阻的物理实验中，某蓄电池的电压为定值，实验人员记录了使用此蓄电池时，用电器的电流与电阻的关系如下图： (1)求出该函数的表达式； (2)当电流为时，电阻是______Ω；当电阻是时，电流是______A； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻最小是多少？ 【答案】(1) (2)； (3)用电器的可变电阻最小是 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了由实际问题列反比例函数解表达式，需掌握待定系数法求函数表达式的方法； （1）用待定系数法求表达式即可； （2）分别将和代入求值即可； （3）先将代入求值，再根据函数性质得出结论即可． 【详解】（1）解：由图可知，用电器的电流是电阻的反比例函数， 设， 将，代入得：， ∴， ∴． （2）解：将代入得：，则， ∴， 将代入得：； （3）解：将代入，得：， 解得：， ∵，且， ∴随的增大而减小， 即当时，． 答：用电器的可变电阻最小是． 49．（25-26九年级上·山东济南·期中）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)_____，消毒效果最高效力是_____； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)， (2) (3)有效 【知识点】实际问题与反比例函数、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、求反比例函数解析式 【分析】（）利用待定系数法可求出，再把代入一次函数解析式可求出消毒效果最高效力； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分别把代入一次函数和反比例函数解析式求出的值，进而求出持续时长即可判断求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴消毒效果最高效力是， 故答案为：，； （2）解：当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ∴持续时长为， ∴本次消毒有效． 50．（25-26九年级上·广东河源·期中）问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （）由表格可知，从而求得函数解析式； （）把代入解析式即可求解； （）根据题意得，然后反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由表格可知，， ∴与之间的函数关系式为； （）当时，， 答：它的平均速度是． （）根据题意，得，解得， 答：行驶时间应不少于. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义02 反比例函数（8大考点专练） 【考点一】反比例函数概念辨析 【考点五】二次函数与反比例函数 【考点二】求反比例函数解析式 【考点六】反比例函数与一次函数综合 【考点三】图象与性质、增减性比较大小 【考点七】存在性综合 【考点四】k 的几何意义与面积问题 【考点八】实际应用建模 考点一　反比例函数的概念 一般地，形如 y= （k 为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中 k 称为比例系数。自变量 x 的取值范围是 x≠0 的一切实数。 判断一个函数是否为反比例函数，关键看三点：一是解析式能化为分式或乘积形式；二是比例系数 k≠0；三是自变量 x 的次数为 -1。注意区分正比例函数 y=kx（k≠0）与反比例函数 y=。 考点二　反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，由两支组成，无限延伸，但两支永不与坐标轴相交，坐标轴是它的渐近线。性质由 k 的符号决定。 k＞0：　 k＜0：　 特别强调“在每个象限内”这一前提：增减性只在同一个象限内成立，不能跨越象限比较大小。反比例函数的图象还关于原点成中心对称，同时关于直线 y=x 和 y=-x 成轴对称。 考点三　k 的几何意义 过双曲线 y=上任意一点 P(x,y) 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足为 A、B，则矩形 OAPB 的面积等于 |k|；由 P 与两垂足、原点构成的直角三角形面积等于 |k|/2。这是面积定值问题的核心依据。 矩形面积：　 三角形面积：　 考点四　反比例函数与一次函数综合 求交点坐标，将两个解析式联立成方程组，通常转化为一元二次方程求解；判断两个函数图象能否共存，关键是看比例系数 k 的符号是否一致（如 y=kx 与 y= 的 k 必须同号）；比较函数值大小，则利用图象，在给定自变量区间内直观判定。 考点五　反比例函数的实际应用 从实际问题中抽象出“两个变量的乘积为定值”的关系（如行程问题中速度与时间、压强与受力面积、工程问题、杠杆原理等），建立反比例函数模型求解。求解时须注意自变量必须落在使实际意义成立的取值范围内，不能取使分式无意义的 0 或负值。 考查维度 高频考点 常见形式 命题趋势 概念与解析式 反比例函数判断、由图象上点确定 k 选择题、填空题 基础必考，侧重概念辨析 图象与性质 k 的符号与象限、增减性、对称性 选择题、填空题 常与一次函数图象共存考查 k 的几何意义 面积定值问题 填空、解答题 高频，常作压轴小题 函数综合 与一次函数交点、面积、不等式 解答题 综合能力考查的重点 实际应用 建模求解析式、解决实际问题 解答题 多联系物理情境（压强、杠杆等） 【考点一】反比例函数概念辨析 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知是关于x的反比例函数，则_____． 4．（25-26九年级上·湖南·期中）下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是__________填所有正确的序号． 5．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）已知函数． (1)若y是x的正比例函数，则m的值为________； (2)若y是x的反比例函数，则y关于x的函数表达式为________． 6．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【考点二】求反比例函数解析式 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）若反比例函数的图象经过点，则下列不在这个函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知点在反比例函数的图象上，则下列不在此反比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 9．（2024九年级上·四川眉山·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将沿直线翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线经过点C，则k的值为_____． 10．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 11．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，一次函数与反比例函数图象交于点． (1)反比例函数解析式：___________，一次函数解析式：___________ (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，求的值． 【考点三】图象与性质、增减性比较大小 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．该图象关于直线对称 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．图象关于原点对称 C．图象经过点 D．若，则 14．（24-25九年级·海南海口·期中）点、、都在反比例函数的图象上，、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·山东烟台·期中）点和点在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为_________． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期中）关于反比例函数的下列说法：①该函数的图象在第二、四象限；②若两点在该函数图象上，且，则；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则b的范围是．其中正确的是__________（填序号）． 17．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； (2)在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 18．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【考点四】k 的几何意义与面积问题 19．（25-26九年级·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 20．（24-25九年级上·山东济南·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，连接，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为______ 22．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 23．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点在双曲线上，顶点B在双曲线（，且）上，边在x轴上．    ①若，则的长度为_________； ②若的面积是7，则k的值是_________． 24．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，正比例函数与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点，轴于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一点，连接，且满足，求点P的坐标． 25．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； (2)出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离． 26．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，点、在反比例函数（）的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)由图象直接写出、的大小关系； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 【考点五】二次函数与反比例函数 27．（2024·宁夏银川·期中）如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级·黑龙江大庆·期末）函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 30．（24-25九年级·宁夏银川·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【考点六】反比例函数与一次函数综合 31．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是____． 33．（26-27九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 34．（24-25九年级·甘肃张掖·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点为A，过点A作轴于点B．已知，点A的横坐标是． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴交于点C，求的面积； (3)结合函数图象，直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围． 35．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与x轴交于点C． (1)求k，m，b的值； (2)观察图像，直接写出关于x的不等式（）的解集； (3)连接，，求的面积； (4)将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度，若平移后的图像与反比例函数（）的图像只有一个交点，求n的值． 【考点七】存在性综合题 36．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 37．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，反比例函数的图象经过点A，已知点，且，． (1)求k的值． (2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段与上述反比例函数的图象相交于点D． (1)求k的值和直线的解析式； (2)在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 40．（24-25九年级·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 41．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b的值和反比例函数解析式； (2)如图1，P为反比例函数的图象一点，使得，求P点坐标； (3)若点M是x轴上的一点，点N为平面中的一点，是否存在这样的M，N两点，使得A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点八】实际应用建模 42．（25-26九年级·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 43．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信的．经研究，电磁波的波长（单位：m）是电磁波的频率f（单位：MHz）的反比例函数，其图象如图所示． (1)电磁波的波长与频率之间的关系式为______； (2)当电磁波的频率为50MHz时，求它的波长． 44．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）某种新型材料需先将材料加热到，再进行加工操作．材料停止加热后温度是时间的反比例函数，其图象如图所示． (1)材料停止加热后y与x的函数表达式为________． (2)停止加热后当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么可以加工的时间有多长？ 45．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表： 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 6 4 3 (1)求出关于的反比例函数表达式； (2)机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间． 46．（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表： 等待时间x 1 2 5 10 20 满意度y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度； (3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？ 47．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 48．（25-26九年级上·山西运城·期中）在研究电流和电阻的物理实验中，某蓄电池的电压为定值，实验人员记录了使用此蓄电池时，用电器的电流与电阻的关系如下图： (1)求出该函数的表达式； (2)当电流为时，电阻是______Ω；当电阻是时，电流是______A； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻最小是多少？ 49．（25-26九年级上·山东济南·期中）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)_____，消毒效果最高效力是_____； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 50．（25-26九年级上·广东河源·期中）问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $