专题02实际问题与一元二次方程期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题02实际问题与一元二次方程期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，能分析题意，准确找出题目中的等量关系。 · 2.熟练掌握期中四类典型模型：传播问题、平均增长（下降）率问题、几何面积问题、销售利润问题，能根据模型列出一元二次方程。 · 3.会求解所列方程，并结合实际背景检验根的合理性，舍去不符合实际意义的解。 · 4.规范应用题书写格式，准确表达数量关系，规避应用题常见失分点。 ✵高频题型梳理 题型1.传播问题 题型2.增长率问题 题型3.握手、循环赛问题 题型4.数字问题 题型5.与图形有关的问题 题型6.工程问题 题型7.图表信息问题 题型8.营销利润问题 题型9.动态几何问题 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 列一元二次方程解应用题步骤 审：仔细审题，分清已知量、未知量，找出题目中的等量关系。 设：恰当设未知数，可直接设或间接设，注意标注单位。 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 解：解这个一元二次方程，得到方程的根。 验：双重检验。①检验所得数值是不是方程的根；②检验结果是否符合实际意义，舍去不合理解。 答：写出完整答案，带上对应单位。 口诀：审、设、列、解、验、答。检验是应用题的得分关键点，不可省略。 知识点二 高频应用题模型 1.传播问题: 等量关系：初始数量为a，每1个个体一轮传染x个，两轮传播后总量为b。 公式：a(1+x)2=b 提示：看清所求量是两轮后的总数量，还是新增数量。 2.平均增长（下降）率问题 基数为a，平均变化率为x，连续两次变化后结果为b。 连续增长：a(1+x)2=b ；连续下降：a(1-x)2=b 提示：x>0；求出的负根直接舍去。 3.几何面积问题： 常用方法：平移道路，拼接图形，利用矩形、正方形面积公式建立方程。 思路：设通道宽为x，用含x的代数式表示变化后的长与宽；所得边长必须大于0。 4.销售利润问题： 单件利润 = 售价 − 进价; 总利润 = 单件利润 × 销售量 规律：涨价，销售量减少；降价，销售量增加。 等量关系：（单件售价－单件进价）×销售量=总利润 补充模型：单循环问题（握手、单循环球赛）n(n-1)=总次数 ✵易错提醒 1. 应用题求出方程的根后必须检验，负数、超出实际长度、不符合现实的根要舍去。 2. 增长率公式仅适用于连续两次增长或下降，区分最终量与累计总量。 3. 面积问题中，注意道路条数，不要重复或遗漏减去通道宽度。 4. 利润问题，调价带来销量变化，列代数式时注意销量增减数量，不要写反。 5. 设未知数与写答句，必须标注单位。 6.若无特殊要求，方程的解优先保留精确值，按题目要求取舍小数。 ✵典例精讲 题型1.传播问题 1．冬季是流感高发季节．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染人，则可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 2．某学校的生物活动小组，在实践中，发现一种植物的主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是，若设每个支干长出个小分支，请你列出方程：________________． 3．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人感染几人？ (2)若不及时控制，按这样的传播速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 题型2.增长率问题 1．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均月增长率为x，根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 2．据统计，2024年某地区手机支付用户的规模为亿，经过连续两年增长，2026年约为亿．已知第二年的增长率是第一年的2倍，设第一年的增长率为x，可列方程__________． 3．某农户去年种植了10亩花生，亩产量为．今年种植新品种花生后，亩产量增加，但种植面积有所减少，已知亩产量的增长率是种植面积减少率的2倍．已知今年花生的总产量为．求种植新品种花生后亩产量的增长率． 题型3.握手、循环赛问题 1．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包．若此次抢红包活动所有红包均被抢完，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有_____人． 3．毕业前夕，舞蹈社团每位同学都给本社团的其余成员各写了一份毕业留言，一共写了份．该舞蹈社团共有多少名同学？ 题型4.数字问题 1．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是（     ） A． B． C．或 D． 2．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 3．一个两位数等于它十位上的数与个位上的数的积的倍．已知它十位上的数比个位上的数小，求这个两位数． 题型5.与图形有关的问题 1．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？（     ） A．36和24 B．54和16 C．64和12 D．和 2．如图，一农户要建一个矩形菜园，菜园的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，当所围矩形菜园的长、宽分别为________时，菜园面积为． 3．如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成．篱笆总长是，墙长是．若花园的面积是，求的长． 题型6.工程问题 1．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 2．甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 3．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 题型7.图表信息问题 1．某厂家2026年1~5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为．根据题意可得方程（    ） A．B．C．D． 2．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 3．阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题. 题型8.营销利润问题 1．某商店经销一种文具，每件成本为30元，若按每件40元销售，每月能售出600件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售单价为x元（），若商店想使月销售利润恰为10000元，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．宣纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某文具商家以每刀（宣纸单位）100元的价格购进一批宣纸，当销售价格为每刀120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸降价2元，平均每天可多售出4刀．现商家计划降价销售，若每刀宣纸降价元，商家平均每天销售宣纸可以盈利432元，则可列方程为________． 3．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，深受人们的喜爱．一位经销商在直播平台销售某种老陈醋礼盒，其进价为每盒元，按元销售，平均每天可售出盒．后来经过市场调查发现，售价每降低元，平均每天的销售量可增加盒．若该经销商想要平均每天获利元，且为了提高直播的销售量，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？ 题型9.动态几何问题 1．如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 2.在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度向点B运动，到点B处停止运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是时，P，Q两点出发了_____________． 3．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． ✵分层专项训练 一、单选题 1．小聪同学周末自主学会了“瓜豆原理”的数学模型，并利用在校的大课间把它分享给班级其他同学． 周一大课间，他教会了若干名同学，周二大课间所有会该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样就有名同学会这个模型． 若设名同学每次都能教会 名同学，则下列结论错误的是（     ） A．第一次后共有名同学会这个模型 B．第二次又增加名同学会这个模型 C．由题意可列方程 D．若不考虑其他因素，经过周三大课间后共有名同学会这个模型 2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 3．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 4．某商品经过两次降价，由每件100元降到每件81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场．设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________． 6．2026年是红军长征胜利90周年，某校在纪念活动中，校管乐团表演队伍先排成3行4列的长方形阵列，后来又加入了30人，使阵列增加的行数和列数相同，则现在该阵列共有______列． 三、解答题 7．某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，并以元/件的售价进行销售，第一周销售件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到件． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； (2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价元，周销售量就增加件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元？ 8．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 9．如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． (1)用含t的代数式分别表示 ． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实际问题与一元二次方程期中复习讲义 ✵复习目标 1.掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，能分析题意，准确找出题目中的等量关系。 2.熟练掌握期中四类典型模型：传播问题、平均增长（下降）率问题、几何面积问题、销售利润问题，能根据模型列出一元二次方程。 3.会求解所列方程，并结合实际背景检验根的合理性，舍去不符合实际意义的解。 4.规范应用题书写格式，准确表达数量关系，规避应用题常见失分点。 ✵高频题型梳理 题型1.传播问题 题型2.增长率问题 题型3.握手、循环赛问题 题型4.数字问题 题型5.与图形有关的问题 题型6.工程问题 题型7.图表信息问题 题型8.营销利润问题 题型9.动态几何问题 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 列一元二次方程解应用题步骤 审：仔细审题，分清已知量、未知量，找出题目中的等量关系。 设：恰当设未知数，可直接设或间接设，注意标注单位。 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 解：解这个一元二次方程，得到方程的根。 验：双重检验。①检验所得数值是不是方程的根；②检验结果是否符合实际意义，舍去不合理解。 答：写出完整答案，带上对应单位。 口诀：审、设、列、解、验、答。检验是应用题的得分关键点，不可省略。 知识点二 高频应用题模型 1.传播问题: 等量关系：初始数量为a，每1个个体一轮传染x个，两轮传播后总量为b。 公式：a(1+x)2=b 提示：看清所求量是两轮后的总数量，还是新增数量。 2.平均增长（下降）率问题 基数为a，平均变化率为x，连续两次变化后结果为b。 连续增长：a(1+x)2=b ；连续下降：a(1-x)2=b 提示：x>0；求出的负根直接舍去。 3.几何面积问题： 常用方法：平移道路，拼接图形，利用矩形、正方形面积公式建立方程。 思路：设通道宽为x，用含x的代数式表示变化后的长与宽；所得边长必须大于0。 4.销售利润问题： 单件利润 = 售价 − 进价; 总利润 = 单件利润 × 销售量 规律：涨价，销售量减少；降价，销售量增加。 等量关系：（单件售价－单件进价）×销售量=总利润 补充模型：单循环问题（握手、单循环球赛）n(n-1)=总次数 ✵易错提醒 1. 应用题求出方程的根后必须检验，负数、超出实际长度、不符合现实的根要舍去。 2. 增长率公式仅适用于连续两次增长或下降，区分最终量与累计总量。 3. 面积问题中，注意道路条数，不要重复或遗漏减去通道宽度。 4. 利润问题，调价带来销量变化，列代数式时注意销量增减数量，不要写反。 5. 设未知数与写答句，必须标注单位。 6.若无特殊要求，方程的解优先保留精确值，按题目要求取舍小数。 ✵典例精讲 题型1.传播问题 1．冬季是流感高发季节．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染人，则可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，第一轮后共人患病， 第二轮每人再传染人 两轮后共人患病， 故． 2．某学校的生物活动小组，在实践中，发现一种植物的主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是，若设每个支干长出个小分支，请你列出方程：________________． 【答案】 【分析】分别计算主干、支干、小分支的数量，根据总数量为列方程． 【详解】解：主干只有1个，设每个支干长出个小分支， 主干长出的支干总数为个，小分支总数为个， 主干、支干、小分支的总数是， 将三类数量相加可列出方程，即． 3．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人感染几人？ (2)若不及时控制，按这样的传播速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【答案】(1)每轮感染中平均一个人感染人 (2)216人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮传染中平均一个人感染人； （2）解：经过三轮传染后患甲流的人数为：（人）， 答：三轮传染后患病的共有216人． 题型2.增长率问题 1．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均月增长率为x，根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以二、三月总产量为等量关系，分别表示两个月产量后列方程． 【详解】解：设二、三月平均月增长率为x， 二月份产量为台， 三月份产量为台， 由二、三月份共生产450台，得． 2．据统计，2024年某地区手机支付用户的规模为亿，经过连续两年增长，2026年约为亿．已知第二年的增长率是第一年的2倍，设第一年的增长率为x，可列方程__________． 【答案】 【分析】已知第一年增长率为，可得第二年增长率为，根据增长后总量的计算方法，结合最终用户量即可列出方程． 【详解】解：由题意得，第二年增长率为， ∵2024年手机支付用户量为亿， ∴2025年用户量为亿， ∴2026年用户量为亿， 又∵2026年用户量约为亿， ∴列方程得． 3．某农户去年种植了10亩花生，亩产量为．今年种植新品种花生后，亩产量增加，但种植面积有所减少，已知亩产量的增长率是种植面积减少率的2倍．已知今年花生的总产量为．求种植新品种花生后亩产量的增长率． 【答案】种植新品种花生后亩产量的增长率为 【详解】解：设种植新品种花生后亩产量的增长率为． ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：种植新品种花生后亩产量的增长率为． 题型3.握手、循环赛问题 1．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：设参加比赛的球队数量为支． ∵ 单循环赛中每两支球队之间进行一场比赛． ∴ 总比赛场数为． 由题意得． 整理得． 得，（不符合实际意义，舍去）． ∴参加比赛的球队数量是． 2．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包．若此次抢红包活动所有红包均被抢完，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有_____人． 【答案】12 【分析】设群内总人数为，根据抢红包规则得到总收到红包数的表达式，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的解即可得到结果. 【详解】解：设该群一共有人， 根据规则，每人发1个红包，且自己不能抢自己发的红包，因此总收到红包数为， 依题意，得： 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵人数为正整数， ∴舍去负根， ∴该群一共有人. 3．毕业前夕，舞蹈社团每位同学都给本社团的其余成员各写了一份毕业留言，一共写了份．该舞蹈社团共有多少名同学？ 【答案】该舞蹈社团共有13名同学 【分析】根据每个人只能给除自己以外的人写毕业留言，即每个人写份，据此列一元二次方程解题． 【详解】解：设该舞蹈社团共有名同学， ∵每个人只能给除自己以外的人写毕业留言， ∴每个人写份留言， 据此列得方程， 解得， （舍去）， ∴该舞蹈社团共有13名同学． 题型4.数字问题 1．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：∵主对角线与第三行的乘积相等，且有公共的第三行第三列的数， ∴， ， ∴，， ∵个数均为正整数， ∴， ∴． 2．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 3．一个两位数等于它十位上的数与个位上的数的积的倍．已知它十位上的数比个位上的数小，求这个两位数． 【答案】这个两位数是. 【分析】设个位上的数为，用含未知数的式子表示十位数字与这个两位数，根据题目等量关系列方程，结合个位数字的整数特性筛选有效解，进而求出这个两位数． 【详解】解：设这个两位数个位上的数为，则十位上的数为． 根据题意，得 整理，得 解得，， 个位数字为到的整数， 不符合题意，舍去． 十位数字为， 这个两位数为． 答：这个两位数是． 题型5.与图形有关的问题 1．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？（     ） A．36和24 B．54和16 C．64和12 D．和 【答案】A 【详解】解：设长为步，则宽为步， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵长度为正数， ∴不合题意，舍去， ∴宽为步． 2．如图，一农户要建一个矩形菜园，菜园的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，当所围矩形菜园的长、宽分别为________时，菜园面积为． 【答案】长、宽 【详解】设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意得， 解得， 当时，平行于墙的边长为，不合题意舍去， 当时，平行于墙的边长为，符合题意， 故所围矩形菜园的长、宽分别为、． 3．如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成．篱笆总长是，墙长是．若花园的面积是，求的长． 【答案】 【分析】设的长为，则的长为，，根据题意可得，解答即可． 【详解】解：设的长为，则的长为，， 根据题意可得， 展开化简，得， 因式分解，得， 解得，或（不符合题意，舍去）． 当时，矩形的长是，宽是，面积是，满足题意． 故的长是． 题型6.工程问题 1．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 【答案】(1)小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷 (2)的值为2 【分析】（1）设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷， 由题意可得， 解得， ∴， ∴小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷； （2）解：由题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 2．甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件 (2)10 【分析】（1）设乙每小时生产个零件，根据甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等列方程求解即可； （2）根据已知信息列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙每小时生产个零件， 由题意得， 解得， 检验：当时，，符合题意， ∴甲每小时生产的零件为（个）， 答：甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件； （2）解：由题意得， 解得，（舍去）， 答：的值为10． 3．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 题型7.图表信息问题 1．某厂家2026年1~5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为．根据题意可得方程（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】读取统计图中3月和5月的销量数据，根据平均增长率模型建立方程． 【详解】解：由图可知，3月份销量为368，5月的销售量为450， 该厂家电车销售的平均月增长率为， 即． 2．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 3．阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题. 【答案】矩形的阔为24步，长为36步 【分析】如果设矩形田地的宽为x步，则长为(x+12)步，根据面积为864，即可得出方程求解即可． 【详解】设阔为步，则长为步． 根据题意，列方程得： 解方程，得，(不合题意，舍去)． 答：矩形的阔为24步，长为36步． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽． 题型8.营销利润问题 1．某商店经销一种文具，每件成本为30元，若按每件40元销售，每月能售出600件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售单价为x元（），若商店想使月销售利润恰为10000元，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，以月销售利润为等量关系，分别表示出每件利润与月销售量即可列方程． 【详解】解：每件利润为元.销售单价比40元上涨元，月销售量减少件， 则月销售量为件， ∵月销售利润为10000元， ∴可列方程． 2．宣纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某文具商家以每刀（宣纸单位）100元的价格购进一批宣纸，当销售价格为每刀120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸降价2元，平均每天可多售出4刀．现商家计划降价销售，若每刀宣纸降价元，商家平均每天销售宣纸可以盈利432元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】分别求出降价元后每刀宣纸的利润和每天的销售量，再根据总盈利的等量关系列方程． 【详解】解：∵ 每刀宣纸进价为元，原售价为元，现降价元， ∴ 每刀宣纸的利润为元； ∵ 每降价元，平均每天多售出刀， ∴ 降价元后，每天多售出的刀数为刀， ∴ 每天总销售量为刀； ∵ 总盈利为元，总盈利 = 每刀利润 × 总销售量， ∴ 可列方程为． 3．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，深受人们的喜爱．一位经销商在直播平台销售某种老陈醋礼盒，其进价为每盒元，按元销售，平均每天可售出盒．后来经过市场调查发现，售价每降低元，平均每天的销售量可增加盒．若该经销商想要平均每天获利元，且为了提高直播的销售量，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？ 【答案】每盒老陈醋礼盒应降价元 【分析】设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每盒应降价元，根据题意得： ， 解得：，， 为了提高直播的销售量，舍去， 答：每盒老陈醋礼盒应降价元． 题型9.动态几何问题 1．如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设运动时间为，表示出的长，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值，利用勾股定理求出的长，进而求出t的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ∴， 整理得， 解得或； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 2.在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度向点B运动，到点B处停止运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是时，P，Q两点出发了_____________． 【答案】或 【分析】作于点，设运动时间为，证明四边形是矩形，由题意分别表示出，，，由勾股定理得， 解方程即可． 【详解】解：作于点，设运动时间为， ， 矩形中，，，， ，，， 四边形是矩形， ，， 点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动， ，， ， ， ， 解得，或． 3．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为；理由如下∶ ，，点P的速度是， 点P到达点B的时间为，点P到达点C的时间为， ，点Q的速度是， 点Q到达点D的时间为． 当点P在上，即时，如图，连接，， 则，的高是， ， 解得，符合题意． 当点P在上，即时，如图， ，， 则． ， 整理得， 解得，，符合题意． 综上所述，当t的值为或3或时，的面积为． 【分析】（1）过点A作于点E，推导出四边形是矩形，进而得到，，，利用勾股定理求得，利用解答即可得解； （2）分两种情况：当点P在上，即时， ；当点P在上，即时， ，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ，， ． ， 四边形是矩形． ，，． ． （2）解：略． ✵分层专项训练 一、单选题 1．小聪同学周末自主学会了“瓜豆原理”的数学模型，并利用在校的大课间把它分享给班级其他同学． 周一大课间，他教会了若干名同学，周二大课间所有会该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样就有名同学会这个模型． 若设名同学每次都能教会 名同学，则下列结论错误的是（     ） A．第一次后共有名同学会这个模型 B．第二次又增加名同学会这个模型 C．由题意可列方程 D．若不考虑其他因素，经过周三大课间后共有名同学会这个模型 【答案】D 【分析】先分析每轮新增人数，列出两轮总人数方程，求出每人每轮教会人，再计算三轮后的总人数，对比选项判断即可． 【详解】解：根据题意可知，第一次后共有名同学会这个模型， 选项正确， 第二次增加名同学会这个模型， 选项正确， 可列方程， 选项正确， ，即， 解得，即名同学每次都能教会名同学， 则周三大课间后共有名同学会这个模型， 选项错误． 2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这两年藏书的年均增长率是x，先表示出2024年底的藏书量、再表示出2025年底的藏书量，最后根据2025年底的藏书量为万册列出方程即可． 【详解】解：设这两年藏书的年均增长率是x， ∵2023年底藏书为5万册， ∴2024年底藏书量为万册， ∴2025年底藏书量为万册， ∵2025年底藏书为万册， ∴． 3．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接列方程即可． 【详解】解：最大数为x，则最小数为， ∴． 4．某商品经过两次降价，由每件100元降到每件81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据降价的百分率来表示每次降价后的价格． 【详解】已知商品原价为元，平均每次降价的百分率为， 第一次降价后元， 第二次降价后的价格为元， 所以可列方程为． 二、填空题 5．某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场．设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________． 【答案】 【详解】解：若有个班，每个班都要和除自己之外的个班各赛1场，统计总场次为， ∴根据题意可列出的方程为（或）． 6．2026年是红军长征胜利90周年，某校在纪念活动中，校管乐团表演队伍先排成3行4列的长方形阵列，后来又加入了30人，使阵列增加的行数和列数相同，则现在该阵列共有______列． 【答案】 【分析】设增加了行，则增加了列，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设增加了行，则增加了列， 由题意可得， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴， ∴现在该阵列共有列． 三、解答题 7．某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，并以元/件的售价进行销售，第一周销售件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到件． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； (2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价元，周销售量就增加件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元？ 【答案】(1)第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为 (2)当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元 【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，根据第一周的销量为 50 件和第三周的销量为 72 件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利 1300 元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为， 由题意得，， 解得：或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； （2）解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利 1300 元， 由题意得，， 整理得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 8．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 【答案】(1)车道宽度符合标准； (2)20或30 【分析】（1）将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，即可求解； （2）根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：停车场内车道宽度均为x米，将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∵， ∴车道宽度符合标准； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：当每个车位的月租金上涨20元或30元时，该区域停车场的月租金收入为10120元． 9．如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． (1)用含t的代数式分别表示 ． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）因为点P、Q的运动速度和起始位置已知，所以用路程=速度×时间的关系，结合的总长，可直接写出的表达式． （2）因为矩形内角为直角，所以是直角三角形，如果已知的长度，那么可利用勾股定理列关于t的方程求解． （3）如果要求的面积，那么先确定和中边上的高，即的长度，再用三角形面积公式列方程，求解后结合t的取值范围判断解是否符合要求． 【详解】（1）解：∵点P从A向B以运动， ∴t秒后， ∵， ∴； ∵点Q从B向C以运动， ∴t秒后． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，是直角三角形。 ∴， 代入，，， 得 ， 展开整理得， 因式分解为， 解得（舍去），或． （3）解：∵，， ∴． 由（1）知，， ∵， ∴ ， 整理得， 解得，或（舍去）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $