6.3.3 余角和补角 教学设计 2026—2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦七年级人教版“余角和补角”课题，核心涵盖概念、性质及计算。通过折纸活动观察折痕分角，从直角、平角自然过渡到互余、互补，搭建直观学习支架。 此设计亮点显著，折纸引入培养几何直观（数学眼光），性质推导“猜—证—用”发展推理意识（数学思维），方程求角渗透模型意识（数学语言）。助力学生提升空间观念与解题能力，为教师提供结构化教学流程与分层作业资源。

6.3.3 余角和补角 教学设计 课题 6.3.3 余角和补角 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课（概念课） 教学目标 1.了解余角和补角的概念，会求一个角的余角和补角。 2.知道余角和补角的性质，并能用它解决相关问题。 3.认识方位角并会画简单的方位角。 4.经历余角、补角性质的推导和应用过程，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化，进一步提高识图能力，发展空间观念。 教学重点 了解余角、补角的概念及性质，了解方位角的概念和表达方式。 教学难点 运用余角、补角和方位角的相关知识解题。 教学方法 观察操作、合作探究、讲练结合、类比归纳 教学准备 长方形纸片、量角器、多媒体课件 课后练习 基础：教材P178T2,4,7；综合：教材P179T11,14 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 （折纸引入） 情境导入：请同学们拿出一张长方形纸片，沿一个角折叠后，观察折痕与长方形的边形成了几个角？ 学生观察回答：折痕把长方形的两个直角各分成了两个角，形成了∠1、∠2、∠3、∠4四个角。 教师追问：∠1与∠2有什么数量关系？∠3与∠4又有什么数量关系？ 引导得出：∠1＋∠2＝90°（两角合成直角），∠3＋∠4＝180°（两角合成平角），从而自然引出“互余”“互补”。 动手折叠长方形纸片，观察折痕分出的四个角，并回答∠1＋∠2、∠3＋∠4 的数量关系。 以“折纸”这种熟悉且有趣的活动引入，让学生在动手观察中直观感受“和为90°”“和为180°”的两类角，自然过渡到余角、补角的学习，激发探究兴趣。 二、探究归纳 探究点1 余角、补角的概念 探究点1：余角和补角的概念。 活动一（尝试）：画出下列各组角。 (1)∠A＝15°，∠B＝75°；　(2)∠A＝45°，∠B＝135°。 在(1)中，两个角拼接在一起，组成的角度是　　90°　　，你还能举出具有上述特征的一些角吗？ 在(2)中，两个角拼接在一起，组成的角度是　　180°　　，你还能举出具有上述特征的一些角吗？ 活动二（思考）：像(1)中这样的一对角具有什么特征？像(2)中这样的一对角又具有什么特征？ 要点归纳（概念）： 互为余角：如果两个角的和是90°（直角），则这两个角互为余角，其中一个角叫作另一个角的余角。 互为补角：如果两个角的和是180°（平角），则这两个角互为补角，其中一个角叫作另一个角的补角。 如图1，如果∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余；如图2，如果∠3＋∠4＝180°，则∠3与∠4互补。 【针对性训练】教材P177练习T1：判断哪些角互为余角或补角。 动手画出给定度数的角并拼接，由∠A＋∠B＝90°/180°归纳“互余”“互补”的定义；举出生活中具有该特征的一对角并相互交流。 通过“画—拼—说”的活动，让学生自主发现和为90°（或180°）的两角关系，顺应学生从具体到抽象的认知规律，准确建立余角、补角的概念。 探究点2 余、补角的计算 探究点2：有关余角和补角的计算。 【典例评析】例1： (1)一个角是31°42′，则它的余角是　　58°18′　　；补角是　　148°18′　　；它的补角比它的余角大　　90　　°。 (2)∠α的余角可表示为　　90°－∠α　　；补角可表示为　　180°－∠α　　。 分析：根据余角、补角的定义，求一个角的余角就用90°减去它，求一个角的补角就用180°减去它。 答案：(1)58°18′　148°18′　90；(2)90°－∠α　180°－∠α。 【典例评析】例2：一个角的补角比它的还少20°，求这个角。 分析：设这个角为x°，则它的补角为(180－x)°。由题意，补角等于这个角的，即。 解：解得x＝120。答：这个角是120°。 方法总结：余补角问题中，若角之间有比较明显的倍分关系，可尝试将较小的角设为未知数，列方程解答。 【针对性训练】教材P177练习T2、T3、T4。 仿照例1用90°－角、180°－角求一个角的余角与补角；跟随例2设未知数列方程求角，独立完成针对性训练并订正。 由定义直接过渡到求余角、补角的计算，并借助例2渗透“设元代字、列方程”的方程思想，突破解题易错点，培养有条理的计算表达能力。 探究点3 余、补角的性质 探究点3：余角和补角的性质。 思考：∠1与∠2、∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？ 学生猜一猜：∠2＝∠3。 说明：因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1，故∠2＝∠3。 要点归纳（性质）：等角（或同角）的补角相等；等角（或同角）的余角相等。 【典例评析】例3：课本P177例4（利用余角、补角的性质推理角的相等关系）。 【深度探究】填表并思考问题。 ∠1 ∠1的余角 ∠1的补角 24° 66° 156° 130° 没有余角 50° n° (90－n)° (180－n)° 问题：①任何角都有余角吗？任何角都有补角吗？②一个锐角的补角与其余角之间有什么关系？ 结论：①锐角有余角，直角、钝角没有余角；锐角、直角、钝角都有补角。 ②一个锐角α的补角比它的余角大90°，即(180°－α)－(90°－α)＝90°。 由“同角的补角”猜出∠2＝∠3并说出推理过程，归纳余角、补角性质；完成∠1=24°、130°、n°余角补角的填表，并讨论“任何角都有余角吗”。 通过“猜—证—用”，让学生亲历余角、补角性质的发现与论证过程，体会从特殊到一般的归纳方法；借助填表辨析余角、补角的适用范围，突破难点。 三、检测反馈 （当堂检测） 当堂检测： 1.下列说法中：①一个角的补角一定大于这个角的余角；②一个角的补角必定大于这个角；③若两个角互为补角，那么这两个角必定是一个锐角和一个钝角；④互余的两个非零角必定都是锐角。不正确的个数有(　　) A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 2.如图，已知∠AOB是直角，点C，O，D在一条直线上，∠AOC＝25°，则∠BOC和∠AOD的度数分别是(　　) A.75°，155°　　B.65°，155°　　C.25°，65°　　D.90°，180° 3.一个角比它的余角大25°，那么这个角的补角是(　　) A.67.5°　　B.22.5°　　C.57.5°　　D.122.5° 4.∠1与∠2互余，∠1＝(6x＋8)°，∠2＝(4x－8)°，则∠1＝　　　　，∠2＝　　　　。 5.请认真观察下图，回答下列问题。 (1)图中有哪几对互余的角？ (2)图中哪几对角是相等的角（直角除外）？为什么？ (3)如图，EO是OD的反向延长线，∠BOD＝90°，∠AOC＝90°，则图中有　　　对互余的角，分别是　　　　；有　　　对相等的角，分别是　　　　。 6.已知：如图，点A，O，B在同一直线上，∠1与∠2互余，OE，OF分别是∠AOC、∠AOD的平分线，求∠EOF的度数。 参考答案： 1.B。①正确：补角∠-余角恒为90°>0；②错误：钝角的补角小于它本身，90°的补角等于它本身；③错误：两个角都为直角时也互补；④正确：两个非零互余的角都小于90°的锐角。所以不正确的有②③共2个。 2.B。∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝90°－25°＝65°；因为点C，O，D在一条直线上，∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－25°＝155°。 3.D。设该角为x°，则x－(90－x)＝25，解得x＝57.5，补角为180－57.5＝122.5°。 4.因为∠1＋∠2＝(6x＋8)＋(4x－8)＝90°，解得x＝9，所以∠1＝62°，∠2＝28°。 5.(1)如图（直角三角形，CD为高，∠ACB＝90°），互余的角有：∠A与∠1、∠B与∠2、∠A与∠B、∠1与∠2，共4对。 5.(2)相等的角（直角除外）有：∠A＝∠2、∠B＝∠1。理由：同角（∠1）的余角相等、同角（∠2）的余角相等。 5.(3)互余的角有：∠EOA与∠AOB、∠BOC与∠COD（即∠1与∠2互余对），共2对；相等的角（直角除外）有：∠EOA＝∠BOC、∠AOB＝∠COD，共2对。 6.因为OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD， 所以∠EOF＝∠EOA＋∠AOF＝＝，即∠EOF＝90°。 独立完成含概念辨析、按条件求角、补角计算、列方程求角、观察图形找互余相等角、角平分线求∠EOF的六道题，规范书写过程并当堂互评订正。 以覆盖概念、计算、图形推理、性质应用的当堂检测即时反馈本课重难点掌握情况，针对易错点（补角与角大小关系、互余相等角的识别）重点纠错，巩固方程与转化思想。 四、本课小结 与布置作业 本课小结： 1.余角：如果两个角的和等于90°，则两角互为余角；同角（或等角）的余角相等。 2.补角：如果两个角的和等于180°，则两角互为补角；同角（或等角）的补角相等。 3.一个角的补角比它的余角大90°；锐角有余角，直角、钝角没有余角。 4.数学思想：由特殊到一般的归纳，方程思想。 互余与互补对比表： 互余 互补 两角间的数量关系 ∠1＋∠2＝90° (∠1＝90°－∠2) ∠1＋∠2＝180° (∠1＝180°－∠2) 对应图形 性质 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 布置作业：1.基础：教材P178第2、4、7题；2.综合：教材P179第11、14题。 随教师用对比表回顾余角、补角的概念、图形、性质及“补角比余角大90°”的关系，并结合对比图加深理解，记录分层作业。 用“互余/互补”对比表将概念、图形、性质结构化呈现，帮助学生整体把握知识联系；分层作业兼顾基础过关与综合提升。 板书设计 6.3.3 余角和补角 一、余角与补角的概念 和为90° → 互为余角 和为180° → 互为补角 求法：余角=90°－角；补角=180°－角 二、余角、补角的性质 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 三、重要关系与推论 补角－余角 = 90° 锐角有余角；直角、钝角无余角 设元的方程思想 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $