2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷（测试范围：第1～3章）.

2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷 （测试范围：第1~3章） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质． 根据30度角的直角三角形的性质，得，再与半径比较即可作答． 【详解】解：在中，，，， 设，则， 又，即， 解得， ， 即点A在外． 故选：A． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（     ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 由得，即， 由得， ∴． 3．对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】将各条件转化为与的关系，代入判别式判断符号，不能直接推导的举反例排除． 【详解】解：一元二次方程（）有实数根的条件是， ① 若，则，代入得， ∴方程有实数根，①符合要求； ② 若，取，，，满足，此时，方程无实数根，②不符合要求； ③ 若，则，代入得， ∵， ∴， 又， ∴，方程有实数根，③符合要求； 综上，正确条件为①③． 4．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（     ） A． B．2027 C． D．1 【答案】C 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，得 ， 整理得， 对比，得，， ∴． 5．为了改善路况，专家研究出来一种新型材料制作井盖，大大提高了井盖的抗压能力．某同学为了测试该材料的抗压能力，取下来一小块样品进行抗压力测试，如图（甲）所示，该材料样品（不计质量）平放在压力传感器上，闭合开关，经过多次压力实验，压力传感器的电阻随压力变化的过程如图（乙）．则下列说法正确的是（     ） A．压力传感器的电阻与压力为反比例关系 B．当压力传感器上没有样品时，压力传感器的电阻 C．压力传感器的电阻随压力的增大而增大 D．当压力为时，压力传感器的电阻 【答案】B 【详解】解：对于选项A：图象与轴有交点， ∴不是反比例函数关系，故A错误； 对于选项B：由图可知，当时，，故B正确； 对于选项C：由图可知，电阻随压力的增大而减小，故C错误； 对于选项D：由图可知，当时，，故D错误． 6．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 7．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（     ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由轴，可得，根据和反比例函数图象在第二象限，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 8．在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 9．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 10．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若一个直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______________． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边为方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理计算斜边长． 【详解】解：设直角三角形两条直角边的长分别为，，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 12．在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据解析式可判断函数图象所在的象限，以及在每个象限内的增减性，结合三个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵，位于第二象限，， ∴； 又∵位于第四象限， ∴， ∴． 13．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 14．如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据已知条件推出是解题的关键．连接、、，根据题意可得，，利用角的和差得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接、、， ∵为的内接正三角形的一边， ∴， ∵为的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵是圆内接正边形的一边， ∴， 故答案为：12． 15．已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的性质，根据题意可得函数图象分别在第二、四象限，则在每个象限内y随x增大而增大，据此可得当时，，利用待定系数法求出函数解析式，再根据增减性可得当时，且当时，函数有最小值，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是6， ∴，即函数图象分别在第二、四象限， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：． 16．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 【答案】 【分析】先利用切线性质得到垂直关系，结合求出的度数；再根据三角形周长和切线长定理求出的长度；最后根据弧长公式计算点的运动路径长（即绕点旋转的弧长）． 【详解】解：连接、， ∵与，分别相切于点，， ∴，， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴−−−， ∵的周长为，内切圆与，，分别相切于，，， ∴，，， ∵， ∴−， ∵，且，， ∴， ∴−， ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到点在上， ∴点的运动路径为以为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∴弧长， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、多边形内角和、弧长公式，熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解答下列各题： (1)解方程：． (2)先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】(1)， (2)化简结果为；代入求值为 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． （2）解：原式 ， ∵为的根， ∴， ∴， ∴原式． 18．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求，n的值； (2)观察图象，写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点处，连接，，求的面积． 【答案】(1)k2=-2， (2)或 (3)2 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，再求出点B坐标，据此可解决问题； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）求出点的坐标，再结合点B和点C的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入，得， ∴反比例函数的解析式为． 将点B的坐标代入，得． （2）解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， ∴不等式的解集为或． （3）解：∵点A的坐标为， ∴翻折后的点的坐标为． 将A，B两点的坐标代入，得解得 ∴直线的函数解析式为， ∴点C的坐标为． 如图，过点和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N． ，，， ． 20．探究不同的情境，回答下面的问题． (1)下列一元二次方程中有两个整数解的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知关于x的一元二次方程：． 有以下3条信息：①；②方程有两个整数解；③方程有两个相等的实数解． 从上面3条信息中选择1条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论，你选择的条件是： ，结论是 （填序号）． (3)若关于x的一元二次方程和有一个公共的整数解，求的最小值． 【答案】(1) ① (2) 条件：③，结论：② (3) 【分析】（1）分别解三个方程（或用判别式＋求根），逐一判断两个根是否都为整数，注意③只有一个根是整数，不符合题意； （2）先算判别式 ，由“两个相等的实数解”得 求出 ，回代验证两根都是整数，从而说明“条件③⇒结论②”是真命题； （3）设公共整数解为 ，代入两个方程后两式相减，由 得 ，进而得到 与 的关系式，把 化成只含 的式子，用 求最小值． 【详解】（1）解：① ，即 ， 解得 ，，两个解都是整数，符合题意； ② ，， 解得 ，两个解都不是整数，不符合题意； ③ ，即 ， 解得 ，，只有一个解是整数，不符合题意． 所以有两个整数解的是①． （2）解：选择的条件是③，结论是②．证明如下： 对于方程 ， ． 因为方程有两个相等的实数解， 所以 ，即 ， 解得 ． 此时方程为 ，即 ， 化为 ，解得 ． 因为 是整数，所以方程有两个整数解，结论②成立． 故“条件③⇒结论②”是真命题． （3）解：设这两个方程公共的整数解为 ，则 　①，　②． ①−②，得 ，即 ． 因为 ，即 ， 所以 ，解得 ． 把 代入①，得 ，即 ． 所以 ． 因为 ， 所以 ， 当 （此时 ，满足 ）时取等号， 故 的最小值为 ． 【点睛】① 第（1）问③中 的两根是 和 ，“有一个整数解”≠“有两个整数解”，别误选③； ② 第（2）问“两个相等的实数解”是指 ，此时两根相等仍是“两个整数解”，这是③⇒②成立的关键；若选①作条件， 时两根为 与 ，不全是整数，推不出②； ③ 第（3）问两式相减后必须因式分解成 ，再由 得 ，不能漏掉 这个条件，否则会误认为 可取任意值． 21．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化，一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)有员工提出目标，希望月销售利润能达到15000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 (2) 该零件的实际售价应定为元/个 (3) 这个目标不能实现，理由如下： 设售价上涨元，则 ， ， 方程无实数根， 月销售利润无法达到元，该目标不能实现． 【分析】（1）根据增长率问题的等量关系列一元二次方程，结合实际意义取舍解； （2）根据总利润公式列一元二次方程，选取符合“消费者得实惠”的解； （3）先根据总利润公式列一元二次方程，再根据根的判别式判断方程无解，即可得答案． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x，根据题意，得 整理得 解得，（不符合题意，舍去）， 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； （2）设该零件的售价上涨x元，单个利润为元，月销售量为个，根据题意，得 ， 整理，得 解得，， 要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取较小值10，此时售价为（元/个）， 该零件的实际售价应定为50元/个； （3）略 22．如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接，，作于点． ∵，为的中点， ∴平分． ∵与相切于点， ∴是的半径，， ∵，平分， ∴． ∴也是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想． （1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线． （2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴． 设，则． ∵，为的中点， ∴，即． 在中，； 在中，， ∴， 展开化简得，解得， ∴． 23．如图，长方形中（长方形的对边平行且相等，每个角都是），，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为，问： (1)当时，四边形面积是多少？ (2)当为何值时，点和点距离是？ (3)当为何值时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1) (2)或秒 (3)或或或秒 【分析】（1）当时，分别求出、和，再利用面积法求解四边形面积； （2）过作于，用表示出，在直角三角形中，根据勾股定理列出关于的方程求解即可； （3）分三类讨论：当①、、时，利用辅助线构造直角三角形，再根据勾股定理或三角形相关知识列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 长方形中，，，，， ． 四边形面积． （2）解：如图所示，过作于，， ， ． ，， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形， ，， ． ， ，即， 解得，，符合题意． （3）解：分三类情况讨论： ①当时，如下图，过作于，同理可得，，， ， 且， ，即，解得秒，符合题意． ②当时，如下图，过作于，同理可证四边形为矩形， ． 且， ， ， ， ，解得，符合题意． ③当时，如下图，，， ， ，即， 解得，负值舍去． 综上，当为或或或秒时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷 （测试范围：第1~3章） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（     ） A． B．3 C． D．不能确定 3．对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 4．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（     ） A． B．2027 C． D．1 5．为了改善路况，专家研究出来一种新型材料制作井盖，大大提高了井盖的抗压能力．某同学为了测试该材料的抗压能力，取下来一小块样品进行抗压力测试，如图（甲）所示，该材料样品（不计质量）平放在压力传感器上，闭合开关，经过多次压力实验，压力传感器的电阻随压力变化的过程如图（乙）．则下列说法正确的是（     ） A．压力传感器的电阻与压力为反比例关系 B．当压力传感器上没有样品时，压力传感器的电阻 C．压力传感器的电阻随压力的增大而增大 D．当压力为时，压力传感器的电阻 6．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 7．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（     ） A．10 B． C． D． 8．在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若一个直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______________． 12．在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 13．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 14．如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为___________． 15．已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 16．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解答下列各题： (1)解方程：． (2)先化简，再求值：，其中是方程的根． 18．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求，n的值； (2)观察图象，写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点处，连接，，求的面积． 20．探究不同的情境，回答下面的问题． (1)下列一元二次方程中有两个整数解的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知关于x的一元二次方程：． 有以下3条信息：①；②方程有两个整数解；③方程有两个相等的实数解． 从上面3条信息中选择1条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论，你选择的条件是： ，结论是 （填序号）． (3)若关于x的一元二次方程和有一个公共的整数解，求的最小值． 21．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化，一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)有员工提出目标，希望月销售利润能达到15000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 22．如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．如图，长方形中（长方形的对边平行且相等，每个角都是），，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为，问： (1)当时，四边形面积是多少？ (2)当为何值时，点和点距离是？ (3)当为何值时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $