第27章反比例函数单元测试试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度九年级上册第27章批比例函数单元测试试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（    ） A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多 4．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A． B． C．或 D．或 7．对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 8．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为，顶点在反比例函数的图像上，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题（每题3分，共15分） 11．若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为______． 12．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 13．小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂） 14．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段的中点，点D在x轴上，连接，已知的面积为2，且，则k的值为_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 三、解答题（6+6+6+8+8+8+10+11+12 共30分） 16．如果y与成反比例，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 17．已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 18．已知反比例函数图象的一支如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当且时，求自变量的取值范围． 19．如图，点A在反比例函数的图象上，且点A的坐标为． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若将直尺放置在图象上，直尺的一边经过点A，O，直尺的另一边交y轴正半轴于点B，交反比例函数的图象于点C，若点C的横坐标为，求点B的坐标． 20．为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． (1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． (2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 21．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120 （1）求v与t的函数关系式及t值的取值范围； （2）客车上午8点从甲地出发． ①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围； ②客车能否在当天12点30分前到达乙地？说明理由． 22．某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．      (1)当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． (2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 23．阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻R，之间的关系为 通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： 1 a 4 6 4 3 2 b (1) ， ； (2)根据以上实验，构建函数 结合表格信息，探究函数 的图象与性质． ①在图2中画出函数 的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ． 24．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C B C B A B D 1．D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，y是x的一次函数，故此选项不合题意； C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 3．A 【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式． 4．C 【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 5．B 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由解析式可得：抛物线对称轴； A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾； B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意； C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾； D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾． 故选：B． 6．C 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或. 故选C． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 7．B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 8．A 【详解】设P（0，b）， ∵直线AB∥x轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b， 而点A在反比例函数y=﹣的图象上， ∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b）， 又∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b）， ∴AB=﹣（﹣）=， ∴S△ABC=•AB•OP=•b=3． 故选A． 9．B 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点作轴于点G，证明，推出，进而得到，得到，代入反比例函数的解析式式，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点G， ∵点、的坐标分别为， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴． 故选：B． 10．D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 11． 【分析】根据两个点的横纵坐标的积相等，等于反比例函数的系数解答． 【详解】解：点、在同一个反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象上点的横纵坐标的积都等于反比例函数的系数，是解决本题的关键． 12．或 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的图象和性质，一元二次方程的知识，解题的关键是掌握“友好点”的定义，设点，其“友好点”，根据函数的图象和性质，进行解答，即可． 【详解】解：设点，其“友好点”， ∵点的“友好点”在反比例函数的图像上 ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点或点． 13．100 【分析】设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可解答． 【详解】解：设动力为， 根据阻力阻力臂动力动力臂， 当动力臂在1.5m时，可得方程，解得， 当动力臂在2m时，可得方程，解得， ，故节省100N的力， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键． 14．4 【分析】连接，设，，先求出，再求出的长，求出的面积，得到，由反比例函数的图象在第一象限，即可得答案． 【详解】解：如下图，连接，设，， 的面积为2，即 ， 为线段的中点， ， ， ， 又， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ． 15． 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 16．(1)； (2)0 【分析】（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式； （2）把代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， ∵当时，， ，解得， 关于x的函数解析式为； （2）解：当时，，解得． 检验：当时，， 是该分式方程的解， 的值为0． 17．(1) (2)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点B和点C的横坐标代入对应的解析式中，求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设该反比例函数的解析式为， ∵点是该反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， 当时，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 18．(1) (2)或 【分析】（1）将点B坐标代入求解k值即可； （2）先求得时的x值，再根据反比例函数图象以及增减性求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，该函数图象经过点， 将代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：令，即，解得， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，， 当且时，或． 19．(1) (2)点B的坐标为 【分析】（1）将点A代入反比例函数中求出k的值，从而得出反比例函数的解析式； （2）利用待定系数法求出边的解析式，再根据题意得出，设直线的函数解析式为，由已知点C的横坐标且点C在反比例函数解析式得出点C的坐标，进而求出直线的函数解析式，最后根据点B在y轴上求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点A在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设边所在直线的函数解析式为， 将点O和点A分别代入得： ，解得：， ∴边所在直线的函数解析式为， ∵直尺的两组对边分别对应平行， ∴直线向上平移得到直线， 设直线的函数解析式为， ∵点C的横坐标为，且在反比例函数的图象上， ，即点C的坐标为， 又∵点C在直线上， ∴将代入中， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点B在y轴上， ∴当时，， ∴点B的坐标为． 20．(1)升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数） (2)个月 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用， （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论； 正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数， 设升级改造前y与x的函数表达式为， 当时，， ∴，即， ∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）； 当时，， ∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元， ∴， ∴升级改造后y与x的函数表达式为（ 且为整数）， ∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）； （2）在中， 当时，， ∵， ∴在该象限中，随的增大而减小， ∴时，， 在中， 当时，， ∴， ∴且为整数． ∴可取，，，，；共5个月． ∴资金紧张期共有个月． 21．（1）v＝（5≤t≤10）；（2）①80千米/小时≤v≤90千米/小时；②不能，见解析 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①分别求出t＝（8点到下午14点40分）与t＝时对应的速度，即可求解； ②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，而5≤v≤10，即可求解． 【详解】解：（1）设v与t的函数关系式为v＝， 将（5，120）代入v＝， 得：120＝， 解得：t＝600， ∴v与t的函数关系式为v＝（5≤t≤10）； （2）①当t＝（8点到下午14点40分）时，v＝＝600÷＝90（千米/小时），当t＝时，v＝＝600÷＝80（千米/小时）， ∴客车行驶速度的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时； ②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，而5≤t≤10， 故客车不能在当天12点30分前到达乙地． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，解析式和实际意义，熟练掌握解析式的确定方法是解题的关键． 22．(1)； (2)11小时 【分析】本题实际问题与反比例函数，正确地求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）求出时的两个自变量的值，作差即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，直线经过点 ∴， 解得： ∴解析式为； 当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为； （2）解：令，解得：， 令，解得：， ∴（小时）， ∴一次服药后的有效时间有11小时． 23．(1)2，1.5 (2) ①画图如下： ②不断减小 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解； （2）①用描点法，画出图象；②根据表格里函数的图象性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）解：①略 ②由图象可知：随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小． 24．(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $