精品解析：广东汕头市汕樟中学2026-2027学年八年级上学期数学第13-14章综合素养训练

2026-2027学年度八年级（上）数学第13-14章综合素养训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等图形的定义，能够完全重合的两个图形是全等图形，观察各选项图形的形状和大小即可判断． 【详解】解：根据全等图形的定义可知，只有B是全等图形． 2. 如图，已知，可得，则判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，结合公共边，利用证明即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 3. 如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可证明，利用全等三角形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的高、角平分线、中线的定义逐一判断即可. 【详解】解：是的中线， 为中点，即，故C正确； 是的角平分线， ，故B正确； 是的高， ， 点在上， ，故D正确； 是角平分线，无法推出，故A错误. 5. 如图所示，有一个简易平分角的仪器（四边形ABCD），其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点处，AB和AD沿着角的两边张开，并分别与AQ，AP重合，沿对角线AC画射线AE，AE就是∠PAQ的平分线这个平分角的仪器的制作原理是（　　） A. 角平分线性质 B. AAS C. SSS D. SAS 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用SSS证明三角形全等，然后有对应角相等，即可得到答案. 【详解】解：在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC． 即AE平分∠BAD． ∴不论∠DAB是大还是小，始终有AE平分∠BAD． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等. 6. 已知等腰三角形的两边长是4和9，则等腰三角形的周长为（　　） A. 17 B. 17或22 C. 22 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】当4为底时，其它两边都为9， ∵9、9、4可以构成三角形， ∴三角形的周长为22； 当4为腰时，其它两边为9和4， ∵4+4=8＜9， ∴不能构成三角形，故舍去， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 7. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ） A. 70° B. 120° C. 125° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数． 【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE， ∴点O是三角形三条角平分线的交点， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键． 8. 如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，由作图可知：，，推出射线是的角平分线，由此对选项逐一判断，即可解答，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，熟练判断三角形全等． 【详解】解：由作图可知：，， 在与中， ， ，故A，C正确，不符合题意； ， ，故D正确，不符合题意， 无法得出，故B不正确，符合题意， 故选：B． 9. 如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别在PA，PB，AB上，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为（ ） A. 140° B. 90° C. 100° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得∠A=∠MKN，进而利用三角形内角和定理即可求得∠P的度数． 【详解】解：在△AMK和△BKN中， ， ∴△AMK≌△BKN（SAS）， ∴∠AMK=∠BKN， ∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN， ∴∠A=∠MKN=40°=∠B， ∴∠P=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，熟练掌握并利用全等三角形判定条件判定△AMK≌△BKN是解题的关键． 10. 如图，交于点，交于点，交于点，，，，给出下列结论：其中正确的结论有（ ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①正确，可以证明后，利用全等三角形的性质以及等式性质可得结论； ②正确，可利用全等三角形的性质得到结论； ③正确，可利用和全等的判定和性质得到结论； ④错误，本结论无法证明； ⑤正确，利用角边角判定三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，，故②正确； ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵， ∴，故③正确； ∵不能证明成立，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确． 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法和全等三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 二、填空题本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边相等，得出和的值即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， 对应边相等， 由于两个三角形都有边长为的边， 可能对应，则对应，对应， ，， ． 其他对应关系均导致矛盾，只有这一种情况成立． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，连接．请添加一个适当的条件：___________．使（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴添加时满足“边角边”，可证明． 13. 将一副三角板按如图所示摆放，使点A在DE上，BC∥DE，其中∠B＝45°，∠D＝60°，则∠AFC的度数是_____． 【答案】75° 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵BC∥DE， ∴∠FCB＝∠E＝30°， ∵∠AFC＝∠B+∠FCB，∠B＝45°， ∴∠AFC＝45°+30°＝75°， 故答案为75°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为___________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得与的和为． 【详解】解：如图， 在和中， ， ， ， ． 15. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______cm/s． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：5或． 三、解答题一（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 如图，已知是上的两点，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】先得出，再根据定理即可得证． 【详解】略． 17. 如图，，点E是上一点，且，延长交于点F．求证：． 【答案】证明： ， ， 在和中， ． 【解析】 【分析】先推导出，再根据证明与全等即可． 【详解】略 18. 如图，点是的边上的中点，交于点，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出， ， 得出，进而得到，再结合中点的性质等量代换即可得证． 【详解】略 四、解答题二（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是，．求证： （1）平分． （2），求的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，且点在内部， ∴平分． （2）24 【解析】 【分析】（1）先证出，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）先得出，再求出的面积，然后根据三角形的中线性质求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵是的中点， ∴． 20. 如图，在中，是高，． （1）尺规作图：作的平分线，分别交于点，交于点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）中，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，射线即为所求； （2） 【解析】 【分析】此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，解题关键在于根据题意作出图形， （1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可； （2）先求，再根据角平分线求出，进而根据求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，是高，， ，， 是的平分线， ， ， ． 21. 在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M． （1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°： ①AC与BD的数量关系为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°： ①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由； ②求∠AMB的度数． 【答案】（1）①AC＝BD，②40°； （2）①AC＝BD，理由见解析；②90° 【解析】 【分析】（1）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得AC＝BD；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形内角和定理即可解答； （2）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得BD＝AC；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形内角和定理即可解答. 【小问1详解】 解：①∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， ∴∠BOD＝∠AOC， 在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA， ∴△ODB≌△OCA（SAS）， ∴AC＝BD， 故答案是：AC＝BD， ②∵△ODB≌△OCA， ∴∠OBD＝∠OAC， ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝140°， 又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD， ∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°， ∴∠MAB+∠ABM＝140°， ∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°， ∴∠AMB＝40°， 故答案是：40°； 【小问2详解】 解：①∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， ∴∠BOD＝∠AOC， 在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA， ∴△ODB≌△OCA（SAS）， ∴AC＝BD； ②∵△ODB≌△OCA， ∴∠OBD＝∠OAC， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， 又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD， ∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝90°， ∴∠MAB+∠ABM＝90°， ∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°， ∴∠AMB＝90°． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形内角和定理；熟练掌握全等三角形判定和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度八年级（上）数学第13-14章综合素养训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，可得，则判断的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，有一个简易平分角的仪器（四边形ABCD），其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点处，AB和AD沿着角的两边张开，并分别与AQ，AP重合，沿对角线AC画射线AE，AE就是∠PAQ的平分线这个平分角的仪器的制作原理是（　　） A. 角平分线性质 B. AAS C. SSS D. SAS 6. 已知等腰三角形的两边长是4和9，则等腰三角形的周长为（　　） A. 17 B. 17或22 C. 22 D. 16 7. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ） A. 70° B. 120° C. 125° D. 130° 8. 如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别在PA，PB，AB上，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为（ ） A. 140° B. 90° C. 100° D. 110° 10. 如图，交于点，交于点，交于点，，，，给出下列结论：其中正确的结论有（ ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_____ ． 12. 如图，在四边形中，，连接．请添加一个适当的条件：___________．使（只需写一个） 13. 将一副三角板按如图所示摆放，使点A在DE上，BC∥DE，其中∠B＝45°，∠D＝60°，则∠AFC的度数是_____． 14. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为___________． 15. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______cm/s． 三、解答题一（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 如图，已知是上的两点，．求证：． 17. 如图，，点E是上一点，且，延长交于点F．求证：． 18. 如图，点是的边上的中点，交于点，，．求证：． 四、解答题二（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是，．求证： （1）平分． （2），求的面积． 20. 如图，在中，是高，． （1）尺规作图：作的平分线，分别交于点，交于点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）中，求的度数． 21. 在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M． （1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°： ①AC与BD的数量关系为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°： ①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由； ②求∠AMB的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $