精品解析：广东深圳市宝安区前湾学校2026-2027学年八年级上学期10月考试数学试题

前湾学校2026-2027学年第一学期八年级10月【数学】学情调研问卷 一、选释题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 5月16日，我校进行了全校师生防灾减灾大演练，警报拉响后同学们匀速跑步到操场，在操场指定位置清点人数、听广播后，再沿原路匀速步行回教室，同学们离开教学楼的距离y与时间x的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 4. 如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ） A. 65 B. 45 C. 55 D. 35 5. 在下列结论中，正确的有（ ）个 A. B. 的算术平方根是 C. 一定没有平方根 D. 的算术平方根是 6. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为4：则m、n的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，为斜边上一点．且，以为边、点为直角顶点作，为的中点，连接，则长度的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 已知点和和关于轴对称，则的值为_________． 10. 如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为_________． 11. 如图，有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为时，输出的值是__________． 12. 在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________． 13. 在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 _____ ． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 实数，在数轴上的位置如图所示． （1）化简：__________，__________． （2）先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根． 16. 如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． （1）通过计算说明公路是否与垂直； （2）市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 17. 已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为，点B坐标为． （1）请在方格纸中建立平面直角坐标系，C坐标为__________； （2）依次连接A，B，C，得到，请判断的形状为__________三角形； （3）在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，点F的坐标为__________； （4）在y轴上存在一点D，使为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点D的坐标为__________． 18. 综合与实践 实践主题：我是城市建筑师 生活情境 我市在创设全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如下数据： 盆栽个数 2 3 4 5 6 … 护栏总长度（米） 5.4 a 13.8 18 b … 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据上表中数据的规律，表格中___________，___________； （2）设有个盆栽，护栏总长度为米，则与之间的关系式是___________； （3）要在一条长度为144米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？ 19. 综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 20. 我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE． ①求证：四边形BCGE是垂美四边形； ②若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前湾学校2026-2027学年第一学期八年级10月【数学】学情调研问卷 一、选释题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和算术平方根的定义运算．根据“()的平方根为，算术平方根为”求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 5月16日，我校进行了全校师生防灾减灾大演练，警报拉响后同学们匀速跑步到操场，在操场指定位置清点人数、听广播后，再沿原路匀速步行回教室，同学们离开教学楼的距离y与时间x的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在每段中，离教学楼的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【详解】解：图象应分三个阶段， 第一阶段：匀速跑步到操场，在这个阶段，离教学楼的距离随时间的增大而增大； 第二阶段：在操场停留了一段时间，这一阶段离教学楼的距离不随时间的变化而改变； 第三阶段：沿原路匀速步行回教学楼，这一阶段，离教学楼的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度小于第一阶段的速度； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，理解每阶段中，离教学楼的距离与时间的关系是解决本题的关键． 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数自变量取值范围的求法：①有分母时，分母不为0；②有二次根式时，被开方数非负，由此计算结果即可．本题主要考查函数自变量取值范围的问题，正确分析关系式和列式计算是解题的关键． 【详解】由得自变量x的取值范围是且， 故选：A． 4. 如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ） A. 65 B. 45 C. 55 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形三边分别为，根据勾股定理得，再根据圆的面积公式可表示出，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为， 根据勾股定理得：， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 在下列结论中，正确的有（ ）个 A. B. 的算术平方根是 C. 一定没有平方根 D. 的算术平方根是 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的意义，平方根的意义进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、的算术平方根是，故此选项正确，符合题意； C、当时，的平方根等于，故此选项错误，不符合题意； D、的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根以及算术平方根，熟练掌握平方根以及算术平方根的定义是解本题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为4：则m、n的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：∵第二象限内有一点，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为4， ∴点A的坐标为（-4，2）， ∴m-1=-4，n+3=2， ∴m=-3，n=-1， 故选A． 【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点所在的象限的坐标特征，熟知点到坐标轴的距离与横纵坐标的关系式解题的关键． 7. 一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数与其系数的关系；根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，故该选项正确，符合题意； C、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，，，，为斜边上一点．且，以为边、点为直角顶点作，为的中点，连接，则长度的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由是直角三角形斜边的中点得出，即在的垂直平分线上，当垂直的垂直平分线时，取得最小值，再根据等腰三角形的性质求出即可得出答案．本题主要考勾股定理，含的直角三角形的性质，求出是解本题的关键． 【详解】解：过点作于点，作的垂直平分线，交于一点 ，， 经过点， 是直角三角形的斜边的中点， 到的距离等于到的距离， 在直线上， 当时最短， ，，， ，，， ∴， ，， ∵作的垂直平分线，交于一点 ∴， ∵， ∴， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 已知点和和关于轴对称，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求得，的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 则， 故答案为． 10. 如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，进而根据数轴上的两点距离即可求得点E在数轴上所表示的数． 【详解】解：四边形是长方形，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，， 依题意. 设点E在数轴上所表示的数为，则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理求得是解题的关键． 11. 如图，有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为时，输出的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出． 【详解】解：当输入时，取算术平方根得， 是有理数， 重新输入； 当输入时，取算术平方根得， 是有理数， 重新输入； 当输入时，取算术平方根得， 是无理数， 输出． 12. 在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答． 【详解】解：作轴，轴于点，与交于点， ∵点的坐标，点的坐标是， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键． 13. 在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键． （1）先根据乘方、零指数幂、二次根式乘法化简各项，再计算加法运算即可； （2）根据乘法公式展开后计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 实数，在数轴上的位置如图所示． （1）化简：__________，__________． （2）先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式、平方根及算术平方根、绝对值： （1）由数轴得：，，再根据二次根式的性质及绝对值的意义即可求解； （2）由图可知：，，进而可得，，再根据二次根式的性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义得，，进而可求解． 【小问1详解】 解：由数轴得：，， ，， 故答案为：；． 【小问2详解】 由图可知：，， ∴，， ∴． ∵是的一个平方根，是3的算术平方根，， ∴，， ∴． 16. 如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． （1）通过计算说明公路是否与垂直； （2）市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】（1） 解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）818万元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 17. 已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为，点B坐标为． （1）请在方格纸中建立平面直角坐标系，C坐标为__________； （2）依次连接A，B，C，得到，请判断的形状为__________三角形； （3）在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，点F的坐标为__________； （4）在y轴上存在一点D，使为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点D的坐标为__________． 【答案】（1）； （2）直角 （3）或 （4）或或或或 【解析】 【分析】（1）根据点B的坐标画出平面直角坐标系，再根据点C在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）由勾股定理算出三边的平方，根据两个小的数之和等于大数，即可； （3）设，将看作底，可得的高为，列方程即可解答； （4）分三种情况，根据勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系略，， 【小问2详解】 解：由网格图，可知，，， ∵，即， ∴为直角三角形； 【小问3详解】 解：设，， 将看作底，可得的高为， 的面积等于的面积， ， 解得或， 所以点F的坐标为或； 【小问4详解】 解：设， 则可得，，， 当时， 可得，即， 解得，； 当时， 可得，即， 解得，； 当时， 可得，即， 解得； 所有满足条件的点D的坐标为或或或或． 18. 综合与实践 实践主题：我是城市建筑师 生活情境 我市在创设全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如下数据： 盆栽个数 2 3 4 5 6 … 护栏总长度（米） 5.4 a 13.8 18 b … 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据上表中数据的规律，表格中___________，___________； （2）设有个盆栽，护栏总长度为米，则与之间的关系式是___________； （3）要在一条长度为144米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？ 【答案】（1）； （2） （3）护栏总长度为144米时盆栽的总个数为70个 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得与之间的关系式为，求解即可； （3）把代入y与x之间的关系式，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 当盆栽个数为3时，护栏总长度； 当盆栽个数为6时，护栏总长度； 故答案为：9.6；22.2； 【小问2详解】 解：根据题意得： y与x之间的关系式为； 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 道路两旁共需要加装70个花卉盆栽． 答：护栏总长度为144米时盆栽的总个数为70个． 19. 综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）3；（2）4；（3）2或；（4）或 【解析】 【分析】（1）根据线段的长度为，代入数据即可得出结论； （2）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （3）根据两点之间的折线距离公式，可得，即可求解； （4）分三种情况讨论，结合两点之间的折线距离公式，以及一次函数的图象和性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）的长度为， 故答案为：3； （2）∵，， ∴； 故答案为：4； （3）∵，，， ∴， 解得∶ ， 故答案为：2或； （4）设点， 当点P在上时，， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当点P在上时，， ∵，， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； 当点P在上时， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴此时点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，一次函数的图象和性质，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． 20. 我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE． ①求证：四边形BCGE是垂美四边形； ②若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【答案】 （1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； （2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示： ∵正方形ACFG和正方形ABDE， ∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形BCGE是垂美四边形； ②GE＝ 【解析】 【分析】（1）由垂美四边形得出AC⊥BD，则∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论； （2）①连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，由正方形的性质得出AG=AC，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，易求∠GAB=∠CAE，由SAS证得△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，由∠AEC+∠AME=90°，得出∠ABG+∠AME=90°，推出∠ABG+∠BMN=90°，即CE⊥BG，即可得出结论； ②垂美四边形得出CG2+BE2=CB2+GE2，由勾股定理得出BC==3，由正方形的性质得出CG=4 ，BE=5，则GE2=CG2+BE2-CB2=73，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵四边形BCGE是垂美四边形， ∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝＝3， ∵正方形ACFG和正方形ABDE， ∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73， ∴GE＝． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了新概念“垂美四边形”、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；正确理解新概念“垂美四边形”、证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $