精品解析：重庆市杨家坪中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情监测数学试题

重庆市杨家坪中学“教共体”第一次学情监测 九年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 3. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 4. 若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 5. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给图形和图形中圆点的个数，发现规律：第个图形中圆点的个数为，即可解决第⑧个图中圆点的个数． 【详解】解：第①个图形中圆点的个数为； 第②个图形中圆点的个数为； 第③个图形中圆点的个数为； 第④个图形中圆点的个数为； … 以此类推：第个图形中圆点的个数为； ∴第⑧个图中圆点的个数是． 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象． 【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标． 7. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 8. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 9. 如图，在边长为6的正方形中，点在上，，点为上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接、，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，为等腰三角形，过点作的垂线，可以得到，结合矩形的性质，，在中，由勾股定理得，设，在中，，列出一元一次方程，最后求解出． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线交于点，交于点，过点作的垂线交于点， ，，， ． 在正方形中，， 又， 四边形为矩形． ， ， ， ， 四边形为矩形， ∴． 在矩形中，， ． ∵将沿翻折，得到， ∴，， 在中，， 设，则，， ． 在矩形中，． 在中，， ，解得， ． 10. 已知多项式，多项式，其中，，均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数使得； ③若，，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①代入，将整理为关于的方程，根据“一元一次方程有无数解的条件是一次项系数为且常数项相等”，求出的值并判断． ②代入，写出的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式；结合为正整数的条件，判断的符号，从而确定方程是否有实数解． ③对等式变形为，代入、得到；再根据为正整数的条件，分析的正因数分解情况，统计符合条件的解的组数，进而确定多项式的个数． 【详解】解：①若，且有无数解， 则，整理得． 方程有无数解的条件是系数为0，即，得，①正确； ②若，则． 要存在实数使，需判别式． ∵为正整数，， ∴，，方程无实数解，②错误； ③由变形得，其中，， 即. ∵均为正整数， ∴，． ∵9的正整数因数分解为、、， ∴只有，，则，， ∵为正整数，∴，； 因此满足条件的多项式仅1个，故③错误． 综上所述，正确的个数是1个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得：， 整理得 ， 移项得 ， 系数化为得． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值是． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴是直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 15. 二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由，则，又二次函数经过点，两点，从而有或，然后求解即可，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵二次函数经过点，两点， ∴或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 16. 已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对两个问题分别按条件列举所有可能的系数组合，结合二次整式恒正的判别式条件逐一判断，统计满足条件的个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为： ，符合条件； ，符合条件； 时，，不满足，因此共个满足条件的整式； 再计算第二个空： 当，时，，满足，，为整数，且对任意实数，． ， 对任意成立等价于判别式． 按分类讨论： 1. 当时，，，，不满足条件，共0个； 2. 当时，，，得，故； 其中满足的共4个； 3. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共4个； 4. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共3个； 5. 当时，，，仅，满足，共1个； 6. 当时，最小系数和为，无满足条件的组合； 综上，满足条件的整式共个． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ∴，． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 【答案】（1）如图即为所求作图形： （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O，在下方截取即可； （2）设，则，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理列方程得值，进而求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则， 四边形是菱形 ， 在中，，， ， 即，解得（舍负）． ． 菱形的周长为． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）3； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，将所求代数式进行通分，再代入计算即可； （2）利用，计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 即： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中满足方程． 【答案】，． 【解析】 【分析】先把括号内的式子通分，计算分式减法，再计算分式除法，得出最简结果，解得出，，根据分式有意义的条件得出，，即可得出，把代入化简后的式子，即可得出答案． 【详解】解： ． ∵满足方程， ∴，， ∵有意义， ∴，， 解得：，， ∴， 当时，原式． 21. 某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）海水稻的定价为每千克10元或12元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 22. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 （3）若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】（1）如图，二次函数图象即为所求： （2）①②③ （3） 【解析】 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； 【小问3详解】 解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 23. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． （2）沙包达到最高点时距离地面米 【解析】 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 24. 抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是抛物线上一动点，若，求满足条件的点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M 为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，计算可得，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，求出，表示出，结合，可得，计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，由（2）可得，直线的解析式为，令将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，求出新抛物线，联立，求得，分两种情况：当点位于直线的下方时，此时；当点在直线的上方时，作点关于直线的对称点，连接交新抛物线于；分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， ， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：或 解可得：或，对应的的坐标为或， 解可得无实数根， ∴点的坐标为或 ，点P是抛物线上一动点，若， 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由（2）可得，直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线， ∴令将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴新抛物线， 联立， 解得：或， ∴， ∵M 为新抛物线上的一动点，且， ∴当点位于直线的下方时，如图， ， 此时， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 如图，当点在直线的上方时，作点关于直线的对称点，连接交新抛物线于， ， 由轴对称的性质可得：，，的中点在直线上， ∴， 设，则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—角度问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25. 在中，点为边上的中点，连接． （1）如图1，若，过点作交于点，若，，求线段的长度： （2）如图2，点为上一点，连接、，点为上一点，连接交于点，若，，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，， ，若点是边上的动点，点为直线上一动点，当最小时，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 数量关系：． 证明如下： 延长至点，使，连接，在上截取，连接， ∵为边上的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求得； （2）延长到点，使，连接，在上截取，连接，通过论证，，利用全等三角形的性质即可得出结论； （3）当最小时，连接，将绕顺时针旋转至，当最小时，的值可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∵为边上的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴作，过点作交于点， 此时， ∴， ∴是等边三角形， 将绕点顺时针旋转至， ∴直线为点的运动轨迹 作，此时最小， 作， ∴， 作， ∴，作， ∴，， ∴． 　 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质及判定、旋转的性质，关键是辅助线的做法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学“教共体”第一次学情监测 九年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 7. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为6的正方形中，点在上，，点为上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接、，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式，其中，，均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数使得； ③若，，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ________． 15. 二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是__________． 16. 已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中满足方程． 21. 某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 22. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 （3）若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 23. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 24. 抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是抛物线上一动点，若，求满足条件的点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M 为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 25. 在中，点为边上的中点，连接． （1）如图1，若，过点作交于点，若，，求线段的长度： （2）如图2，点为上一点，连接、，点为上一点，连接交于点，若，，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，， ，若点是边上的动点，点为直线上一动点，当最小时，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $