专题01 平方根与立方根18大题型94题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 平方根与立方根 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型1 平方根概念理解（重点） 题型2 立方根概念理解 题型3 求一个数的算术平方根 题型4 求一个数的平方根（重点） 题型5 求一个数的立方根（重点） 题型6 已知一个数的平方根，求这个数 题型7 已知一个数的立方根，求这个数 提升·进阶突破 题型1 利用算术平方根的非负性解题（难点） 题型2 利用平方根解方程（重点） 题型3 与算术平方根有关的规律探索题（难点） 题型4 与立方根有关的规律探索 题型5 算术平方根的实际应用 题型6 立方根的实际应用 拔高·压轴破难 题型1 算术平方根和立方根的综合应用（重难点） 题型2 求参数的值或取值范围压轴问题（重难点） 题型3 多解压轴问题（难点） 题型4 规律探究压轴问题 题型5 新定义压轴问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平方根概念理解 【模型】认＂平方根、算术平方根的核心定义＂→直接套定义判断表述正误、求解对应数值，区分二者的符号与结果范围。 【步骤】①定前提：明确被开方数必须为非负数，负数没有平方根；②辨形式：表示算术平方根（结果唯一且非负），表示平方根（含互为相反数的两个结果）；③套定义：根据定义逐一判断说法或计算对应数值。 【易错】混淆平方根与算术平方根，误把算术平方根当成正负两个值；忽略被开方数非负的限制，错误认为负数存在平方根；易漏掉0的平方根是0的特殊结论。 1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 2．下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）平方根与立方根相同的数是_________． 5．若一个正数的两个平方根是和，则a的值是______． 题型2 立方根概念理解 【模型】认＂立方根的核心定义＂→直接套开立方与立方互逆的结论，区分与平方根的性质差异。 【步骤】①定范围：明确任意实数都有唯一的立方根，正数、负数、0均可开立方；②辨形式：表示的立方根，结果唯一，符号与被开方数一致；③套定义：利用立方运算与开立方运算互为逆运算，计算数值或判断表述正误。 【易错】混淆立方根与平方根，误认为负数没有立方根；误将立方根当成正负两个结果；忽略立方根符号与被开方数符号一致的规律，符号判断出错。 6．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是______． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 8．（25-26八年级上·上海·期中）下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 求一个数的算术平方根 【模型】认＂算术平方根的定义＂→直接套平方运算的逆运算求解，结果唯一且非负。 【步骤】①判前提：先确认被开方数为非负数，负数没有算术平方根；②逆运算：找到一个非负数，使它的平方恰好等于被开方数；③写结果：用的形式写出算术平方根，结果恒为非负数。 【易错】混淆算术平方根与平方根，误写出正负两个结果；忽略被开方数非负的前提，对负数求算术平方根；计算带分数的算术平方根时，未先化成假分数就拆分整数、分数部分分别开方。 9．的值是_________． 10．64的算术平方根是______． 11．（25-26八年级上·上海·期中）计算：_____． 12．的值是_________． 13．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 题型4 求一个数的平方根 【模型】认＂平方根的定义＂→直接套平方运算的逆运算求解，正数结果为互为相反数的两个值，0的平方根唯一。 【步骤】①判前提：先确认被开方数为非负数，负数没有平方根；②逆运算：找到所有平方后恰好等于被开方数的数；③写结果：用的形式表示平方根，正数对应两个互为相反数的根，0的平方根为0 【易错】混淆平方根与算术平方根，漏写负根仅保留正根；误认为负数存在平方根；忽略0的平方根唯一，错误表述为；计算带分数的平方根时，未先化成假分数就拆分整数、分数部分分别开方。 14．（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为________； 15．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的平方根是________． 16．（24-25八年级上·上海·期中）二次三项式是一个完全平方式，那么a的值是_______． 17．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根． 题型5 求一个数的立方根 【模型】认＂立方根的定义＂一直接套立方运算的逆运算求解，任意实数都有唯一的立方根。 【步骤】①明范围：任意实数都有立方根，正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根为0；②逆运算：找到一个数，使它的立方恰好等于被开方数；③写结果：用的形式写出立方根，结果唯一且符号与被开方数一致。 【易错】混淆立方根与平方根，误写正负两个结果，或误认为负数没有立方根；计算负数的立方根时符号判断错误；对带分数开立方时，未先化成假分数就拆分整数、分数部分分别开立方。 18．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：_______． 19．（25-26八年级上·上海·期中）计算：_________ ． 20．的倒数是___________． 21．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 (1)求x与a的值； (2)求的立方根． 22．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 题型6 已知一个数的平方根，求这个数 【模型】认＂平方根的互为相反数性质＂→直接套＂平方根平方等于原数＂的结论，结合两根和为0列方程求解。 【步骤】①定性质：正数的两个平方根互为相反数，和为0；0的平方根为0；②列方程：若给出含参数的两个平方根，根据互为相反数的和为0列方程，求解参数；③求原数：将参数代回任一个平方根，平方后得到原数，可代入另一个根验证结果一致。 【易错】忽略正数的平方根成对且互为相反数，直接将根的数值当作原数；列方程时符号处理错误，不会利用＂和为0＂建立等量关系；求出参数后忘记平方运算，误把参数值当成原数；未考虑0的平方根唯一的特殊情况。 23．已知一个数的两个不同的平方根是和，求这个数的立方根． 24．一个正数的两个平方根为和，则_________． 25．若与是同一个正数的平方根，则x的值为________． 26．（25-26八年级上·上海·期中）若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 题型7 已知一个数的立方根，求这个数 【模型】认＂立方与开立方互为逆运算＂→直接套＂立方根的立方等于原数＂的结论，结果唯一，无需考虑双解。 【步骤】①定关系：明确开立方与立方互为逆运算，任意实数都有唯一的立方根；②逆运算：将已知的立方根进行立方运算；③求原数：计算立方结果即为所求的数，代回开立方验证结果一致。 【易错】混淆立方根与平方根的性质，错误套用＂互为相反数＂得出双解；计算负数的立方时符号判断错误，漏写负号；对含参数的立方根问题，误按平方根的和为0列方程，忽略立方根唯一性的特点。 27．已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 28．是的立方根，的立方根是，则______． 29．已知的平方根是，的立方根是3．求的平方根． 30．已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 提升·进阶突破 题型1 利用算术平方根的非负性解题 【模型】认＂算术平方根的双重非负性＂→直接套＂被开方数非负、运算结果非负＂的性质，常联动绝对值、平方的非负性列关系式求解。 【步骤】①定非负项：识别题目中的算术平方根、绝对值、平方式等非负元素；②列等量／不等关系：若干非负式之和为0，则每一项均为0，据此列方程（组）；求参数范围时，根据被开方数非负列不等式；③求解验根：解方程或不等式，代回原式验证被开方数符合非负要求，舍去无效解。 【易错】只注意算术平方根结果非负，忽略被开方数本身必须非负；多个非负项和为0时，漏列某一项为0的方程；求解后不检验，出现被开方数为负的增根；混淆平方根与算术平方根，误认所有平方根都具备非负性。 31．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 32．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则________． 33．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）若，那么=______． 34．若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 35．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 36．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 37．如果，那么________． 38．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 39．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ____． 40．（24-25八年级下·上海·期中）如果关于的方程无实数解，那么的取值范围是______． 题型2 利用平方根解方程 【模型】认＂（或）的标准形式＂一直接套平方根定义开平方降次，将二次方程转化为两个一元一次方程求解。 【步骤】①化标准：移项整理，将方程化为未知数平方项等于常数的标准形式，即或；②判可行性：判断右边常数的符号，时方程无实数根，时可开平方；③开方求解：对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，分别求解得到方程的两个根。 【易错】开平方时漏写负根，仅保留正根，出现丢解；未将方程化为标准平方形式就盲目开方；忽略被开方数非负的前提，对的情况强行求解，出现无意义的增根；对含括号的整体平方开方时，符号处理错误或漏解括号内的一次式；移项变形时符号出错，导致常数项符号相反。 41．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 42．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 43．解方程：． 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 【模型】认＂算术平方根的小数点移位、数列递变等规律＂→先计算特例结果，再对比被开方数与结果的变化关系，套规律推导后续项或通用表达式。 【步骤】①算特例：准确计算题目给出的前若干个算术平方根的结果，对齐对应项；②找规律：对比被开方数的变化（如小数点每移动两位，结果对应移动一位）与结果的变化，总结出通用规律；③推结论：根据总结的规律，推导指定项的结果或泻出第n项的表达式，代回验证规律成立。 【易错】记错小数点移动位数对应关系，混淆＂被开方数小数点移两位、算术平方根结果移一位＂的规则；仅观察结果不结合被开方数变化，导致规律总结错误；推导第n项通项时，项数与被开方数的对应关系错位；忽略被开方数非负的前提，将规律错误推广到负数范围。 44．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，那么______． 45．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么________． 46．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 47．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 48．已知，，则是的__________倍． 49．（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 题型4 与立方根有关的规律探索 【模型】认＂立方根的小数点移位、数列递变等规律＂→先计算特例结果，再对比被开方数与结果的变化关系，套规律推导后续项或通用表达式。 【步骤】①算特例：准确计算题目给出的前若干个立方根的结果，对齐对应被开方数与结果；②找规律：对比被开方数的变化（如小数点每移动三位，结果对应移动一位）与结果的变化，总结出通用规律；③推结论：根据总结的规律，推导指定项的结果或写出第n项的表达式，代回验证规律成立。 【易错】记错小数点移动位数对应关系，混淆＂被开方数小数点移三位、立方根结果移一位＂的规则；仅观察结果不结合被开方数变化，导致规律总结错误；推导第n项通项时，项数与被开方数的对应关系错位；忽略立方根符号与被开方数一致的特点，规律推广时符号判断出错。 50．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 51．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 52．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 53．已知，，则_______． 54．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 题型5 算术平方根的实际应用 【模型】认＂实际场景中的平方数量关系＂→转化为数学方程，套算术平方根求解符合实际意义的正数值结果。 【步骤】①建模型：分析实际问题的几何或数量关系，如正方形面积、直角三角形边长、物体下落高度等，建立含未知数平方的等量关系式；②化标准：整理为未知数平方等于常数的形式，明确未知数的实际含义，确定结果必为正数；③求解验证：对常数开算术平方根，结合实际情境检验单位、取值范围的合理性，舍去无实际意义的结果。 【易错】忽略实际意义，错误保留平方根的负根，出现长度、距离为负的错误；建模时数量关系分析错误，如混淆面积与边长的平方对应关系、错用勾股定理；单位未统一就直接计算，导致结果数值偏差；开方计算错误，或对非完全平方数的估算不符合实际精度要求。 55．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 56．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 57．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正整数，且是整数，则的最小值为_____． 58．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有_______秒(精确到1秒)． 59．直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．则田的宽是_______步．（一亩=240平方步） 60．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 题型6 立方根的实际应用 【模型】认＂实际场景中的立方数量关系＂→转化为数学方程，套立方与开立方互逆运算求解符合实际意义的唯一正数值结果。 【步骤】①建模型：分析实际问题的几何或数量关系，如正方体体积与棱长、球体体积与半径、容器容积与内径等，建立含未知数立方的等量关系式；②化标准：整理为未知数立方等于常数的形式，明确未知数的实际含义，确定结果符合实际的取值范围；③求解验证：对常数开立方，结合实际情境检验单位、取值范围的合理性，确认结果匹配实际问题的物理意义。 【易错】混淆立方根与平方根，错误写出正负两个结果，出现长度、半径为负的违背实际的结论；建模时数量关系分析错误，如混淆正方体体积与表面积公式、错用立方对应关系；单位未统一就直接计算，导致结果数值偏差；忽略实际问题的隐含条件，如容积与体积的差异、材料厚度等，造成结果与实际不符；开立方计算错误，或对非完全立方数的估算不符合实际精度要求。 61．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 62．小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的27倍，则小夏制作的正方体的棱长为_________． 63．如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 64．熔铸工艺是将物料经高温熔化后，直接浇铸成为成品的方法．张师傅想要将一个长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，熔铸成的正方体铁块的棱长是多少分米？不计损耗 65．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 66．把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 67．现有两个大小不等的正方体积木玩具，大正方体积木体积为，小正方体积木的体积为，将二者如图叠放于桌面上，则积木顶端点到桌面的距离是______．    拔高·压轴破难 题型1 算术平方根和立方根的综合应用 【模型】认＂算术平方根与立方根的定义、性质差异＂→分别套用各自的开方运算规侧，结合乘方逆运算、非负性综合求解，明确区分二者的取值范围、结果个数与符号规律。 【步骤】①辨类型：识别题目中的算术平方根、立方根模块，明确各自被开方数的取值要求与结果性质；②分处理：算术平方根部分，依据＂被开方数非负、结果非负＂列关系式或开方求值；立方根部分，依据＂任意实数可开立方、结果符号与被开方数一致＂进行运算；③综合解：将两部分结果代入原式综合计算或推导，检验最终结果同时满足两种运算的取值规侧。 【易错】混淆算术平方根与立方根的性质，误给立方根添加正负双解，或误认为负数存在算术平方根；忽略算术平方根的双重非负性，漏考虑被开方数非负的限制；混合运算时符号判断失误，尤其是负数开立方后的符号处理；综合求值题未分别验证运算合法性，出现增根或漏解。 68．已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 69．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 70．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型2 求参数的值或取值范围压轴问题 【模型】认＂平方根、算术平方根、立方根的核心性质与隐含限制＂一结合等式、不等式与分类讨论思想，套性质建立关系式求解参数，常联动非负性、逆运算关系综合考查。 【步骤】①挖隐含：拆解题目所有条件，提取被开方数非负、平方根互为相反数、非负式和为0、立方根唯一性等隐含限制；②建关系式：根据性质列方程（组）或不等式（组），存在多情况时明确分类标准；③求解验证：求解参数的可能值或取值范围，逐一代回原式检验，舍去不符合定义、性质的增根，确定最终结果。 【易错】忽略被开方数非负的隐含前提，仅按表面等式求解导致增根；对平方根的双解性考虑不全，出现漏解或多解；分类讨论标准模糊，出现情况重复或遗漏；混淆算术平方根与立方根的性质，错用非负性或唯一性；综合多条件时漏用限制，导致参数范围扩大或缩小。 71．已知，若为非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 72．若代数式没有平方根，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 73．要使成立，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．任意数 74．若有意义，则x的取值范围是_________． 75．已知的三边长分别为a、b、c，且满足求最大边c的取值范围__________． 76．若，满足，求的取值范围． 题型3 多解压轴问题 【模型】认＂平方根双解性、平方与绝对值的多解属性＂→紧扣开方运算的多解前提，按分类讨论思想拆分所有可能情况，套定义逐类求解后验根。 【步骤】①找多解源：识别题目中引发多解的核心因素，如正数的平方根成对出现、平方值为正对应两个底数、绝对值去号分正负、参数范围不确定等；②定分类标准：以多解源为依据划分讨论类别，明确每类的前提条件，做到不重复、不遗漏；③逐解验根：每一类分别列式求解，代回原式验证被开方数非负、等式成立等条件，舍去增根，汇总所有有效解。 【易错】忽略正数平方根的双解性，只保留正根造成漏解；分类标准模糊，出现情况重叠或缺失；未检验解的合法性，导致出现被开方数为负的增根；混淆平方根与立方根的解的个数，对立方根问题错误分类多解；多因素叠加的多解问题，漏算组合情况导致解不全。 77．已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 78．若，则的值是______． 79．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 80．若和都是一个正数的平方根，则这个正数为__________． 81．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 82．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____． 题型4 规律探究压轴问题 【模型】认＂乘方与开方互逆的递变规律、复合根式运算规律、数形结合的平方／立方规律＂一从特殊到一般归纳共性特征，结合开方运算性质推导通用公式，套规律求解拓展问题。 【步骤】①析特例：准确计算题目给出的前若干组特殊式子或图形对应的值，梳理项数、被开方数、运算结果三者的对应关系，标记变化规律的维度；②推通项：对比相邻项的变化关系，归纳第n项的通用表达式，结合平方根、立方根的运算性质化简整理，明确适用范围；③验应用：将已知特例代入通项验证规律正确性，再运用规律求解指定项、求和、取值范围等拓展问题，检验结果符合开方运算的定义与性质。 【易错】项数与n的起始对应关系错位，导致通项公式偏移；仅观察表面数值规律，未抓住乘方开方的运算本质，规律推广到一般情况不成立；归纳后未回代验证，出现前几项符合、后续项矛盾的错误；数形结合类规律题，错算图形中平方／立方对应的数量，递推关系推导错误；忽略平方根非负性、立方根符号一致性，通项中符号或取值范围处理失误。 83．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 84．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（    ） A． B． C． D． 85．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 86．探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 87．先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 88．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是________位数； ②由1849的个位上的数是________，可以确定的个位上的数是________或________； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是________；因，而，所以选择较小的个位数字，则_______． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 89．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： ①由可知，是两位数； ②， ∴由59319的个位数字是9可知，的个位数字是9； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，由此确定的十位数字是3．综上所述，． 已知175616，753571都是整数的立方，请应用上述方法求的值． 题型5 新定义压轴问题 【模型】认＂新定义的运算规则或概念内涵＂→拆解新定义的本质，转化为已学的平方根、立方根、乘方等常规运算，套开方运算的性质与结论求解，核心是化归思想。 【步骤】①明定义：准确解读新符号、新概念的运算规则，明确运算顺序、适用条件和取值限制，标记与平方根、立方根相关的约束；②转常规：将新定义的表达式转化为常规的开方、乘方、四则运算，对应平方根的非负性、双解性，立方根的唯一性等性质；③解验结合：按转化后的式子计算或推导参数，结合新定义规则和开方运算的性质检验结果，舍去不符合定义或开方要求的增根。 【易错】误解新定义的运算顺序或适用条件，转化方向错误；忽略新定义与开方性质的双重限制，如同时满足新定义范围和被开方数非负，导致增根；嵌套式新定义运算中，运算层级混淆，开方时符号、解的个数处理失误；对新定义的概念内涵理解偏差，仅套用形式未抓住本质，拓展应用时规律推导错误。 90．（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 91．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 92．对于两个正实数x，y，定义： (1)直接计算：_______； (2)若，求a的值； (3)若和都是整数，且满足，请直接写出的值． 93．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为36，求m的值． 94．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)试说明：3，12，27这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． $专题01 平方根与立方根 基础·固本强基 题型1 平方根概念理解（重点） 题型2 立方根概念理解 题型3 求一个数的算术平方根 题型4 求一个数的平方根（重点） 题型5 求一个数的立方根（重点） 题型6 已知一个数的平方根，求这个数 题型7 已知一个数的立方根，求这个数 提升·进阶突破 题型1 利用算术平方根的非负性解题（难点） 题型2 利用平方根解方程（重点） 题型3 与算术平方根有关的规律探索题（难点） 题型4 与立方根有关的规律探索 题型5 算术平方根的实际应用 题型6 立方根的实际应用 拔高·压轴破难 题型1 算术平方根和立方根的综合应用（重难点） 题型2 求参数的值或取值范围压轴问题（重难点） 题型3 多解压轴问题（难点） 题型4 规律探究压轴问题 题型5 新定义压轴问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平方根概念理解 【模型】认＂平方根、算术平方根的核心定义＂→直接套定义判断表述正误、求解对应数值，区分二者的符号与结果范围。 【步骤】①定前提：明确被开方数必须为非负数，负数没有平方根；②辨形式：表示算术平方根（结果唯一且非负），表示平方根（含互为相反数的两个结果）；③套定义：根据定义逐一判断说法或计算对应数值。 【易错】混淆平方根与算术平方根，误把算术平方根当成正负两个值；忽略被开方数非负的限制，错误认为负数存在平方根；易漏掉0的平方根是0的特殊结论。 1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 2．下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：①非负数有平方根，原说法错误； ②2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④的立方根是，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念，需注意特殊数和负数的处理． 逐一判断每个说法的正误：①立方根等于本身的数包括、、，但说法漏了，错误；②平方根和立方根都等于自身的数只有，但说法包括，错误；③互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，正确；④算术平方根为非负数，的算术平方根为，不是正数，错误；⑤，有平方根，错误．因此仅有一个正确． 【详解】①立方根等于本身的数有、、，但说法限定为或，漏了，故①错误； ②平方根等于本身的数只有（因为平方根定义，的平方根为），立方根等于本身的数有、、，故②错误； ③设与互为相反数，即，则，故互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数，故③正确； ④算术平方根定义为非负数，的算术平方根为，不是正数，故④错误； ⑤因为，的平方根为，所以有平方根，故说法⑤错误． 仅③正确，正确的个数为个， 故选：A. 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）平方根与立方根相同的数是_________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方根和立方根， 根据平方根和立方根的定义解答即可. 【详解】解：因为正数的平方根有两个，互为相反数，任何实数都有一个立方根， 所以正数的平方根和立方根不能相同. 因为负数没有平方根， 所以负数的平方根和立方根不能相同. 只有0的平方根是0，立方根是0. 故答案为：0. 5．若一个正数的两个平方根是和，则a的值是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以与的和为0， 即：， 解得：， 故答案为：． 题型2 立方根概念理解 【模型】认＂立方根的核心定义＂→直接套开立方与立方互逆的结论，区分与平方根的性质差异。 【步骤】①定范围：明确任意实数都有唯一的立方根，正数、负数、0均可开立方；②辨形式：表示的立方根，结果唯一，符号与被开方数一致；③套定义：利用立方运算与开立方运算互为逆运算，计算数值或判断表述正误。 【易错】混淆立方根与平方根，误认为负数没有立方根；误将立方根当成正负两个结果；忽略立方根符号与被开方数符号一致的规律，符号判断出错。 6．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是______． 【答案】0 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是,不符合题意； 综上，这个数是0. 故答案为：0. 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 8．（25-26八年级上·上海·期中）下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根和倒数的概念．逐个判断每个语句的正确性即可．注意正数的平方根有正负两个值，0的平方根和立方根都是0，倒数是它本身的数有1和． 【详解】解：① ∵，∴ 4的平方根是，正确． ② ∵，，∴ 0的平方根和立方根都是0，正确． ③ ∵，∴，∴， ∵ 9的平方根是，∴ 不是，错误． ④ 设倒数是它本身的数为x，则，化简得 ，解得，∴ 不仅是1，还有，错误． ∴ 正确的语句是①和②，共2个． 故选：B 题型3 求一个数的算术平方根 【模型】认＂算术平方根的定义＂→直接套平方运算的逆运算求解，结果唯一且非负。 【步骤】①判前提：先确认被开方数为非负数，负数没有算术平方根；②逆运算：找到一个非负数，使它的平方恰好等于被开方数；③写结果：用的形式写出算术平方根，结果恒为非负数。 【易错】混淆算术平方根与平方根，误写出正负两个结果；忽略被开方数非负的前提，对负数求算术平方根；计算带分数的算术平方根时，未先化成假分数就拆分整数、分数部分分别开方。 9．的值是_________． 【答案】 【分析】根据算式平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算式平方根，熟练掌握算式平方根的概念是解题的关键． 10．64的算术平方根是______． 【答案】8 【详解】解：的算术平方根是． 11．（25-26八年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】0.04 【分析】本题考查算术平方根的计算，解题的关键是将被开方数转化为便于计算的形式． 将0.0016转化为某个数的平方形式，进而求出其算术平方根． 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：0.04． 12．的值是_________． 【答案】 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是明确算术平方根为非负数且负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是指那个非负的平方根，即，且负数没有算术平方根；据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，不是，此选项不符合题意； B、9的算术平方根是3，此选项符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，此选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，此选项不符合题意． 故选：B． 题型4 求一个数的平方根 【模型】认＂平方根的定义＂→直接套平方运算的逆运算求解，正数结果为互为相反数的两个值，0的平方根唯一。 【步骤】①判前提：先确认被开方数为非负数，负数没有平方根；②逆运算：找到所有平方后恰好等于被开方数的数；③写结果：用的形式表示平方根，正数对应两个互为相反数的根，0的平方根为0 【易错】混淆平方根与算术平方根，漏写负根仅保留正根；误认为负数存在平方根；忽略0的平方根唯一，错误表述为；计算带分数的平方根时，未先化成假分数就拆分整数、分数部分分别开方。 14．（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为________； 【答案】 【分析】该题考查了平方根，先将带分数转换为假分数，再求其平方根． 【详解】解：， ∵ = ， = ， ∴的平方根为． 即的平方根为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的平方根是________． 【答案】// 【分析】本题考查了平方根的概念．熟练掌握平方根的概念是解题的关键． 先明确平方根的概念，再根据概念进行计算即可． 【详解】解：， 设的平方根为， 所以有，即， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·上海·期中）二次三项式是一个完全平方式，那么a的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根．熟练掌握完全平方公式，平方根是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】本题考查了相反数、平方根、解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出方程． 根据题意可得和，分别求出x、y，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴ ， 解得， ∵的平方根是它本身， ∴， ∴， ∴ ， ∴的平方根为． 题型5 求一个数的立方根 【模型】认＂立方根的定义＂一直接套立方运算的逆运算求解，任意实数都有唯一的立方根。 【步骤】①明范围：任意实数都有立方根，正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根为0；②逆运算：找到一个数，使它的立方恰好等于被开方数；③写结果：用的形式写出立方根，结果唯一且符号与被开方数一致。 【易错】混淆立方根与平方根，误写正负两个结果，或误认为负数没有立方根；计算负数的立方根时符号判断错误；对带分数开立方时，未先化成假分数就拆分整数、分数部分分别开立方。 18．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：_______． 【答案】0.4 【分析】本题考查了求一个数的立方根，计算一个数的立方等于 0.064，得出立方根的值． 【详解】解：因为 ，所以 ． 故答案为 0.4． 19．（25-26八年级上·上海·期中）计算：_________ ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根和立方根． 先计算36的算术平方根和27的立方根，再求差即可． 【详解】． 故答案为：． 20．的倒数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义和立方根的求法，先算出，再求出倒数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 (1)求x与a的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)x的值为1，a的值为36 (2)3 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列等式求得x的值，根据平方根的定义求原数即可； （2）根据立方根的定义求的立方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ， ， 即x的值为1，a的值为36； （2）解：， 的立方根为． 22．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握代数式的化简求值是解题的关键． 根据条件，a、b互为倒数，则；c、d互为相反数，则；的绝对值为，则；的算术平方根是8，则，代入表达式计算即可． 【详解】解：根据题意得，a、b互为倒数，则， c、d互为相反数，则， 的绝对值为，则，即， 的算术平方根是8，则，， ． 题型6 已知一个数的平方根，求这个数 【模型】认＂平方根的互为相反数性质＂→直接套＂平方根平方等于原数＂的结论，结合两根和为0列方程求解。 【步骤】①定性质：正数的两个平方根互为相反数，和为0；0的平方根为0；②列方程：若给出含参数的两个平方根，根据互为相反数的和为0列方程，求解参数；③求原数：将参数代回任一个平方根，平方后得到原数，可代入另一个根验证结果一致。 【易错】忽略正数的平方根成对且互为相反数，直接将根的数值当作原数；列方程时符号处理错误，不会利用＂和为0＂建立等量关系；求出参数后忘记平方运算，误把参数值当成原数；未考虑0的平方根唯一的特殊情况。 23．已知一个数的两个不同的平方根是和，求这个数的立方根． 【答案】这个数的立方根是． 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，由题意得，解得，求出这个数是，然后利用立方根的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的两个不同的平方根是和， ∴，解得：， ∴这个数是， ∴这个数的立方根是． 24．一个正数的两个平方根为和，则_________． 【答案】 【分析】根据一个正数两个平方根互为相反数计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握一个正数两个平方根互为相反数是正确解答的前提． 25．若与是同一个正数的平方根，则x的值为________． 【答案】或1 【分析】本题考查平方根的性质，一元一次方程，掌握平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．根据平方根的性质可知，这两个平方根是同一个正数的同一个平方根或不同的平方根，即这两个平方根相等或互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：与是同一个正数的平方根， 或， 解得或， 故答案为：或1． 26．（25-26八年级上·上海·期中）若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，由正整数的正平方根为，可得该正整数为，则比它大1的数为，其正平方根为 ，即可得出结果． 【详解】解：设这个正整数为， ∵的正平方根是， ∴． ∴比大1的数为， ∴ 的正平方根为． 故选C． 题型7 已知一个数的立方根，求这个数 【模型】认＂立方与开立方互为逆运算＂→直接套＂立方根的立方等于原数＂的结论，结果唯一，无需考虑双解。 【步骤】①定关系：明确开立方与立方互为逆运算，任意实数都有唯一的立方根；②逆运算：将已知的立方根进行立方运算；③求原数：计算立方结果即为所求的数，代回开立方验证结果一致。 【易错】混淆立方根与平方根的性质，错误套用＂互为相反数＂得出双解；计算负数的立方时符号判断错误，漏写负号；对含参数的立方根问题，误按平方根的和为0列方程，忽略立方根唯一性的特点。 27．已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根的定义得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 28．是的立方根，的立方根是，则______． 【答案】512 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，分别求出a和b的值，再计算． 【详解】解：是的立方根， ， 解得， 的立方根是， ， 即， 解得， 则， 故答案为512． 29．已知的平方根是，的立方根是3．求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义求出x、y的值，然后代入求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得． ∵27的立方根是3，的立方根是3， ∴， ∴． ∴的平方根是． 30．已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根： （1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． （2）解：因为，， 所以， 所以． 因为25的平方根是， 所以的平方根是． 提升·进阶突破 题型8 利用算术平方根的非负性解题 【模型】认＂算术平方根的双重非负性＂→直接套＂被开方数非负、运算结果非负＂的性质，常联动绝对值、平方的非负性列关系式求解。 【步骤】①定非负项：识别题目中的算术平方根、绝对值、平方式等非负元素；②列等量／不等关系：若干非负式之和为0，则每一项均为0，据此列方程（组）；求参数范围时，根据被开方数非负列不等式；③求解验根：解方程或不等式，代回原式验证被开方数符合非负要求，舍去无效解。 【易错】只注意算术平方根结果非负，忽略被开方数本身必须非负；多个非负项和为0时，漏列某一项为0的方程；求解后不检验，出现被开方数为负的增根；混淆平方根与算术平方根，误认所有平方根都具备非负性。 31．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据非负性，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 32．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分为零，从而求出x和y的值． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 即 ，解得 ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为． 33．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）若，那么=______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及平方的非负性；根据非负数的性质，算术平方根和平方项均非负，它们的和为零时，每个部分都为零，据此作答即可． 【详解】解：∵， ∴，． ∴，， ，． ∴． 故答案为：． 34．若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 当时，， ． 故选：D 35．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 36．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，理解算术平方根、绝对值的非负性是正确解答的关键． 根据算术平方根、绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， 或， 故答案为：或 37．如果，那么________． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，以及已知字母的值求代数式的值，根据绝对值、算术平方根、平方的非负数的性质得出a，b，c的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 得，，， 则， 故答案为：3． 38．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而得到关于和的方程组，解出和的值；再根据等腰三角形的性质，分情况讨论，并利用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：，且，， 且． 解方程组得， 、是等腰三角形的两边长， 需分情况讨论： 当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立． 综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：． 故答案为：． 39．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ____． 【答案】0 【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可． 【详解】及且x、y、z是两两不等的实数， 且， ， ，， 与、均同号，或， 又，，故、不同号， ， ， ， 故答案为0． 【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键． 40．（24-25八年级下·上海·期中）如果关于的方程无实数解，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了方程无实数解． 直接根据无实数解作答即可． 【详解】解：∵关于的方程无实数解， ∴， 即， 故答案为：． 题型9 利用平方根解方程 【模型】认＂（或）的标准形式＂一直接套平方根定义开平方降次，将二次方程转化为两个一元一次方程求解。 【步骤】①化标准：移项整理，将方程化为未知数平方项等于常数的标准形式，即或；②判可行性：判断右边常数的符号，时方程无实数根，时可开平方；③开方求解：对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，分别求解得到方程的两个根。 【易错】开平方时漏写负根，仅保留正根，出现丢解；未将方程化为标准平方形式就盲目开方；忽略被开方数非负的前提，对的情况强行求解，出现无意义的增根；对含括号的整体平方开方时，符号处理错误或漏解括号内的一次式；移项变形时符号出错，导致常数项符号相反。 41．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，由题意得，推出，即可求解. 【详解】解： 或 或 所以原方程的解为或. 42．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【答案】 或 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得或． 43．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为，再根据平方根的定义将两边开方，即可解答． 【详解】解：， 或， 解得：． 题型10 与算术平方根有关的规律探索题 【模型】认＂算术平方根的小数点移位、数列递变等规律＂→先计算特例结果，再对比被开方数与结果的变化关系，套规律推导后续项或通用表达式。 【步骤】①算特例：准确计算题目给出的前若干个算术平方根的结果，对齐对应项；②找规律：对比被开方数的变化（如小数点每移动两位，结果对应移动一位）与结果的变化，总结出通用规律；③推结论：根据总结的规律，推导指定项的结果或泻出第n项的表达式，代回验证规律成立。 【易错】记错小数点移动位数对应关系，混淆＂被开方数小数点移两位、算术平方根结果移一位＂的规则；仅观察结果不结合被开方数变化，导致规律总结错误；推导第n项通项时，项数与被开方数的对应关系错位；忽略被开方数非负的前提，将规律错误推广到负数范围。 44．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；利用平方根的性质，将分解为，然后代入已知近似值进行计算． 【详解】解：因为，且， 所以． 已知， 因此． 故答案为． 45．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么____________________． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律题．通过观察已知条件，利用平方根的性质，被开方数扩大10000倍，平方根扩大100倍，将所求式子转化为已知近似值的形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 46．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 47．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 48．已知，，则是的__________倍． 【答案】100 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的移位规律是解本题的关键．根据算术平方根的定义可知：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动1位，从而可以解答． 【详解】解：，， 是8.73的10倍， 是的100倍． 故答案为：100． 49．（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 题型11 与立方根有关的规律探索 【模型】认＂立方根的小数点移位、数列递变等规律＂→先计算特例结果，再对比被开方数与结果的变化关系，套规律推导后续项或通用表达式。 【步骤】①算特例：准确计算题目给出的前若干个立方根的结果，对齐对应被开方数与结果；②找规律：对比被开方数的变化（如小数点每移动三位，结果对应移动一位）与结果的变化，总结出通用规律；③推结论：根据总结的规律，推导指定项的结果或写出第n项的表达式，代回验证规律成立。 【易错】记错小数点移动位数对应关系，混淆＂被开方数小数点移三位、立方根结果移一位＂的规则；仅观察结果不结合被开方数变化，导致规律总结错误；推导第n项通项时，项数与被开方数的对应关系错位；忽略立方根符号与被开方数一致的特点，规律推广时符号判断出错。 50．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 51．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 52．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 53．已知，，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 54．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 题型12 算术平方根的实际应用 【模型】认＂实际场景中的平方数量关系＂→转化为数学方程，套算术平方根求解符合实际意义的正数值结果。 【步骤】①建模型：分析实际问题的几何或数量关系，如正方形面积、直角三角形边长、物体下落高度等，建立含未知数平方的等量关系式；②化标准：整理为未知数平方等于常数的形式，明确未知数的实际含义，确定结果必为正数；③求解验证：对常数开算术平方根，结合实际情境检验单位、取值范围的合理性，舍去无实际意义的结果。 【易错】忽略实际意义，错误保留平方根的负根，出现长度、距离为负的错误；建模时数量关系分析错误，如混淆面积与边长的平方对应关系、错用勾股定理；单位未统一就直接计算，导致结果数值偏差；开方计算错误，或对非完全平方数的估算不符合实际精度要求。 55．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 56．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍，设存在正整数m、n，使得，两式相除得即可判断． 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 57．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正整数，且是整数，则的最小值为_____． 【答案】126 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值，最后计算平方根． 【详解】解：， ∵是整数， ∴正整数的最小值是 21 ，． 故答案为： 126． 58．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有_______秒(精确到1秒)． 【答案】14 【分析】本题考查实数运算，理解算术平方根的意义是解答关键，将代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， ∵，解得秒， 故答案为：14． 59．直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．则田的宽是_______步．（一亩=240平方步） 【答案】30 【分析】本题考查算术平方根的应用．设此矩形田的宽为步，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设此矩形田的宽为步， 依据题意，可列方程为， 解得（负值舍去）， 则田的宽为30步， 故答案为：30． 60．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；； （2）； （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）略 题型13 立方根的实际应用 【模型】认＂实际场景中的立方数量关系＂→转化为数学方程，套立方与开立方互逆运算求解符合实际意义的唯一正数值结果。 【步骤】①建模型：分析实际问题的几何或数量关系，如正方体体积与棱长、球体体积与半径、容器容积与内径等，建立含未知数立方的等量关系式；②化标准：整理为未知数立方等于常数的形式，明确未知数的实际含义，确定结果符合实际的取值范围；③求解验证：对常数开立方，结合实际情境检验单位、取值范围的合理性，确认结果匹配实际问题的物理意义。 【易错】混淆立方根与平方根，错误写出正负两个结果，出现长度、半径为负的违背实际的结论；建模时数量关系分析错误，如混淆正方体体积与表面积公式、错用立方对应关系；单位未统一就直接计算，导致结果数值偏差；忽略实际问题的隐含条件，如容积与体积的差异、材料厚度等，造成结果与实际不符；开立方计算错误，或对非完全立方数的估算不符合实际精度要求。 61．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 62．小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的27倍，则小夏制作的正方体的棱长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体体积公式的应用及立方根的运算，解题的关键是根据体积关系建立方程，利用立方根定义求解棱长． 先由正方体体积公式得小华正方体的体积，再求出小夏正方体的体积，通过体积公式建立棱长的方程，开立方得小夏正方体的棱长． 【详解】解：小华正方体的体积为，则小夏正方体的体积为， 设小夏正方体的棱长为，由体积公式得， 即，故． 故答案为：． 63．如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 64．熔铸工艺是将物料经高温熔化后，直接浇铸成为成品的方法．张师傅想要将一个长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，熔铸成的正方体铁块的棱长是多少分米？不计损耗 【答案】分米 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体、正方体的形体特征以及体积的计算方法是正确解答的关键．根据熔铸前后的体积相等，求出长方体的体积，即正方体的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据熔铸前后体积不变可得， 熔铸成的正方体铁块的棱长为（分米）， 答：熔铸成的正方体铁块的棱长是分米． 65．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 66．把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：这个大铅球的半径是， 由题意得：， ∴，则， 故答案为：． 67．现有两个大小不等的正方体积木玩具，大正方体积木体积为，小正方体积木的体积为，将二者如图叠放于桌面上，则积木顶端点到桌面的距离是______．    【答案】 【分析】本题主要考查立方根，正确得出各条棱长是解题的关键．直接利用立方根得出正方体的棱长，即可得出答案． 【详解】大立方体积木体积为， 且， ， 大正方体积木的棱长为， 小正方体积木的体积为， 且， ， 小正方体积木的棱长为， 积木顶端点到桌面的距离是， 故答案为：． 拔高·压轴破难 题型14 算术平方根和立方根的综合应用 【模型】认＂算术平方根与立方根的定义、性质差异＂→分别套用各自的开方运算规侧，结合乘方逆运算、非负性综合求解，明确区分二者的取值范围、结果个数与符号规律。 【步骤】①辨类型：识别题目中的算术平方根、立方根模块，明确各自被开方数的取值要求与结果性质；②分处理：算术平方根部分，依据＂被开方数非负、结果非负＂列关系式或开方求值；立方根部分，依据＂任意实数可开立方、结果符号与被开方数一致＂进行运算；③综合解：将两部分结果代入原式综合计算或推导，检验最终结果同时满足两种运算的取值规侧。 【易错】混淆算术平方根与立方根的性质，误给立方根添加正负双解，或误认为负数存在算术平方根；忽略算术平方根的双重非负性，漏考虑被开方数非负的限制；混合运算时符号判断失误，尤其是负数开立方后的符号处理；综合求值题未分别验证运算合法性，出现增根或漏解。 68．已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 69．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 70．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 题型15 求参数的值或取值范围压轴问题 【模型】认＂平方根、算术平方根、立方根的核心性质与隐含限制＂一结合等式、不等式与分类讨论思想，套性质建立关系式求解参数，常联动非负性、逆运算关系综合考查。 【步骤】①挖隐含：拆解题目所有条件，提取被开方数非负、平方根互为相反数、非负式和为0、立方根唯一性等隐含限制；②建关系式：根据性质列方程（组）或不等式（组），存在多情况时明确分类标准；③求解验证：求解参数的可能值或取值范围，逐一代回原式检验，舍去不符合定义、性质的增根，确定最终结果。 【易错】忽略被开方数非负的隐含前提，仅按表面等式求解导致增根；对平方根的双解性考虑不全，出现漏解或多解；分类讨论标准模糊，出现情况重复或遗漏；混淆算术平方根与立方根的性质，错用非负性或唯一性；综合多条件时漏用限制，导致参数范围扩大或缩小。 71．已知，若为非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，得m=5，又由n为非负数，进而可得关于k的不等式，然后求解即可． 【详解】解： ，，m=5， n为非负数 ，解得：． 故选C． 【点睛】本题主要考查绝对值、算术平方根的非负性，关键是根据题意得到m、n、k的关系，然后列出不等式即可． 72．若代数式没有平方根，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的定义；根据负数没有平方根得到，计算即可求出． 【详解】解：∵代数式没有平方根， ∴， 解得：； 故选：A． 73．要使成立，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．任意数 【答案】D 【分析】此题考查了立方根，根据任意一个实数都有立方根，由此即可确定被开方数的取值范围． 【详解】解：要使成立， ∵任意一个实数都有立方根， ∴为任意数， 则m为任意数， 故选：D． 74．若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 75．已知的三边长分别为a、b、c，且满足求最大边c的取值范围__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，三角形三边关系的应用，完全平方公式，先根据算术平方根的非负性得出，，再根据三角形的三边关系求出最大边c的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的三边长分别为a、b、c，且为最大边， ∴， ∴． 故答案为：． 76．若，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】令，，根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得，，将已知条件转化为方程组，分别用含的式子表示，再利用的范围列关于的不等式组即可． 【详解】令，，则必然有，， ∴根据题意可得 ， 将①得： 将②得：， 两式相减消去得，即； 同理消去得，即， ∵，， ∴ 解得： ∴的取值范围是． 题型16 多解压轴问题 【模型】认＂平方根双解性、平方与绝对值的多解属性＂→紧扣开方运算的多解前提，按分类讨论思想拆分所有可能情况，套定义逐类求解后验根。 【步骤】①找多解源：识别题目中引发多解的核心因素，如正数的平方根成对出现、平方值为正对应两个底数、绝对值去号分正负、参数范围不确定等；②定分类标准：以多解源为依据划分讨论类别，明确每类的前提条件，做到不重复、不遗漏；③逐解验根：每一类分别列式求解，代回原式验证被开方数非负、等式成立等条件，舍去增根，汇总所有有效解。 【易错】忽略正数平方根的双解性，只保留正根造成漏解；分类标准模糊，出现情况重叠或缺失；未检验解的合法性，导致出现被开方数为负的增根；混淆平方根与立方根的解的个数，对立方根问题错误分类多解；多因素叠加的多解问题，漏算组合情况导致解不全。 77．已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，求一个数的平方根． 先根据绝对值的定义得出，再根据平方根个定义得出，最后根据，得出，得出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵b是49的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 78．若，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的意义，解题的关键是根据等式可得或，然后根据平方根分别求解即可． 【详解】解：∵，即的算术平方根等于它的立方根， ∴或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 综上所述的值是或． 故答案为：或． 79．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 80．若和都是一个正数的平方根，则这个正数为__________． 【答案】1或25 【分析】本题主要考查了平方根的性质，注意利用正数的两个平方根互为相反数的性质求解． 根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，从而可求出一个平方根，再由平方根的平方，可得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得或， 解得：或， ∴或， ∴，， ∴这个正数是1或25． 故答案为：1或25． 81．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 82．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____． 【答案】0或﹣1或﹣ 【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案. 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 题型17 规律探究压轴问题 【模型】认＂乘方与开方互逆的递变规律、复合根式运算规律、数形结合的平方／立方规律＂一从特殊到一般归纳共性特征，结合开方运算性质推导通用公式，套规律求解拓展问题。 【步骤】①析特例：准确计算题目给出的前若干组特殊式子或图形对应的值，梳理项数、被开方数、运算结果三者的对应关系，标记变化规律的维度；②推通项：对比相邻项的变化关系，归纳第n项的通用表达式，结合平方根、立方根的运算性质化简整理，明确适用范围；③验应用：将已知特例代入通项验证规律正确性，再运用规律求解指定项、求和、取值范围等拓展问题，检验结果符合开方运算的定义与性质。 【易错】项数与n的起始对应关系错位，导致通项公式偏移；仅观察表面数值规律，未抓住乘方开方的运算本质，规律推广到一般情况不成立；归纳后未回代验证，出现前几项符合、后续项矛盾的错误；数形结合类规律题，错算图形中平方／立方对应的数量，递推关系推导错误；忽略平方根非负性、立方根符号一致性，通项中符号或取值范围处理失误。 83．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 84．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解． 【详解】； ； ； ， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质（等）． 85．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 86．探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 87．先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 88．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是________位数； ②由1849的个位上的数是________，可以确定的个位上的数是________或________； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是________；因，而，所以选择较小的个位数字，则_______． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【答案】(1)①两；②9，3，7；③4，43 (2)，理由如下： ①由，可以确定是两位数； ②由3136的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是4或6， ③如果划去3136后面的两位36得到数31，而，，可以确定的十位上的数是5；因，而，所以选择较大的个位数字，则． 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可； （2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． 【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7， ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是4；因，而，所以选择较小的个位数字，则． （2）略 89．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试： ①由可知，是两位数； ②， ∴由59319的个位数字是9可知，的个位数字是9； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，由此确定的十位数字是3．综上所述，． 已知175616，753571都是整数的立方，请应用上述方法求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第②和第③步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：∵， ∴和的立方根都是两位数， ， ∴和的个位数分别为6和1， ∵ 175616去掉后3位得到175，753571去掉后3为得到753， 又∵，， ∴和的十位数分别为：5和9， ∴，． 题型18 新定义压轴问题 【模型】认＂新定义的运算规则或概念内涵＂→拆解新定义的本质，转化为已学的平方根、立方根、乘方等常规运算，套开方运算的性质与结论求解，核心是化归思想。 【步骤】①明定义：准确解读新符号、新概念的运算规则，明确运算顺序、适用条件和取值限制，标记与平方根、立方根相关的约束；②转常规：将新定义的表达式转化为常规的开方、乘方、四则运算，对应平方根的非负性、双解性，立方根的唯一性等性质；③解验结合：按转化后的式子计算或推导参数，结合新定义规则和开方运算的性质检验结果，舍去不符合定义或开方要求的增根。 【易错】误解新定义的运算顺序或适用条件，转化方向错误；忽略新定义与开方性质的双重限制，如同时满足新定义范围和被开方数非负，导致增根；嵌套式新定义运算中，运算层级混淆，开方时符号、解的个数处理失误；对新定义的概念内涵理解偏差，仅套用形式未抓住本质，拓展应用时规律推导错误。 90．（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题结合新定义“根号整数”考查估计算术平方根，关键是根据定义转化为不等式，再结合自然数的范围确定的取值． 【详解】解：根据“根号整数”的定义，若， 则； 两边平方，得． ∵是自然数， ∴的取值为1、2、3，共3个． 故选：C． 91．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 92．对于两个正实数x，y，定义： (1)直接计算：_______； (2)若，求a的值； (3)若和都是整数，且满足，请直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)或 (3)10或6或4或12 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义可得，即可求解； （3）根据新定义可得，再由和都是整数，可得，或，，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∵和都是整数， ∴和都是整数， ∴，或，， 时，或9；时，或9， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为10或6或4或12． 93．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为36，求m的值． 【答案】(1) 解：是“完美组合数”，理由如下： ，24，12，6都是整数， ∴这三个数是“完美组合数”； (2)或 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“完美组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，注意检验． （1）根据“完美组合数”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美组合数”的定义，以及题意，分两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，解得， ∵为整数， ∴是“完美组合数”，符合题意； 当时，解得， ∵为整数， ∴是“完美组合数”，符合题意； ，舍去； 则或． 94．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)试说明：3，12，27这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【答案】(1)最小算术平方根是6，最大算术平方根是 (2)9或64 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）分3种情况，根据新定义，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 这三个数“老根数”； 其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是； （2）当时，，这三个数是＂老根数＂，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍， ，解得：； 当时，依题意，得：， ， 解得，不合题意舍去； 当时，依题意，得， ，解得：， 综上所述，a的值为9或64． $