19.1 平方根与立方根（第3课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第19章 实数 19.1 平方根与立方根 （第3课时）立方根 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 复习引入 本课学习目标 理解意义 由立方反向认识立方根，知道开立方的含义。 掌握性质 判断立方根的符号与个数，正确处理负数。 准确计算 求常见整数、分数和小数的立方根，解决体积问题。 复习引入 先复习立方运算 整数立方 ，，。 负数立方 ，。 零与小数 ，。 复习引入 问题3　从正方体体积求棱长 有一个体积为 的正方体纸盒，它的棱长是多少？ 棱长 答：棱长为 。 解 设棱长为 ，由体积得。 因为，所以。 方法：利用正方体体积等于棱长的立方。 注意：体积单位是，棱长单位是。 知识讲授 由立方结果反过来找数 正向运算 知道，求。 反向问题 知道，反过来求。 检验方法 找到的数再立方，应等于原来的被开方数。 知识讲授 立方根的定义 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根，也称为三次方根．叫作被开方数． 说明是的立方根。 例如，所以是的立方根。 根号内的数可以为正数、零或负数。 知识讲授 开立方 求一个数的立方根的运算叫作开立方． 求的立方根，就是对进行开立方运算。 因为，所以的立方根是。 将开立方的结果再立方，可以检验计算。 例题讲解 例 8 求下列各数的立方根： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 例题讲解 例 8 求下列各数的立方根： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 知识讲授 立方根的符号 正数的立方根是正数； 的立方根是； 负数的立方根是负数． 立方根的符号与被开方数的符号相同。 负数可以有立方根，如的立方根是。 负数没有平方根的结论，不能套用到立方根。 知识讲授 立方根的个数 在我们现在所认识的数中，任何一个数都有立方根，且只有一个立方根． 正数、零、负数都只有一个立方根。 的立方根是，不能写成。 因为，不是的立方根。 知识讲授 三次根号的记法 类似平方根，数的立方根用符号“”表示． 表示的立方根，值为。 根号左上角的不能省略。 对比与，运算不同。 例题讲解 变式 例 8 求的立方根。 答：。 解 负数的立方根为负数。 ，所以结果为。 方法：先定负号，再找分子分母的立方关系。 注意：答案只有一个，不要附加正负号。 方法总结 立方根怎样找得准 符号优先 （1）正数对应正根，负数对应负根。 （2）零的立方根仍是零。 立方检验 （1）熟悉至的整数立方。 （2）将结果立方，核对大小和正负号。 例题讲解 例 9 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 例题讲解 例 9 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 知识讲授 三次根号与负号 一般地，． 例如。 一对相反数的立方根也互为相反数。 这条规则适用于立方根，不能照搬到平方根。 例题讲解 变式 例 9 化简与。 答：分别为和。 解 因为，所以。 第二式再取相反数：。 方法：先求根号内负数的立方根，再处理外面的负号。 注意：两个负号所在的位置不同，要分步计算。 例题讲解 例 10 化简： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 例题讲解 例 10 化简： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 例题讲解 例 11 化简： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 例题讲解 例 11 化简： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 知识讲授 小数点的变化规律 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位． 被开方数移动三位，立方根相应移动一位。 如，，。 变化方向相同，负数计算时还要保留负号。 例题讲解 思考　为什么是三位对应一位 （1）将被开方数扩大为原来的倍，它的立方根如何变化？ （2）将被开方数缩小为原来的，它的立方根如何变化？ 答：（1）变为原来的倍；（2）变为原来的。 解 若，则。 同理，。 方法：由立方运算说明小数点变化。 注意：平方根是两位对应一位，立方根是三位对应一位。 方法总结 小数点与负号分开处理 小数点看位数 （1）先从熟悉的整数立方出发。 （2）被开方数每移动三位，结果移动一位。 负号看位置 （1）负数的立方根为负数。 （2）根号外还有负号时，最后再取相反数。 课堂练习 练习1 已知，，．求、、的值． （1） 求的值。 （2） 求的值。 （3） 求的值。 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 课堂练习 练习1 已知，，．求、、的值． （1） 求的值。 （2） 求的值。 （3） 求的值。 解第（3）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 课堂练习 练习2 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 课堂练习 练习2 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 ，。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 课堂练习 练习3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 课堂练习 练习3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法：先判断结果符号，再用立方关系求值。 注意：一个数只有一个立方根，不能加上。 方法总结 平方根与立方根怎样区分 看清运算种类 （1）平方根看平方；立方根看立方。 （2）三次根号的不能省略。 检查结果个数 （1）正数的平方根有两个。 （2）任何一个数的立方根只有一个，结果与原数同号。 课堂小结 立方根 意义与记号 若一个数的立方等于给定数，这个数就是给定数的立方根；用三次根号表示，三不能省略。 个数与符号 每个数都有且只有一个立方根，正数、零、负数的立方根分别为正数、零、负数。 计算与检验 先判断符号，再找立方关系；分数和带分数先整理，将所得结果再立方即可检验。 小数点规律 被开方数的小数点向右或向左移动三位，立方根的小数点相应向同一方向移动一位。 特别提醒：根号左上的3不能省，立方根不用添±。 针对训练 训练1　选择：负数的立方根 的立方根是（　）。 A． B． C． D．没有立方根 答：选B：。 解 。 负数有一个负的立方根。 方法：先判断符号，再检查立方。 注意：不能套用负数没有平方根的结论。 针对训练 训练2　填空：由立方关系求值 若，则____；若，则____。 答：；。 解 。 。 方法：把等式看作立方根的定义。 注意：符号由被开方数决定，每空只有一个值。 针对训练 训练3　判断：个数与符号 （1）。 对 理由：。 （2）。 错 理由：的立方根只有。 （3）。 对 理由：。 方法：检查立方能否还原，结果是否唯一。 注意：不要把求平方根的正负号带入开立方。 针对训练 训练4　辨错：三位对应一位 小明写。请指出错误并改正。 答：小数点位置错误；正确结果为。 解 ，不是原数。 ，所以应为。 方法：用立方检验小数点位置。 注意：立方运算时小数位数会相应增多。 针对训练 训练5　计算：分数与带分数 化简与。 答：分别为和。 解 。 ，。 方法：带分数先化假分数，再检查立方。 注意：负分数的立方根也为负。 针对训练 训练6　计算：根号内外的负号 化简与。 答：分别为和。 解 ，所以。 ，外面再取相反数得。 方法：先求立方根，后处理外面的负号。 注意：根号内外都有负号时不要遗漏一次运算。 针对训练 训练7　利用已知结果迁移 已知，求与。 答：分别为和。 解 左移三位，结果左移一位。 右移三位，结果右移一位。 方法：对照被开方数的小数点方向和位数。 注意：两题一个缩小、一个扩大，方向不可混。 针对训练 训练8　规律：被开方数怎样变化 一个数的立方根由变为，被开方数变为原来的多少倍？ 答：变为原来的倍。 解 原被开方数为。 新被开方数为，。 方法：先还原两个被开方数，再比较倍数。 注意：负数的倍数变化要保留原有符号。 针对训练 训练9　已知立方根求字母 已知，求的值。 答：。 解 由定义得。 所以，代回可得。 方法：根式等式转为立方关系。 注意：负数立方仍为负数。 针对训练 训练10　比较三种不同要求 分别求的算术平方根、平方根和立方根。 答：依次为、、。 解 且，所以算术平方根是。 平方根还包括；，所以立方根是。 方法：先看名称决定运算，再按个数写完整。 注意：根号左上的改变了所做的运算。 针对训练 训练11　应用：正方体储物箱 一个正方体储物箱的内部容积为 ，求其内部棱长。 内部棱长 答：内部棱长为 。 解 设内部棱长为 ，则。 ，所以。 方法：由正方体体积反求棱长。 注意：容积与棱长的单位不同；这里求内部尺寸。 针对训练 训练12　应用：熔铸金属块 将块棱长均为 的正方体金属块熔铸成一个大正方体，不计损耗，求大正方体的棱长。 答：大正方体的棱长为 。 解 总体积为 。 设大正方体棱长为 ，，得。 方法：先利用体积不变求总体积，再开立方。 注意：不能把条小棱长直接相加当作大棱长。 方法总结 用立方根解决体积问题 先建立体积关系 （1）正方体体积等于棱长的立方。 （2）合并材料时先求总体积。 再开立方并检验 （1）求得棱长后，立方验证体积。 （2）统一长度与体积单位，结果取实际可用的正值。 $