专题19.1（1）平方根（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根的定义、性质及小数点移动规律，延伸至平方根的概念、性质与开平方运算，通过概念填空、易错题辨析、即学即练构建学习支架，层层递进揭示两者区别与联系。 资料设计亮点突出，7类题型含典例与变式，如“正方形画布边长计算”培养应用意识，易错题辨析强化严谨思维，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习题与规律总结查漏补缺，提升数感与运算能力。

专题19.1 平方根 教学目标 1.  理解平方根、算术平方根定义，掌握平方与开平方互为逆运算；会用符号表示平方根、算术平方根，熟记非负数平方根性质。 2.能熟练求非负数的平方根与算术平方根；会区分平方根和算术平方根；能利用平方根性质简单求值、化简。 3.体会互逆运算思想，培养严谨数学习惯，提升数感与运算能力。 教学重难点 1.重点 正确求一个非负数的平方根与算术平方根； 2.难点 理解平方根和算术平方根的区别与联系。 知识点01 算术平方根 1算术平方根的概念 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。a的算术平方根记为“”，读作“根号a”。a叫作被开方数。 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 2.算术平方根的性质 =a(a0),=a(a0) 易错题：=（ ╳ ）因为=，所以=. 3.小数点移动规则 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的算术平方根就缩小为原来的。 【即学即练】 1. 求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方和算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先算乘方，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （4）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：， ∵， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴的算术平方根为； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根为4． （4）解：， ∵， ∴的算术平方根为． 知识点02 平方根 1.平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根。a叫作被开方数。 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0; 负数没有平方根。 正数a的两个平方根可以用符号“±”表示。其中，“+”表示a的正的平方根，即a的算术平方根；“－”表示a的负的平方根，读作“负根号a”。 2.平方根与算术平方根的区别 算术平方根平方根 0的算术平方根等于0的平方根 易错题：=（ ╳ ）因为表示的是算术平方根，所以=9. 一个整数的两个平方根互为相反数 3.平方根的性质 =|a|=,=a(a0) 4.开平方运算的概念 求一个数a的平方根的运算叫作开平方。 平方运算与开平方运算是互逆运算。 【即学即练】 1. 求下列各数的平方根： (1)64; (2)121; (3); (4) 解（1）因为（8）²=64，所以64的平方根是8，即=8. （2）因为11²=121，所以121的平方根是11，即=11. （3）因为（）²=，所以的平方根是，即=. （4）因为=，所以的平方根是=. 题型01 求一个数的算术平方根 【典例1】求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义。如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根，由此可计算。 【详解】（1）解：∵， 的算术平方根是； （2）解：∵， 的算术平方根是； （3）解：∵， 的算术平方根是 【变式1】求下列各数的算术平方根： (1)；(2)0.04; (3)． 【答案】(1) (2)0.2 (3)10 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 【详解】（1）解：依题意，， （2）解：依题意，， （3）解：依题意，． 【变式2】4的算术平方根是__________。 【答案】 2 【详解】解：，则4的算术平方根是． 【变式3】的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D．81 【答案】B 【分析】本题主要考查了求算术平方根， 算术平方根定义为非负数的非负平方根，因此9的算术平方根应为非负数。 【详解】解：因为=9，9的算术平方根是3． 所以，的算术平方根是3， 故选：B． 【变式4】学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取______．其他同学想剪裁的尺寸如下，请按要求填表： 正方形的面积/ 9 16 36 5 正方形的边长/ ______ ______ ______ ______ ______ 【答案】 5 3 4、6。 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，对求 一个数的算术平方根是解题的关键。利用正方形的面积和算术平方根的意义解答即可。 【详解】解：正方形的面积为边长的平方， 正方形的边长为面积的算术平方根， ∴ ∵，，，，5的算术平方根为， ∴按要求填表如下： 正方形的面积/ 9 16 36 5 正方形的边长/ 3 4 6 题型02 化简一个数算术平方根 【典例1】 ______， ______， ______。 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，先把被开方数写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的定义求解即可。 根据算术平方根的定义逐一进行求解即可。 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为：，，． 【变式1】化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 【变式2】计算：________。 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根。 【详解】解：， 故答案为3． 【变式3】所表述的意义是（   ） A．25的平方根 B．25的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：表示25的算术平方根． 故选：B． 【变式4】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵，且， ，即； （3）解：∵，且， ，即； （4）解：∵， ， ． 题型03 算术平方根的小数点移动规律 【典例1】 ______， ______， ______。 【答案】 ， 80 ，0.08 【分析】本题考查了算术平方根小数点的移动规律。 【详解】， ， ， ， ， ， 【变式1】求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ 【变式2】求下列各数的算术平方根： (1)160000； (2)0.09； (3)0； 【答案】(1)400 (2)0.3 (3)0 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴，即0000的算术平方根为00； （2）解：， ∴，即的算术平方根为； （3）解：， ∴，即的算术平方根为； 【变式3】请填写下列表格： 平方根 算术平方根 0.0121 360000 【分析】本题考查了算术平方根和平方根小数点的移动规律。 【详解】解： 平方根 算术平方根 0.0121 0.11 0.11 1.5 1.5 360000 600 600 【变式4】（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 题型04 求一个数的平方根 【典例1】求下列各数的平方根： (1)4 (2) (3)0.01 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根。解题的关键是掌握平方根的定义。注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 【详解】（1）解： 的平方根为； （2）解：， 的平方根为； （3）解：， 的平方根为． 【变式1】4的平方根是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：4的平方根是. 【变式2】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，先计算，再计算该值的平方根。 【详解】， 的平方根是， 故选：B． 【变式3】先说出下列各式的意义，再计算。 (1) (2) (3) 【答案】(1）表示的算术平方根； （2）表示的平方根； （3）表示的负的平方根； 【分析】本题考查了求一个数的平方根与算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键。 （1）根据算术平方根的定义解得即可； （2）根据平方根的定义解得即可； （3）根据平方根的定义解得即可。 【详解】（1）解：表示的算术平方根，． （2）解：表示的平方根，． （3）解：表示的负的平方根，． 【变式4】 请填写下列表格： 平方根 算术平方根 64 37 【答案】见解析 【分析】本题考查了求一个数的平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题关键。【详解】解：∵， ∴64的平方根是，算术平方根是8； ∵， ∴的平方根是，算术平方根是； ∵， ∴的平方根是，算术平方根是； ∵， ∴37的平方根是，算术平方根是； ∵，， ∴的平方根是，算术平方根是． 则填写表格如下： 平方根 算术平方根 64 8 37 题型05 化简平方根 【典例1】在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________;②___________;③___________． (2)①___________;②___________;③___________． （3）你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 【答案】(1)； (2)； （3），理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的概念。 根据算术平方根的定义求解即可。 【详解】（1）①；②；③． 故答案为：； (2)①；②；③． 故答案为：； （3），理由： 由算术平方根的定义，可知是的算术平方根，则． 根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是指一个非负数，它的平方等于，记作．因此，由定义可知． 【变式1】求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的计算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算的算术平方根，再在结果前添加负号，得到式子的值； （2）计算的算术平方根，直接得出式子的值； （3）先分别计算与​的结果，再通过减法运算求出式子的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴​． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ 原式． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】（1）（2）先分别计算每道题中的绝对值、乘方、算术平方根，再按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 【变式4】 探究发散： （1）完成下列填空 ① ，② ，③______，④______． （2）根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． （3）利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)0；0.5；6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 题型06 算术平方根的非负性 【典例1】若m，n满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，平方根． 根据非负数的性质求出m和n的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 所以的平方根是． 故答案为：． 【变式1】若与 互为相反数，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查相反数的性质、非负数的性质、代数式求值，先根据相反数的性质，结合绝对值和算术平方根的非负性求得a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ，， 则． 故答案为：3 【变式2】已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式3】已知一个正数的平方根是和，求和的值． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∴． 【变式4】（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 【详解】（1）； ； ； ； （2）根据（1）的计算结果可得；． 题型07 利用平方根的意义解方程 【典例1】解下列方程 (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ∵， ∴． 【变式1】解下列方程 (1)； (2)； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）解：， ∴ ∴； 【变式2】一个正方形鱼池的边长是，另一个正方形鱼池的面积比它大．求较大鱼池的边长． 【详解】解：一个正方形鱼池的边长是，其面积为， 另一个正方形鱼池的面积比它大， 另一个正方形鱼池的面积为， 较大的鱼池的边长． 答：较大鱼池的边长为． 【变式3】嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 【详解】（1）解：正方形纸片的面积为， 正方形纸片的边长是； （2）不能裁出这样的长方形； 理由：设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得， 则， 所以沿此正方形纸片的边的方向裁一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长与宽之比为，且面积为． 【变式4】在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【详解】解：王叔叔没有超速．理由如下： 将代入，得． ， ， 是正数， ． ， 王叔叔没有超速． 1.的算术平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫作b的算术平方根，且，据此求解即可。 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 2.若 ，则a不可以是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据算术平方根的非负性求解即可。 【详解】∵ ， ∴， ∴a不可以是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键。 3.下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是正数 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫作a的平方根，即，那么x叫作a的平方根，记作，0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。根据平方根的定义逐项分析即可。 【详解】解：A、正数的平方根有2个，它们互为相反数，故错误； B.100的平方根是，故错误； C.∵， ∴是100的一个平方根，正确； D.没有平方根，故此选项错误； 故选：C． 4．计算：_______。 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键。先根据算术平方根的定义计算，再进行减法计算即可。 【详解】解：． 故答案为：2． 5.的平方根是________。 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键。 先计算乘方，再求平方根即可。 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 6.的平方根是_______，的算术平方根是_________，16的算术平方根的平方根是_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握求平方根和算术平方根的法则。 利用求一个数的平方根和求一个数的算术平方根的法则进行求解即可。 【详解】解：； ； ， ； 故答案为：，，． 7.求下列各数的算术平方根： (1)2.25; (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根。一个正数有一个算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 （1）根据算术平方根的意义，即可解答； （2）根据算术平方根的意义，即可解答。 【详解】（1）解：因为， 所以2.25的算术平方根是1.5，即； （2）解：， 所以289的算术平方根是17，即． 8.求下列各数的平方根： (1)0; (2)7; (3)0.49; (4)104 【答案】(1)0 (2) (3)0.7 (4)100 【解析】略 9.若、都是实数，且，求的平方根。 【答案】 3 【分析】本题考查了算术平方根的非负性 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ，即的平方根． 10.先填写表，通过观察后再回答问题。 （1）表格中______，______。 （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______。 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用。 （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案。 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 1. 4的算术平方根是 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键。 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 2. 说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 3. 两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 4. 已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 5. 若与是同一个数的平方根，则k的值是（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】D 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是．所以分两种情况讨论：一是两个平方根相等；二是两个平方根互为相反数。本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，分两种情况（两个平方根相等或互为相反数）讨论是解题的关键。 【详解】解：情况一： 情况二： 综上，的值为或． 故选：D． 6. ， ， ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了求平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义解答． 【详解】解：． 故答案为：． 7. 方程的解是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，通过移项将方程化为，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴ 或 ， 即或， 故答案为：或． 8. 已知实数x、y满足，则的平方根____________。 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义，是解题的关键。先将变形为，再根据非负数的性质，求出，，然后代入求出，最后根据平方根定义，求出结果即可。 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵9的平方根是， ∴的平方根为． 故答案为：． 9. 已知． （1）求的值； （2）求的平方根。 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及平方根的计算，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键。 （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，通过解不等式组求出的值； （2）将（1）中求出的值代入原式，求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根。 【详解】（1）解：∵二次根式的被开方数需非负， ∴​， 解得． （2）解：把，代入原式得， 即， 解得 ∴， 的平方根是， 即的平方根是． 10. 已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的意义得出，根据算术平方根的意义得出，，继而得出，的值，再代入进行计算，即可得解．掌握平方根与算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 11. 阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是； （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得， 答：该大正方形的边长是． 12. 阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.1 平方根 教学目标 1.  理解平方根、算术平方根定义，掌握平方与开平方互为逆运算；会用符号表示平方根、算术平方根，熟记非负数平方根性质。 2.能熟练求非负数的平方根与算术平方根；会区分平方根和算术平方根；能利用平方根性质简单求值、化简。 3.体会互逆运算思想，培养严谨数学习惯，提升数感与运算能力。 教学重难点 1.重点 正确求一个非负数的平方根与算术平方根； 2.难点 理解平方根和算术平方根的区别与联系。 知识点01 算术平方根 1算术平方根的概念 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a的__________。a的算术平方根记为“”，读作“根号a”,a叫作被__________。 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是______，记为=0. 2.算术平方根的性质 易错题：=（ ╳ ）因为=，所以=. 3.小数点移动规则 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的算术平方根就缩小为原来的。 【即学即练】 1. 求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3)；(4)． 知识点02 平方根 1.平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的__________，也称为__________。a叫作被开方数。 正数有_____个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是_____; 负数没有平方根。 正数a的两个平方根可以用符号“__________”表示。其中，“+”表示a的__________，即a的算术平方根；“－”表示a的__________，读作“负根号a”。 2.平方根与算术平方根的区别 易错题：=（ ╳ ）因为表示的是算术平方根，所以=9. 一个整数的两个平方根互为相反数 3.平方根的性质 4.开平方运算的概念 求一个数a的平方根的运算叫作__________。 平方运算与开平方运算是互逆运算。 【即学即练】 1. 求下列各数的平方根： (1)64; (2)121; (3); (4) 题型01 求一个数的算术平方根 【典例1】求下列各数的算术平方根： (1)；(2)；(3)． 【变式1】求下列各数的算术平方根： (1)；(2)0.04; (3)． 【变式2】4的算术平方根是__________。 【变式3】的算术平方根是（    ） A． B．3 C． D．81 【变式4】学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取______．其他同学想剪裁的尺寸如下，请按要求填表： 正方形的面积/ 9 16 36 5 正方形的边长/ ______ ______ ______ ______ ______ 题型02 化简一个数算术平方根 【典例1】 ______， ______， ______。 【变式1】化简： (1)；(2)；(3)． 【变式2】计算：________。 【变式3】所表述的意义是（   ） A．25的平方根 B．25的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 【变式4】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 算术平方根的小数点移动规律 【典例1】 ______， ______， ______。 【变式1】求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式2】求下列各数的算术平方根： (1)160000； (2)0.09； (3)0； 【变式3】请填写下列表格： 平方根 算术平方根 0.0121 360000 【变式4】（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 题型04 求一个数的平方根 【典例1】求下列各数的平方根： (1)4 (2) (3)0.01 【变式1】4的平方根是（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式3】先说出下列各式的意义，再计算。 (1) (2) (3) 【变式4】 请填写下列表格： 平方根 算术平方根 64 37 题型05 化简平方根 【典例1】在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________;②___________;③___________． (2)①___________;②___________;③___________． （3）你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 【变式1】求下列各式的值： (1) (2) (3) 【变式2】计算： (1)． (2)． 【变式3】[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【变式4】 探究发散： （1）完成下列填空 ① ，② ，③______，④______． （2）根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． （3）利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 题型06 算术平方根的非负性 【典例1】若m，n满足，则的平方根是 ． 【变式1】若与 互为相反数，那么 ． 【变式2】已知，那么的值为 ． 【变式3】已知一个正数的平方根是和，求和的值． 【变式4】（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 题型07 利用平方根的意义解方程 【典例1】解下列方程 (1)； (2)． 【变式1】解下列方程 (1)； (2)； 【变式2】一个正方形鱼池的边长是，另一个正方形鱼池的面积比它大．求较大鱼池的边长． 【变式3】嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 【变式4】在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 1.的算术平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 2.若 ，则a不可以是（　　） A． B．0 C．1 D．2 3.下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是正数 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 4．计算：_______。 5.的平方根是________。 6.的平方根是_______，的算术平方根是_________，16的算术平方根的平方根是_______ 7.求下列各数的算术平方根： (1)2.25; (2)． 8.求下列各数的平方根： (1)0; (2)7; (3)0.49; (4)104 9.若、都是实数，且，求的平方根。 10.先填写表，通过观察后再回答问题。 （1）表格中______，______。 （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______。 1. 4的算术平方根是 . 2. 说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 3. 两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4. 已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 5. 若与是同一个数的平方根，则k的值是（   ） A． B． C．1 D．或1 6. ， ， ． 7. 方程的解是 ． 8. 已知实数x、y满足，则的平方根____________。 9. 已知． （1）求的值； （2）求的平方根。 10. 已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 11. 阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 12. 阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $