专题01 实数期中复习（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上学期

专题01 实数的期中复习 考点01 平方根、立方根的概念 考点02 平方根、立方根小数点的移动规律 考点03 有理数的小数形式 考点04 实数、无理数的概念 考点05 实数的大小比较 考点06 无理数的整数部分、小数部分 考点07 实数的运算 考点08 实数与数轴 考点09 科学计数法 考点01 平方根、立方根的概念 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，根据定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：A选项：3是9的平方根，A说法正确； B选项：，4的平方根为，不是B说法错误； C选项：的立方根为，C说法正确； D选项：根据平方根的定义，在实数范围内，负数没有平方根，D说法正确． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是 （    ） A．平方根等于本身的数是0和1 B．立方根等于本身的数是0和1 C．表示64的根的平方根 D．是3的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念． 根据平方根和立方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：选项A：平方根等于本身的数是0，故A错误； 选项B：立方根等于本身的数是0和1和，故B错误； 选项C：表示64的平方根，故C错误； 选项D：是3的算术平方根，是3的一个平方根，故D正确； 故选：D． 3．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）16的算术平方根是_______，4的立方根是_______，的平方根是_______． 【答案】 4 【分析】本题考查算术平方根、立方根和平方根，根据算术平方根、立方根和平方根的定义和性质求解即可． 【详解】解：16的算术平方根是4，；4的立方根是；的平方根是； 故答案为：4，， 4．（25-26八年级上·上海·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）一个正数的平方根是与，则的值是______． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数列方程求出的值，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 7．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 8．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)30 (2) (3) 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴； （3）解：∵ ∴． 9．（25-26八年级上·上海·期中）求该式子中x的值． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义，得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：， ， 或， ∴或． 10．（25-26八年级上·上海·期中）为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中 【分析】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：∵长方形封皮的长与宽的比为， 设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，即，，， ， ，，， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 考点02 平方根、立方根小数点的移动规律 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质．根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就移动一位，即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 8．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 考点03 有理数的小数形式 1．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法错误的是（    ） A．任何分数都能化为小数 B．任何小数都能化为最简分数 C．任何分数都能化为有限小数 D．任何有限小数都能化为分数 【答案】C 【分析】根据分数的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、任何分数都能化为小数，故该选项正确； B、任何小数都能化为最简分数，故该选项正确； C、分数可以化为有限小数和无限不循环小数，故该选项错误； D、任何有限小数都能化为分数，故该选项正确． 故选C． 【点睛】本题考查了分数化为小数的方法，解决本题的关键是掌握分数的基本性质． 2．（25-26八年级上·上海·课后作业）下列小数和分数的混合运算中，可将分数化为小数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数化小数的方法直接进行排除选项即可． 【详解】A、中的是最简分数，但分母分解素因数含有2和3，故不能化小数，所以错误； B、中的分母分解素因数只含有3，故不能化小数，所以错误； C、中的分母分解素因数含有3和7，故不能化小数，所以错误； D、中的分数都可以化成小数，故正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查分数化小数，熟练掌握分数化小数的方法是解题的关键． 3．（25-26八年级上·上海·课后作业）下列各式中，将分数化为小数计算比较方便的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果分数化成小数后是有限小数，那么分数化成小数计算就比较方便，否则就不方便 ． 【详解】解：∵，所以选项B符合题意； 而都不能化成有限小数，∴分数化成小数计算不方便，∴A、C、D都不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查分数与小数的互化，在把分数化成小数计算之前先判断分数是否能够化成有限小数是解题关键． 4．（25-26八年级上·上海·课后作业）下列说法中正确的是（    ）． A．小数0.121221222…是循环小数 B．分数总可以化为循环小数 C．0.2232323…的循环节是“223” D．循环小数不一定小于1 【答案】D 【分析】根据分数和小数互化的性质分析，即可得到答案． 【详解】小数0.121221222…不是循环小数，故选项A错误； 不是所有分数都可以化为循环小数，例如，故选项B错误； 0.2232323…的循环节是“23”，故选项C错误； 循环小数不一定小于1正确，例如：1.2232323…，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了分数和小数互化的知识；解题的关键是熟练掌握分数和小数互化的性质，从而完成求解． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将分数化为小数是，则小数点后第2012位上的数是（    ） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查数字规律问题，从题目中找到规律是解题的关键．将分数化为小数是，循环节是857142，说明此循环小数中这6个数字为一个循环周期，要求小数点后面第2012位上的数字是几，就是求2012里面有几个6，再根据余数确定即可． 【详解】解：∵化为小数是， ∴， 所以小数点后面第2012位上的数字是5； 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决相应问题： 我们知道分数写为小数形式即为0.3，反之，无限循环小数0.3写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗?如果可以，应怎样写呢? 【发现】以无限循环小数为例进行讨论． 设，由…可知，…，即．解得．于是 【解决问题】请你把无限小数写成分数形式，即（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式．设，由可知的值，进而求出即可． 【详解】解：设，由可知， 即． 解得 于是，得． 故选：A． 7．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）小数化为分数：____________，____________. 【答案】 【分析】把小数化为，约分化简即可；把小数化为，约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了把小数化成分数，有几位小数就在1的后面添几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分． 8．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）分数化为小数：____________，____________. 【答案】 【分析】根据带分数、假分数的互化方法及分数化小数的方法进行解答即可． 【详解】解：． ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了分数化小数，解题的关键是熟练掌握分数化成小数的方法． 9．（25-26八年级上·上海·期中）在学习实数时，所有的循环小数都可以化成分数，以下是循环节是一位的小数转化为分数的过程，类比循环节是一位数的小数转化成分数的过程． （1）把转化成分数是___________； （2）把转化为分数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了无限循环小数化为分数的过程，理解例题的转化过程是解题的关键． （1）依照例题方法解答即可； （2）依照例题方法解答即可． 【详解】解：（1）， 所以 ， 故答案为：； （2）， 所以 ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．设，由可知，，所以，解方程，得，于是，可得．想一想，把无限循环小数化为分数得：_______． 【答案】 【分析】设，可表示出100x，即可列出方程，求出答案. 【详解】设，根据题意，得 100x-x=41， 解得. 所以. 故答案为：. 【点睛】这是一道关于无限循环小数转化为分数的创新性题目，根据题意列出方程式解题的关键. 考点04 实数、无理数的概念 1．（2026·上海·中考真题）下列选项中，是无理数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数和有理数的定义逐一判断选项即可，用到的知识点为：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：选项A，是分数，属于有理数， 选项B，是整数，属于有理数， 选项C，是无限不循环小数，是无理数， 选项D，，是整数，属于有理数． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义（无限不循环小数），进行判断即可． 【详解】解：在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数有、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）共3个； 故选C． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．有理数与无理数的积是无理数 B．没有平方根 C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 【答案】D 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，数轴，有理数与无理数的积，根据相关知识逐一判断即可． 【详解】解：选项A，有理数0与无理数的积为0，是有理数，不符合题意； 选项B，若，则，有平方根，不符合题意； 选项C，数轴上存在无理数点，不与有理数对应，不符合题意； 选项D，若，平方根有两个值，立方根只有一个值，不可能相等；若，平方根不存在，立方根存在；只有时，平方根和立方根均为0，符合题意； 故选D． 5．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）下列说法正确的是（     ） ①任何一个有限小数可以化成分数； ②任何一个无限小数都是无理数； ③的平方根是； ④数轴上的任意一点与有理数对应； ⑤两个无理数的差是无理数． A．①③ B．① C．②③④ D．①⑤ 【答案】B 【详解】解：①有限小数可化为分数，故①正确； ②无限循环小数是有理数，故②错误； ③∵，∴的平方根是，故③错误； ④数轴上的点与实数一一对应，故④错误； ⑤两个无理数的差不一定是无理数，例如，是有理数，故⑤错误； 综上，说法正确的只有①． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 8．（25-26八年级上·上海松江·期末）实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的化简，求一个数的立方根． 根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：，其中是无理数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数． 是有限小数，是有理数． 是无限循环小数，是有理数． 综上所述，无理数是． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，． 【分析】根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】解：∵， ∴中 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，． 【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键． 10．（25-26八年级上·上海·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2) 解：∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）略 （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点05 实数的大小比较 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 通过比较平方即可比较两数的大小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可解答，熟知（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 5．（25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小：_____． 【答案】 【分析】本题考查分数比大小，熟练掌握无理数的估算和分数比大小是解题的关键，同分母分数比大小，通过比较两个分数的分子大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 6．（25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为： 7．（25-26八年级上·上海松江·期中）比较大小：_____3（填“”，“”或者“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较和的大小关系，根据立方根的定义进行判断即可． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ，即， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【答案】选用圆形方案围成的场地面积较大，最大面积是． 【分析】本题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，若围成正方形场地，则边长为，面积为；若围成圆形场地，则圆的半径为，面积为，然后比较大小即可解决问题． 【详解】解：当围成正方形场地时：面积， 当围成圆形场地时：面积， ∵， ∴围成圆的面积较大，最大面积是． 9．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果． （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为． （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3) 解：在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）略 考点06 无理数的整数部分、小数部分 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是利用不等式的性质确定出的范围． 先由确定 的整数部分和小数部分，再计算． 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 2．（26-27八年级上·上海·单元测试）关于“”，下面说法不正确的是（     ） A．10的平方根是 B．它是一个无理数 C．若，则整数a为3 D．它可以表示面积为10的正方形的边长 【答案】A 【分析】根据无理数定义及相关性质、算术平方根定义、正方形面积计算方式进行作答即可． 【详解】解：A选项，10的平方根有两个，分别为和，是10的算术平方根，仅说“10的平方根是”表述不准确，符合题意； B选项，是开方开不尽的数，属于无理数，说法正确； C选项，∵，，， ∴， ∴整数，说法正确； D选项，设正方形边长为，若面积为10，则，（边长为正）， 故可以表示面积为10的正方形的边长，说法正确． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：、因为，所以该选项不符合题意； 、因为，所以该选项不符合题意； 、因为，∴，所以该选项不符合题意； 、因为，所以该选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．的被开方数是13，可以找到最接近13的两个完全平方数，来确定的整数部分，再用减去整数部分就得到小数部分，然后根据题意计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 故选B． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）已知是两个连续整数，若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算及算术平方根，熟练掌握无理数的估算及算术平方根是解题的关键；首先估算的取值范围，由于，因此，即，从而确定连续整数，；然后计算，并化简为，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以，即． 由于，是两个连续整数，且， 因此，． 则． 故答案为． 7．（25-26八年级上·上海·期中）估算的整数部分______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是5， 故答案为：5． 8．（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先确定 的整数部分，得到小数部分 ，再求不大于 的最大整数 ，最后计算 ． 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海·期中）已知的小数部分是b，那么的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的整数和小数部分相关问题和利用完全平方公式的计算，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键，首先根据题意得到的值，从而得到，再将代数式利用完全平方公式化简后得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分为3， ∴， ∵两边平方得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根和立方根的意义． 根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出 ；根据立方根等于本身的数且大于 0，求出 ；估算 的整数部分得到 ；代入求值后求算术平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 11．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 考点07 实数的运算 1．（2026八年级上·上海·专题练习）下列各组数中互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】首先根据立方根的定义和平方根的定义计算出结果，再根据相反数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与相等，与不互为相反数，故A选项不符合题意； B选项：，，与相等，与不互为相反数，故B选项不符合题意； C选项：，．与互为相反数， 故C选项符合题意； D选项：，与不互为相反数，故D选项不符合题意． 2．（2026八年级上·上海·课后作业）若，其中，则b的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算（利用加法各部分的关系：加数和另一个加数），解题关键是通过移项将b表示为和与的差，再代入计算． 根据已知条件 和 ，通过等式变形求解 的值． 【详解】解：由 ，得 ，代入 ，得 ． 故答案为 ：． 3．（25-26八年级上·上海·期中）计算的值________． 【答案】 / 【分析】此题考查了实数的混合运算． 分别计算算术平方根、绝对值、立方根，再进行加减法即可． 【详解】解：原式 故答案为： 4．（25-26八年级上·上海·期中）表示不大于 的最大整数，如 ，则_________ 【答案】 【分析】本题考查新定义，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解新定义的意义是正确解答的关键． 根据新定义得，，，，，，，，，……，，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，……，， ∴ ． 故答案为：． 5．（2026八年级上·上海·课后作业）我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 6．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】先把化成分数，再根据算术平方根、立方根、乘方的定义分别化简，最后进行加法运算即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 7．（26-27八年级·上海·暑假作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 8．（26-27八年级·上海·暑假作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 9．（2026·上海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题考查零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简以及分母有理化的知识． 先分别化简每一项，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】根据乘方、开立方、零指数幂、负指数幂的运算法则依次计算，然后按照有理数的加减混合计算即可求出答案． 【详解】解：    考点08 实数与数轴 1．（25-26八年级上·上海·期末）在数轴上，如果实数3对应的点为A，4对应的点为B，对应的点为C，那么以下表述正确的是（    ） A．点C位于点B的右侧 B．点C位于点A的左侧 C．点C位于A、B两点之间且更靠近点A D．点C位于A、B两点之间且更靠近点B 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法，二次根式的加减运算法则． 先根据无理数的估算方法确定点C在点A和点B之间，然后得到，再比较与的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点C在点A和点B之间； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 因此点C更靠近点B， 综上，点C位于A、B两点之间且更靠近点B， 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图（）将一个由个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）．图（）是一个数轴，把图（）中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，点在点右侧，点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查图形剪拼的面积不变性，实数与数轴的对应关系，数轴的对称性质，利用“剪拼前后面积不变”求正方形边长是解题关键． 先由剪拼前后面积不变求出正方形边长为​，确定点表示的数为​，再根据翻折的对称性，利用中点公式求出点表示的数． 【详解】解：大正方形旋转后如图所示． 设拼成的正方形边长为， 根据题意可知长方形的面积为， 长方形与拼成的正方形面积相同， ，则， 点与重合， 点在数轴上表示的数为， 点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点表示的数为， ， ， 解得， 故点所表示的数为． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键． 由题意可得，则表示的数为，表示的数为，则，然后依次表示，，即可找到规律求解． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ； ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差(右减左)；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． （1）通过数轴上两点距离公式计算长度； （2）根据平移规律列方程求点的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点的数． 【详解】（1）解：∵点表示，点表示， ∴线段的长为； （2）解：∵点向左平移个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， ∴点表示的数为； （3）解：设点对应的实数为， ∵点、点关于点对称， ∴，即， 解得，即点对应的实数为1． 7．（25-26八年级上·江西抚州·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 8．（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，非负数的应用，算术平方根的性质，理解题意是解题的关键． （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用对称性求得折痕处对应的数为，则利用点A对应的数与点重合的点距离的长度相等解答即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 10．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值的非负性，实数与数轴，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确用t的代数式表示各点． （1）根据绝对值和平方式的非负性求解即可； （2）①先用t的代数式表示运动后点的所对应的数，再找出两个临界位置求出t值，即可求解取值范围； ②由面积关系得到，再用t的代数式表示，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵m是64的算术平方根， ∴，， ， 故答案为：，，； （2）解：①当点B与F重合时，则， 解得； 当点与点重合时，则， 解得， ∴t的取值范围为； ②∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 考点09 科学计数法 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）2026年央视春晚全媒体直播累计触达观众677000000人次，将数据677000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 科学记数法中，的值等于原数的整数位数减1， ∴原数是9位整数，可得，， ∴ 2．（25-26八年级上·上海松江·期末）已知光在真空中的传播速度约是，太阳光从太阳表面照射到地球上大约需要，则地球到太阳的距离大约为（   ）．（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，单位的换算． 根据距离=速度×时间，计算光传播的距离，然后进行单位换算（米到公里），并用科学记数法表示． 【详解】解：∵速度，时间， ∴距离， ∵， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海·期末）以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，将每个选项的科学记数法转化为小数形式，检查小数点与左起第一个非零数字之间零的个数，恰有三个0的选项符合要求． 【详解】解：A、，小数点后第一个非零数字为1，之间有一个0，不符合； B、，左起第一个非零数字为9，小数点与9之间有两个0，不符合； C、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为5，之间有两个0，不符合； D、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为6，之间有三个0，符合； 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海·模拟预测）将用小数表示为（     ） A．0.0628 B．0.00628 C．0.000628 D．0.0000628 【答案】D 【详解】解： 5．（25-26八年级上·上海·期末）2025年前三季度上海市实现地区生产总值亿元人民币，根据最新经济预测，上海市城市经济规模将进入万亿元以上的新阶段，是中国第一个实现此目标的城市．数据亿元人民币用科学记数法表示为______________元． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故答案为： 6．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）科学记数法表示________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中，等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 【详解】解：观察原数，左边第一个不为零的数字是，其前面共有个，且，符合科学记数法对的要求， 因此． 7．（2026·山东东营·中考真题）近期，某研究团队在厚度仅为（）的二硫化钼超薄材料上，成功研制出世界首颗二硫化钼多位并行微处理器．这一突破性进展，标志着我国“二维芯片”应用研究实现里程碑式跨越．请用科学记数法表示___________． 【答案】 【详解】解：． 8．（25-26八年级上·上海·期末）某公司的光刻机使用极紫外光()技术制造芯片，其光源波长为米．数据“”用科学记数法可表示为______． 【答案】 【详解】解：． 9．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【答案】7 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 10．（25-26八年级上·上海·期中）中研普华产业研究院在《2026—2030年国内石墨烯行业发展趋势及发展策略研究报告》中指出，石墨烯技术突破正推动行业从“经验制造”向“数字制造”跨越．据了解，单层石墨烯的厚度仅为，是迄今为止发现的最薄的二维材料．将还原成小数是________． 【答案】0.000000000335 【详解】解：． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数的期中复习 考点01 平方根、立方根的概念 考点02 平方根、立方根小数点的移动规律 考点03 有理数的小数形式 考点04 实数、无理数的概念 考点05 实数的大小比较 考点06 无理数的整数部分、小数部分 考点07 实数的运算 考点08 实数与数轴 考点09 科学计数法 考点01 平方根、立方根的概念 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是 （    ） A．平方根等于本身的数是0和1 B．立方根等于本身的数是0和1 C．表示64的根的平方根 D．是3的一个平方根 3．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）16的算术平方根是_______，4的立方根是_______，的平方根是_______． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）一个正数的平方根是与，则的值是______． 6．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 7．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 8．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 9．（25-26八年级上·上海·期中）求该式子中x的值． 10．（25-26八年级上·上海·期中）为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 考点02 平方根、立方根小数点的移动规律 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，则____________． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 7．（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 8．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   考点03 有理数的小数形式 1．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法错误的是（    ） A．任何分数都能化为小数 B．任何小数都能化为最简分数 C．任何分数都能化为有限小数 D．任何有限小数都能化为分数 2．（25-26八年级上·上海·课后作业）下列小数和分数的混合运算中，可将分数化为小数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·课后作业）下列各式中，将分数化为小数计算比较方便的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·课后作业）下列说法中正确的是（    ）． A．小数0.121221222…是循环小数 B．分数总可以化为循环小数 C．0.2232323…的循环节是“223” D．循环小数不一定小于1 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将分数化为小数是，则小数点后第2012位上的数是（    ） A．8 B．5 C．4 D．2 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决相应问题： 我们知道分数写为小数形式即为0.3，反之，无限循环小数0.3写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗?如果可以，应怎样写呢? 【发现】以无限循环小数为例进行讨论． 设，由…可知，…，即．解得．于是 【解决问题】请你把无限小数写成分数形式，即（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）小数化为分数：____________，____________. 8．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）分数化为小数：____________，____________. 9．（25-26八年级上·上海·期中）在学习实数时，所有的循环小数都可以化成分数，以下是循环节是一位的小数转化为分数的过程，类比循环节是一位数的小数转化成分数的过程． （1）把转化成分数是___________； （2）把转化为分数是___________． 10．（25-26八年级上·上海·期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．设，由可知，，所以，解方程，得，于是，可得．想一想，把无限循环小数化为分数得：_______． 考点04 实数、无理数的概念 1．（2026·上海·中考真题）下列选项中，是无理数的是(    ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 4．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．有理数与无理数的积是无理数 B．没有平方根 C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 5．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）下列说法正确的是（     ） ①任何一个有限小数可以化成分数； ②任何一个无限小数都是无理数； ③的平方根是； ④数轴上的任意一点与有理数对应； ⑤两个无理数的差是无理数． A．①③ B．① C．②③④ D．①⑤ 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 8．（25-26八年级上·上海松江·期末）实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 10．（25-26八年级上·上海·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 考点05 实数的大小比较 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 3．（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接：________． 5．（25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小：_____． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 7．（25-26八年级上·上海松江·期中）比较大小：_____3（填“”，“”或者“”）． 8．（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 9．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 考点06 无理数的整数部分、小数部分 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·上海·单元测试）关于“”，下面说法不正确的是（     ） A．10的平方根是 B．它是一个无理数 C．若，则整数a为3 D．它可以表示面积为10的正方形的边长 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 6．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）已知是两个连续整数，若，则___________． 7．（25-26八年级上·上海·期中）估算的整数部分______． 8．（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 9．（24-25八年级上·上海·期中）已知的小数部分是b，那么的值为____________． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 11．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 考点07 实数的运算 1．（2026八年级上·上海·专题练习）下列各组数中互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2026八年级上·上海·课后作业）若，其中，则b的值为_____________． 3．（25-26八年级上·上海·期中）计算的值________． 4．（25-26八年级上·上海·期中）表示不大于 的最大整数，如 ，则_________ 5．（2026八年级上·上海·课后作业）我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 6．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）计算： 7．（26-27八年级·上海·暑假作业）计算：． 8．（26-27八年级·上海·暑假作业）计算：． 9．（2026·上海·中考真题）计算： 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 考点08 实数与数轴 1．（25-26八年级上·上海·期末）在数轴上，如果实数3对应的点为A，4对应的点为B，对应的点为C，那么以下表述正确的是（    ） A．点C位于点B的右侧 B．点C位于点A的左侧 C．点C位于A、B两点之间且更靠近点A D．点C位于A、B两点之间且更靠近点B 2．（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图（）将一个由个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）．图（）是一个数轴，把图（）中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，点在点右侧，点表示数，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为_________． 5．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 7．（25-26八年级上·江西抚州·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 8．（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 10．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 考点09 科学计数法 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）2026年央视春晚全媒体直播累计触达观众677000000人次，将数据677000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海松江·期末）已知光在真空中的传播速度约是，太阳光从太阳表面照射到地球上大约需要，则地球到太阳的距离大约为（   ）．（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期末）以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·模拟预测）将用小数表示为（     ） A．0.0628 B．0.00628 C．0.000628 D．0.0000628 5．（25-26八年级上·上海·期末）2025年前三季度上海市实现地区生产总值亿元人民币，根据最新经济预测，上海市城市经济规模将进入万亿元以上的新阶段，是中国第一个实现此目标的城市．数据亿元人民币用科学记数法表示为______________元． 6．（26-27八年级上·上海普陀·阶段检测）科学记数法表示________． 7．（2026·山东东营·中考真题）近期，某研究团队在厚度仅为（）的二硫化钼超薄材料上，成功研制出世界首颗二硫化钼多位并行微处理器．这一突破性进展，标志着我国“二维芯片”应用研究实现里程碑式跨越．请用科学记数法表示___________． 8．（25-26八年级上·上海·期末）某公司的光刻机使用极紫外光()技术制造芯片，其光源波长为米．数据“”用科学记数法可表示为______． 9．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 10．（25-26八年级上·上海·期中）中研普华产业研究院在《2026—2030年国内石墨烯行业发展趋势及发展策略研究报告》中指出，石墨烯技术突破正推动行业从“经验制造”向“数字制造”跨越．据了解，单层石墨烯的厚度仅为，是迄今为止发现的最薄的二维材料．将还原成小数是________． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $