专题04二次根式的运算期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题04二次根式的运算期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，能根据同类二次根式的定义求 字母参数。 2掌握二次根式的加减运算法则：先化为最简三次根式，再合并同类二次根式。 3,掌握二次根式的乘、除运算法则，熟练进行二次根式乘法、除法计算，运算后结 果化为最简二次根式。 4.知道整式的运算顺序、运算律（分配律、结合律、交换律）、乘法公式（平方 差、完全平方公式)在二次根式运算中依然适用，能进行二次根式的混合运算。 5.掌握二次根式分母有理化的方法，会对含根号的分母进行有理化化简，能够处理 常规分母有理化题型。 6.会进行二次根式的代入求值：先化简代数式，再把二次根式的值代入计算，简化 运算步骤。 7能结合二次根式运算解决简单实际问题，比如几何图形（三角形、长方形）的边 长、周长、面积计算。 8梳理易错点：不是被开方数相同就直接合并，必须先化成最简二次根式；运算结 果没有化为最简：分母有理化时漏乘分子；混合运算乱用运算顺序、误用乘法公 式。 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 同类二次根式 ★★ 题型二 二次根式的乘法 ★★ 题型三 二次根式的除法 ★★★ 题型四 二次根式的乘除混合运算 题型五 分母有理化 ★★ 题型六 二次根式的加减运算 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型七 二次根式的混合运算 ★★ 题型八 比较二次根式的大小 ★★★ 题型九 已知字母的值，化简求值 ★★★★ 题型十 已知条件式，化简求值 ★★★ 题型十一 二次根式的应用 ★★★ 题型十二 实数的混合运算 ★★★★ 题型十三 与实数运算相关的规律题 ★★★★★ 题型十四 新定义下的实数运算 拔高题 6题 星级说明：★基础：★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 。容德年海海德象烟年编年量 乘法法测： 公试：va×v6=√ab(a≥0，b≥0) 运算要点：系致相乘作为新系数。被开方数相乘后化 二次根式的乘除运算 除法法测 公试：8=√a≥0，b≥0) 乘除合运算运顺序：从左到右依次计算，有活号先活号内，结果化为服简二次根式 先化简为最简二次根式。再比校被开方数是否一致 二次根式的 运算步 二次根式的加减运算 运算 3合：合并同类二次根式（只合并系数，被开方数不变 合井同类二次根式法测 同类二次根式相加，系数相加。被开方数和根指数不变 二次根式的混合运算 运算律适用 整式的策法公式。运算律（交换律.结合律、分配律）仍然适用 试卷第2页（共3页） 知识点01最简二次根式（所有运算化简最终标准） 1.定义（两大判定条件，缺一不可） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式： 被开方数不含分母，分母中不含根号。 2。快速判断举例 是最简：V7、Vx2+1 不是最简：亚（含开得尽方因数）、沿（含分母）、后 (分母带 根号) 知识点02二次根式的乘法 1.乘法运算法则 文字：两个非负数算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 Va·Vb=Vab(a≥0，b≥0) 2.逆用（化简根式核心） Vab=-VaVb(a≥0，b≥0) 用途：拆分被开方数，开出平方因数，化为最简根式。 3.拓展：多个根式相乘 Va.Vb.Vc=Vabc(a≥0，b≥0，c≥0) 知识点03二次根式的除法 1.除法运算法测 试卷第3页（共3页） 文字：两个非负数算术平方根的商，等于两数商的算术平方根。 器8 (a20,b>0) 2.逆用（化简分式根式） 语 (a≥0，b>0) 3. 关键限制：除数b不能为0，因此b>0,区别乘法b≥0 知识点04：分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘 二次根式化简的结果通常要满足以 适当的数或式就可以使被开方数中不含分母 下几个要求：(1)根号下不能含有 二次 能开的尽方的数或式子；(2)根号 根式 √b·b/b2 √62 下不能含有分数或分式：(3)如果 的 结果中含有分母，分母中不能有根 当一个式子的分母中有根号时，分子、分母都乘适当的数或式 号。二次根式的运算和化简问题 分母 可以使分母中不含有根号。 定要注意检查。 有理化 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化」 知识点05同类二次根式（加减运算基础） 1.定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个根式叫 做同类二次根式。 2.判断步骤 试卷第4页（共3页） ①全部化为最简二次根式；②对比被开方数，相同即为同类。 3.举例：V12=23、27=33,化简后被开方数都是3，是同类二次 根式。 4.核心性质：只有同类二次根式才能合并加减，非同类不能合并 知识点06二次根式的加减法 1.运算步骤（三字口诀：一化、二找、三合并） 一化：把所有二次根式化为最简二次根式： 二找：找出其中的同类二次根式； 三合并：类比合并同类项，根式部分不变，只把根号前的系数相加减。 2.计算示例 W12+27=2W3+3v5=(2+3)√3=5W3 3.易错提醒：非同类根式不能合并，如V2+3无法化简。 知识点07二次根式的混合运算 1.运算顺序（和实数、整式完全一致） 先乘方、开方一再乘除一最后加减；有括号先算括号内。 2。运算律全部适用 加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律。 3.乘法公式完全适用（高频大题考点） 试卷第5页（共3页） 平方差：(a+V⑥)(a-V0)=a2-b 完全平方：(va±V6)2=a+b士2vab 4.通用解题流程 去括号一→乘除化简→分母有理化一→合并同类二次根式。 知识点08乘除法则对比表（板书重点，区分取值范围） 运算 公式 字母取值限制 核心用途 乘法 Va-Vb Vab (a≥0，b20) 根式相乘、拆分化简 除法 器限 (a20,b>0) 分式根式化简、分母有理化 知识点O9高频易错点汇总 1.使用乘除法则忽略(a、b0取值范围，出现-2·-3错误运算； 2.化简根式不化到最简，残留能开方的因数或分母根号； 3.加减运算不先化简，直接判定根式是否同类； 4强行合并非同类二次根式，如V2+3=5; 5.分母有理化时，分子漏乘有理化因式，只化简分母： 6.完全平方公式展开漏写中间交叉项：（ā+只b)2=a+b; 7混合运算顺序混乱，先加减后乘除 ☆ 题型精析 试卷第6页（共3页） 题型一、同类二次根式 1.下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是（) A.V3 B,.4 C.32 D.vG 2.下列各式中，与 5)不是同类二次根式的是(） 5y 1 A.0.5y B.20y c.V16 D.\45y 3.下列各组根式中，是同类二次根式的是() A8和5 B.2和02 ab c.V2ab和V2 D.Va2-1和Va2+1 题型二、二次根式的乘法 6x32= 4.计算： 5.若n为正整数，且满足”<058+2而)<n+1,则n= 6.下列变形错误的有() ①W52-42=√5-√4=5-4=1 ②V-16)×(-25)=V-16×-25=-4×(-5)=20: ®+骨 -131313 ④V42x7=V42×√7=4V7 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型三、二次根式的除法 7.计算：2(5-) 试卷第7页（共3页） 8,计算：25-V6+(54+26)5 9.估计25+D)5的值在() A.3到4之间 B.6到7之间 C.4到5之间D.5到6之间 题型四、二次根式的乘除混合运算 10.计算： V6÷V3x√2= 1.计算i8xV30÷V2 结果是 12.下列运算正确的是（) A.V2xV5+V5=2√5 c.（N5-2(5+5)=5-6 题型五、分母有理化 13.Vx-2 的一个有理化因式是() A.+ B. C.Vx+y D.vx-y 2 2 62 14.化简5-15+i 十 一：计算V3V3+1 15.观察下列等式： √2-1 =√2-1 ①2+1（W2+12- 3-2 ②3+5+2g-5-5 1 试卷第8页（共3页） 1 √4-3 =V4-V3 ③4+5（W4+3V4-5 1 化简：Vn+1+V历()(n为正整数). √n+l+Vn A. B Vn+1 C.n D.n+i- 题型六、二次根式的加减运算 √12-25- 16.计算： 17.化简： N32-5+32- x- 5-1 18.已知2，y=1,则x+y的值为(). A.1 B.2 C.5 D.25 题型七、二次根式的混合运算 19.计算：3-列V5= 20.计算： V12x3-√18+√2= 21.估计(56-242 的值应在() A.6和7之间 B.5和6之间 C.4和5之间 D.3和4之间 y-2 22.已：y-2=-4+4x,则长+的值为 题型八、比较二次根式的大小 试卷第9页（共3页） 23.比较大小： -V10 -3W2（填>”“<”或“=”)· 24.比较大小 2-v3 3-√2 252、2+5 2、2+V2的大小关系是() A.2+2>2+g55-5 2 B.5-2>2+9242 2 e2+5-5>2+吃 2 D.5-2>2+2>2+5 题型九、已知字母的值，化简求值 26.已知X=5+1,y=5-12+2y+ ,下列结果计算正确的是() A.12 B.8 c v3 D.-V3 27若1 2,则代数式x+3x2+x-5的值为一· 28.若x=V5-3,则N7+6r+9的值为() A. B 5 C.5+3 D.2 题型十、已知条件式，化简求值 一十 29.已知x,y为实数，xy=5,那么xvxxyy的值为() A. B.2V5 C.25 D.5 30.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简：Va++1b--a+- 试卷第10页（共3页） a-10b1 31.若Vb-3+(a-4)2=0,则化简Vb的结果是() 23 2V5 45 45 A 3 B.±3 C.3 D.±3 题型十一、二次根式的应用 32.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威 力惊人，而且用时很短，常常避让不及.据研究，物体自由下落的高度伽m与所需的时间 s满足关系式5，如果1个鸡蛋从离地面60m的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时 间是() A.2v2s B 2V3s C.3v2s D V13s 38.如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方无4BCD中，若8-8=8 则AB= D S B 34.在一个大正方形上，按如图所示的方式粘贴面积分别为18,12的两个小正方形，粘贴 后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为() 12 3 18 A 6V6-6 B.8 c.6V5-6 D.12 试卷第11页（共3页） 题型十二、实数的混合运算 35.计算(2+(2的结果为 36计算，825周-小5-的值为 3.已加有理数a,b满是5-a=2b+号5-a,则a+=（) 3 3 11 A.2 B.2 C.3 D.6 题型十三、与实数运算相关的规律题 38,已知按照一定规律排成的一列实数：-1,5,5，-2,5,6.万.⑧ 9-10 ….按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是() √2026 -√2026 B 2026 C. D.2026 39.对于实数，我们规定因表示不大于x的最大整数，如[④=4，[5]=1，[-25=-3 [[ 82→ .现对82进行如下操作： ⑧2」 这样对82只需进行3 次操作后变为1，类似地，对2500只需进行 次操作后变为1. 40,将1,5,5,6按下列规律排列，若规定m,m 表示第m排从左至右第n个数， 例如， 42表示6.那么，表示 (5,5)(10,8) 和 的数的积是() 试卷第12页（共3页） 1 第一排 5 第二排 1 第三排 6 1 第四排 … 3 A B V2 c.32 D.VG 题型十三、与实数运算相关的规律题 2 aC=ad-bc那么1-)5 =18 41. a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算：bd 时，x等于() A.1 B.2 C.3 D.-1 m2+n(m≥n 42.对于实数m、n,定义新运算“※”如下： mxn= n2+m(m<n),若x※(-4)=12， 则实数x的值为 (m-n(m2n) 43.对于任意的正数mn 定义运算。： m☒n= m+Vn(m<n)计算(2⑧3)+12⑧8)的 结果是（) √2+V3 A. B.33-V2 C.33+v2 D 5-√2 解答题 44.计算下列各题： ①3+27-2 试卷第13页（共3页） 20-5+2+ (3)V5 45.计算： i6+×8+(-2: ②5-5+5-日 46.计算和求值 (1)计算： 5+x5-②-35x (②)已知=5+y=5-1 求代数式-+ 的值. 47.阅读下列材料，然后回答问题。 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我 们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2,b=-3,求a2+b2我们可以把a+b 和ab看成是一个整体，令x=a+6y=ab,则+=(a+b-2ab=r-2y=4+6=10这 样，我们不用求出a,b,就可以得到最后的结果。 N5+V2V3-V2 3+2,3-2 (1)计算：√5-V2√5+V2 ;3-2√3+√2 m+1-Vmb-m+i+ym a= (2)m是正整数，√m+1+VmVm+1-√m,且2a2+1829ab+2b2=2025,求m. 6记知*满足5+-19-=2.求5+7+9-的值. 48.实验中学有一块长方形的文化长廊ABCD(如图)，该文化长廊的长AB为 (55+2)m,宽AD为55-)m 现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台 试卷第14页（共3页） 的边长为(27-5)m. 除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂 料. B 展台 D (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 49.阅读下列解题过程： ov 多-g周- @6品 (1)请写出第④个等式： 2n+1 (2)猜想： 1/ (n+1)2= （n为正整数，填最后结果) (3)根据你所发现的规律，计算： 试卷第15页（共3页） 专题04二次根式的运算期中复习讲义 1.理解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，能根据同类二次根式的定义求字母参数。 2.掌握二次根式的加减运算法则：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 3.掌握二次根式的乘、除运算法则，熟练进行二次根式乘法、除法计算，运算后结果化为最简二次根式。 4.知道整式的运算顺序、运算律（分配律、结合律、交换律）、乘法公式（平方差、完全平方公式）在二次根式运算中依然适用，能进行二次根式的混合运算。 5.掌握二次根式分母有理化的方法，会对含根号的分母进行有理化化简，能够处理常规分母有理化题型。 6.会进行二次根式的代入求值：先化简代数式，再把二次根式的值代入计算，简化运算步骤。 7.能结合二次根式运算解决简单实际问题，比如几何图形（三角形、长方形）的边长、周长、面积计算。 8.梳理易错点：不是被开方数相同就直接合并，必须先化成最简二次根式；运算结果没有化为最简；分母有理化时漏乘分子；混合运算乱用运算顺序、误用乘法公式。 题型 考察方向 难度 题型一 同类二次根式 ★ 题型二 二次根式的乘法 ★★ 题型三 二次根式的除法 ★★ 题型四 二次根式的乘除混合运算 ★★★ 题型五 分母有理化 ★★★ 题型六 二次根式的加减运算 ★★ 题型七 二次根式的混合运算 ★★★ 题型八 比较二次根式的大小 ★★ 题型九 已知字母的值，化简求值 ★★★ 题型十 已知条件式，化简求值 ★★★★ 题型十一 二次根式的应用 ★★★ 题型十二 实数的混合运算 ★★★ 题型十三 与实数运算相关的规律题 ★★★★ 题型十四 新定义下的实数运算 ★★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 最简二次根式（所有运算化简最终标准） 1. 定义（两大判定条件，缺一不可） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 被开方数不含分母，分母中不含根号。 2. 快速判断举例 是最简：、 不是最简：（含开得尽方因数 4）、（含分母）、（分母带根号） 知识点 02 二次根式的乘法 1. 乘法运算法则 文字：两个非负数算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 =（a≥0，b≥0） 2. 逆用（化简根式核心） （a≥0，b≥0） 用途：拆分被开方数，开出平方因数，化为最简根式。 3. 拓展：多个根式相乘 =(a≥0,b≥0,c≥0) 知识点 03 二次根式的除法 1. 除法运算法则 文字：两个非负数算术平方根的商，等于两数商的算术平方根。 （a≥0,b>0） 2. 逆用（化简分式根式） =（a≥0，b>0） 3. 关键限制：除数b不能为 0，因此b>0，区别乘法b0 知识点04:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点 05 同类二次根式（加减运算基础） 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个根式叫做同类二次根式。 2. 判断步骤 ① 全部化为最简二次根式；② 对比被开方数，相同即为同类。 3. 举例：=2、=3，化简后被开方数都是 3，是同类二次根式。 4. 核心性质：只有同类二次根式才能合并加减，非同类不能合并 知识点 06 二次根式的加减法 1. 运算步骤（三字口诀：一化、二找、三合并） 一化：把所有二次根式化为最简二次根式； 二找：找出其中的同类二次根式； 三合并：类比合并同类项，根式部分不变，只把根号前的系数相加减。 2. 计算示例 3. 易错提醒：非同类根式不能合并，如+无法化简。 知识点 07 二次根式的混合运算 1. 运算顺序（和实数、整式完全一致） 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 2. 运算律全部适用 加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律。 3. 乘法公式完全适用（高频大题考点） 4. 通用解题流程 去括号→乘除化简→分母有理化→合并同类二次根式。 知识点 08 乘除法则对比表（板书重点，区分取值范围） 运算 公式 字母取值限制 核心用途 乘法 = （a≥0，b≥0） 根式相乘、拆分化简 除法 （a≥0,b>0） 分式根式化简、分母有理化 知识点 09 高频易错点汇总 1.使用乘除法则忽略\(a、b\)取值范围，出现错误运算； 2.化简根式不化到最简，残留能开方的因数或分母根号； 3.加减运算不先化简，直接判定根式是否同类； 4.强行合并非同类二次根式，如+=； 5.分母有理化时，分子漏乘有理化因式，只化简分母； 6.完全平方公式展开漏写中间交叉项：(+)2=a+b； 7混合运算顺序混乱，先加减后乘除 题型一、同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：把二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：的被开方数为2， A．的被开方数为3，与的被开方数不同，不符合题意； B．化简后为2，被开方数为1，与的被开方数不同，不符合题意； C．的被开方数为2，与的被开方数相同，符合题意； D．的被开方数为6，与的被开方数不同，不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中，与 不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需先将各二次根式化为最简形式，再比较被开方数判断是否为同类二次根式． 【详解】解：A、，被开方数为； B、，被开方数为； C、，被开方数为； D、，被开方数为； 只有A的被开方数与不同，不是同类二次根式． 3．下列各组根式中，是同类二次根式的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，判断即可． 【详解】解：A、， 和不是同类二次根式； B、，和不是同类二次根式； C、，，和是同类二次根式； D、，和不是同类二次根式． 题型二、二次根式的乘法 4．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 5．若为正整数，且满足，则_______． 【答案】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到正整数的值． 【详解】解： ， ， ， ∴， 为正整数，且， ． 6．下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 题型三、二次根式的除法 7．计算：________． 【答案】/ 【详解】解： ． 8．计算：____________． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式计算平方项，再化简根式并计算除法项，最后合并同类项． 此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 9．估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的取值范围，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 题型四、二次根式的乘除混合运算 10．计算：______． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：2． 11．计算结果是_______________________． 【答案】 【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可． 【详解】解： = = = = =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式乘除运算，掌握二次根式乘除混合运算法则是解答本题的关键． 12．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化． 根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D 题型五、分母有理化 13．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 14．化简________；计算________． 【答案】 / 【分析】对两个含二次根式的式子分别分母有理化，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ； ． 15．观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 根据条件所给的例子，将二次根式分母有理化即可． 【详解】解：． 故选：D． 题型六、二次根式的加减运算 16．计算：__________． 【答案】0 【详解】解： ． 17．化简： _________________ 【答案】 【详解】解： ． 18．已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，代入的值分母有理化后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七、二次根式的混合运算 19．计算：____________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 20．计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 21．估计的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质得到，然后再估算的取值范围即可． 【详解】解： ， ， ． 22．已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 题型八、比较二次根式的大小 23．比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可通过平方比较两个带根号的数的绝对值大小． 【详解】解：∵ 和都是负数， ∴ 先比较两个数绝对值的大小，， 对两个绝对值分别平方： ， ， ∵ ， ∴ ，即， ∴ ． 24．比较大小：________． 【答案】 【分析】两个式子均为正数，直接作差不易比较，采用倒数比较法，正数的倒数越大，原数越小． 【详解】解：∵，， ∴分别对两个数求倒数并分母有理化，得，， ∵， ∴，即， ∵两个正数比较，倒数越大，原数越小， ∴． 25．、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作差法，分别比较与，与的大小，即可得到答案. 【详解】∵()-()=3-2=3-=->0， ∴， ∵()-()=-=-=>0， ∴， ∴， 故选D. 【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键. 题型九、已知字母的值，化简求值 26．已知，，，下列结果计算正确的是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．利用完全平方公式分解得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A． 27．若，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，先求出，从而可得，推出，将所求式子变形并整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 28．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式变形为，然后将的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质． 题型十、已知条件式，化简求值 29．已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（    ） A． B．2 C．±2 D．5 【答案】C 【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ，为实数，， 、同号， 当，时， 原式， 当，时， 原式， 由上可得，的值是， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 30．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______．    【答案】0 【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴原式＝ 故答案为：0 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键. 31．若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A． B．± C． D．± 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得． 【详解】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：， 解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键． 题型十一、二次根式的应用 32．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入，化简二次根式得到结果． 【详解】解：将代入，得， 即鸡蛋落到地面所用的时间是． 33．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形中，若，则______________． 【答案】 【分析】设，根据面积求出两个正方形的边长，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，设， ∵面积为50和18的两个正方形， ∴两个正方形的边长分别为，， ∴， ∴， 解得． 故． 34．在一个大正方形上，按如图所示的方式粘贴面积分别为18，12的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【分析】先求出大正方形的面积，再由割补法求解空白部分的面积． 【详解】解：由图得，大正方形的边长为：， 空白部分的面积为：． 题型十二、实数的混合运算 35．计算的结果为________． 【答案】 【分析】根据平方、立方的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 36．计算：的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练运用立方根、分母有理化、负整数指数幂、绝对值的性质化简． 根据立方根、分母有理化、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简各项，再进行计算． 【详解】解： ； 故答案为：． 37．已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，解题的关键是将等式进行适当的变形，根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解： ， a，b是有理数， ， ，则， ， 故选：B． 题型十三、与实数运算相关的规律题 38．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 39．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对2500只需进行________次操作后变为1． 【答案】 【分析】根据题目给定的操作规则，逐步对进行操作，直到得到结果，统计操作次数即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，对任意正整数，每次操作得到，其中表示不大于的最大整数，逐步操作如下： 第次操作：； 第次操作：； 第次操作：； 第次操作：； 操作次后得到，因此操作次数为． 40．将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，第排有个数，以、、、四个数字为一组进行循环，前排共有个数字，进而确定与的数字，求积即可． 【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个循环，表示第排第5个数， ∵前4排共有个数， ∴为第个数， ， ∴表示的数是； ∵表示第10排第8个数即第53个数， ， ∴表示的数为， ∴表示和的数的积是； 题型十三、与实数运算相关的规律题 41．、、、为实数，现规定一种新的运算：那么时，等于（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据新定义列出一元一次方程，进而求解即可． 【详解】解：根据题中新运算的定义， ∵， ∴， 解得：． 42．对于实数、，定义新运算“※”如下：，若，则实数的值为__________． 【答案】4或/或4 【分析】分和两种情况，分别利用新定义运算列关于x的方程求解即可． 【详解】解：当时，，解得：或4； 当时，，解得：（不符合题意舍去）． 综上，的值为4或． 43．对于任意的正数、定义运算：计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 解答题 44．计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 46．计算和求值 (1)计算：． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意，得， ． 47．阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 48．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长为： ， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为； （2）解： ， 答：刷涂料的面积为． 49．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $