专题02 二次根式（期中复习讲义）（必备知识+8大题型+分层检测）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 二次根式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 二次根式的基本概念 清晰理解二次根式的定义，能准确判断一个式子是否为二次根式， 基础常考点，二次根式在具体情境中的取值 范围 二次根式的性质 全面掌握二次根式的重要性质，并能根据具体题目灵活运用这些性质进行化简和计算。 高频重点考查，常出现在选择题、填空题和计算题中。 二次根式的运算 熟练掌握二次根式的加减、乘除运算方法。 重点必考点，在计算题和解答题中都会有大 量的考查。 知识点01 二次根式的基本概念 1.二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 2.二次根式有意义的条件：在实数范围内，负数没有平方根，所以如，(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. ·易错点：对二次根式有意义的条件理解不透彻：在确定二次根式中字母的取值范围时，容易忽略被开方数是非负数这一条件，或者在结合分式等其他知识时，忘记考虑分母不为零的情况。 知识点02 二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． ·易错点：二次根式的性质运用错误 知识点03 二次根式的运算 1.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 2.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 3.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 4.合并同类二次根式：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 5.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 6.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 7.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 ·易错点：二次根式的运算错误：在进行二次根式的加减运算时，容易将不是同类二次根式的根式进行合 并；在进行乘除运算时，容易出现符号错误或运算顺序错误。 题型一 二次根式有意义的条件 【典例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】C 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵x是整数， ∴或4或5， 原式或1， 故选：C． 【典例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）当 时，二次根式有意义． 【答案】 【详解】解：二次根式有意义， 则， 解得：， 故答案为： 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）如果代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 【答案】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则， 总小于0， ， ， 故答案为：． 题型二 利用二次根式的性质化简 【典例1】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】3 【详解】解：． 故答案为：3． 【典例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知，那么可化简为 ． 【答案】 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【典例3】（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【答案】 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 题型三 最简二次根式与同类二次根式 【典例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D． 是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 【典例2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 【典例3】（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴； 故答案为9． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．是最简二次根式，符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、被开方数不同，不是同类二次根式，错误； B. 是立方根，不是同类二次根式，错误； C、，开方数相同，是同类二次根式，正确； D、，开方数不同，不是同类二次根式，错误. 故选C. 【变式3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 题型四 有理化因式及其应用 【典例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：D． 【典例2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）解不等式：的解集是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）写出二次根式的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 将系数化为，得：，即， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 题型五 二次根式大小比较 【典例】（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【答案】 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为： 【变式2】比较大小 【答案】 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 二次根式的运算 【典例1】（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 【典例2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【典例3】（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【典例4】（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【典例5】（24-25八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． ． ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型七 二次根式的化简求值 【典例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【典例2】（24-25八年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【详解】解：∵ ∴且， ∴， ∴， 当时， 原式 【变式2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 题型八 二次根式的应用 【典例1】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； 将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； ， 故选：A． 【典例2】（24-25八年级上·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：长方形的面积为，相邻两边长分别为，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式1】（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边长为a、b、c，记，面积， ∴当三角形的三边长分别为5，6，7时，， ∴面积， ∵，， ∴， ∴， ∵S介于整数n和之间， ∴． 故答案为：14． 【变式2】（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、是三次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 二、填空题 2．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】2 【详解】解：． 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：1 4．（23-24八年级上·上海崇明·期中）当 时，二次根式在实数范围内有意义． 【答案】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）化简： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期中）化简： ． 【答案】/ 故答案为：． 7．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24八年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列根式中，能与合并的二次根式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、与是同类二次根式，能合并，符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果与是同类二次根式，那么m的最小正整数值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【详解】， 且与是同类二次根式， 时，成立 m的最小正整数值是3， 故选：B． 二、解答题 3．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 4．（24-25八年级上·上海·期中）计算 【答案】 【详解】解： ． 5．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： 6．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】0 【详解】解： 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知，求的值 【答案】35 【详解】∵，， ∴，， ∴ ． 8．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知：，求：的值 【答案】 【详解】解： ①； ②； ①－②得， . 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ，即 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 二、解答题 2．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 3．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】 ． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 5．（24-25八年级上·上海·期中）已知，求代数式的值． 【答案】，． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 6．（24-25八年级上·上海·期中）计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 二次根式的基本概念 清晰理解二次根式的定义，能准确判断一个式子是否为二次根式， 基础常考点，二次根式在具体情境中的取值 范围 二次根式的性质 全面掌握二次根式的重要性质，并能根据具体题目灵活运用这些性质进行化简和计算。 高频重点考查，常出现在选择题、填空题和计算题中。 二次根式的运算 熟练掌握二次根式的加减、乘除运算方法。 重点必考点，在计算题和解答题中都会有大 量的考查。 知识点01 二次根式的基本概念 1.二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 2.二次根式有意义的条件：在实数范围内，负数没有平方根，所以如，(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. ·易错点：对二次根式有意义的条件理解不透彻：在确定二次根式中字母的取值范围时，容易忽略被开方数是非负数这一条件，或者在结合分式等其他知识时，忘记考虑分母不为零的情况。 知识点02 二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． ·易错点：二次根式的性质运用错误 知识点03 二次根式的运算 1.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 2.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 3.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 4.合并同类二次根式：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 5.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 6.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 7.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 ·易错点：二次根式的运算错误：在进行二次根式的加减运算时，容易将不是同类二次根式的根式进行合 并；在进行乘除运算时，容易出现符号错误或运算顺序错误。 题型一 二次根式有意义的条件 【典例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【典例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）当 时，二次根式有意义． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）如果代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 题型二 利用二次根式的性质化简 【典例1】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【典例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知，那么可化简为 ． 【典例3】（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 【变式1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 题型三 最简二次根式与同类二次根式 【典例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例3】（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 题型四 有理化因式及其应用 【典例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）解不等式：的解集是 ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）写出二次根式的一个有理化因式是 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 题型五 二次根式大小比较 【典例】（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【变式1】（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式2】比较大小 题型六 二次根式的运算 【典例1】（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【典例2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【典例3】（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【典例4】（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【典例5】（24-25八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【变式2】（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 【变式3】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【变式4】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 题型七 二次根式的化简求值 【典例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【典例2】（24-25八年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【变式2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 题型八 二次根式的应用 【典例1】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25八年级上·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【变式1】（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【变式2】（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 4．（23-24八年级上·上海崇明·期中）当 时，二次根式在实数范围内有意义． 5．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）化简： ． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期中）化简： ． 7．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ． 三、解答题 8．（23-24八年级上·上海松江·期中）计算：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列根式中，能与合并的二次根式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果与是同类二次根式，那么m的最小正整数值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 二、解答题 3．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）计算： 4．（24-25八年级上·上海·期中）计算 5．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算：． 6．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算：． 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知，求的值 8．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知：，求：的值 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 二、解答题 2．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 3．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 5． （24-25八年级上·上海·期中）已知，求代数式的值． 6．（24-25八年级上·上海·期中）计算：先化简，再求值：，其中． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $