第21章·一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章·一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握配方法与最值问题的综合应用 · 会用换元法、整体法处理复杂一元二次方程 · 理解新定义方程并能按规则推理求解 · 熟练运用根与系数关系进行代数式求值与证明 · 能综合判别式、根系关系解决压轴综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.配方法求最值 形如ax2+bx+c可配方为a(x+m)2+n a>0时a(x+m)2+n的最小值为n；a<0时最大值为n 完全平方式系数求解：x2-(m-2)x+9为完全平方式时m-2=±6 概念辨析例题：求多项式x2-4x+7的最小值 答案：最小值为3 解析：x2-4x+7=(x-2)2+3，因为(x-2)2≥0，所以最小值为3 ☆ 2.换元法与整体思想 把相同整体设为新元，方程次数随之降低 换元后新元的取值范围要结合原式确定 解出新元后再代回求出原未知数 概念辨析例题：解方程(x+1)2-5(x+1)+6=0 答案：x1=1，x2=2 解析：设t=x+1，则t2-5t+6=0，分解得(t-2)(t-3)=0，t=2或3，所以x=1或2 ☆ 3.根与系数的关系与代数式求值 两根和、积公式结合整体变形求对称式值 方程的解满足方程，可构造降次等式 两数同是某方程两根时（a≠b），a+b、ab由根系关系给出 概念辨析例题：已知a、b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0且a≠b，求+的值 答案：2或-20 解析：a、b是方程x2-8x+5=0的两根，a+b=8，ab=5；原式====-=-20；若a=b则按单根代入得2 ☆ 4.新定义与阅读探究 按题目定义的运算规则列式 通过赋值、替换发现规律并推广 证明类问题先化简再结合代数性质推理 概念辨析例题：定义：若方程ax2+bx+c=0与a'x2+b'x+c'=0的根完全相同，则称两方程为同族方程。判断x2-3x+2=0与2x2-6x+4=0是否为同族方程 答案：是同族方程 解析：两方程的解均为x1=1、x2=2，根完全相同，故为同族方程 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 配方法 ax2+bx+c=a(x+m)2+n m=，n=c- 判别式 Δ=b2-4ac 完全平方数时根可为有理数 根与系数 x1+x2=-，x1x2= a≠b时两数同为某方程两根 换元法 整体设为新元 注意新元取值范围 实数范围分解 x2+px+q=(x-a)(x-b) 允许出现√形式的系数 新定义方程 按规则列式推演 先化简再推理 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与定义辨析 · 从整式方程、次数、未知数个数三方面辨析 · 含参时讨论二次项系数 · 新定义方程按规则判断是否同类 1．（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D．（为常数） 3．（25-26八年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根； ②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2】根的判别式与根的情况 · Δ的符号决定根的情况 · 结合素数、整数等条件推理 · 含参问题列不等式求解 4．（23-24九年级上·云南临沧·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 5．（2025·江苏宿迁·三模）已知满足，则的最小值为______． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【考点3】实数范围内因式分解 · 用求根公式求根后写成(x-x1)(x-x2) · 允许系数含√ · 注意完全平方、平方差公式的适用 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：__________． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解： （1）________； （2）________． 11．（25-26八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内因式分解：______． 12．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：______． 【考点4】解一元二次方程（配方、公式与换元） · 配方先化系数1再加半方 · 公式法先算Δ · 整体换元降低次数 13．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知方程和方程的根完全相同，则_____． 15．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 16．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 17．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）当_______时，与既是最简二次根式又是同类二次根式． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 19．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）用配方法解方程：． 20．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）用合适的方法解方程： 21．（25-26九年级上·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 22．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． 【考点5】根与系数关系及整体求值 · 对称式整体变形 · 构造降次等式代入 · 分a=b与a≠b两类讨论 23．（25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段检测）已知是方程的一个根，则另一个根为（    ） A．1 B． C．2 D． 25．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2022 C． D．4048 26．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 27．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 28．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知都是质数，且，，试求________． 29．（25-26八年级上·上海·阶段检测）a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 30．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为___________________． 31．（25-26八年级上·上海·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 32．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 【考点6】新定义与阅读探究 · 严格按定义列式 · 赋值法发现规律 · 证明题先化简再推理 33．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 34．（25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 35．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 36．（25-26八年级上·上海·期中）若两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.若关于的一元二次方程和是“同伴方程”，则__________. 37．（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 38．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 39．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 40．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 41．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题： 已知，求的值． (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题： 已知，求的值． （2）已知实数 满足 ，且 ，求 的最大值． 此时方两根之和为：． 两根之积为：， 这就是一元二次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题： (1)求一元二次方程的两根之和与两根之积； (2)已知，是一元二次方程的两根，那这两根的平方之和等于____．这两根的倒数之和为_____． (3)已知，是一元二次方程的两根，，是的两根，则______，______． 【考点7】实际应用与综合 · 几何、营销、行程等模型列方程 · 动态问题分类讨论 · 解后检验实际意义 42．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 43．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 44．（24-25八年级上·上海·期中）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 45．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 配方求最值记住完全平方结构a(x+m)2+n · 换元后务必代回求原未知数并检验 · 根系关系结合判别式一起使用更稳妥 · 新定义题先逐字理解规则再动手 · 压轴题按步骤书写，结果注意检验 【作业1】．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【作业2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 【作业3】．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【作业4】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【作业5】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【作业6】．（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根．且，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【作业7】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【作业8】．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：____________． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若关于的方程有实数根，化简___________． 【作业10】．（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则___________． 【作业11】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）方程的两个根的积是_____． 【作业12】．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【作业13】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【作业14】．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【作业15】．（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章·一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握配方法与最值问题的综合应用 · 会用换元法、整体法处理复杂一元二次方程 · 理解新定义方程并能按规则推理求解 · 熟练运用根与系数关系进行代数式求值与证明 · 能综合判别式、根系关系解决压轴综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.配方法求最值 形如ax2+bx+c可配方为a(x+m)2+n a>0时a(x+m)2+n的最小值为n；a<0时最大值为n 完全平方式系数求解：x2-(m-2)x+9为完全平方式时m-2=±6 概念辨析例题：求多项式x2-4x+7的最小值 答案：最小值为3 解析：x2-4x+7=(x-2)2+3，因为(x-2)2≥0，所以最小值为3 ☆ 2.换元法与整体思想 把相同整体设为新元，方程次数随之降低 换元后新元的取值范围要结合原式确定 解出新元后再代回求出原未知数 概念辨析例题：解方程(x+1)2-5(x+1)+6=0 答案：x1=1，x2=2 解析：设t=x+1，则t2-5t+6=0，分解得(t-2)(t-3)=0，t=2或3，所以x=1或2 ☆ 3.根与系数的关系与代数式求值 两根和、积公式结合整体变形求对称式值 方程的解满足方程，可构造降次等式 两数同是某方程两根时（a≠b），a+b、ab由根系关系给出 概念辨析例题：已知a、b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0且a≠b，求+的值 答案：2或-20 解析：a、b是方程x2-8x+5=0的两根，a+b=8，ab=5；原式====-=-20；若a=b则按单根代入得2 ☆ 4.新定义与阅读探究 按题目定义的运算规则列式 通过赋值、替换发现规律并推广 证明类问题先化简再结合代数性质推理 概念辨析例题：定义：若方程ax2+bx+c=0与a'x2+b'x+c'=0的根完全相同，则称两方程为同族方程。判断x2-3x+2=0与2x2-6x+4=0是否为同族方程 答案：是同族方程 解析：两方程的解均为x1=1、x2=2，根完全相同，故为同族方程 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 配方法 ax2+bx+c=a(x+m)2+n m=，n=c- 判别式 Δ=b2-4ac 完全平方数时根可为有理数 根与系数 x1+x2=-，x1x2= a≠b时两数同为某方程两根 换元法 整体设为新元 注意新元取值范围 实数范围分解 x2+px+q=(x-a)(x-b) 允许出现√形式的系数 新定义方程 按规则列式推演 先化简再推理 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与定义辨析 · 从整式方程、次数、未知数个数三方面辨析 · 含参时讨论二次项系数 · 新定义方程按规则判断是否同类 1．（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、根据判别式判断一元二次方程根的情况、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程，二次根式有意义的条件，偶次方的非负性，掌握相关知识点是解题关键．根据根的判断式逐项可判断A选项；解分式方程可判断B选项；根据乘方的性质可判断C选项；根据二次根式的性质和平方的非负性可判断D选项． 【详解】解：A、，方程没有实数根，不符合题意； B、化为整式方程为：， 解得：，经检验，是增根，则原方程无解，不符合题意； C、由得，方程有实数根，符合题意； D、由可得，则，方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D．（为常数） 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟记一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、化简后是，是一元一次方程，则此项不符合题意； B、是一元二次方程，则此项符合题意； C、中是分式，则不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根； ②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，方程的解．利用一元二次方程的判别式，方程的解，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①若 ，则该方程没有实数根，正确； ②若 ，此时，若，该方程没有实数根，故原说法错误； ③若 ，，则该方程一定有两个实数根，正确； ④若该方程的一个根是 ，此时，即， 当时，不一定为0，则无法确定是否为方程的根，故原说法错误； 综上，正确说法有①和③，共2个． 故选：B 【考点2】根的判别式与根的情况 · Δ的符号决定根的情况 · 结合素数、整数等条件推理 · 含参问题列不等式求解 4．（23-24九年级上·云南临沧·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 当时，则，解得； 综上所述，的取值范围是且， 故选：A． 5．（2025·江苏宿迁·三模）已知满足，则的最小值为______． 【答案】/0.6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 【考点3】实数范围内因式分解 · 用求根公式求根后写成(x-x1)(x-x2) · 允许系数含√ · 注意完全平方、平方差公式的适用 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 8．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题主要考查了在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形，再利用平方差公式进行因式分解，由此求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：__________． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解： （1）________； （2）________． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式、实数范围内分解因式 【分析】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识． （1）首先令，利用公式法即可求得此关于的一元二次方程的解，继而可将此多项式分解； （2）令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】（1）解：令， 则， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：令，则式子可化为， 令， 则， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 11．（25-26八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、实数范围内分解因式 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，先配方，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、实数范围内分解因式 【分析】本题主要考查了实数范围内分解因式，解一元二次方程，令，利用求根公式求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：解方程， 使用求根公式，其中，，， 判别式， 所以， 根为，， 因此． 故答案为：． 【考点4】解一元二次方程（配方、公式与换元） · 配方先化系数1再加半方 · 公式法先算Δ · 整体换元降低次数 13．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，完全平方公式的应用， 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定参数a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵ ∴ 即， 与比较，得, ， ∴． 故选：C． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知方程和方程的根完全相同，则_____． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程；由于两个方程的根完全相同，先求第一个方程的根，再代入第二个方程求参数，最后求和． 【详解】解：解方程 ，得 ，． 将 代入方程 ， 得 ， 即 ， ， ， 所以 ． 则第二个方程为 ， 两边乘以2，得 ． 解此方程，， 所以 ，． 因此 ， 故 ． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【详解】解：对方程进行整理： ， 配方得： ， 变形得： ， 令，则原方程变为， 已知方程的根为，， 因此，， 即或 解得，， 所有实根之和为． 16．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）当_______时，与既是最简二次根式又是同类二次根式． 【答案】 【知识点】同类二次根式、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，先令两个二次根式的被开方数相等列方程求解，再结合最简二次根式的条件及二次根式有意义的条件检验解的合理性． 【详解】解：∵与既是最简二次根式又是同类二次根式，所以它们的被开方数相等，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，同时被开方数非负． ∴ 移项得 因式分解得 解得或． 当时，，的被开方数4是能开得尽方的数，不是最简二次根式，不符合题意，舍去． 当时，，，是最简二次根式，且被开方数相同，是同类二次根式，同时被开方数均为正，符合题意． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 19．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程转化为完全平方形式后开平方求解，即可． 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 20．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）用合适的方法解方程： 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 原方程的解是． 21．（25-26九年级上·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解： ，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 22．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． 【答案】当为偶数时，；当为奇数时，或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程可化为，利用因式分解法求出方程的解，进而分为偶数和奇数两种情况解答即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或， 即或， 当为偶数时，，此时仅有， ∴； 当为奇数时，或， ∴或； 综上，当为偶数时，；当为奇数时，或． 【考点5】根与系数关系及整体求值 · 对称式整体变形 · 构造降次等式代入 · 分a=b与a≠b两类讨论 23．（25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 24．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段检测）已知是方程的一个根，则另一个根为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，由题意可得，求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是方程的一个根， ∴， 解得：， ∴方程的另一个根为， 故选：B． 25．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2022 C． D．4048 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由，是方程的两个实数根，得到，，进而即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 26．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设方程的两个根，利用根与系数的关系将转化为关于两根的代数式，再根据两根的取值范围计算的取值范围即可． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，满足， ， ， ， ， ， ， ，即的取值范围是． 27．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 28．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知都是质数，且，，试求________． 【答案】或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 29．（25-26八年级上·上海·阶段检测）a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程． 由题意可得，，由可得，结合求出或，再检验即可得解． 【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴由可得：，即， ∵， ∴， ∴，整理得， 解得：或， 时，方程，，方程无解，不符合题意， 时，方程，，方程有两个不同的实数根，符合题意， ∴． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为___________________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系；根据根相同列出方程组，用，，表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解．设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根，将代入方程和组成方程组，把代入方程和组成方程组，解出，解出，得,方程的两根之积等于，所以是方程和的解，进而解得，再代入方程和，可得，，结合即可，即可解决问题． 【详解】解：设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根， 则 ，则 ， 解得，， ∴， ∵方程的两根之积等于， ∴也是方程的根； ∵是方程和的解， 则， 解得(其中)， 把代入方程和， 得，， ∵， ∴,， ∴，，， ∴. 故答案为：． 31．（25-26八年级上·上海·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、复合二次根式的化简、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由根与系数的关系，得，，可得，，然后化简代入求值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 32．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 【答案】(1)； (2)3或 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，理解题意，是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）解关于的方程得出，，根据，得出或，求出结果即可； （3）将变形为，得出、可看作方程的两个根，从而得出，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵的两个根为、，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵关于的方程可变形为：， ∴，， 解得：，， ∵， ∴或， 解得：或． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴、可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ， ． 【考点6】新定义与阅读探究 · 严格按定义列式 · 赋值法发现规律 · 证明题先化简再推理 33．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了整式的运算与图形面积，一元二次方程的根的计算，理解图示，掌握整式的运算，求根公式的计算是关键． 根据图示，把正方形面积，拼接矩形的面积运用整式的混合运算表示出来，再根据一元二次方程的求根公式的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为， 拼成一个矩形（非正方形）如下图， ∴矩形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴等式两边同时除以，整理得，， 令，则， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 34．（25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 35．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 【答案】或 【知识点】绝对值方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程． 由方程可得两根分别为和．根据两根距离为3，得 ，即．解此绝对值方程，得到或．代入所求表达式 ，即可求得值． 【详解】方程 的两根为，． 两根距离为． 即， 解得或， 所以或． ． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 36．（25-26八年级上·上海·期中）若两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.若关于的一元二次方程和是“同伴方程”，则__________. 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查新定义——“同伴方程”．熟练掌握新定义，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，是解题的关键． 设公共根为，代入两个方程后相减，得到关于和的方程，通过讨论得出的值． 【详解】设公共根为， 则①， ②， ①式减去②式得：． ∴． ∴． ∴． ∴或． 若， 则． 此时方程①为， 判别式，无实数根，不符合题意． 若， 则． 代入方程①得， 即． ∴． 当时， 方程①为， 根为和； 方程②为， 根为和． 公共根只有． 符合“同伴方程”定义． 37．（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】(1) ①根据题意作图如下： ② (2)1，3，3，1， 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 38．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）略 39．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【知识点】计算多项式乘多项式、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 40．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 【答案】(1)；； (2)，，． 【知识点】因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元三次方程根与系数的关系和整式乘法，解决此题的关键是熟练运用因式分解的方法解方程； （1）根据题意和因式分解方法解方程把方程变形，进而得到答案； （2）根据（1）中得到的关系，a，b，c可以看作一元三次方程的三个根，根据题目中试根的方法得到答案即可； 【详解】（1）解：∵，，是方程的三个实数解， 由材料可知方程可写成：， 化简得：， 而方程可化为：， ∴； （2）解：由（1）和题意可知a，b，c可以看作方程的三个根； 通过试根可知当时，方程左右两边相等，即是的根， 根据材料因式分解方程可化为：， ∴令或， ∴， 解一元二次方程得或， ∴，，． 41．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题： 已知，求的值． (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题： 已知，求的值． 【答案】(1)－8 (2)2 【知识点】运用完全平方公式进行运算、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查完全平方公式的运用和整体代入思想，将条件和所求式通过配方、去根号、降次等方法进行转化是解题关键． （1）将原式通过配方转化为完全平方式，将变形后整体代入求解． （2）将条件进行变形，分两次整体代入求解． 【详解】（1）解：仿照“小丽的做法”， ，可化为， ． （2）解：仿照“小明的做法”， ， ， ， ， ， ， ． （2）已知实数 满足 ，且 ，求 的最大值． 【答案】（1） （2） 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先求出则是方程的两根，代入可得，整体代入即可求出结果； （2）由题意可将看成的两个实数根，再由，结合即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ， ∴， ∴是方程的两实根， ∵， ∴， ∴， 即：的最大值是. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式；关键是灵活应用知识点解决问题. 此时方两根之和为：． 两根之积为：， 这就是一元二次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题： (1)求一元二次方程的两根之和与两根之积； (2)已知，是一元二次方程的两根，那这两根的平方之和等于____．这两根的倒数之和为_____． (3)已知，是一元二次方程的两根，，是的两根，则______，______． 【答案】(1)两根之和为，两根之积为 (2)， (3)， 【知识点】构造二元一次方程组求解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）直接套用韦达定理，代入方程的系数，求出两根之和与两根之积； （2）先将方程整理为标准形式，再用韦达定理求出两根之和与积，最后代入平方和、倒数和的变形公式计算结果； （3）对两个方程分别应用韦达定理，得到关于， 的方程组，联立求解即可得到参数值． 【详解】（1）解：已知， 则两根之和为， 两根之积为． 答：两根之和为，两根之积为． （2）解：已知，可变形为， 则，， 可得， ， 故两根的平方之和为，倒数之和为． 答：，． （3）解：，是一元二次方程的两根， 则，； ，是的两根， 则，， 可得，， 即， 可得，即，整体代入中， 可得， 则，， 故，． 答：，． 【点睛】本题考查韦达定理，一元二次方程的整理，代数式恒等变形，二元一次方程组的求解，灵活使用代数变形是解题关键． 【考点7】实际应用与综合 · 几何、营销、行程等模型列方程 · 动态问题分类讨论 · 解后检验实际意义 42．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 【答案】10 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设第一次倒出酒精x升，根据两次倒出操作后容器内纯酒精剩余30升，建立一元二次方程求解． 【详解】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液升，根据题意得， 第一次倒出后，剩余纯酒精升，用水加满后浓度为； 第二次倒出的纯酒精为升， 倒出第二次后剩余纯酒精量为． 整理得， 解得， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 故答案为：10． 43．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1) 解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以 a、b、c为边的三角形是等边三角形． (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、等边三角形的判定、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 44．（24-25八年级上·上海·期中）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 【答案】（1）40，（2）裁掉小正方形边长是，（3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键． 任务1：根据储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题； 任务2：设裁去的小正方形的边长为储物盒的底面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设小长方形的宽为长为根据“和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：任务1：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图1中的四角裁去小正方形的边长为， ∴储物盒的宽小正方形的边长， 故答案为：； 任务2：设裁去的小正方形的边长为 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴裁去小正方形的边长为． 任务3：设小长方形的宽为长为 根据题意得：， 由得， 把代入，整理得， 解得， ∵， ∴， ∴ 即小长方形的宽为长为 当和之间两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒， 答：玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 45．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 💯 课后巩固 复习建议 · 配方求最值记住完全平方结构a(x+m)2+n · 换元后务必代回求原未知数并检验 · 根系关系结合判别式一起使用更稳妥 · 新定义题先逐字理解规则再动手 · 压轴题按步骤书写，结果注意检验 【作业1】．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 【作业2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，根据题意得得，将代数式乘以4变形为，再进行判断即可 【详解】解：由题意，得， 而， ． ∴代数式的值一定是正数． 故选：B 【作业3】．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 【作业4】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，通过计算每个二次方程的判别式，判断实数根的情况；判别式大于0时有两个不相等的实数根，即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，故，无实数根，不符合题意； B、中，，，故，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，故，无实数根，不符合题意； D、中，，，故，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【作业5】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，再结合方程有两个实数根可得根的判别式大于等于，求解两个不等式的公共部分即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 对于一元二次方程，根的判别式为： ∵方程有两个实数根， ∴ ∴ ∴且 【作业6】．（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根．且，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程．根据方程有2个不相等的实数根得到，求出，根据根与系数的关系得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，解得． 根据根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∴， 整理得，解得，， ∵， ∴的值为． 故选：C． 【作业7】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 【作业8】．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：____________． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查在实数范围内因式分解二次多项式．通过配方法将原式转化为平方差形式，再利用平方差公式分解． 【详解】解： 故答案为： 【作业9】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若关于的方程有实数根，化简___________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，利用二次根式的性质化简，完全平方公式，解题关键是利用判别式确定的范围，然后根据范围化简绝对值．根据方程有实数根的条件，利用判别式求出的取值范围，再根据的范围结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ∴ ， ， ， ，， 原式． 故答案为：2． 【作业10】．（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则___________． 【答案】 【知识点】分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值．首先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求分式通分，利用代数恒等变形，代入已知值计算． 【详解】解：一元二次方程的两根为， 由根与系数的关系，得 其中， ∴原式 故答案为：． 【作业11】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）方程的两个根的积是_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再利用根与系数的关系直接求解两根之积即可． 【详解】解：将原方程移项，得 ， 其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，方程的两个根的积为． 故答案为． 【作业12】．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】(1) (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 【作业13】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【作业14】．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 【作业15】．（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】倒数、公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、判断是否是一元二次方程的解 【分析】（1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，等式的性质，一元二次方程的解，倒数，等式的性质，提公因式法分解因式，反证法，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“换根法”并能加以运用是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $