云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三第六次学科体验数学试题

《云南师大附中2027届高三数学第六次学科体验》 参考答案 题号 1 2 3 5 6 > 8 10 答案 B B A C D D D ABD AD 题号 11 答案 ACD √2 12.2 13.2 14.12 15.4)证明：当1=1时，2S+a=2×1+2,即3a=4,所以4-3. 当n≥2时，2Sm+a1=2(n-1)+2=2n 作差得2S+a.-(2S1+a-i)=2n+2-2n,即3a,-a,=2, 整理得3a-)=a-1,与.-11) 所以a-是以4-1= 1 3为首项，3为公比的等比数列. a质1--，1 -足上式.商=1.A=a-川=+1-时员 .所以 12 2 21 3 32 3n3+ 的÷头郎 13+2n 26×3 所以 T,= 3+2n332n+3 2n+3>0 32n+33 所以 6×3”244×3” 因为n∈N,所以4x3”>0, 故7.=44x3<4 16.(1)证明如下： 二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC⊥平面BCD, 又因为CD⊥BC,CDC平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC,所以CD⊥平面PBC. 又因为PBC平面PBC,所以PB⊥CD」 由题意PB⊥PC,CD∩PC=C,CD,PCC平面PCD,所以PB⊥平面PCD. (2)取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM, 则OM⊥BC,OMI/CD」 因为CD⊥平面PBC,OPC平面PBC,所以CD⊥OP,所以OM⊥OP, 在△ABC中，PB=PC,O为BC中点，所以OP⊥BC. 以OB.O1,OP}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系0-z， P 则0(0,0,0) 设该球的球心坐标为(x,少2)，则 -0时 解得x=0,少 2,z=0 6+18-6 所以该球的半径为 BP= (3)平面BCD的一个法向量为”=(0,0，)】 2 BD=（-3V2,6,0) 32.3W2 n2·BP=0, -X+ z=0, 2 2 设平面PBD的法向量为，=（任y2),则西·BD=0,即-3V2x+V6y=0. cosn,n2= 乃h2-1V5 取x=1,得平面PBD的一个法向量为%=5，】 %m55 5 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5， (注：第三问也可以用几何法) 17.【详解】(1)记5为优质品数目，则5的所有可能取值为0,1,2,3， 则 (5≥2)=P(5=2)+P(5=3)-243+729729. 64,512704 所以 (2)由(1)，合格品有(3-5)台，依题意，X=55+3(3-)=25+9, 则X的所有可能取值为9,11,13,15， x-列-5=0-c(g-.Px=10=r5==cg=是 则 PK=1B)-PE=2.PX=15)=PG=动- 729 所以X的分布列为： X 9 11 13 15 1 8 64 512 729 243 243 729 8 5~B3, 由 ”9)得 g-g-e-g-. 所以数学期望 (X)=B25+9列=2E()+9-9.方D0)-D5+)=4D)=9 3,方差 x2 y2 18.【详解】（①已知双曲线C,a1 (a>0,b>0)的左焦点为F(-1,0),因此c=1, e-c-V a=c、1 由离心率定义4 2,代入c=1可得：4万2，即 2, 又因为c2=Q2+b2,所以° 2=c2-a2=1-}-}g2-b= 22,将 2代入双曲线方程， 可得到双曲线C的方程为：2x2-2y2=1 (2)(1)设过点F(-1,0)的直线1的方程为y=k(x+),(k>2),与双曲线方程联立： [y=k(x+1) 2x-2y=1消去y整理得：2-)x-4x-(2k2+1刂-=0 2K2 2k2+1 x+x1-kK①， XX2= 设P(x,),(:),>0,<0,由韦达定理得： 20-k)@. 由双曲线的中心对称性可知：若直线P0与C的另一个交点为R,则R(-,一片) Sam=20rby=2为 Sorow =2Sam0o=2xFy 片-y=5x 5 又SAPOR=5Saro,即' 21=2,即3y=-2, 又因为=k(:+),=k(x+1) 所以3k(x+)=-2k(6+),即3x+3=-2-2,即3x+2x=-5③， 联文0，@河得5=52 2k2K2-5k2+5 5-1-尺1-k2,61-k2-X=1-k1-k21-k2 K2-5K2+52k2+1 x=1-k2x1-R k4-252k2+1 所以 20-),即1- 2,解得：2=49， 又因为k>2,所以k=7.故直线1的方程为y=7(x+),即7x-y+7=0 (i)因为P(x,),(x)在双曲线2x2-2y2=1上， [2x-2y2=1 所以有2x-2y=1,作差可得： 2(x-号)=2(-) 乃-业×y+业2=1 -)-n+1 人e=k=片二业kon=片t当 x1-x2, ,所服x6-1,即公话 由弦长公式得： @P=V1+k2x-x=1+k2(x-) 2-+x-=V+(←x-x) 0P=(g-x,片-2).QR=(x-,-y-h) p0R=(-)+(号-)=2(-) cosOP.OR= OP.OR 2(x好-) 2k 网2丽+k-)1+(x-) + 1+k2 1+k2 2k 心Os∠P②R一k2+11 sin∠POR=l-(cos∠PORy= m8-司 2+1 函数 对美-2=2 ), 大味8四，用tmP0R东苏号入 19.【详解】(1)当a=0时，()=-xlhx,故'()=-lhx-1,所以f'(0)=-1, 又因为四=0，所以切线方程是y=-x+1, f(x)=-Inx+a-1 (2)由题意得 x,若f()不存在单调增区间，则 lnx+a-1≤0 恒成立(*)， 即a≤x+xlnx恒成立，令8(x)=x+xlnx,g'(x)=2+nx, 0<x< 1 所以，当 。时8)<0，当>。时g)>0, (经检验当a=-e2时，(*)式成立)，因此函数∫()存在单调递增区间，可知a>-e2, 可知所求实数a的取值范围是a∈(-e2,+o) f(x)=-mx+4-1 m(x)=-Ix+9-1 (3)由(2)知， x,令 -女兰c0.gn(全a可e时胶 所以 又因为me）=l+ae2>0,m(e）=-a+2-1<0 所以必存在正数，使得 m()=-lnx+a-1=0 ,故a=(1+nx)小 x0∈ -,十00 由(2)知，当 e)时，a<0,当oe时，a=0,当 e 时，a>0. 由上知，(0)在(0，x)上单调递增，在(，+)上单调递减， 所以f(x)x=f()=(a-)n,所以a+b≥(a-)ln, 即b-2a≥(a-)h-3a=x(血广-3x,lnx-3x. )(-inx-s 因为h(=(血x-lhx-6=(血x-3)(血x+2) 所以当x∈(e,e)时，A()单调莲减，x∈(e,+切)时，h()单调递猫。 所h()m=h(c）=-3c,因tb-2a的最小值为-3e. 云南师大附中2027届高三数学第六次学科体验 一、单选题 1．平面向量，的夹角为60°，若，，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．在中，，且，则的最小边长为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知，，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知事件与独立，且，，则（ ） A． B． C． D． 5．设的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A． B． C． D． 6．若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆：（）的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．若函数在上单调，，为实数，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知一组数据，，…，的平均数为5，方差为4．令（）．则下列结论正确的是（ ） A．数据，，…，的平均数为11 B．数据，，…，的方差为16 C．在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D．将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 10．若函数（，，）图象的一个最高点为，且相邻两条对称轴间的距离为，将的图象向左平移个单位长度得到，则（ ） A． B． C．为偶函数 D．的解集为（） 11．对于连续可导函数，定义：若函数在区间上满足单调递增，则称在区间上为下凸函数；若函数在区间上满足单调递减，则称在区间上为上凸函数；若在左右上凸下凸相异，称为的拐点，则下列说法正确的有（ ） A．函数在上为下凸函数 B．函数不存在拐点 C．若函数不存在拐点，则的取值范围为 D．设函数的横坐标最小的拐点为，横坐标第二小的拐点为，则 三、填空题 12．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为________． 13．已知抛物线，若，两点在抛物线上，焦点为，，，，则直线的斜率为________． 14．连续抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出点数大于4（即掷出5或6）记为“成功”，掷出点数不大于4（即掷出1，2，3或4）记为“失败”．若出现连续两次“成功”，则停止抛掷，那么抛掷总次数的数学期望为________． 四、解答题 15．已知数列的前项和满足． （1）证明：是等比数列； （2）设数列的前项和，证明：． 16．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若，，，在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 17．随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司研发了一款面向工业质检的AI图像识别设备．为确保产品质量，公司对生产的设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立．已知每台设备的检测结果为优质品的概率为，为合格品的概率为，现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测． （1）求至少2台是优质品的概率； （2）若每台优质品设备可获利5万元，每台合格品设备可获利3万元，记随机抽取的3台设备共可获利万元，求的分布列、数学期望以及方差． 18．已知双曲线：（，）的左焦点为，且离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 19．已知函数（）． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $