精品解析：福建省厦门外国语学校2026-2027学年高三上学期10月阶段性测试数学试题

厦门外国语学校2026-2027学年第一学期高三10月阶段性测试 数学试题 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，故且， 所以. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A选项，若，则，故A错误； 对于B选项，若，则，故B错误； 对于C选项，若，，且，则，，故，故C错误； 对于D选项，因为，且函数在上单调递增，所以，故D正确. 3. 设是平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的判定定理及性质，逐一分析各选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案. 【详解】对选项A：由线面垂直的性质可知，若，则垂直于平面内的所有直线， 又，则平面内存在直线满足，因此，进而可得，故A正确； 对选项B：若，，则与的位置关系可以是平行、相交或异面，不一定互相平行，故B错误； 对选项C：若，，则与的位置关系可以是平行、相交（含垂直）或，不一定垂直于，故C错误； 对选项D：若、与所成的角相等，则与的位置关系可以是平行、相交或异面，不一定互相平行，故D错误. 4. 已知，则（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】运用诱导公式及弦化切的知识，即可得解. 【详解】，则. 故选：A. 5. 若是定义在R上的偶函数，则a的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用可得的值. 【详解】因为为偶函数，故对任意的恒成立， 故，整理得到对任意的恒成立， 故， 故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，对应含参数的奇函数或偶函数，利用恒等式来求参数的值，可以利用赋值法来求参数的值，本题属于基础题. 6. 已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.求得确定是等边三角形，再利用抛物线的定义求得进而求得即可得的值. 【详解】设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.则 因为所以 因为, 根据抛物线的定义，知，，所以是等边三角形， 所以，解得 所以，, 所以，即 7. 已知实数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为与的交点横坐标大小问题，利用函数图象与性质判定即可. 【详解】由可化为： ， 作出与的图象如下： 由于，所以， 即先与相交，再与相交，可得， 又，所以，所以. 故选：B 8. 定义：表示不超过的最大整数，如，．已知为坐标原点，点在曲线：，上，记的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，令，，利用导数求得，，根据二次函数性质结合题意计算即可求解. 【详解】设点的坐标为， 则， 令，， 则， 令，则， 当时，，所以， 所以在区间上单调递增， 因为，，，， 由零点存在性定理可知，，使得，即， 即，，，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 因为， 所以，令，， 则，， 由二次函数性质可知，在上单调递减， 所以，即， 因为，，所以，故. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用诱导公式差角的正弦化简判断A；利用和角正切公式化简判断B；利用凑特殊角及差角的余弦化简判断C；利用二倍角的正弦计算判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，D错误. 故选：BC 10. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】从已知双曲线方程得到，利用焦点到渐近线的距离公式求出，结合条件得出，判断A正确.通过作垂线构造相似三角形，证明与不重合，从而否定，判断B错误.在直角三角形中利用双曲线定义和勾股定理建立关于的方程，解得，进而求出离心率，判断C正确.最后利用三角形面积关系求得，判断D正确. 【详解】由题意知，由双曲线方程得，即. 又，故，焦点到渐近线的距离. 由条件，故选项A正确； 易知，，，过作垂直于，垂足为. 如图，过作于. 由，且，得. 又， 则，与不重合。 故，故选项B错误； 在中，，，， 则，即， 解得，则，所以，故C选项正确； ，故D选项正确． 11. 在三棱锥中，，，，，分别为棱，上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 的最小值为 D. 当时，线段中点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项AB可以通过构造正方体解决； 选项C棱，为异面直线，所以最小时就是公垂线段长，先证明平面然后作，为棱，的公垂线段，根据可求； 选项D通过空间向量先找到中点所在平面根据，找到约束条件，再根据平面向量基本定理，在平面上找互相垂直的两个单位向量作为基底，把空间中的曲线转化为平面曲线，轨迹为圆，经过验证轨迹为整个圆周，求周长可解. 【详解】 因为，，，所以 因为，，所以， 又因为，，，所以三棱锥可以补形成正方体. 选项A，假设，由上可知所以平面 即而在中已经证明 ，假设矛盾，故A错误； 选项B三棱锥的外接球，就是正方体的外接球，正方体的外接球直径为故正确； 选项C棱，为异面直线，所以最小时就是公垂线段长， 正方体中易知且所以平面 设在平面内作，平面所以, 即为棱，的公垂线段， 已知，所以，则，选项C正确； 选项D , 如图所示建立空间直角坐标系 在体对角线上： 在底面对角线上： 设的中点为, 令则 由，得；由 得，把这两式代入， 整理得点恒在平面上， 展开并整理得： 设平面的法向量，在平面上任取点 ，则 在平面取两个互相垂直的单位方向向量： 在平面上一点取点， ，， 这是圆的标准方程：圆心在，半径 对应空间中圆心 根据圆的参数方程可知 ，推出 线段中点的轨迹是完整的圆，故轨迹长度为，故选项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面积为，底面半径为cm，则该圆锥的体积是____________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆锥侧面积公式结合已知条件求出母线长，再借助勾股定理算出圆锥的高，最后代入圆锥体积公式即可求得结果. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，体积为， 由题知，侧面积为， 因为，可得母线长， 则高， 所以体积. 13. 设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_______ 【答案】 【解析】 【详解】由图象知， 由五点法作图可知，解得； 由图知，，即，解得； 所以当时，, 因此最小正周期. 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 【答案】9 【解析】 【分析】通过求导以及导数的几何意义计算得到，，之间的关系，由基本不等式即可求解. 【详解】已知函数，对函数求导得，， 根据导数的几何意义，有，，， 因为，所以， 令，， 则，因此，而，所以， 而，，, 代入，得，， 而由基本不等式得，， 当且仅当时取等， 故的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，列出关于和的方程组，解方程组得到和，再代入等差数列通项公式得到的通项； （2）由，利用累加法，将时的，代入得，再验证时是否满足所得表达式，最终得到的通项. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题意可得： 解得，， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由可得： ， ， … ， 通过累加可得， 又，所以， 当时，符合，故． 16. 已知． （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． 【小问2详解】 由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 17. 设整数．某同学进行一种掷骰子游戏，至多掷次.当且仅当出现2次3的倍数点（即出现3点或6点）或投掷次数已达次时，游戏停止．各次投掷是否出现3的倍数点相互独立．记为游戏停止时该同学的投掷次数． （1）当时，求； （2）当时，求的分布列及期望和方差； （3）记“第次投掷恰好出现3的倍数点”为事件 ，求 . 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 ，. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得表示前5次中出现3的倍数点的次数不超过1，第6次出现任意点数均可，进而求解即可； （2）由题意可得的取值可能为，分别求出对应值的概率，即可得到分布列，再根据期望和方差的公式求解即可； （3）分别求出、，进而根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，，则表示前5次中出现3的倍数点的次数不超过1，第6次出现任意点数均可， 而每次掷骰子出现3的倍数点的概率为， 则. 【小问2详解】 由题意，，则的取值可能为， 则，, ， 所以的分布列为： 2 3 4 则， ， 则. 【小问3详解】 由题意，表示第1次投掷恰好出现3的倍数点， 表示前次中出现3的倍数点的次数不超过1，第次出现任意点数均可， 则， ， 则. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是圆上一点，线段与交于点，且． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）是，定值为9 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可求，根据半焦距可求，从而可求椭圆方程； （2）（i）联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求的坐标；（ii）设，结合圆过可得其一般方程，联立直线方程和圆的方程后结合韦达定理可求的坐标与的关系，据此可求定值. 【小问1详解】 圆，即， 所以该圆是以为圆心，6为半径的圆． ，即，． 又，， 故C的标准方程为． 【小问2详解】 （i）设，， 联立得， 则且，， ，故， ． （ii）为定值9，理由如下： 设，外接圆的方程可设为． 因为在外接圆上，所以，即， 故外接圆的方程为． 联立， 则， ，． 又，， 故，， 解得，． ，，故为定值． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）实数的取值范围是． 证明：取，则， 则， 令， 则，， 设， 则， 则在上单调递增， 则，即； （ii）证明：由（ⅰ）知，，， 要证， 只需证， 即证明， 令， 则， 则在上单调递增， ，即， ； 又因为，且， 故． 要证， 只需证， 令， 则且， 只需证明． 令， 则， 在上单调递减， ， 即，从而得证． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，因式分解导数，再分类讨论分析函数的单调性． （2）（ⅰ）由第（1）问，时最多有一个零点，排除这种情况，计算时的极小值，接着构造函数得到的取值范围；把代入，换元化简，利用的单调性，证得． （ii）先借助极小值点，构造关于的函数证明，结合，可证出；再用（ⅰ）的找点结果做桥梁，换元转化变量，构造函数求导判断单调性，证明，即可得证． 【小问1详解】 由， 得， 当时，，则在上单调递减； 当时，若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，若函数有两个零点，则， 且当时，取得极小值，也即为最小值， 又∵当时，，当时，，所以， 即，即， 由于，则函数在上是增函数，且， ∴不等式的解为， ∴实数的取值范围是； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2026-2027学年第一学期高三10月阶段性测试 数学试题 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. -2 D. 2 5. 若是定义在R上的偶函数，则a的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 6. 已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知实数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义：表示不超过的最大整数，如，．已知为坐标原点，点在曲线：，上，记的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 11. 在三棱锥中，，，，，分别为棱，上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 的最小值为 D. 当时，线段中点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面积为，底面半径为cm，则该圆锥的体积是____________. 13. 设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_______ 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求的通项公式． 16. 已知． （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 17. 设整数．某同学进行一种掷骰子游戏，至多掷次.当且仅当出现2次3的倍数点（即出现3点或6点）或投掷次数已达次时，游戏停止．各次投掷是否出现3的倍数点相互独立．记为游戏停止时该同学的投掷次数． （1）当时，求； （2）当时，求的分布列及期望和方差； （3）记“第次投掷恰好出现3的倍数点”为事件 ，求 . 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是圆上一点，线段与交于点，且． （1）求的标准方程； （2）设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $