精品解析：福建莆田市砺志学校2026-2027学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

莆田砺志学校高三第一次模拟考试 满分：150 分 考试时间：120 分钟 考生注意： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚. 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保留原变量的取值范围、否定结论即可求解. 【详解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件结合一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. 4. 若，，则“，且”是“，且”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质即可判断. 【详解】若“，且”，则“，且”， 若已知“，且”，可取，，满足，且，但不满足，且， 所以“，且”是“，且”的充分不必要条件； 故选：A 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 6. 若函数是奇函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 7. 若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 8. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，​成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有 ，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，利用作差法和基本不等式对选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为，，，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知是定义域为的奇函数，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 为增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为是定义域为的奇函数，所以， 令，代入得，故A正确； 对于B，由奇函数性质有，故B正确； 对于C，表明，对于任意，比大， 但并不意味着为增函数，例如：函数满足题意， 当时，， 当时，， ，但，所以不是增函数，故C错误； 对于D， ，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以. 13. 已知，则函数的最小值为_______________． 【答案】11 【解析】 【详解】令， 由，得，且． 将代入中， 可得， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，则，满足题设条件， 故函数的最小值为11． 14. 若函数满足，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过递推式推出函数周期为6，再利用周期性把转化为，最后递推得. 【详解】因为，所以， 两式相加得，则， 所以函数的周期是6， 因为，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合 求： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据集合的交集，并集，补集的定义，计算即可. 【小问1详解】 由题意， 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 【小问3详解】 因为，所以. 16. 已知函数，. （1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）先判断时是否合题意，当时，结合二次函数的图象开口向下，且与x轴无交点，列式求解即可； （2）分，，讨论即可，其中，时还要比较对应一元二次方程的两个根的大小关系. 【小问1详解】 ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，由已知可得，解得. 综上，a的取值范围是. 【小问2详解】 不等式可化为，即， ①当时，可化为，得，原不等式的解集； 当时，方程的两根为和2， ②当时，可化为，解得，原不等式的解集为； ③当时，解得或，则原不等式的解集为或； ④当时，解得，则原不等式的解集为 ⑤当时，解得或，则原不等式的解集为或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）证明：在上单调递减； （3）若，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明：任取，，且， ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由，求解即可； （2）由函数单调性的定义求证即可； （3）由函数的单调性、奇偶性去求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意， 所以，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 解得，即m的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点． （2）当时，恒成立，求a的取值范围． （3）证明：． 【答案】（1）证明：当时，函数定义域为，则， 令，则在上恒成立，则在上单调递增， 则，即在上恒成立，在上单调递增， 而，， 所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点． （2）； （3）证明：由（2）可知，当时，有，则， 因此， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用导数探讨函数的单调性，再利用零点存在性定理推理即得. （2）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最大值即得. （3）利用（2）的结论得，再赋值并借助不等式性质，等比数列前n项和公式推理即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，等价于， 令，求导得，令， 则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，于是当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此， 所以a的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田砺志学校高三第一次模拟考试 满分：150 分 考试时间：120 分钟 考生注意： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚. 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则“，且”是“，且”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是奇函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 7. 若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义域为的奇函数，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 为增函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数，则______． 13. 已知，则函数的最小值为_______________． 14. 若函数满足，且，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合 求： （1） （2） （3） 16. 已知函数，. （1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）证明：在上单调递减； （3）若，求m的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点． （2）当时，恒成立，求a的取值范围． （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $