精品解析：江苏苏州市常熟市昆承中学 2026～2027学年第一学期学情问卷 八年级数学（10月）

2026~2027学年第一学期学情问卷初二数学 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解，不符合题意； B、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． 2. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．能用平方差公式分解的式子的特点是：二个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，不符合平方差公式的特点，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选C． 3. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A 4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，，，则，不符合题意； B、，，，则，不符合题意； C、由得到，而，，则，不符合题意； D、，，，不能证明全等，该选项符合题意． 5. 如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于，根据比例求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得．点到的距离即为长，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为 故选：． 6. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N，②连接．连接．若，，则的周长为（　　） A. 5 B. 11 C. 12 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ∴的周长． 故选：D． 7. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 8. 已知为有理数，则整式的值（ ） A. 不是负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 【答案】A 【解析】 【分析】原式变形后，提取公因式，即可做出判断． 【详解】原式，即不是负数， 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 9. 将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故答案为：． 10. 若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于__________． 【答案】11或##或11 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，由题意得，根据对应系数相等即可求解． 【详解】解：可直接用完全平方公式分解因式， ， ， 或， 故答案为：11或． 11. 如图，在中，，是高，若，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查的是含角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，通过直角三角形的性质求出，，根据含度角的直角三角形性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：8． 12. 如图，在中，，，于点，于点，是的中点，则的周长是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，， 点是的中点， ， ， 的周长． 故答案为：10． 13. 如图，射线把分成两个三角形，，，．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点G作于点D，于点E，则，据此可推出，则平分，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点G作于点D，于点E， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______． 【答案】10°或100° 【解析】 【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 在中，，， ， 由作图可知：， ， ； 由作图可知：， ， ， ， ． 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法． 15. 如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________． 【答案】2 【解析】 【分析】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得；同理EC=2BE即EC=，可得，又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2． 【详解】解：∵D是AC的中点且S△ABC=12， ∴， ∵EC=2BE， ∴EC=， ∴， ∵，， ∴S△ADF－S△BEF=2 故答案为：2 【点睛】题目主要考查求解三角形面积，结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键． 16. 如图，在正方形中，，E为边上一动点，点F在边上，且，将点E绕点F顺时针旋转得到点G，连接，则长的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点G作，垂足为H，可得，根据正方形的性质可得，，根据旋转的性质可得，，，然后利用同角的余角相等可得，从而可证，进而可得，最后可得点G在与平行且与的距离为1的直线上，从而可得当点G在边上时，的值最小，进行计算即可解答． 【详解】解：过点G作，垂足为H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在与平行且与的距离为1的直线上， ∴当点G在边上时，最小且， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共10大题，共82分） 17. 分解因式和计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法．先提以因式进行因式分解，然后将，，变形为，．再整体代入进行计算即可． 【详解】解： ． 因为，， 所以，． 原式． 19. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出的边上的高； （2）画出的边上的中线； （3）直接写出的面积为 ． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）3 【解析】 【分析】本题考查画高线，中线，与三角形的高有关的计算，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据高线的定义和网格特点，画出即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积，求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图可知：； ∵为的中线， ∴的面积． 20. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： （1）等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； （2）在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，作的角平分线，直线与射线相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，故点即为所求； （）由角平分线的定义得，进而由等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，由三角形外角可得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由三角形外角的性质得：， ∴， ∴在中，由三角形内角和可得：，即， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，，且， ， 在和中， ， ． （2）4 【解析】 【分析】此题重点考查等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识； （1）由，根据“等角的补角相等”推导出，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由全等三角形的性质得，而，所以． 由推导出是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， 的长为4． 23. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 24. 如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 【答案】（1） 证明：， ， 即， ， ， ． （2） 证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 25. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据因式分解结果，结合完全平方公式进行判断即可； （3）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式； 【小问2详解】 解：该同学因式分解的结果不彻底； 设，则原式 ， ∴因式分解的最后结果为：． 【小问3详解】 解：设，则： ． 26. 如图1，是边长为的等边的高，点是线段上的一个动点（不与端点重合），以为一边在下方作等边，连接． （1）的长为________； （2）求证：； （3）若连接，在点运动过程中，线段的最小值为________； （4）延长交的延长线于点．如图，当为等腰三角形时： ①求的度数；②直接写出求的面积． 【答案】（1）1 （2） 证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中 ， ， ∴； （3） （4）①；②1 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质直接求解即可； （2）利用等边三角形的性质可得，，，进而得，再根据判定定理“”即可求证； （3）由等边三角形的性质可得，，进而由全等三角形的性质得，即得到点在定直线上运动，可知当时，线段取最小值，利用直角三角形的性质解答即可求解； （4）①利用三角形内角和定理可得，即得，由点不与点重合，可得当为等腰三角形时，必定为，即可得，再根据平角的定义解答即可求解；②过点作于点，由直角三角形的性质得，又由①得，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵是边长为的等边的高， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是边长为的等边的高， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点在定直线上运动， ∴当时，线段取最小值，如图， 在中，∵， ∴， ∴线段的最小值为； 【小问4详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点不与点重合， ∴点不与点重合，， ∴，， ∴当为等腰三角形时，必定为， ∴， ∴； ②过点作于点，如图， ∵， ∴， 又由①可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期学情问卷初二数学 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A. B. C. D. 不能确定 6. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N，②连接．连接．若，，则的周长为（　　） A. 5 B. 11 C. 12 D. 17 7. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知为有理数，则整式的值（ ） A. 不是负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 9. 将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 10. 若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于__________． 11. 如图，在中，，是高，若，，则______． 12. 如图，在中，，，于点，于点，是的中点，则的周长是____． 13. 如图，射线把分成两个三角形，，，．若，则的度数为______． 14. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______． 15. 如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________． 16. 如图，在正方形中，，E为边上一动点，点F在边上，且，将点E绕点F顺时针旋转得到点G，连接，则长的最小值为________． 三、解答题（共10大题，共82分） 17. 分解因式和计算： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 已知，，求的值． 19. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出的边上的高； （2）画出的边上的中线； （3）直接写出的面积为 ． 20. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： （1）等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； （2）在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 21. 如图，在中，，．求的度数． 22. 如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，求． 24. 如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 25. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 26. 如图1，是边长为的等边的高，点是线段上的一个动点（不与端点重合），以为一边在下方作等边，连接． （1）的长为________； （2）求证：； （3）若连接，在点运动过程中，线段的最小值为________； （4）延长交的延长线于点．如图，当为等腰三角形时： ①求的度数；②直接写出求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $