2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中阶段性综合测评卷

2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中阶段性综合测评卷 第1章第3章 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把A、B、C、D各选项中可以化简的方程化简，再根据一元二次方程的定义分别对各个方程进行判断即可得答案. 【详解】解：A.化简得：，故不是一元二次方程，A错误. B.方程 只有一个未知数，且的最高次数为2，是关于的一元二次方程，不是关于的一元二次方程，故B错误. C.方程 只有一个未知数，且的最高次数为2，是关于的一元二次方程，故C正确. D. 把化简为，当时，不是一元二次方程，故不一定是关于的一元二次方程，故D错误. 2．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 3．下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的判别式的值来判断方程根的情况． 【详解】解：A.方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， B.方程， ∵， ∴方程没有实数根，符合题意， C.方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， D.方程，整理为一般形式得， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意． 4．方程的两个实数根分别为，则等于（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程（），根据根与系数的关系 进行计算． 【详解】解：方程中，，， ∴． 5．某区为加强校园建设，2025年投入1000万元，预计2026年，2027年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确等量关系为2026年与2027年的投入经费之和为4000万元，据此列方程即可. 【详解】解：∵2025年投入经费为1000万元，年平均增长率为， ∴2026年投入经费为万元，2027年投入经费为万元， ∵2026年、2027年两年共投入4000万元， ∴可列方程. 6．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的值判断时的增减性，结合的取值范围求出的取值范围，即可得到最大整数值． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴， ∴的最大整数值为． 7．已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C．4 D．－4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，熟练掌握性质是解题的关键． 利用点在双曲线上得，然后求点关于轴的对称点，代入另一双曲线得，计算值即可． 【详解】解：∵点 在上， ∴ ∵点关于轴的对称点在双曲线上， ∴，代入得： ， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 9．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 10．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，设与y轴交于点F， 设点，则点， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知实数满足，则__________． 【答案】5 【分析】利用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ， 解得，， ∴或， 当时，即， 此时，方程有2个不相等的实数根，满足题意； 当时，即， 此时，方程没有实数根，不符合题意，故舍去； ∴． 12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 13．设a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求式子平方后变形，代入计算后再开方得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， 设，显然， 将两边平方得：， 展开得：， 整理得： 代入，得： ∵， ∴. 14．一列高铁减速进站，速度（），平均速度，行进距离；若高铁从开始减速已经前进了，此时高铁的速度为______． 【答案】 【分析】根据题意求出的值，进而求出平均速度，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当时，，即， ∴平均速度， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去，此时）， ∴． 15．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 16．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一与勾股定理，求出外接圆半径与相关线段长度；再根据角平分线性质与圆周角定理，推导出弧相等，得到；最后利用三角形中位线定理求出，进而计算，再通过勾股定理求． 【详解】解：如图，设与交于点，连接交于，连接、， ∵，为的直径， ∴，．， 在中， ， 设的半径为，则，． 在中，即 解， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，且为中点， ， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 常数项移到等号右侧： 两边同除以4， 得， 等号左右两边同时加1， 得， 即 开平方， 得， ∴，． （2）解：， 因式分解，得， 方程两边同乘最简公分母，去分母， 得， 展开整理，得， 解得 验根：把代入最简公分母， 得， ∴是增根，舍去； 把代入最简公分母， 得， ∴是原方程的解， ∴原方程的解是． 18．阅读理解材料：已知实数满足，且． 根据材料，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得， ． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，则_________，_________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解； （2）先把、看作方程的两根，则利用根与系数的关系得到，，再利用，则可计算出的值，然后根据算术平方根的定义得到的值． （3）先把变形为，则、可看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为， ∴，． （2）解： ，，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ； （3）解：， ， ∴两边除以并移项得 ， ，即， 、可看作方程的两根， ∴， 即． 19．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化，一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)有员工提出目标，希望月销售利润能达到15000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 (2) 该零件的实际售价应定为元/个 (3) 这个目标不能实现，理由如下： 设售价上涨元，则 ， ， 方程无实数根， 月销售利润无法达到元，该目标不能实现． 【分析】（1）根据增长率问题的等量关系列一元二次方程，结合实际意义取舍解； （2）根据总利润公式列一元二次方程，选取符合“消费者得实惠”的解； （3）先根据总利润公式列一元二次方程，再根据根的判别式判断方程无解，即可得答案． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x，根据题意，得 整理得 解得，（不符合题意，舍去）， 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； （2）设该零件的售价上涨x元，单个利润为元，月销售量为个，根据题意，得 ， 整理，得 解得，， 要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取较小值10，此时售价为（元/个）， 该零件的实际售价应定为50元/个； （3）略 20．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】(1)证明：在方程中， ，，， ． ， ， 该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）由根的判别式为完全平方式，恒为非负，判断一元二次方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，结合矩形邻边和对角线满足勾股定理的性质，将转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入后得到关于的一元二次方程，解得的值后，结合矩形边长必须为正数的隐含条件，排除不符合取值范围的解，得到最终的取值． 【详解】（1）略 （2）解：由一元二次方程根与系数关系得，，， ，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 整理得，， 解得，． 矩形的边长必须为正数， ， 即， ． 经检验，符合要求，不符合题意，舍去， ． 21．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，双曲线的函数表达式为 (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，解得， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入，得， 点的坐标为，则， ∴ ， ． ∵ ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 22．校内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： x（分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)不能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时20分钟，即80分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得， 解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴80分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余10分钟，此时水温与第10分钟的水温相同，处于降温过程， ∴， ∵， ∴同学们不能喝到不超过的水． 【分析】（1）根据表格中每组的数值，在平面直角坐标系逐个标注对应坐标点即可； （2）升温阶段水温匀速上涨，选用一次函数，利用待定系数法求解即可；降温时，选用反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）先求总时长、单个工作周期时长，根据周期规律可得剩余时长对应的水温与第10分钟的水温相同，进而即可求解判断． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热，y是关于x的一次函数， 设， 将点代入，可得， 解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：y是关于x的反比例函数， 设， 将点代入，可得， 解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为：． （3）略 23．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 24．如图，是的直径，是的半径，经过点．连接，分别延长至点，，交于点，且点，在同一条直线上，． (1)若，，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若是的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 证明：连接． ∵， ∴，即， ∵中， ， ∴是等腰的中线， ∴ ∵是的半径，且， ∴是的切线． (3) 【分析】本题主要考查圆的综合题，考查圆的基本：性质(半径相等、垂径定理)、切线的判定定理、等腰三角形的性质(三线合一)、解直角三角形、扇形面积与三角形面积的计算，同时综合运用了三角形外角性质、直角三角形的边角关系等知识点，侧重数形结合与逻辑推理能力的考查． （）先由，，利用直角三角形两锐角互余求出，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半的定理，得到算出； （）先通过推得，确定为等腰三角形，再结合，利用等腰三角形三线合一得到，最后根据切线的判定定理(半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线)，即可证明； （）结合是中点、，在中求出，得出，接着在中解直角三角形求出圆的半径和的长度；最后分别计算扇形和的面积，用扇形面积减去三角形面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵所对的圆心角为，圆周角为， ∴． （2）略 （3）解：∵是中点， ∴(半径)， ∴； ∵， ∴， 即是的中点， ∴， 由（）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 则， 又， ∴ 在中，， ， ∴，即的半径， ∴， ∵， ∴， 同时， 扇形面积：， 面积：； 阴影部分面积：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中阶段性综合测评卷 第1章~第3章 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是() A.(6x+102=x2-2x B.2y-y-3=0 C.2x2-5x-7=0 D.mx2-2x=x2+1 2.关于x的方程 +bx+c=0(a≠0）中，若a,6C满足4a+2h+c=0和4a-2b+c=0,则该方程的根是 () A.=2,5=0 B.=4,5=4 C.=26=-2 D.无法确定 3.下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是() A.x2-2x=0 B.x2-2x+2=0 C.x2-2x-1=0 D.x2-2x=-1 4.方程5r+x-5=0 的两个实数根分别为 ,5,则+等于《) 1 1 A.5 B.-5 C.1 D.-1 5.某区为加强校园建设，2025年投入1000万元，预计2026年，2027年两年共投入4000万元，设投入 经费的年平均增长率为x,根据题意，下列所列方程正确的是() A.1000(1+x)2=4000 B.1000(1+x2)=4000 C.1000(1+x)+1000(1+x)2=4000 D.1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=4000 6已知反比例函数y=-1 x,当1<x<6时，y的最大整数值是() 试卷第1页（共3页） A.-3 B.4 C.6 D.-11 7.已知M(m,m)是第一象限内的点，且在双曲线y= 上，点M关于y轴的对称点N在双曲线= 4 上， 则k的值为() C.4 D.-4 8.如图，AB是⊙0的直径，弦CD1AB,∠BOC=140°，则∠ABD的度数是() B A.20° B.30° C.40° D.50° 9.如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,点MN分别是OD、OE的 中点，连接MN,若MN=2,则BC的长是() D E A.9 B.4 C.7 D.8 10,如园，AMBC是等腰=角形，AB过原点0：底边C∥x,双唐线y-卓k≠0)过小B两点，过 点C作 D∥y 轴交双曲线于点D,若 SBCD =16 ,则的值是() A.8 B.3 C.6 D.12 试卷第2页（共3页） 1.已知实数x满足(x-2x-3(r-2x-10=0,则2-2x= 12.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场 决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件.若商场平 均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x元，则可列方程为 1设a6是-元=二次方瘦-+2=0的两个实数根，则0+6+ 的值为 14。一列高铁减速进站，速度y=-5+10(mS),平均速度=兰 2，行进距离，=v1:若高铁从 开始减速已经前进了937.5m，此时高铁的速度为_m/s 15,如图，点4有反比创函数X-是>0)的图象上，过点4作ALx轴，垂足为8，交反比例函数 为=4(x>O的图象于点C,P为y轴上一点，连接PA'PC,则△APC的面积为 16.如图，⊙0是等腰△ABC的外接圆，AB=AC=5,BC=6.连接A0并延长交O0于点D,∠ABC 的角平分线交AD于点E,交OO于点F,连接AF,则AF的长度为一 D 三、解答题（每题9分，共72分) 试卷第3页（共3页） 17.解方程： ①4r-8x-1=0 x+14 =1 (2)x2-5x+6x-3 18.阅读理解材料：已知实数”满足 m2-m-1=0-n-l1=0 且mn n m 根据材料，求m+n的值. 解：由题知m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=1,mn=-1, ”+m_m+开_m+m=2mn_1+2-3 m n mn mn -1 解决以下问题： 方程-4x-3=0的两个实数根为，西，则+五 xx2= 11 (②)已知实数m,n满足m-3m+1=0,n-3n+l=0,且m≠n,求VmVn的值： 6)已知实数p,g满足p2=3p+2,2g2=1-3g’且p-q≠1，求g的值。 19.根据表中的素材，探索完成任务 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化，一体化加工，生 素材1 产效率显著提升.已知该零件4月份生产100个，6月份生产 144个. 该厂生产该零件的成本为30元/个： 素材2 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售 价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个 问题解决 (1)求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率： (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该 试卷第4页（共3页） 零件的实际售价应定为多少？ (3)有员工提出目标，希望月销售利润能达到15000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的 涨价方案：如果不能，请说明理由， 20.已知关于*的方程-(k+3)x+k+2=0 (1)求证：该方程总有两个实数根： (回若该方程的两个实数根，是一个矩形两铅边的长，且矩形的对角线长为厅，求的值」 21.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别是3，).(m,3 ,过A,B两点的直线 y=m+b(a+0)与x轴，y轴分别交于点C,D,双曲线"=(k≠0)与该直线交于A,B两点. (I)求直线和双曲线的函数表达式： (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P,满足 =4S0,求点’的坐标. P 22.校内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100°℃时停止加热，水温自然冷 却下降；当水温回落至30℃时，饮水机自动重启加热，重复上述过程.值日班长于7：20到校接通饮水机 电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为℃，水温随时间变化的测量数据如表所示： x(分 0 2 5 10 14 16 20 钟) y(℃) 30 50 80 100 70 50 43.75 35 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点： 试卷第5页（共3页） y水温（单位：C) 100 90 801 70 60 50 40 30H 20H 10 10 15 20x时间（单位：分） (②)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范 围 (3)上午第一节下课时间为8：40，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明. 23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，BD平分∠ABC,连接OD交AC于点E. (I)求证：OD⊥AC: (2)若⊙O的半径为5，DE=2,求线段BD的长. 24.如图，AB是⊙O的直径，OE是⊙O的半径，⊙0经过点F.连接BE,分别延长AB,OE至点C,D C,F D BCBD,MF交OD于点G,且点CF,D在同一条直线， CF=DF (1)若AF⊥OE,∠OAF=30°，求∠ABE的度数： (2)求证：CD是⊙0的切线： (③)若B是0C的中点，4F=85 求阴影部分的面积. 试卷第6页（共3页）