期中（第25章-28章）阶段复习卷（考前押题卷二）2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》人教版

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章-28章）阶段复习卷（考前押题卷二） 一、选择题（共20分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．5，4， B．5，，1 C．，，1 D．，， 【答案】B 【分析】对照一元二次方程的一般形式，提取各项系数时需包含对应项的符号． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形； 中心对称图形是指绕某一点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合的图形． 【详解】解：A选项：该图形绕中心旋转能与自身重合，但找不到对称轴， ∴ 是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项：∵ 该图形沿过中心的直线折叠能重合，且绕中心旋转能与自身重合， ∴ 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项：∵ 该图形沿过顶点的直线折叠能重合，但绕中心旋转不能与自身重合， ∴ 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项：∵ 该图形绕中心旋转能与自身重合，但沿任意直线折叠不能重合， ∴ 是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 3．一元二次方程：的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， 解得，． 4．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 5．反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 6．清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅，二级、三级，辉锅每锅．某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近（     ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】D 【分析】结合总鲜叶量固定的实际背景，验证与的乘积是否近似为定值． 【详解】解：分别计算表中每组与的乘积： ． ． ． ． ． ． 与的乘积近似为定值，符合反比例函数关系． 7．某商品原价元，经过连续两次降价后售价为元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 原价为元，连续两次降价后售价为元， ， 整理，得， 方程两侧同时开方，得或， 解得或， 不符合题意，舍去， ， 由于对应的百分率为． 8．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 9．抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若抛物线与轴无交点，则，然后列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得． 10．如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点顺时针旋转得到，利用旋转的性质、勾股定理及其逆定理求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由题意得，，， 由旋转性质可知， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴． 二、填空题（共16分） 11．已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 【答案】 【分析】根据常数项为零得到关于的方程，再结合二次函数定义要求二次项系数不为零，舍去不符合条件的解，得到最终结果． 【详解】解：∵二次函数 的常数项为零， ∴，解得 或 ， ∵该函数是二次函数，二次项系数不能为零， ∴， ∴， ∴． 12．已知反比例函数，当时，，则代数式的值为_______． 【答案】2 【分析】将，代入反比例函数解析式，先求出的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：把，代入，得， 等式两边同乘，得， 将代入得，． 13．电动滑板车是一种短途代步工具，其续航里程（一次充电能行驶的距离）与载重（使用者重量）之间近似满足反比例函数关系，已知某电动滑板车搭载一名体重为的骑行者时，续航里程为，若搭载一名体重为的骑行者（其他负载不变），其续航里程是_____________． 【答案】 【分析】根据续航里程与载重满足反比例函数关系，用待定系数法求出函数解析式，再代入计算对应续航里程即可. 【详解】解：设与的反比例函数解析式为， 将，代入解析式得 ， 解得， ∴函数解析式为； 当时，代入得 ， 即续航里程为． 14．已知关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______． 【答案】 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数最高次数为；二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得，， 的值为． 15．国产眼镜市场快速升温．某品牌眼镜一季度销售50万副，经过连续两个季度增长，三季度达到72万副．设季度平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】已知一季度销量，季度平均增长率和三季度销量，根据增长规律得到三季度销量的表达式，再根据已知三季度销量列方程． 【详解】解：∵一季度销量为50万副，季度平均增长率为， ∴二季度销量为万副，三季度销量为二季度销量再增长，即万副， ∵已知三季度销量为72万副， ∴可列方程为． 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：；；；，其中正确的有________． 【答案】 【分析】由二次函数的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论、结论；由抛物线与轴的交点的个数，可判断结论；结合图像，由时的值，可判断结论． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点在轴左侧， ，， 又抛物线与y轴交于正半轴， ， 故正确； 抛物线与轴有两个交点， ， 故正确； 由图像可知，当时，， 故错误； 综上所述，正确的有． 17．已知，如图，在菱形中，，，点是上一点且．将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点Q，证明为等边三角形，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，，证明点、C、Q在同一直线上，得出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，过点O作于点Q，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 根据旋转可得：，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴点、C、Q在同一直线上， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，是边长为2的正三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，……如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，结合等边三角形的性质以及勾股定理可求出点的坐标，再根据中心对称图形的性质可得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，……，由此可见，点的坐标为，即可求解． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 在中，， 所以点的坐标为． 又因为与关于点成中心对称， 所以点的坐标为， 依次类推，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，……， 由此可见，点的坐标为， 当时，，， 即点的坐标为． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：两边开平方，得， 即或， 解得； （2）解：分解因式得， 即或， 解得． 20．南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为元时，平均每月售出台；若每台小风扇的售价下降元，则每月多售出台． （1）若每台小风扇的售价为元，则每月可卖出________台． （2）该商店决定降价清库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为元？ 【答案】（1） （2）元 【分析】（）根据售价下降额与销售量增量的对应关系计算总销售量； （）设每台小风扇降价元，以总利润为等量关系列一元二次方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵原售价为元，现售价为元， ∴售价下降金额为（元）， ∵每台小风扇的售价下降元，每月多售出台， ∴每月多售出台数为（台）， ∵原每月售出台， ∴每月可卖出（台）； （2）解：设每台小风扇降价元， 根据题意，得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴降价后售价为元， 答：当每台小风扇的售价定为元时，每月利润为元． 21．已知抛物线和直线都经过点，为坐标原点，为抛物线上的动点，直线与轴，轴分别交于点，． （1）求，的值； （2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及函数解析式的求解、等腰三角形的性质与线段垂直平分线的应用． （1）已知点同时在抛物线和直线上，将点的坐标分别代入两个函数的解析式，得到关于、的一元一次方程，解方程即可求出、的值； （2）先根据直线解析式求点的坐标，用两点间距离公式表示和，结合等腰三角形性质列方程，解方程即可求点坐标． 【详解】（1）解：将代入，得：，∴； 将代入，得：，∴； （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为，直线的解析式为． 当时，， 解得：， ∴点的坐标为，． 设点P的坐标为，则，． ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， 整理，得：， 解得：， ∴点P的坐标为或． 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如上图，即为所求； 【分析】（1）作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可，即可得到； （2）作出点绕原点O逆时针旋转后得到的，再顺次连接即可，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点B作轴于点A，连接OB，将向右平移，得到，交双曲线于点． （1）求a的值； （2）求向右平移到的距离． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了反比例函数的性质（点在反比例函数图象上则横纵坐标之积等于比例系数）和平移的性质（图形平移后对应点横坐标的差为水平平移距离，对应线段平行），解题的关键是先利用点求出反比例函数的值，再结合平移性质和点在直线上的条件列方程求解． （1）先根据点在反比例函数上，求出的值；再将点代入反比例函数解析式，列方程求出（注意，舍去负根）；   （2）设向右平移的距离为，根据平移性质表示出、的坐标；利用的性质（或点在O'B'上）列方程，求解，即为平移距离． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，   ∴，即反比例函数解析式为．   又∵点在该双曲线上，   ∴，即，．   ∵ ，∴，即， ∴．   （2）解：设向右平移的距离为（即对应点横坐标增加，纵坐标不变）．   由题意得：，平移后为，平移后为．   ∵，设直线的解析式为，   将、 代入得：，   两式相减得， ∴，代入得，   即直线O'B'的解析式为．   由（1）知，且在上，   ∴，   化简得，，解得．   答：向右平移的距离为． 24．在矩形中，点在边上，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若与的交点为的中点，求的度数． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 【分析】（1）以为圆心，为半径作弧交于点，分别以，为圆心，，为半径画弧，两弧交于点，连接，，由作法知利用可证明与全等，且两三角形有公共顶点，，所以即为所求； （2）设，由已知条件可推出，利用勾股定理逆定理可证明为直角三角形，则题目可解． 【详解】（1）略； （2）解：∵在矩形中， ∴， ∵ ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， 设， 则， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 25．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系． 问题解决： （1）求二次函数的解析式，并化为顶点式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）设刹车时间为m，n，对应的刹车距离分别为，．若，试判断与75的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）该二次函数的解析式为，顶点式为 （2）经过汽车超过测速仪且与测速仪相距 （3），证明如下： 由题意可得：， ∵， ∴， ∴ ； ∴当时，则有， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）根据y的值代入求t值； （3）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为由条件可得： ，解得：， ∴该二次函数的解析式为，配成顶点式为； （2）解：当汽车开始刹车后行驶的距离， ∴， 解得（不符合题意，舍去）． 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距． （3）略 26．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； （2）若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； （3）如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】（1）陌生；友好 （2）或； （3） 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”． （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得． （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章-28章）阶段复习卷（考前押题卷二） 一、选择题（共20分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．5，4， B．5，，1 C．，，1 D．，， 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程：的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 6．清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅，二级、三级，辉锅每锅．某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近（     ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 7．某商品原价元，经过连续两次降价后售价为元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（     ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 9．抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 12．已知反比例函数，当时，，则代数式的值为_______． 13．电动滑板车是一种短途代步工具，其续航里程（一次充电能行驶的距离）与载重（使用者重量）之间近似满足反比例函数关系，已知某电动滑板车搭载一名体重为的骑行者时，续航里程为，若搭载一名体重为的骑行者（其他负载不变），其续航里程是_____________． 14．已知关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______． 15．国产眼镜市场快速升温．某品牌眼镜一季度销售50万副，经过连续两个季度增长，三季度达到72万副．设季度平均增长率为x，则可列方程为______． 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：；；；，其中正确的有________． 17．已知，如图，在菱形中，，，点是上一点且．将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，则的长为________． 18．如图，在平面直角坐标系中，是边长为2的正三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，……如此作下去，则的顶点的坐标是________． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程． （1） （2） 20．南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为元时，平均每月售出台；若每台小风扇的售价下降元，则每月多售出台． （1）若每台小风扇的售价为元，则每月可卖出________台． （2）该商店决定降价清库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为元？ 21．已知抛物线和直线都经过点，为坐标原点，为抛物线上的动点，直线与轴，轴分别交于点，． （1）求，的值； （2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点B作轴于点A，连接OB，将向右平移，得到，交双曲线于点． （1）求a的值； （2）求向右平移到的距离． 24．在矩形中，点在边上，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若与的交点为的中点，求的度数． 25．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系． 问题解决： （1）求二次函数的解析式，并化为顶点式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）设刹车时间为m，n，对应的刹车距离分别为，．若，试判断与75的大小关系，并证明你的结论． 26．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； （2）若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； （3）如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $