1.2空间向量共线定理与共面定理讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

PZ数学 第2节 空间向量共线定理与共面定理 一、共线向量定理与三点共线　★★★ 知识要点 ① 涉及的知识点　共线（平行）向量的概念；用向量刻画三点共线；由共线条件求参数；定比分点。 ② 基础公式 ③ 定理　共线向量定理（充要条件，见上）；三点共线判据：、、 满足 且 时三点共线，其逆亦真（）。 ④ 性质与注意 · 共线关系必须排除零向量：零向量与任何向量共线，此时比例式与 的唯一性都失效。 · 坐标比例式一律改写成乘积式（如 ），避免分母为零时讨论。 · 参数 的几何含义： 时 在 、 同侧（外分）， 时 在 、 之间（内分）； 时 为中点。 · 由「三点共线」求参数，标准动作是先算出两条向量的坐标，再令对应分量成比例，最后回代检验。 ⑤ 本题型怎么下手　两步走：① 写出两条从同一起点出发的向量（例如 、），这样共线就是它们成比例；② 基向量形式就比对系数，坐标形式就列比例式（或乘积式）解方程。题目给「」这种不共起点的条件时，先化为 再算。 ⑥ 公式与定理的推导　本型最核心的是「三点共线 系数和为 」，推导分两步。 （一）定比分点公式　设 在直线 上且 （）。以任意点 为起点写两向量： 展开移项：，即 ，两边除以 ： 令 得中点公式，与题型 01 一致；这是定比分点公式的一般情形。 （二）系数和为 1 的充要性　设 、、 三点共线，则存在 使 。取任意点 ，，整理得 令 ，则 。反过来，若 且 ，则 ，两边减 ：，故 ，即三点共线。这就证明了「系数和为 」是三点共线的充要条件，且 、 正负对应 在 上、外、两侧的位置。 例 02（2025 届上海徐汇区高三二模 · 第3题 · 共线求参数 · 一题多解） 在空间直角坐标系中，向量 ，，若 ，则 ________。 法一（设 ，最通用）　由 分量 得 ； 再由 、 得 、，故 。 法二（比例式，最快）　，先由 定出比例系数， 再逐分量对应：，。 法三（共线判据）　两向量共线 对应坐标成比例，只取 、 两个分量列式： 、，同样得 、。 答案：。 02-1　已知向量 ， 分别是直线 、 的方向向量，若 ，则（　　）A．，　B．，　C．，　D．， 02-2　已知空间向量 ，，若 ，则 ________。 02-3　已知 ，，且 ，则 ________。 02-4　已知 ，，其中 、，若 ，则 ________。 02-5　已知 ，则下列向量中与 平行的是（　　）A．　B．　C．　D． 02-6　与向量 共线的单位向量是（　　）A．　B．　C． 和 　D． 和 02-7　已知空间三点 、、，若 ，且 ，则点 的坐标为（　　）A．　B．　C． 或 　D． 或 02-8　已知四点 、、、，且 ，则 、 的值分别为（　　）A．，　B．，　C．，　D．， 02-9　对于空间向量 ，，若 ，则实数 （　　）A．　B．　C．　D． 02-10　已知空间中三点 、、，设 ，。（1）若 ，且 ，求向量 ；（2）求以 、 为一组邻边的平行四边形的面积 。 二、共面向量定理与四点共面　★★★★ 知识要点 ① 涉及的知识点　共面向量的概念；共面向量定理；四点共面的判定；用「系数之和」快速判断点的位置。 ② 基础公式 ③ 定理　共面向量定理（充要条件，见上）；四点共面判据：对空间中任意一点 ， 在平面 内等价于 且 ；等价命题是「三个向量 、、 中，有一个可用另外两个线性表示」。 ④ 性质与注意 · 系数之和是否为 是判断四点共面最快的口子； 时 不在平面 内（ 在与该平面平行的平面上）。 · 若 且其中某个系数为 ，则 落在平面 的一条边所在直线上；若两个系数为 ，则 就是某个顶点。 · 三点共线是四点共面的特例（对应 的情形）。 · 判据对任意原点 都成立，所以取 为坐标原点最省事。 · 反例警示：平行六面体里 、、、（、 分别为 、 中点）不共面；共面的是 、、、。写结论前务必代进去验算，不能靠看图。 ⑤ 本题型怎么下手　① 见 型，先求 ；② 见 型，直接看能否解出系数；③ 几何证明题则把诸向量都用同一组基展开，比对系数是否为 。 ⑥ 公式与定理的推导　核心是「 与 共面 且 」，推导如下（把共面化归为「平面内一点可用两向量线性表示」）。 （一）充分性　设 且 。以 为起点改写： （这里用了 。）两边减 ： 即 由共面向量定理， 与 、 共面，即 在平面 内。 （二）必要性　设 在平面 内（ 不共线），则存在唯一 使 。任取点 ： 移项得 三个系数之和 。证毕。特别地，当 时退化为三点共线（题型 02 的结论），可见三点共线正是四点共面的特例。 例 03（基底与共面 · 一题多解） 已知 是空间的一个基底，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．向量 、、 一定共面 C．向量 在基底 下的坐标是 D．对空间中任意向量 ，都存在唯一的有序实数组 ，使得 法一（定义 + 行列式，通用）　 是基底 三者线性无关 A 对； 、、 对 的系数矩阵行列式为 ，故三者不共面，B 错； C 由表达式直接读出坐标；D 中 也是基底（同一行列式非零），表示存在且唯一，对。 法二（取具体向量，验 B 最快）　取 、、， 则三向量为 、、，其混合积为 ，确实不共面，B 错。 法三（反证 A）　若 、、 不全为零，则其中一个向量可由另两个线性表示，与三者不共面矛盾，故 A 对。 答案：ACD。 03-1　对于空间任意一点 和不共线的三点 、、，有如下关系：，则（　　）A．四点 、、、 必共面　B．四点 、、、 必共面　C．四点 、、、 必共面　D．五点 、、、、 必共面 03-2　点 为空间任意一点，若 ，则 、、、 四点（　　）A．一定不共面　B．一定共面　C．不一定共面　D．无法判断 03-3　在下列条件中，一定能使空间中的四点 、、、 共面的是（　　）A．　B．　C．　D． 03-4　已知 ，，，若 、、 三向量共面，则实数 等于（　　）A．　B．　C．　D． 03-5　已知 ，，，若 、、 共面，则实数 的值为（　　）A．　B．　C．　D． 03-6　已知四面体 ，空间的一点 满足 ，若 、、、 共面，则 （　　）A．　B．　C．　D． 03-7　如图，已知 、、、、、、、、 为空间的九个点，且 ，，，，。求证：（1）、、、 四点共面，、、、 四点共面；（2）；（3）。 03-8　已知三棱锥 ，、 分别是 、 的中点， 在 上且满足 ，过 、、 三点的平面与 相交于点 ，则 （　　）A．　B．　C．　D． 03-9　正方体 中，、 分别为 、 的中点。求证：、、、 四点共面。 03-10　已知空间四点 、、、 满足 ，，。判断这四点是否共面，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $