专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，先构建空间直角坐标系（含坐标系概念、点的坐标及对称点坐标），再学习空间向量线性运算与数量积的坐标表示，最后应用于模长、平行、垂直、夹角等几何问题，形成完整学习支架。 资料以题型为导向，例题与变式题结合，通过求对称点坐标培养从空间图形抽象坐标的数学眼光，借助垂直问题中数量积推理发展数学思维，用坐标语言精确表达空间关系提升数学语言能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺。

专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求空间点的坐标】 2 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 3 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 4 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 4 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 6 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 6 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 7 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 8 考点1 空间直角坐标系 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（25-26高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·福建三明·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点2 空间向量的坐标运算 知识点2 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（25-26高二上·河南·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【变式2-3】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：    (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标. 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【变式3-2】（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（24-25高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知空间向量，，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）已知，，，若，，三向量共面，则实数（　　） A．3 B． C．4 D． 【变式4-3】（25-26高二上·新疆伊犁·期中）已知，，，若四点共面，则（   ） A． B．6 C． D．3 考点3 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 【例5】（25-26高二上·安徽宿州·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 【变式5-3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】（25-26高二上·广东汕头·期中）已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【变式6-1】（25-26高二上·湖南·阶段检测）设，向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【变式6-3】（25-26高二上·广东中山·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式7-1】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知空间中三点，，，设，． (1)已知向量与互相垂直，求的值； (2)若点在平面上，求的值． 【变式7-3】（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 【例8】（25-26高二上·山东德州·阶段检测）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知空间向量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求空间点的坐标】 2 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 3 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 5 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 8 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 10 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 12 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 13 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 15 考点1 空间直角坐标系 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（25-26高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点关于轴对称的坐标性质进行判断即可. 【解答过程】点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间直角坐标系的概念，可得答案. 【解答过程】易知点关于平面对称的点的坐标关系是横坐标和竖坐标不变，纵坐标互为相反数， 与点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对称性规则逐一求出的坐标. 【解答过程】由题意得，则. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·福建三明·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间直角坐标系的定义，结合关于坐标平面的对称点的特点，即可求解. 【解答过程】根据空间直角坐标系的定义，结合关于坐标平面的对称点的特点， 可得点关于平面对称的点的坐标是. 故选：D. 考点2 空间向量的坐标运算 知识点2 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（25-26高二上·河南·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求解. 【解答过程】， ， . 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量四则运算的坐标表示计算求解即可. 【解答过程】因为， 所以，， 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以. （2）. （3）. 【变式2-3】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：    (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标. 【答案】(1)，，. (2) ， 【解题思路】（1）先明确有关点的坐标，再利用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标. （2）利用空间向量坐标的线性运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：，，，. 所以， ， . （2） ， . 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【解题思路】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故选： 【变式3-2】（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出 的取值范围. 【解答过程】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即， 故选：A. 【变式3-3】（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得 ，再由数量积得不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 得 （2） 因为，所以. 解得：或. 故的取值范围是或. 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（24-25高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，三点共线， 则存在实数，使得， 即，得，解得. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知空间向量，，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的运算性质和空间向量数量积的运算坐标表示公式进行求解即可. 【解答过程】解：∵空间向量，， ∴，， ∵， ∴， 解得. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）已知，，，若，，三向量共面，则实数（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】由共面向量定理可得. 【解答过程】因为，，所以，不共线， 因为，，三向量共面，则存在实数，使得， 即， 即，解得. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高二上·新疆伊犁·期中）已知，，，若四点共面，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得. 【解答过程】向量，，，而四点共面， 则存在有序实数对使得，即， 则，解得，所以. 故选：A. 考点3 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 【例5】（25-26高二上·安徽宿州·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【解答过程】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量模及数量积的坐标表示，结合垂直关系的向量表示及运算律列式求解. 【解答过程】由，，得， ，由， 得，所以. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，进而计算可求得的最小值. 【解答过程】由，可得，即， 又因为，所以， 所以， 又，所以， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ， ， 据此可得， ， ， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】（25-26高二上·广东汕头·期中）已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【解答过程】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·湖南·阶段检测）设，向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量共线性质可得、，即可得解. 【解答过程】由，则，解得，，故. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【解题思路】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【解答过程】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高二上·广东中山·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A. 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【解答过程】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【解答过程】因为向量，， 所以， 因为，所以， 即，解得，故D正确. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知空间中三点，，，设，． (1)已知向量与互相垂直，求的值； (2)若点在平面上，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意先求，再根据向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）分析可知存在，使得成立，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， 则，， 可得． 又因为向量与互相垂直， 则，解得， 所以的值是． （2）因为点在平面上，则存在，使得成立． 又因为，即， 可得，解得， 所以的值为． 【变式7-3】（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据A、B、C三点坐标求出向量的坐标，再利于向量夹角公式即可计算其夹角的余弦； （2）求出的坐标，再利用向量模的计算公式即可求解； （3）利用向量垂直，它们的数量积为零即可求解． 【解答过程】（1）由题意，，， ∴， 即与的夹角的余弦值为； （2）由题意，， ； （3）∵， ， ∵与垂直， ∴，即， ∴或． 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 【例8】（25-26高二上·山东德州·阶段检测）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答. 【解答过程】向量，则， 由，得，解得，， 因此，，， 所以与的夹角的余弦值. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知空间向量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示及共线向量，列式求解即得. 【解答过程】由向量，得， 由与的夹角是钝角，得且与不共线， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) 【解题思路】（1）根据题意结合向量平行、垂直的坐标运算求，即可得，，； （2）先求与，结合向量的坐标运算求夹角余弦值. 【解答过程】（1）因为，，， 若，则存在实数，使得， 可得，解得， 即，， 若，则，解得，即. （2）因为，，， 则，， 可得，，， 所以与所成角的余弦值为. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【解答过程】（1）解：(1)因为， 所以， ， ， 所以， 所以与的夹角余弦值为. （2）， 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0， 当与共线时，有,得， 故当时，与不共线， ,得,解得， 综上，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $