3.2.2函数的奇偶性6种考点讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 函数的性质：函数的奇偶性6种高频考点讲义 考点目录 函数奇偶性的定义与证明 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义与证明 一、核心知识点与结论 前提（必要条件）：定义域关于原点对称。 - 若 在定义域内，则 也必须在定义域内； - 定义域不对称 一定非奇非偶；定义域对称 只是”有资格”，未必奇/偶。 定义：对定义域内任意 ， 类型 定义式 等价判定式（） 偶函数 ； 奇函数 ； 重要结论 - 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 轴对称； - 奇函数若在 处有定义，则 （偶函数 无必然要求）； - 既奇又偶的函数： 且定义域关于原点对称，随定义域不同有无数个； - 常见结论：奇次幂/正弦型为奇，偶次幂/常数/余弦型为偶；带绝对值、偶次根号常考虑偶。 二、解题步骤（定义法四步） 1. 求定义域，判断是否关于原点对称；不对称直接判”非奇非偶”； 1. 计算 （把 整体代入，化到最简）； 1. 找关系： 为偶， 为奇，都不满足则非奇非偶； 1. 下结论，写明”对定义域内任意 都成立”。 分段函数必须分段验证；含参数时先用定义域对称、 锁定参数，再回代验证。 三、高频易错点 · ❌ 跳过定义域对称性直接代 ； · ❌ 化简不彻底（尤其含绝对值、根号、分母），误判； · ❌ 把”“当万能结论，忽视 必须在定义域内（如 是奇函数但 不存在）； · ❌ 认为”非奇即偶”——大量函数非奇非偶（如 、）； · ❌ 验证只代某个特殊 ，而非”任意 “。 例1．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 【答案】A 【详解】根据幂函数性质知是奇函数，增函数. 例2．（25-26高一上·海南儋州·期中）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2) 为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数. 【分析】（1）由求解即可得定义域； （2）先判断函数奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，解得， 所以的定义域为； （2）略 例3．（25-26高一上·河北·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域. 【答案】(1)偶函数 (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）设，则且，把函数转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由函数有意义，需使，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 又由恒成立， 即，所以函数为定义域上的偶函数． （2）设，则且， 则， 该抛物线的开口向下且对称轴为直线，所以在区间上单调递增， 又由，所以，即， 所以函数的值域为． 变式1．（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】先写出函数定义域，再应用奇函数定义判断求解. 【详解】∵的定义域为， ， 所以是奇函数. 变式2．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 变式3．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 【答案】(1)， (2)为奇函数，证明如下： 由（1）知，，定义域为， 则，所以， 所以为奇函数. 【分析】（1）由已知得关于，的方程组，即可求解. （2）求出，结合奇偶性的定义即可得出结论. 【详解】（1）由得，；由得，； 联立解得，，. （2）为奇函数，证明略. 考点二 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 一、核心知识点与结论 · 奇函数：图像关于原点中心对称，点 对应 ；若 有定义则图像过原点； · 偶函数：图像关于 轴轴对称，点 对应 ； · 对称区间单调性：奇同偶反（可据此补全图像升降趋势）； · 作图时定义域端点的虚实心、是否含 必须与原定义域一致。 二、 解题步骤（已知一半画另一半） 1. 判定/确认奇偶性； 1. 描出已知部分的关键点（顶点、端点、与坐标轴交点）； 1. 偶函数：沿 轴翻折；奇函数：绕原点旋转 （横、纵坐标同时取反）； 1. 按单调性连接曲线，补全虚实端点，检查原点。 三、高频易错点 · ❌ 奇函数画成 轴对称、偶函数画成原点对称（方向记反）； · ❌ 奇函数在 处无定义（如 、）仍把图像画过原点； · ❌ 翻折后漏掉端点开闭（空心/实心）与定义域限制； 例1．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，根据奇函数图象关于原点对称排除AB；再根据当时，，排除D，即可得解 【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为， 又，则是奇函数， 其图象关于原点对称排除A，B. 当时，，排除D. 故选：C. 例2．（26-27高三上·河北廊坊·阶段检测）函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用奇偶性、函数正负快速排除选项，再结合单调性与极限验证，本题为奇函数，图象关于原点对称，排除D；由时可排除 C，由时可排除 A，从而可得结果. 【详解】∵函数，∴定义域， ∴， ∴是奇函数，图像关于原点对称，排除D； 当，，图象在轴上方，排除C； 当时，，故排除 A. 变式1．（25-26高一上·四川广安·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，常用函数的图象来探究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的特征，如函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性和当时，判断可得. 【详解】易知函数的定义域为，且，所以函数关于轴对称， 当时，， 综上，只有B选项符合题意. 故选：B. 变式2．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断的奇偶性可排除A和B，再分析时的符号可排除C，从而可得正确选项. 【详解】由，可得， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除A和B， 又当时，，故排除C. 故选：D. 考点三 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 一、核心知识点与结论 已知函数在一对称区间（常为 ）的解析式及奇偶性，求另一区间（）解析式，本质是对称性的代数化： - 奇函数：； - 偶函数：； - 单独处理：奇函数且有定义时 。 二、 解题步骤（“设负转正”四步） 1. 设：设 落在待求区间（如 ）； 1. 转：则 落在已知区间（），把 整体代入已知解析式，求出 ； 1. 翻：按奇偶性 （奇）或 （偶）； 1. 补：化简、把变量换回 ，单独写出 的值，注明各段定义域。 示范： 为奇函数， 时 。 设 ，则 ，； 故 ；。 三、高频易错点 · ❌ 只代 而非” 整体”，符号处理混乱； · ❌ 奇函数漏最外层负号（）； · ❌ 结果仍保留中间变量 ，没换回 ； · ❌ 漏掉 一段，或分段区间写错开闭（如两段都写 ）； · ❌ 求完不代回检验 。 例1．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到新的等式，联立消去即可求得结果. 【详解】因为①， 函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数， 所以，即②， ②①得，即， 所以， 故选：B. 例2．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 例3．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质， 结合题设条件，代入化简即可． 【详解】当 时，，则 因为 是偶函数，所以 ． 即当 时，． 变式1．（25-26高一上·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 变式2．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 又因为是奇函数，所以， 即当时，. 变式3．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数为偶函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数为偶函数， 所以当时，. 考点四 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 一、核心知识点与结论 三条主要等式来源： 1. 定义域关于原点对称：区间端点互为相反数。如定义域 ，则 ； 2. 奇函数 （前提： 在定义域内）——求参数最快，但要回代验证； 3. / 对任意 恒成立 比较两边同类项系数。 多项式函数速判（结论） - 只含奇次项（无常数项） 奇函数； - 只含偶次项（可含常数项） 偶函数； - 奇偶次项混杂 非奇非偶。 求值：利用 （奇）或 （偶），把未知自变量转到已知区间。 二、解题步骤 1. 先用定义域对称或 列方程，初步锁定参数； 1. 再用 恒等展开、比较系数列方程组； 1. 解出参数后代回原函数验证奇偶性（充分性）； 1. 求值题：把所求 用对称性转化为已知 ，结合方程/赋值计算。 三、高频易错点 · ❌ 用 求出参数后不回代验证（ 是必要非充分，可能引入”伪解”）； · ❌ 不在定义域仍套 ； · ❌ 定义域对称求参时，忽略端点开闭导致漏解/多解； · ❌ 偶函数中误以为常数项必须为 （常数项属偶次项，允许存在）； · ❌ 比较系数时漏项、错项（如把一次项与常数项混并）。 例1．（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 【答案】 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，因此其定义域关于原点对称， 故，则. 例2．（25-26高一上·陕西西安·期中）设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 例3．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 例4．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________. 【答案】5 【分析】根据偶函数的定义，代入整理，即可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 则， 解得，所以. 变式1．（26-27高三上·云南曲靖·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_______． 【答案】0 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且，解得且．所以． 变式2．（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______． 【答案】5 【分析】通过一元二次函数的对称性求解. 【详解】 由题意知，函数的对称轴是轴，所以，得，， 所以. 变式3．（25-26高一上·山西运城·期中）若函数是奇函数，则实数______． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，结合时的解析式求得时的解析式，再对比得关于的方程，解方程求得，最后检验满足奇函数定义即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 因为，当时，，， 所以，即，解得，此时， 当时，，所以，符合题意． 所以． 变式4．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】1 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：1 考点五 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 一、核心知识点与结论 · 奇函数在对称区间单调性相同；偶函数在对称区间单调性相反； · 偶函数万能恒等式：——这是去 的关键； · 奇函数在 单调增且 时：，； · 去 法则：增函数不变号，减函数要变号（在同一单调区间内）。 二、解题步骤 1. 由奇偶性确定各区间单调性（必要时画示意草图）； 1. 把不等式两边自变量化到同一单调区间： · 偶函数：用 ，将 化为 ； · 奇函数：用 移项或提负号，统一到同一侧； 1. 依单调性脱去 ：增则 ，减则 ； 1. 解自变量不等式，并与函数定义域取交集。 示范：偶函数 在 单调递减，。 ，递减去 变号 ，再平方求解。 三、高频易错点 · ❌ 偶函数想不到用 ，直接比较 与 ； · ❌ 去 时不看单调性，递减时忘记反向（最高频失分点）； · ❌ 忽视 的定义域（如对数、分母、根号限制），未取交集； · ❌ 绝对值不等式平方前不判断两边非负（、 已非负，可直接平方，但勿乱套到一般式）； · ❌ 奇函数用 定号时， 不在定义域（如 ）仍套用。 例1．（25-26高一上·宁夏陕西·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和单调性分析求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增，又， 则等价于 或 ，解得：或， 不等式的解集是. 例2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的单调性和奇偶性判断函数在不同区间的正负性，再分类讨论不等式的解集即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增，， 故时，；时，； 时，；时，； 不等式等价于或，解得或， 故不等式的解集为. 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 例4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知函数，，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知，故，在区间上，任取，且， 则． 因为，且，，所以，，， 故，即． 由单调性定义，函数在上单调递增． (3) 【分析】（1）利用待定系数法求参数值即可；（2）利用函数单调性定义在区间上，任取，且，证明即可；（3）利用函数单调性与奇偶性以及函数定义域范围化简不等式，进而求解不等式即可 【详解】（1）将代入得， 得，解得． （2）略 （3）因为，所以,所以为奇函数， 等价于， 由（2）知在上单调递增， ，解得或， 的取值范围为． 例5．（25-26高一上·湖南郴州·阶段检测）函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)任取且， 则 ， 由，得，且，， 则 ，因此，即，所以在上为增函数. (3) 【分析】（1）代入即可求解， （2）根据单调性的定义即可求证， （3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可列不等式求解. 【详解】（1）由且，得， 解得， 所以的解析式为. （2）略 （3）因为，， 故函数是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 不等式， 因此 ，解得， 所以原不等式的解集为. 变式1．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，则. 对于不等式， 若，因为在区间上单调递增，可得，不合题意； 若，由奇函数对称性可知在区间上单调递增， 可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集为. 变式2．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数对称性得在也递减，且，判断的正负区间；将按、、分类，转化为的符号条件，与范围取交集，合并得解集. 【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或，或或，或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 变式3．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再结合偶函数性质把函数不等式转化为绝对值不等式，平方求解一元二次不等式即可得到解集. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 变式4．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于实数的不等式. 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）根据的解析式结合单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，则， 由，解得， 所以，故函数的解析式为. （2）略 （3）由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得， 则关于实数的不等式的解集为. 变式5．（25-26高一上·北京昌平·阶段检测）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1） 由已知 是定义在 上的奇函数， 可得 ， 又 ，所以 ， 所以的解析式为，. （2） 设 ，易知 ，，，. 则 则，所以在上单调递增. 又是定义在上的奇函数， 由 可得 所以解得 ， 故原不等式的解集为 . 考点六 抽象函数的奇偶性 一、核心知识点与结论 无解析式，只给函数方程，核心方法是赋值法（特殊值代入），目标始终是：造出 与 的恒等关系。 几大经典模型与结论（先猜想方向，证明仍须由恒等式推出） 函数方程（模型） 关键赋值 奇偶性结论 ； 奇 ； 偶 ，结合 、 不恒为 偶 ， 奇； 偶 得 或 需结合附加条件，未必有奇偶性 二、解题步骤 1. 确认（或由题设保证）定义域关于原点对称； 1. 赋 ：令 （或 ），求 ，出现多解时分类； 1. 赋 /特殊值：求 、； 1. 造对称式：令 （或 ），得到含 、 的等式； 1. 利用“ 不恒为 ”、“”等条件排除增根，推出 ； 1. 写明”对任意 恒成立”，下奇偶性结论。 三、高频易错点 · ❌ 赋值无目标，乱代一通；应始终围绕”造出 “； · ❌ 常有 或 两解，不分类、不排除（要用”函数不恒为零”“存在某点非零”等条件取舍）； · ❌ 直接用具体模型函数（如 、）代替证明——模型只能猜想，结论必须由恒等式严格推出； · ❌ 漏掉定义域关于原点对称的前提； · ❌ 结论只对”某几个 “成立就泛化为对任意 ； · ❌ 由 就断言奇函数（ 是奇函数的必要非充分条件）。 例1．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测·多选）已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】先由条件得到，的解析式，再逐项分析即可。 【详解】令，得， 令，得， 再令，有，所以， 令，则，因此，. A选项：，不一定等于，故A不正确； B选项：，是偶函数，故B正确； C选项：故C正确； D选项：，，故D正确. 例2．（25-26高一上·广西河池·阶段检测·多选）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 例3．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)奇函数 (2) 任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. (3) 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. （2）略 （3）解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 例4．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 【答案】(1)，， (2) 为偶函数． 证明如下：令，得， 由（1）得， 即， 又的定义域为， 所以为偶函数． 【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得， （2）令，再结合（1）的结果和奇偶性的定义可得结论. 【详解】（1）令，得， 因为，所以． 令，得， 因为，所以． 令，得， 即， 因为，所以，所以． （2）略 变式1．（25-26高一上·辽宁·期中·多选）已知的定义域为，且，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义逐项判断得解. 【详解】定义在上的函数，满足， 对于A，取，得，则，A正确； 对于B，取，得，因此，B正确； 对于C，取，得，则，取， 得，因此，不是偶函数，C错误； 对于D，令，则， 因此，是奇函数，D正确. 故选：ABD 变式2．（25-26高一上·吉林长春·期中·多选）已知满足，且时，，．则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】ABC 【分析】根据赋值法，从而判断抽象函数的奇偶性，单调性，从而判断各选项. 【详解】对于A，令可得，所以， 令，得， ，即， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，设，则， ， 又，即， ， 所以是定义在上的增函数，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，即， 又是定义在上的增函数， ，解得， 不等式的解集为，故D错误； 故选：ABC． 变式3．（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）函数的定义域为，且满足对任意，都有． (1)试判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 【答案】(1)函数是偶函数. 证明：函数的定义域为，关于原点对称. 因为对任意，都有， 所以令，得； 用替换，得. 所以， 即. 所以函数是偶函数. (2)或或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇偶性的定义可得； （2）由题意判断单调性，并结合题意，将不等式转化为，求解可得. 【详解】（1）略 （2）由题意知，，所以. 又在上是单调的，， 所以在上单调递增. 由（1）知，是偶函数，所以在上单调递减. 因为对任意，都有， 所以不等式， 所以， 由，得， 所以， 所以， 解得或. 所以不等式的解集为或或. 变式4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. (1)判断的奇偶性和单调性； (2)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 【答案】(1)奇函数；是上的减函数 (2). 【分析】（1）利用赋值法判断抽象函数的奇偶性和单调性即可. （2）合理分析，作出图象，转化为交点问题求解即可. 【详解】（1）令，代入可得， 令，代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且， 因为，即， 令，则，可得， 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数. （2），即， 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即， 令 则函数的图象，如图所示， 结合图象，可得：当时，函数有4个零点， 即实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 函数的性质：函数的奇偶性6种高频考点讲义 考点目录 函数奇偶性的定义与证明 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义与证明 一、核心知识点与结论 前提（必要条件）：定义域关于原点对称。 - 若 在定义域内，则 也必须在定义域内； - 定义域不对称 一定非奇非偶；定义域对称 只是”有资格”，未必奇/偶。 定义：对定义域内任意 ， 类型 定义式 等价判定式（） 偶函数 ； 奇函数 ； 重要结论 - 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 轴对称； - 奇函数若在 处有定义，则 （偶函数 无必然要求）； - 既奇又偶的函数： 且定义域关于原点对称，随定义域不同有无数个； - 常见结论：奇次幂/正弦型为奇，偶次幂/常数/余弦型为偶；带绝对值、偶次根号常考虑偶。 二、解题步骤（定义法四步） 1. 求定义域，判断是否关于原点对称；不对称直接判”非奇非偶”； 1. 计算 （把 整体代入，化到最简）； 1. 找关系： 为偶， 为奇，都不满足则非奇非偶； 1. 下结论，写明”对定义域内任意 都成立”。 分段函数必须分段验证；含参数时先用定义域对称、 锁定参数，再回代验证。 三、高频易错点 · ❌ 跳过定义域对称性直接代 ； · ❌ 化简不彻底（尤其含绝对值、根号、分母），误判； · ❌ 把”“当万能结论，忽视 必须在定义域内（如 是奇函数但 不存在）； · ❌ 认为”非奇即偶”——大量函数非奇非偶（如 、）； · ❌ 验证只代某个特殊 ，而非”任意 “。 例1．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 例2．（25-26高一上·海南儋州·期中）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 例3．（25-26高一上·河北·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域. 变式1．（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 变式2．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 变式3．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 考点二 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 一、核心知识点与结论 · 奇函数：图像关于原点中心对称，点 对应 ；若 有定义则图像过原点； · 偶函数：图像关于 轴轴对称，点 对应 ； · 对称区间单调性：奇同偶反（可据此补全图像升降趋势）； · 作图时定义域端点的虚实心、是否含 必须与原定义域一致。 二、 解题步骤（已知一半画另一半） 1. 判定/确认奇偶性； 1. 描出已知部分的关键点（顶点、端点、与坐标轴交点）； 1. 偶函数：沿 轴翻折；奇函数：绕原点旋转 （横、纵坐标同时取反）； 1. 按单调性连接曲线，补全虚实端点，检查原点。 三、高频易错点 · ❌ 奇函数画成 轴对称、偶函数画成原点对称（方向记反）； · ❌ 奇函数在 处无定义（如 、）仍把图像画过原点； · ❌ 翻折后漏掉端点开闭（空心/实心）与定义域限制； 例1．（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 例2．（26-27高三上·河北廊坊·阶段检测）函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·四川广安·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，常用函数的图象来探究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的特征，如函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 考点三 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 一、核心知识点与结论 已知函数在一对称区间（常为 ）的解析式及奇偶性，求另一区间（）解析式，本质是对称性的代数化： - 奇函数：； - 偶函数：； - 单独处理：奇函数且有定义时 。 二、 解题步骤（“设负转正”四步） 1. 设：设 落在待求区间（如 ）； 1. 转：则 落在已知区间（），把 整体代入已知解析式，求出 ； 1. 翻：按奇偶性 （奇）或 （偶）； 1. 补：化简、把变量换回 ，单独写出 的值，注明各段定义域。 示范： 为奇函数， 时 。 设 ，则 ，； 故 ；。 三、高频易错点 · ❌ 只代 而非” 整体”，符号处理混乱； · ❌ 奇函数漏最外层负号（）； · ❌ 结果仍保留中间变量 ，没换回 ； · ❌ 漏掉 一段，或分段区间写错开闭（如两段都写 ）； · ❌ 求完不代回检验 。 例1．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 例3．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 变式1．（25-26高一上·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 变式3．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数为偶函数，当时，，则当时，______． 考点四 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 一、核心知识点与结论 三条主要等式来源： 1. 定义域关于原点对称：区间端点互为相反数。如定义域 ，则 ； 2. 奇函数 （前提： 在定义域内）——求参数最快，但要回代验证； 3. / 对任意 恒成立 比较两边同类项系数。 多项式函数速判（结论） - 只含奇次项（无常数项） 奇函数； - 只含偶次项（可含常数项） 偶函数； - 奇偶次项混杂 非奇非偶。 求值：利用 （奇）或 （偶），把未知自变量转到已知区间。 二、解题步骤 1. 先用定义域对称或 列方程，初步锁定参数； 1. 再用 恒等展开、比较系数列方程组； 1. 解出参数后代回原函数验证奇偶性（充分性）； 1. 求值题：把所求 用对称性转化为已知 ，结合方程/赋值计算。 三、高频易错点 · ❌ 用 求出参数后不回代验证（ 是必要非充分，可能引入”伪解”）； · ❌ 不在定义域仍套 ； · ❌ 定义域对称求参时，忽略端点开闭导致漏解/多解； · ❌ 偶函数中误以为常数项必须为 （常数项属偶次项，允许存在）； · ❌ 比较系数时漏项、错项（如把一次项与常数项混并）。 例1．（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 例2．（25-26高一上·陕西西安·期中）设 是定义在上的奇函数，则______ 例3．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 例4．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________. 变式1．（26-27高三上·云南曲靖·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_______． 变式2．（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______． 变式3．（25-26高一上·山西运城·期中）若函数是奇函数，则实数______． 变式4．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 考点五 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 一、核心知识点与结论 · 奇函数在对称区间单调性相同；偶函数在对称区间单调性相反； · 偶函数万能恒等式：——这是去 的关键； · 奇函数在 单调增且 时：，； · 去 法则：增函数不变号，减函数要变号（在同一单调区间内）。 二、解题步骤 1. 由奇偶性确定各区间单调性（必要时画示意草图）； 1. 把不等式两边自变量化到同一单调区间： · 偶函数：用 ，将 化为 ； · 奇函数：用 移项或提负号，统一到同一侧； 1. 依单调性脱去 ：增则 ，减则 ； 1. 解自变量不等式，并与函数定义域取交集。 示范：偶函数 在 单调递减，。 ，递减去 变号 ，再平方求解。 三、高频易错点 · ❌ 偶函数想不到用 ，直接比较 与 ； · ❌ 去 时不看单调性，递减时忘记反向（最高频失分点）； · ❌ 忽视 的定义域（如对数、分母、根号限制），未取交集； · ❌ 绝对值不等式平方前不判断两边非负（、 已非负，可直接平方，但勿乱套到一般式）； · ❌ 奇函数用 定号时， 不在定义域（如 ）仍套用。 例1．（25-26高一上·宁夏陕西·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知函数，，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围． 例5．（25-26高一上·湖南郴州·阶段检测）函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 变式1．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式4．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于实数的不等式. 变式5．（25-26高一上·北京昌平·阶段检测）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 考点六 抽象函数的奇偶性 一、核心知识点与结论 无解析式，只给函数方程，核心方法是赋值法（特殊值代入），目标始终是：造出 与 的恒等关系。 几大经典模型与结论（先猜想方向，证明仍须由恒等式推出） 函数方程（模型） 关键赋值 奇偶性结论 ； 奇 ； 偶 ，结合 、 不恒为 偶 ， 奇； 偶 得 或 需结合附加条件，未必有奇偶性 二、解题步骤 1. 确认（或由题设保证）定义域关于原点对称； 1. 赋 ：令 （或 ），求 ，出现多解时分类； 1. 赋 /特殊值：求 、； 1. 造对称式：令 （或 ），得到含 、 的等式； 1. 利用“ 不恒为 ”、“”等条件排除增根，推出 ； 1. 写明”对任意 恒成立”，下奇偶性结论。 三、高频易错点 · ❌ 赋值无目标，乱代一通；应始终围绕”造出 “； · ❌ 常有 或 两解，不分类、不排除（要用”函数不恒为零”“存在某点非零”等条件取舍）； · ❌ 直接用具体模型函数（如 、）代替证明——模型只能猜想，结论必须由恒等式严格推出； · ❌ 漏掉定义域关于原点对称的前提； · ❌ 结论只对”某几个 “成立就泛化为对任意 ； · ❌ 由 就断言奇函数（ 是奇函数的必要非充分条件）。 例1．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测·多选）已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 例2．（25-26高一上·广西河池·阶段检测·多选）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 例3．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 例4．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 变式1．（25-26高一上·辽宁·期中·多选）已知的定义域为，且，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 变式2．（25-26高一上·吉林长春·期中·多选）已知满足，且时，，．则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 变式3．（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）函数的定义域为，且满足对任意，都有． (1)试判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 变式4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. (1)判断的奇偶性和单调性； (2)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $