2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线：的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 3．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 5．已知､两点，直线：与线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆M内 B．圆M关于对称 C．半径为 D．直线与圆M相切 10．如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线和所成的角为 B．平面和平面有相同的法向量 C．异面直线和的距离为 D．二面角的余弦值为 11．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点的轨迹方程是 B．点的轨迹与圆没有公共点 C．平面上有一点，则的最小值为5 D．直线是“最远距离直线” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____________. 13．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为___________ 14．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线和的交点为P． (1)若直线经过点P且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点P且与直线互相垂直，又与轴，轴分别交于A，B两点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 16．（15分）如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 17．（15分）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于M，N两点．求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 18．（17分）如图，在中，，，，，分别是，上的点，满足，，将沿折起到的位置，使，是的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线：的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程确定斜率，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角即可. 【详解】由知，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 又，则直线的倾斜角为. 故选：D. 2．设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 3．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入直线的截距式方程即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得. 故选：C 4．已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 5．已知､两点，直线：与线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，求出当直线分别经过点、时，直线的斜率的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】直线恒过点， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 如图， 由图可知直线的斜率的取值范围是， 故选：D 6．已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在圆的投影为，连接，计算，根据余弦定理得到，得到答案. 【详解】如图所示：在圆的投影为，连接，易知， 在直角中，， 在中，根据余弦定理，， ，故， 故异面直线所成的角为. 故选：C. 7．已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 8．已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示确定点的轨迹，结合圆与圆的位置关系即可判断. 【详解】设点，则，且， 由，得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为，半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为． 因为，所以两圆相交，满足这样的点有2个 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆M内 B．圆M关于对称 C．半径为 D．直线与圆M相切 【答案】BD 【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解. 【详解】整理得：， ∵，时，∴点在圆M外，A错； ∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对； ∵圆M半径为1，故C错； ∵圆心到直线的距离为，与半径相等， ∴直线与圆M相切，D对. 故选：BD. 10．如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线和所成的角为 B．平面和平面有相同的法向量 C．异面直线和的距离为 D．二面角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角、平面法向量及二面角可判断A项、B项、D项；在线段任取一点，在线段任取一点，设，根据空间向量坐标运算可得设，当时，即为异面直线和的距离，从而求得的值，求解，即可得判断C项． 【详解】连接、交于点，连接，， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形，所以，，三点共线，且面， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 对于A：， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A正确； 对于B：， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 因为 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以平面和平面有相同的法向量，故B正确； 对于C：在线段任取一点，在线段任取一点，链接 则可设， 因为， 所以， 则 当时，即为异面直线和的距离， 所以，则， 所以，故异面直线和的距离为，故C正确； 对于D：因为， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故D错误； 故选：ABC. 11．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点的轨迹方程是 B．点的轨迹与圆没有公共点 C．平面上有一点，则的最小值为5 D．直线是“最远距离直线” 【答案】ACD 【分析】设点，根据题意列方程化简可得方程判断A；结合图形直接判断B；将转化为，结合图形判断C；判断直线与点P的轨迹方程是否有交点判断D. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半， 所以，化简得，A正确； 对于B，由，得，即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，B错误． 对于C，过P作于B，则，， 由图知，的最小值即为点A到直线l：的距离，该距离为5，C正确； 对于D，由可得，解得，存在， 因此直线是“最远距离直线”，D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据题设条件求出轨迹方程，结合图形求解是关键. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 13．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为___________ 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线经过的点坐标及其方向向量，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由直线的方程为，得直线经过的点，且方向向量， 则，所以点到直线的距离. 故答案为： 14．已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点 在圆内，等价于圆与圆 相交，内切或内含， ，得. 所以的取值范围为.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线和的交点为P． (1)若直线经过点P且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点P且与直线互相垂直，又与轴，轴分别交于A，B两点，求的面积．（其中O为坐标原点）． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）联立两直线方程求出交点坐标，再由点斜式求出直线l的方程. （2）根据给定条件，求出直线m的方程并求出点的坐标，进而求出的面积. 【详解】（1）由，解得，即得，直线的斜率为， 所以过点P且与直线平行的直线l的方程为，即. （2）由直线经过点P且与直线互相垂直，得直线的方程为， 即，因此直线交轴于点，交轴于点， 所以的面积. 16．（15分）如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以. 在中，由余弦定理得， 因为，所以，即. 因为，所以，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）首先根据及正方形的性质可求，在中利用余弦定理求得，即可证明.再证明，可得，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，平面的法向量为和，利用向量法即可求解直线与平面所成角. 【详解】（1）略 （2）由（1）得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 于是. 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得， 故直线与平面所成的角为. 17．（15分）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于M，N两点．求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为C，D，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解即可. （3）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. （2）由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 根据垂径定理可得：. 的值为. （3）圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为都是圆的切线， 所以，所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由②①整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得， 所以直线过定点. 18．（17分）如图，在中，，，，，分别是，上的点，满足，，将沿折起到的位置，使，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明： ，， ， ， 又，， 折叠后， ， 平面， 平面，， 又，平面， 平面． (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据翻折前后图像的性质，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再运用向量夹角余弦公式结合正、余弦性质求解； （3）同（2）的空间直角坐标系中，设存在点使得假设条件成立，求出平面的法向量，联立平面的法向量，运用向量夹角余弦公式结合题给条件列出关于的方程求解． 【详解】（1）略； （2）以为原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， ， 设为平面的法向量，则， 令，则， 设与平面所成角为， ． （3）设线段上存在点，使平面与平面夹角余弦值为， 在同（2）空间直角坐标系中，    由（2）知，平面的法向量，设平面的法向量为，则， ， ，令，则， 设两平面夹角为，则，化简整理得，解得或（此时与重合）， 或， 或，即存在点，且长度为或． 19．（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意，求出得解； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解的值；②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【详解】（1）由椭圆的一个顶点为，可得，又离心率为，则， 所以由，即椭圆C的标准方程为. （2）①直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点，且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得，   设两交点，中点，则有，且， 所以， 即，整理得， 又因为，所以，当且仅当，即， 所以，则. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $