精品解析：上海市复旦大学附属复兴中学2026-2027学年高二上学期10月质量检测练习数学试卷

复兴中学2026学年第一学期10月质量检测练习 高二年级数学试卷 高二________班________号 姓名_________得分________ 一、填空题：（1−6题，每题4分；7−12题，每题5分） 1. 体积为的球的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积求出球的半径，继而根据球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】设球的半径为R，则， 故球的表面积是. 故答案为：. 2. 过平面外一点与这个平面平行的直线有___________条 【答案】无数 【解析】 【分析】结合平面的基本性质，以及线，面平行判定定理和性质定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，因为点，在平面作两条相交直线， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 因为且，设直线与确定平面，则平面， 在平面内过点的所有直线都平行与平面， 故过平面外一点能作出无数条直线和这个平面平行. 故答案为：无数条. 3. 将一段长12的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3､4､5，则原铁丝的两个端点之间的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将所折铁丝用空间几何体表示，可得各侧面均为直角三角形的三棱锥，进而求原铁丝的两个端点之间的距离. 【详解】由题意，三段分别为，如下图示， ∴，又，即面， 又面，故， ∴. 故答案为： 4. 设为长方体，为直平行六面体，为正四棱柱，为正六面体，则集合A，B，C，D之间的包含关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出四个集合中的元素关系，再根据集合包含关系定义判断即可. 【详解】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，再其次是正四棱柱（上下底面是正方形的长方体），最少元素的是正六面体. 故答案为: 5. 若圆锥高为3，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出底面半径，进而求母线长、底面周长，应用扇形面积公式求圆锥侧面积. 【详解】若底面半径为，则，可得， 所以，底面周长为，母线长为， 故圆锥侧面积为. 故答案为： 6. 若正四面体的棱长为，则异面直线与之间的距离为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意画出图形，分别取 的中点，连接，可得 的长是异面直线与的公垂线，求解三角形得答案. 【详解】分别取 的中点 ，连接， ， 且则 的长是异面直线与之间的距离， 则. 故答案为：1 7. 如图，，，，，那么直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知几何体为圆台，利用台体体积公式可求得结果. 【详解】直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体为圆台， 且该圆台上底面圆的面积为，下底面面积为，圆台的高为， 因此，该几何体的体积为. 故答案为：. 8. 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于________. 【答案】 【解析】 【分析】根据水的体积不变列出方程解出． 【详解】解：设圆锥形容器的底面积为，则未倒置前液面的面积为． 水的体积． 设倒置后液面面积为，则，． 水的体积． ，解得． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于中档题． 9. 如图，棱长为2的正方体中，点是平面上一动点，且满足，则满足条件的所有围成的平面区域面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】判断出点的轨迹，结合球的有关性质计算，求得面积即可. 【详解】连接交于， 又点是平面上一动点，且满足，所以； 因此点的轨迹是以为球心，为半径的球面被平面所截得的圆； 设的中点为，连接，过作交于点，如下图所示： 易知，又，且，平面； 因此平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面，即到平面的距离为； 正方体的边长为2，则； 所以被平面所截得的圆的半径为； 因此截得的圆的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：立体几何中的动点轨迹问题与球有关，关键在于判断出点的轨迹是球面被平面所截得的圆，再根据球的性质计算可得结果. 10. 两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是______________ 【答案】 【解析】 【分析】如图正子体，设AB=a，由正四棱锥的性质可求，再结合条件及二次函数的性质可求，进而即得. 【详解】 如图正子体，由题可知PQ=2，取PQ,BC的中点分别为O，E，连接OE，PE，设AB=a， 由正四棱锥的性质可知，，PO=1， ∴， ∴， ∴此正子体的表面积， 如图设平面ABCD截正方体所得截面为，设，则， 由，可得， 由可知， ∴. 故答案为： 11. 如图，正方体，则下列四个命题： ①点P在直线上运动，三棱锥的体积不变； ②点P在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变； ③点P在直线上运动，二面角的大小不变； ④点P是平面上到点D和，距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线．其中真命题是________（请在横线上填上正确命题的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用锥体的体积公式可判断①的正误；利用线面角的定义可判断②的正误；利用二面角的定义可判断③的正误；利用空间中两点间的距离公式可判断④的正误. 【详解】在正方体中，且，则四边形为平行四边形，， 平面，平面，所以，平面， 点在直线上运动，点到平面的距离为定值， 为定值，①正确； 设直线与平面所成的角为， 当点在直线上运动，点到平面的距离为定值，但在变，则不是定值，故直线与平面所成角的大小不是定值，②错； 设二面角的大小为，点在到面的距离不变，到的距离不变，故为定值， 所以二面角的大小不变，③正确； 设正方体边长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、，设点， 由可得，解得， 因此，的轨迹是过点的一条直线，④正确. 故答案为：①③④. 12. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果. 【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下图所示： ①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个； ②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个. 综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个. 故答案为. 二、选择题：（13－14题，每题4分；15－16题，每题5分） 13. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直 B. 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行 C. 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直 D. 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理与判定定理、空间直线平面间的位置关系判断． 【详解】A. 若直线l与平面α上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l与平面α不一定垂直，A错； B. 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确； C. 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平面可以相交，也可以平行，C错； D. 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，直线l与平面α可能相交也可能平行，D错． 故选：B． 14. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.利用线面平行的判定定理判断；C. 由平面NMP即为平面BNPM判断；D.利用线面平行的判定定理判断. 【详解】A.在正方体中，易得， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为且都在面ACB内，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故正确； B.如图所示： 易得，又平面，平面，所以平面， 又平面NCD与平面NMP相交，所以直线AB与平面NMP不平行，故错误； C.因为 ，所以平面NMP即为平面BNPM，显然直线AB与平面BNPM相交，故错误； D.如图所示： 易得，所以， 又平面，平面， 所以平面，故正确， 故选：AD 15. 三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的 A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 【答案】C 【解析】 【分析】先画出图形，过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接，可推出，结合，根据线面垂直定理，得证，同理可证，从而可得出结论． 【详解】过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接. 又， 平面 又平面 ，同理 是三角形的垂心. 故选C. 【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 16. 在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ） A. 12π B. 13π C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图1，取中点，由棱锥体积求得面积，并得出为二面角的平面角，由面积求得此角，然后求出，由此知四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，长方体的外接球就是四面体的外接球，长方体的对角线就是球的直径，计算可得球表面积． 【详解】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面， ，所以， 又， ，， 又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角， 所以， 所以， 因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2， 此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为， 则，解得， 所以外接球的直径为，， 球表面积为． 故选：B． 　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　图2 三、解答题（17－19题，每题14分，20－21题，每题18分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图，四棱锥中，，，，，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 （1）∵,,, ∴平面, （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理即可证明. （2）因为,则即为异面直线与所成角,在中求得各边的长度,由余弦定理即可求得,根据异面直线夹角的范围即可判断夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）∵ ∴为异面直线与所成的角或其补角, ∵平面,,. 则 ∴在中,, , ∴ ∴在中,由余弦定理可得 ∴ 因为异面直线夹角的范围为 ∴异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,余弦定理在解三角形中的应用,注意异面直线夹角的范围,属于基础题. 18. 如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，： （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆柱的性质结合题意可较易证明构成三棱锥的面为直角三角形，求出对应各三角形的边长，即可得出三棱锥的表面积； （2）找出二面角的平面角，求出平面角即为二面角的大小. 【小问1详解】 由题意知：，圆柱的侧面积为：， ∴， ，，∴， 又为圆直径，为直角三角形，∴，， ∴，， 又：，与圆所在的平面垂直，平面，∴， 又，∴平面，∴， 又：，∴， ∴ . 【小问2详解】 如图所示： 延长交圆于点，过作于点， 由（1）可知：与圆所在的平面垂直，在圆所在的平面内，∴， ∴，∴平面，∴， 又为平面与平面的交线，∴为二面角的平面角， ，为直角三角形，， ∴， ∴， 即：二面角的大小为：. 19. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面与平面所成二面角为直角，点E和点C在平面的同侧，且满足平面，且． （1）求证：直线与平面平行； （2）求点C到平面的距离． 【答案】（1）取的中点，连接、，如图， 依题意，在中，，则， 而平面与平面所成二面角为直角，即平面平面， 又平面平面，平面， 于是得平面，且， 因平面，且，则有，且， 从而得四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 则平面， （2）1 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明平面即可得解； （2）在三棱锥中，利用等体积法即可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得平面，,，于是得平面， ， 则等腰底边BD上的高，故， 而，设点到平面的距离为d， 由得， 即，解得， 所以点到平面的距离为1. 20. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 【答案】（1） 由题意， 在四棱锥中， ⊥面ABCD，,， ∴， 在直角梯形中，， ∵， ∴ ∵ ∴ （2） 由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD， 在四棱锥中，， 作出空间直角坐标系如下图所示： 由几何知识得，，，，，， ∴，，， 设，则, ∴ ∴， 若AM⊥面PCD 解得： ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直. （2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长. （3）通过向量关系表达出，再表达出， 列出直线CQ与DP所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意及（1）（2）得， ，， 设 ∴， 设，， ∴ 当且仅当即时，最大，为， 在中，上是减函数， ∴最大时，直线CQ与DP所成的角最小， ∵， ∴， ∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为. 21. 如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E､F､G､H分别是线段､､､上的动点，且四边形为平行四边形. （1）求证：平面，平面； （2）设二面角的平面角为，求在区间变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积； 21. 设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？ 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先通过线面平行的判定定理，证得平面，通过线面平行的性质定理，证得，由此证得平面；同理证得平面. （2）画出为、时的投影，由此判断出线段在平面上的投影所扫过的平面区域，进而求得区域的面积. （3）先求得三棱锥的面积为，通过分割的方法，得到，分别求得与的关系式，再由列方程，解方程求得的值. 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形，∴． 而面，面，∴面．而面，面面， ∴∥．而面，面， ∴∥平面．同理，∥平面； 【小问2详解】 解：∵，∴在平面上的投影满足，即在线段的中垂线上． 如图所示，将补成边长为的正， 当二面角为角时，即点在平面上，此时为， 当二面角为角时，此时为中点， 故在平面上的投影所扫过的平面区域为，而， 故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为； 【小问3详解】 解：取中点，连接OD，则，又平面平面，平面平面，则平面．所以， 是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，，所以，，根据勾股定理，∴． 所以． 而多面体的体积恰好为，即多面体的体积恰为四面体体积的一半． 连接．设点F到面AEH的距离为，点C到面ABD的距离为 ，点A到面DGH的距离为，点A到面BCD的距离为， ， ∴． ，∴． ∴， ∴，整理：，即， 解得：（舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复兴中学2026学年第一学期10月质量检测练习 高二年级数学试卷 高二________班________号 姓名_________得分________ 一、填空题：（1−6题，每题4分；7−12题，每题5分） 1. 体积为的球的表面积是________． 2. 过平面外一点与这个平面平行的直线有___________条 3. 将一段长12的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3､4､5，则原铁丝的两个端点之间的距离为___________. 4. 设为长方体，为直平行六面体，为正四棱柱，为正六面体，则集合A，B，C，D之间的包含关系为________． 5. 若圆锥高为3，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为______. 6. 若正四面体的棱长为，则异面直线与之间的距离为____________. 7. 如图，，，，，那么直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________. 8. 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于________. 9. 如图，棱长为2的正方体中，点是平面上一动点，且满足，则满足条件的所有围成的平面区域面积为______. 10. 两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是______________ 11. 如图，正方体，则下列四个命题： ①点P在直线上运动，三棱锥的体积不变； ②点P在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变； ③点P在直线上运动，二面角的大小不变； ④点P是平面上到点D和，距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线．其中真命题是________（请在横线上填上正确命题的序号） 12. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________. 二、选择题：（13－14题，每题4分；15－16题，每题5分） 13. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直 B. 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行 C. 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直 D. 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行 14. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（ ） A. B. C. D. 15. 三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的 A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 16. 在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ） A. 12π B. 13π C. D. 三、解答题（17－19题，每题14分，20－21题，每题18分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图，四棱锥中，，，，，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，： （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的大小． 19. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面与平面所成二面角为直角，点E和点C在平面的同侧，且满足平面，且． （1）求证：直线与平面平行； （2）求点C到平面的距离． 20. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 21. 如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E､F､G､H分别是线段､､､上的动点，且四边形为平行四边形. （1）求证：平面，平面； （2）设二面角的平面角为，求在区间变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积； 21. 设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $