精品解析：上海市华东师范大学张江实验中学2026-2027学年高二上学期10月阶段练习数学试题

华师大张江实验中学高二上学期 数学阶段练习 时间：90分钟，满分：100分 班级_____ 姓名_____ 学号____ 2026.10 一、填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 2. 如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 3. 小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角，则上述各种“角”的取值范围是的有_______（请填写序号）. 【答案】 ③ 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的定义分别确定三者的取值范围判断即可. 【详解】两条异面直线所成的角的取值范围为，不符合要求； 直线与平面所成的角的取值范围为，不符合要求； 二面角的取值范围为，符合要求. 4. 设表示两个平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则与重合. 其中假命题的序号是______. 【答案】③ 【解析】 【分析】根据平面的基本性质对给出的四个命题分别进行分析、判断后即可得． 【详解】对于①，根据公理1可知，所以①正确； 对于②，由题意得平面有公共点，根据公理3可知相交， 且，所以②正确； 对于③，由于，可得，所以③不正确； 对于④，由三点不共线可得确定一个平面，所以与重合，所以④正确． 综上可得①②④正确，故假命题的序号是③． 故答案为：③. 5. 在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，构造三角形的中位线，将异面直线与所成的角转化为三角形的内角，结合余弦定理可得. 【详解】 取的中点，连接， 由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为. 6. 在长方体中，，，，则二面角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先连接，过点作于，连接，再根据线面垂直的判定和性质证明，从而得到二面角的平面角，进而根据三角形的面积公式，勾股定理，及三角函数的定义即可求解． 【详解】连接，过点作于，连接， 在长方体中，有平面， 由平面，则， 又，，且平面，所以平面， 又平面，则， 所以是二面角的平面角． 在中，有，，则， 所以，即， 在中，有，所以， 所以二面角的大小为． 7. 已知正方体的棱长为，直线到平面的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，直线到平面的距离即为线段的长度，即可求解. 【详解】如图，连接交于点， 则直线到平面的距离即为线段的长度， 在中，. 8. 将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积增加了______． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算出小正方体表面积总和与原正方体的表面积作差即可得. 【详解】，则这27个全等的小正方体的棱长均为， 小正方体表面积总和为， 原正方体的表面积为， 故表面积增加了. 故答案为：. 9. 正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 10. 空间不共线的四点，可能确定___________个平面． 【答案】或 【解析】 【详解】空间四点中，任意三点都不共线时，可确定个平面，当四点共面时，可确定个平面，故空间不共线四点，可确定个或个平面． 11. 已知正六棱柱的每条棱长都为1，则该正六棱柱的体积为______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】先计算底面正六边形的面积，再根据正棱柱的体积公式求解即可.  【详解】正六棱柱的底面是边长为1的正六边形，可将其分割为6个全等的边长为1的正三角形， 单个正三角形的面积为， 因此底面面积为： . 所以正六棱柱的体积为. 12. 已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意线线角的最小值为相关的线面角，从而求出答案. 【详解】异面直线与AP所成角的最小值为直线与平面所成的角， 由平面，故斜线在平面上的投影为， 故即为斜线与平面所成的角，， 故异面直线与AP所成角的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）. 13. 已知点A，B在直线l上，直线平面α，则“直线平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合空间中线、面的位置关系，即可得答案. 【详解】如图，取线段AB的中点D，若平面α，则点A，B到平面α的距离相等， 此时直线l与平面α相交，即“点A，B到平面α的距离相等”“直线平面α”，不满足必要性； 若直线平面α，则直线l上的点到平面α的距离都相等，即点A，B到平面α的距离相等， 满足充分性， 故选：A． 14. 已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（ ） A. 平面内的所有直线均与直线异面； B. 平面内存在与直线垂直的直线； C. 平面内存在直线与直线平行； D. 平面内所有直线均与直线相交. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，逐项验证即可求解. 【详解】由题意有：直线与平面相交，则平面内的直线与直线的关系有：相交或异面 因此内存在与直线垂直的直线，即B正确. 故选：B. 15. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线MN平面 B. 直线与直线平行，直线MN平面 C. 直线与直线平行，直线MN⊥平面 D. 直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确，B、C错误； 在中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：A. 16. 以下命题中真命题的是（ ）. A. 所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题8分，第20-21题每题18分，共78分）. 17. 如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． （1）证明：E，F，D，B四点共面． （2）证明：BE，DF，三线共点． 【答案】（1） 如图， 连接EF，BD，． ∵EF是的中位线， ∴． ∵与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴E，F，D，B四点共面． （2） ∵，且， ∴直线BE和DF相交． 延长BE，DF，设它们相交于点P， ∵直线BE，直线平面， ∴平面， ∵直线DF，直线平面， ∴平面， ∵平面平面， ∴， ∴BE，DF，三线共点． 【解析】 【分析】（1）连接EF，BD，，易得，再由，得到证明；． （2）由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证平面，平面即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知圆柱的底面面积是S，侧面展开图是一个正方形，求： （1）用S表示该圆柱底面的半径； （2）该圆柱的表面积和体积. 【答案】（1） （2）圆柱的表面积为；圆柱的体积为 【解析】 【分析】（1）由圆面积公式得，于是；（2）因为侧面展开图是一个正方形，所以，进而根据圆柱体积与表面积公式求解即可. 【小问1详解】 设该圆柱底面的半径为，圆柱的高为 则，所以. 【小问2详解】 因为侧面展开图是一个正方形，所以 . 所以圆柱的表面积为， 圆柱的体积为 19. 已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点， （1）证明：直线与是异面直线； （2）求异面直线与所成角. 【答案】（1）由平面， 又平面，， 所以直线与是异面直线. （2） 【解析】 【分析】（1）根据异面直线的判定定理即可得证； （2）取中点，可证明，从而异面直线与所成角即为直线与所成角，为，再通过余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，，，    因为是中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为. 由题意知，， 故在△ 中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角为. 20. 如图几何体中，底面为正方形，平面，，求证： （1）平面平面； （2）平面平面； 【答案】（1）由四边形为正方形，所以， 又平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为； （1）求的长度； （2）当时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 【答案】（1）1； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由三角函数值进行求解； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成角，求出各边长，，得到答案； （3）①点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，进而求出弧长得到答案； ②如图，记点在平面上的投影为，表达出，因为，所以，故. 【小问1详解】 ，，⊥， 故； 【小问2详解】 当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面的所成角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为； 【小问3详解】 ①当时， 在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， 其中圆心角为，故点的运动轨迹的长度为； ②如图，当时，记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则， 则， ， ， 因为，所以，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华师大张江实验中学高二上学期 数学阶段练习 时间：90分钟，满分：100分 班级_____ 姓名_____ 学号____ 2026.10 一、填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2. 如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为__________． 3. 小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角，则上述各种“角”的取值范围是的有_______（请填写序号）. 4. 设表示两个平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则与重合. 其中假命题的序号是______. 5. 在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 6. 在长方体中，，，，则二面角的大小为______． 7. 已知正方体的棱长为，直线到平面的距离为_______. 8. 将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积增加了______． 9. 正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 10. 空间不共线的四点，可能确定___________个平面． 11. 已知正六棱柱的每条棱长都为1，则该正六棱柱的体积为______. 12. 已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）. 13. 已知点A，B在直线l上，直线平面α，则“直线平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（ ） A. 平面内的所有直线均与直线异面； B. 平面内存在与直线垂直的直线； C. 平面内存在直线与直线平行； D. 平面内所有直线均与直线相交. 15. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线MN平面 B. 直线与直线平行，直线MN平面 C. 直线与直线平行，直线MN⊥平面 D. 直线与直线垂直，直线MN⊥平面 16. 以下命题中真命题的是（ ）. A. 所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题8分，第20-21题每题18分，共78分）. 17. 如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． （1）证明：E，F，D，B四点共面． （2）证明：BE，DF，三线共点． 18. 已知圆柱的底面面积是S，侧面展开图是一个正方形，求： （1）用S表示该圆柱底面的半径； （2）该圆柱的表面积和体积. 19. 已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点， （1）证明：直线与是异面直线； （2）求异面直线与所成角. 20. 如图几何体中，底面为正方形，平面，，求证： （1）平面平面； （2）平面平面； 21. 如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为； （1）求的长度； （2）当时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $