专题2.2 反比例函数的图象与性质（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

专题2.2 反比例函数的图象与性质 知识点1：反比例函数的图象与画法   1. 图象形状：反比例函数的图象叫做双曲线，由互不相交的两支曲线组成；图象无限靠近轴、轴，但永远不与坐标轴相交，因为，。   2. 描点法画图三步骤   （1）列表：自变量选取互为相反数的若干数值，计算对应的函数值；   （2）描点：以每组作为坐标，在平面直角坐标系描点；   （3）连线：用平滑曲线分别连接每一支上的点，向两端延伸，不能画成折线。   3. 图象对称性：反比例函数图象既是中心对称图形（对称中心为坐标原点）；也是轴对称图形，对称轴为直线、。 知识点2：反比例函数图象与性质   1. 的符号决定双曲线所在象限与增减变化规律，对比整理表格如下： 的符号 图象所在象限 增减性（必须强调：在每一个象限内） 图例 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大   2.重要易错提醒：不能去掉“在每一个象限内”笼统描述增减性；跨两个象限比较函数值，不能直接套用增减性结论。   3. 图象远近规律：大小决定图象离坐标轴远近，越大，双曲线离坐标轴越远。 知识点3：比例系数k的几何意义   1. 矩形面积结论：过双曲线上任意一点，向轴、轴分别作垂线，垂线与坐标轴围成矩形面积。   2. 三角形面积结论：过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，连接该点与原点，所得直角三角形面积。   3. 符号判定规则：由面积只能求出，需结合双曲线所在象限判断正负，不可直接默认为正数。 知识点4：点与反比例函数图象的关系   1. 点在图象上的核心条件：若点在双曲线上，则满足。   2. 点的判定方法：一是代入自变量求值对比，二是计算横纵坐标乘积是否等于。   3. 中心对称性质：若在双曲线上，则其关于原点对称的点也在该图象上。 【基础必考题型】 【题型1】识别反比例函数的图象与象限判断 1.核心知识点   反比例函数双曲线的基本图象特征；比例系数的符号与图象象限的对应关系；图象永不与坐标轴相交的核心特点。 2.解题方法技巧   ①根据正负快速判定象限，对应一、三象限，对应二、四象限；   ②排除折线、与坐标轴相交等错误图象，锁定双曲线形态；   ③多函数共存题型，保证同一参数符号前后统一，避免矛盾。 【题型2】已知点坐标求反比例函数解析式 1.核心知识点   待定系数法求反比例函数解析式；图象上点的坐标满足函数关系式；单个点即可确定唯一值。 2.解题方法技巧   ①利用点横纵坐标乘积快速求出比例系数；   ②代入标准式，写出完整反比例函数解析式；   ③求解后代入原点点坐标反向验证，确保解析式准确。 【题型3】利用图象性质直接判断增减变化 1.核心知识点   反比例函数增减性规律；增减性仅限“每一个象限内”的限定条件；符号决定函数增减趋势。 2.解题方法技巧   ①先判定正负，再判断对比点是否在同一象限；   ②跨象限的点不可套用增减性，直接根据函数值正负判断大小；   ③警惕无范围笼统描述增减性的错误命题，精准辨析正误。 【题型4】利用k几何意义求基础面积 1.核心知识点   比例系数的几何意义；双曲线对应矩形、直角三角形的固定面积公式；面积为非负值的特征。 2.解题方法技巧   ①区分图形类型，矩形套用、直角三角形套用计算；   ②面积仅能求出，无法直接确定正负；   ③同一双曲线上任意点作坐标轴垂线，所得图形面积恒定不变。 【培优高频题型】 【题型5】比较反比例函数的函数值与自变量大小 1.核心知识点   反比例函数增减性性质；同象限、跨象限点的函数值大小比较规则；数形结合、特殊值法解题思想。 2.解题方法技巧   ①同象限内，严格按照对应的增减性判断函数值大小；   ②跨象限两点，正数函数值恒大于负数函数值，直接判定；   ③复杂题型可代入符合条件的特殊值计算，快速辅助判断。 【题型6】由面积求反比例函数中参数k 1.核心知识点   的几何意义逆向应用；由面积求，结合图象象限判定正负；几何图形与函数参数的关联。 2.解题方法技巧   ①根据图形面积公式求出，得到两个候选值；   ②依据双曲线所在象限筛选符号，舍去不符合条件的参数值；   ③多双曲线图形，区分不同值，避免参数混淆。 【题型7】同一坐标系内函数图象共存判断 1.核心知识点   反比例函数与一次函数图象基本特征；同一参数符号统一性原则；数形结合核心素养。 2.解题方法技巧   ①从其中一个函数图象读取的正负属性；   ②校验另一函数图象是否匹配对应符号，矛盾则直接排除选项；   ③结合一次函数斜率、截距和反比例函数象限，双向精准校验。 【压轴素养题型】 【题型8】双反比例函数图形面积综合计算 1.核心知识点   双反比例函数图象共存特征；两个参数的几何意义；割补法求解不规则图形面积；几何直观素养。 2.解题方法技巧   ①分别求出两条双曲线对应的；   ②根据双曲线同侧、异侧关系，选择面积相减或相加；   ③将不规则阴影图形割补转化为规则矩形、三角形组合求解。 【题型9】反比例函数与一次函数交点综合问题 1.核心知识点   函数交点坐标的双重属性；联立函数解析式求交点；利用函数图象求解不等式解集。 2.解题方法技巧   ①联立两个函数解析式，通过方程组求解交点坐标；   ②函数不等式解集看图象高低，上方图象对应函数值更大；   ③严格规避，完整书写分段解集，杜绝漏解。 易错点 1、描述反比例函数增减性时，遗漏“在每一个象限内”限定条件，跨象限套用增减性，导致函数值大小比较错误。 2、由几何面积求参数时，仅计算数值，忽略双曲线象限判定k的正负，默认造成错解。 3、概念认知错误，误认为反比例函数图象可以与坐标轴相交，忽略的核心取值要求。 4、函数值大小比较题型，未区分点所在象限，跨象限机械套用增减性公式。 5、多函数共存题型，未保证同一参数符号统一，出现图象条件相互矛盾的判断失误。 6、利用图象解函数不等式时，忘记排除，遗漏分段解集，答案不完整。 重点 1、掌握反比例函数双曲线图象核心特征，能依据符号快速判定图象象限，精准理解增减性规律。 2、熟练掌握比例系数k的几何意义，可实现由点求面积、由面积反求参数的双向运算。 3、掌握图象上点的判定方法，熟练运用待定系数法求解反比例函数解析式。 4、熟练掌握同象限、跨象限两种场景下，函数值与自变量大小的比较方法。 5、能准确判断同坐标系内多函数图象共存问题，理解函数交点的代数与几何意义。 难点 1、双反比例函数共存的几何综合题，利用割补法转化不规则图形，结合双值完成面积运算。 2、反比例函数与一次函数综合题型，结合函数图象完整求解分段不等式解集，规避漏解、错解。 3、跨学科情境、新定义探究题型，剥离陌生背景，精准抽象出反比例函数数学模型并推理求解。 4、多结论说理判断题，结合函数性质举反例、严谨推理，全面辨析命题正误。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 反比例函数的图象与性质 知识点1：反比例函数的图象与画法   1. 图象形状：反比例函数的图象叫做双曲线，由互不相交的两支曲线组成；图象无限靠近轴、轴，但永远不与坐标轴相交，因为，。   2. 描点法画图三步骤   （1）列表：自变量选取互为相反数的若干数值，计算对应的函数值；   （2）描点：以每组作为坐标，在平面直角坐标系描点；   （3）连线：用平滑曲线分别连接每一支上的点，向两端延伸，不能画成折线。   3. 图象对称性：反比例函数图象既是中心对称图形（对称中心为坐标原点）；也是轴对称图形，对称轴为直线、。 知识点2：反比例函数图象与性质   1. 的符号决定双曲线所在象限与增减变化规律，对比整理表格如下： 的符号 图象所在象限 增减性（必须强调：在每一个象限内） 图例 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大   2.重要易错提醒：不能去掉“在每一个象限内”笼统描述增减性；跨两个象限比较函数值，不能直接套用增减性结论。   3. 图象远近规律：大小决定图象离坐标轴远近，越大，双曲线离坐标轴越远。 知识点3：比例系数k的几何意义   1. 矩形面积结论：过双曲线上任意一点，向轴、轴分别作垂线，垂线与坐标轴围成矩形面积。   2. 三角形面积结论：过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，连接该点与原点，所得直角三角形面积。   3. 符号判定规则：由面积只能求出，需结合双曲线所在象限判断正负，不可直接默认为正数。 知识点4：点与反比例函数图象的关系   1. 点在图象上的核心条件：若点在双曲线上，则满足。   2. 点的判定方法：一是代入自变量求值对比，二是计算横纵坐标乘积是否等于。   3. 中心对称性质：若在双曲线上，则其关于原点对称的点也在该图象上。 【基础必考题型】 【题型1】识别反比例函数的图象与象限判断 1.核心知识点   反比例函数双曲线的基本图象特征；比例系数的符号与图象象限的对应关系；图象永不与坐标轴相交的核心特点。 2.解题方法技巧   ①根据正负快速判定象限，对应一、三象限，对应二、四象限；   ②排除折线、与坐标轴相交等错误图象，锁定双曲线形态；   ③多函数共存题型，保证同一参数符号前后统一，避免矛盾。 【题型2】已知点坐标求反比例函数解析式 1.核心知识点   待定系数法求反比例函数解析式；图象上点的坐标满足函数关系式；单个点即可确定唯一值。 2.解题方法技巧   ①利用点横纵坐标乘积快速求出比例系数；   ②代入标准式，写出完整反比例函数解析式；   ③求解后代入原点点坐标反向验证，确保解析式准确。 【题型3】利用图象性质直接判断增减变化 1.核心知识点   反比例函数增减性规律；增减性仅限“每一个象限内”的限定条件；符号决定函数增减趋势。 2.解题方法技巧   ①先判定正负，再判断对比点是否在同一象限；   ②跨象限的点不可套用增减性，直接根据函数值正负判断大小；   ③警惕无范围笼统描述增减性的错误命题，精准辨析正误。 【题型4】利用k几何意义求基础面积 1.核心知识点   比例系数的几何意义；双曲线对应矩形、直角三角形的固定面积公式；面积为非负值的特征。 2.解题方法技巧   ①区分图形类型，矩形套用、直角三角形套用计算；   ②面积仅能求出，无法直接确定正负；   ③同一双曲线上任意点作坐标轴垂线，所得图形面积恒定不变。 【培优高频题型】 【题型5】比较反比例函数的函数值与自变量大小 1.核心知识点   反比例函数增减性性质；同象限、跨象限点的函数值大小比较规则；数形结合、特殊值法解题思想。 2.解题方法技巧   ①同象限内，严格按照对应的增减性判断函数值大小；   ②跨象限两点，正数函数值恒大于负数函数值，直接判定；   ③复杂题型可代入符合条件的特殊值计算，快速辅助判断。 【题型6】由面积求反比例函数中参数k 1.核心知识点   的几何意义逆向应用；由面积求，结合图象象限判定正负；几何图形与函数参数的关联。 2.解题方法技巧   ①根据图形面积公式求出，得到两个候选值；   ②依据双曲线所在象限筛选符号，舍去不符合条件的参数值；   ③多双曲线图形，区分不同值，避免参数混淆。 【题型7】同一坐标系内函数图象共存判断 1.核心知识点   反比例函数与一次函数图象基本特征；同一参数符号统一性原则；数形结合核心素养。 2.解题方法技巧   ①从其中一个函数图象读取的正负属性；   ②校验另一函数图象是否匹配对应符号，矛盾则直接排除选项；   ③结合一次函数斜率、截距和反比例函数象限，双向精准校验。 【压轴素养题型】 【题型8】双反比例函数图形面积综合计算 1.核心知识点   双反比例函数图象共存特征；两个参数的几何意义；割补法求解不规则图形面积；几何直观素养。 2.解题方法技巧   ①分别求出两条双曲线对应的；   ②根据双曲线同侧、异侧关系，选择面积相减或相加；   ③将不规则阴影图形割补转化为规则矩形、三角形组合求解。 【题型9】反比例函数与一次函数交点综合问题 1.核心知识点   函数交点坐标的双重属性；联立函数解析式求交点；利用函数图象求解不等式解集。 2.解题方法技巧   ①联立两个函数解析式，通过方程组求解交点坐标；   ②函数不等式解集看图象高低，上方图象对应函数值更大；   ③严格规避，完整书写分段解集，杜绝漏解。 易错点 1、描述反比例函数增减性时，遗漏“在每一个象限内”限定条件，跨象限套用增减性，导致函数值大小比较错误。 2、由几何面积求参数时，仅计算数值，忽略双曲线象限判定k的正负，默认造成错解。 3、概念认知错误，误认为反比例函数图象可以与坐标轴相交，忽略的核心取值要求。 4、函数值大小比较题型，未区分点所在象限，跨象限机械套用增减性公式。 5、多函数共存题型，未保证同一参数符号统一，出现图象条件相互矛盾的判断失误。 6、利用图象解函数不等式时，忘记排除，遗漏分段解集，答案不完整。 重点 1、掌握反比例函数双曲线图象核心特征，能依据符号快速判定图象象限，精准理解增减性规律。 2、熟练掌握比例系数k的几何意义，可实现由点求面积、由面积反求参数的双向运算。 3、掌握图象上点的判定方法，熟练运用待定系数法求解反比例函数解析式。 4、熟练掌握同象限、跨象限两种场景下，函数值与自变量大小的比较方法。 5、能准确判断同坐标系内多函数图象共存问题，理解函数交点的代数与几何意义。 难点 1、双反比例函数共存的几何综合题，利用割补法转化不规则图形，结合双值完成面积运算。 2、反比例函数与一次函数综合题型，结合函数图象完整求解分段不等式解集，规避漏解、错解。 3、跨学科情境、新定义探究题型，剥离陌生背景，精准抽象出反比例函数数学模型并推理求解。 4、多结论说理判断题，结合函数性质举反例、严谨推理，全面辨析命题正误。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $