精品解析：辽宁大连市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

大连市第二中学高一第一次月考-数学 一、单选题 1. 已知全集，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列说法中正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥； A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题“已知为非零实数，且，，求证中至少有两个为正数”时，要做的假设是 A. 中至少有两个为负数 B. 中至多有一个为负数 C. 中至多有两个为正数 D. 中至多有两个为负数 5. 若不等式无解，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 6. 已知，则取下面哪个范围，可以使是的必要不充分条件（ ） A. B. C. D. 7. 若命题p：是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ） A. 或6 B. 6 C. D. 二、多选题 9. 下列不等式的解集为R的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知集合，且，则_________． 13. 方程组的解集为__________. 14. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合是____________. 四、解答题 15. 已知集合. （1）若，求. （2）若，求实数的取值范围． 16. 解答下列各题: （1）当时，求函数的最小值，并求此时的值： （2）已知正数满足． （i）求的最大值： （ii）求的最小值． 17. （1）证明. （2）已知，证明. 18. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 19. 已知函数，且关于的不等式的解集为． （1）求不等式的解集． （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第二中学高一第一次月考-数学 一、单选题 1. 已知全集，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，，结合集合交集和补集的运算，即可求解. 【详解】由全集，，可得， 又由集合，可得， 根据集合交集的概念与运算，可得. 2. 下列说法中正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥； A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】①是有理数，为有理数集，所以正确； ②因为里没有元素，所以错误； ③因为是任何集合的子集，所以正确； ④因为里没有元素，而里有元素，二者不相等，所以错误； ⑤因为和都是集合，但不是的元素，所以错误； ⑥因为和都表示“大于或等于的实数构成的集合”， “”与“”只是用来代表元素的符号，所以正确. 综上所得，正确的有①③⑥，共个. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得． 【详解】， 由题意图中阴影部分表示为， 故选：B． 4. 用反证法证明命题“已知为非零实数，且，，求证中至少有两个为正数”时，要做的假设是 A. 中至少有两个为负数 B. 中至多有一个为负数 C. 中至多有两个为正数 D. 中至多有两个为负数 【答案】A 【解析】 【详解】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”，由此得出结论． 详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立， 而：“中至少有二个为正数”的否定为：“中至少有二个为负数”． 故选A． 点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力． 5. 若不等式无解，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，由题意各不等式的解集为空集，即可求出参数的取值范围． 【详解】 由①得，，由②得，， 又因为不等式组无解，所以.故选A. 【点睛】本题考查不等式组无解问题，属于基础题． 6. 已知，则取下面哪个范围，可以使是的必要不充分条件（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，由解得或， 设集合或， ，设集合， 是的必要不充分条件，等价于集合是集合的真子集 对于A，，取，，此时不是的真子集，故A错误； 对于B，，取，，此时不是的真子集，故B错误； 对于C，，此时是或的真子集，即是的真子集，故C正确； 对于D，，取，，此时不是的真子集，故D错误. 7. 若命题p：是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由命题为真可知方程有解，再根据根判别式求参即可. 【详解】因为命题p：是真命题 所以方程有实根， 所以，解得. 故选：B． 8. 已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ） A. 或6 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件可知，再结合韦达定理即可建立等量关系，即可得解. 【详解】关于x的方程有两个实数根， ，解得， 实数k的取值范围为， 根据韦达定理可得，， ， ，即， 解得或 (不符合题意，舍去)， 实数k的值为. 故选：C. 二、多选题 9. 下列不等式的解集为R的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，解得，则原不等式的解集为，A错误； 对于B，，且二次项系数大于0，则原不等式的解集为R，B正确； 对于C，由，得，，则原不等式的解集为R ，C正确； 对于D， R，， ， 当且仅当，即时取等号，因此原不等式的解集为R，D正确. 故选：BCD 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A；利用作差法比较出大小可判断B；举出反例可判断CD. 【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确； 对于B，，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，故C错误； 对于D，当时，，故D错误； 故选：AB. 11. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件结合基本不等式逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以C错误， 对于D，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题 12. 已知集合，且，则_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果． 【详解】解：集合，，，且， 或， 解得，或， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，符合题意． 综上，． 故答案为：. 13. 方程组的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元和代入消元解方程组. 【详解】 由①③可得：， 整理并化简得：，④ 由②④得：， 整理并化简得：， 将代入②得，， 将，代入③得：， 所以该方程组的解集为， 故答案为： 14. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合是____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，且，将问题转化为直线与函数的图象只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得且， 因为，即， 所以， 即只有一个解， 令，且， 即直线与函数的图象只有一个交点， 作出函数与直线的图象，如图所示： 由此可得或或， 所以的取值集合是. 四、解答题 15. 已知集合. （1）若，求. （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），，. （2）实数的取值范围是. 【解析】 【小问1详解】 当时，. 又，得 ， ， . 【小问2详解】 由可知 ，分两种情况讨论： 当 时，，解得，空集是任何集合的子集，故此时满足. 当时，须，即. 要使 ，则，且，解得 且 ， 故. 综上，实数的取值范围是. 16. 解答下列各题: （1）当时，求函数的最小值，并求此时的值： （2）已知正数满足． （i）求的最大值： （ii）求的最小值． 【答案】（1）最小值为，此时； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）变形得，利用基本不等式求解即可； （2）（i）直接利用基本不等式求解即可； （ii）变形得，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时； 【小问2详解】 （i）因为， 且，解得， 当且仅当，即时，等号成立, 所以的最大值为； （ii）因为 ， 当且仅当，即时，等号成立, 所以的最小值为. 17. （1）证明. （2）已知，证明. 【答案】（1）证明：，. 因为，所以. 即. （2）证明： . 因为，所以，，. 故，即. 【解析】 【分析】（1）利用分子有理化比较大小； （2）利用作差法，因式分解判断符号. 【详解】略 18. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 【小问2详解】 解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 19. 已知函数，且关于的不等式的解集为． （1）求不等式的解集． （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用一元二次不等式的解法求解； （2）方法一：分离参数后将恒成立问题转化为最值，使用基本不等式求解. 方法二：结合二次函数的图像和性质求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，是方程的根，由韦达定理得， 所以，又，解得． 所以， 不等式，可化为，即， 所以不等式的解集是 由知或．得或或 所以，的解集为. 【小问2详解】 由题意得，在上恒成立， 令，只需即可， 由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立． 所以，则的取值范围是． 法二： 研究的图像知 或 解得或 所以，的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $