第6章 概率的进一步认识 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第六章 概率的进一步认识 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合运用树状图、表格求等可能事件的概率，规范处理放回与不放回模型。 2. 能综合判断游戏公平性、解决转盘与面积类概率问题，并用频率估计概率。 3. 能解决概率与统计、方程、函数相结合的综合问题，形成知识网络，发展随机观念与数据分析观念。 ▌课时目录 知识点01：等可能事件概率的综合计算 知识点02：树状图与表格求概率的综合 知识点03：放回与不放回模型的综合辨析 知识点04：游戏公平性的综合判断与设计 知识点05：转盘与面积类概率问题的综合 知识点06：用频率估计概率的综合应用 知识点07：概率与统计的综合 知识点08：概率与方程、函数的综合 ▌知识点01：等可能事件概率的综合计算 等可能事件概率的计算统一用P（A）＝，关键两步：①用列举、树状图或表格不重不漏地得到所有等可能结果n；②数出事件A包含的结果数m。 例如：从标有1、2、3、4的四张卡片中任抽两张，所有结果6种：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4），两张之和为偶数的有（1，3）、（2，4）2种，P＝2÷6＝。 注意：抽两张“不分先后”与“有放回抽两次”是不同的模型，前者结果数为6种，后者为4×4＝16种，审题先定模型。 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 3．（2026·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 4．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． ▌知识点02：树状图与表格求概率的综合 两步试验优先用表格或树状图，三步及以上用树状图；各步结果数不同时树状图更可靠。综合题常与“放回、不放回”“先后顺序”结合。 例如：袋中有2个红球（编号红1、红2）、1个白球，不放回摸两球，树状图第一层3支、第二层各2支，共6种结果，两球同色的只有（红1，红2）、（红2，红1）2种，P＝2÷6＝。 注意：同色球必须先编号再列举；数路径后可用“各步结果数相乘”核对总数，防止漏支。 5．（2026·安徽蚌埠·三模）为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期末）电视剧《主角》讲述了一代秦腔名伶逐梦戏台的故事．秦腔分为生、旦、净、丑四大经典行当．非遗文化体验活动上，两名剧迷小明和小红参与秦腔角色抽卡游戏．工作人员准备了张外观完全相同的不透明卡片，正面分别印有生、旦、净、丑四种秦腔行当图案，将卡片背面朝上充分洗匀． (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到角色为“旦”的概率是___________． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，小红再从余下的3张卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率． ▌知识点03：放回与不放回模型的综合辨析 模型辨析：放回——两次试验互不影响，结果数为n×n；不放回——第二次少一个对象，结果数为n×(n－1)；“一次性摸两个”等同于不放回。 例如：3张卡片1、2、3，放回抽两次，“和为4”有（1，3）、（2，2）、（3，1）3种，P＝3÷9＝；不放回抽两张，“和为4”有（1，3）、（3，1）2种，P＝2÷6＝——概率虽相同，但结果构成不同，不能凭结果相同就混用模型。 注意：辨析题要分别列举、分别计算；常见错误是把不放回按放回列成9种结果，导致概率全错。 9．（2026·河北保定·模拟预测）2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，正面印有吉祥物形象的四张卡片如图4所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回，洗匀再抽取一张，则恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏徐州·模拟预测）三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·山东聊城·模拟预测）不透明的袋中装有个红球，个白球，个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球再放回，再摸出一个球，两次摸出的都是白球的概率是______． 12．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）爱知·名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获金银铜，总计枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷．九年级开展“亚运逐梦，青春自强”主题班会．老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D．                      A．团体项目：女子乒乓球团体            B．团体项目：男子米自由泳接力 （孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵）        （徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕）                                   C．个人项目：女子米跳台（陈芋汐）        D．个人项目：男子米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛项目．用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率． ▌知识点04：游戏公平性的综合判断与设计 综合流程：列举求双方获胜概率（或平均得分）→比较→判断公平性并指出对谁有利→不公平则修改规则（调条件或调得分）→重新验证。 例如：掷两枚骰子，点数和大于7甲胜、小于7乙胜、等于7平局。36种结果中和大于7有15种、小于7有15种、等于7有6种，P（甲胜）＝P（乙胜）＝15÷36＝，游戏公平。 注意：有平局时判断标准仍是“双方获胜概率相等”，平局概率不必为0；设计类问题答案不唯一，但必须给出验证过程。 13．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）在班上的“元旦迎新晚会”中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小芳想了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到偶数，则小丽去；反之，则小芳去．你认为这个游戏公平吗？请应用概率知识说明理由． 14．（25-26八年级下·北京海淀·期末）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值_ ． 15．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 16．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代具有代表性的数学典籍．某数学兴趣小组开展以“古代数学典籍”为主题的读书分享会，上台的每位成员均要从这四部典籍中随机选择一部典籍进行分享．（每位成员选择每部典籍的可能性相同，且相互之间不受影响） (1)“上台的成员甲选择典籍《海岛算经》进行分享”是_事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)已知成员乙和成员丙只有一人能上台分享，两人通过掷骰子游戏来确定谁上台．规则如下：小组组长随机掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是奇数，则成员乙上台；向上一面的点数是偶数，则成员丙上台．这个游戏是否公平？请通过计算说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体） ▌知识点05：转盘与面积类概率问题的综合 转盘与面积类概率＝区域面积（格数、圆心角）÷总量；不等分转盘先细分为等可能小区域；几何概型用面积比。 例如：转盘由圆心角90°与270°的两个扇形组成，细分后共4个等可能区域，小扇形对应概率；半径为r的圆内接于边长为2r的正方形，随机投点落在圆内的概率为πr²÷(2r)²＝π。 注意：“配紫色”类综合题要把两个转盘分别细分编号后再用表格列举；面积类问题中π可保留，比较大小时同乘4再比。 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． (1)若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； (2)青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 18．（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示的转盘，转盘被等分成16份，指针停在每个扇形区域的机会相等．活动规则如下：顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准打折区域，那么顾客就可以获得此项待遇（若指针停在分界线上，则需重新转动，直至指针落在扇形区域为止）． (1)甲顾客消费150元，求甲顾客获得打折待遇的概率． (2)乙顾客消费120元，求乙顾客获得八折待遇的概率． 19．（2026·山东青岛·模拟预测）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“元”、“元”、“元”、“元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费元，转了两次转盘．请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于元的概率． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）在五一期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个如图1所示的可以自由转动的转盘，转盘被等分为20个扇形，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、10元的购物券．已知甲顾客购买东西花费300元． (1)甲顾客获得100元购物券的概率是多少？ (2)甲顾客获得购物券的概率是多少？ (3)请你利用图2所示的转盘，重新设计一个转盘，使得顾客获得购物券的概率是． ▌知识点06：用频率估计概率的综合应用 综合应用围绕一条主线：大量重复试验→频率稳定→用频率估计概率→用概率求未知数量（部分＝总数×概率，总数＝部分÷概率）。 例如：不透明袋中只有黑白两色球共50个，放回摸球400次中摸到黑球120次，频率为0.3，估计摸到黑球的概率约为0.3，黑球约有50×0.3＝15个，白球约有35个。 注意：摸球必须“放回摇匀”才能保证每次条件相同；估计结果要取整数并说明是“约”，增加试验次数可能修正估计值。 21．（2026·江苏常州·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 22．（25-26七年级下·四川成都·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 指针落在“谢谢参与”区域的次数 指针落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与” 23．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 发芽的粒数 发芽频率 (1)上表中的_____，_____． (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是_____．（结果精确到） (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗棵，试估计需要准备多少粒这种植物的种子进行发芽培育． 24．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共30个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.605 0.6 (1)求出表中___________，___________； (2)当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）；估计此口袋里白球有___________个； (3)若从口袋里拿出个白球后，再从剩下的口袋里任意摸出一球是白球的概率为，请估计的值为多少？ ▌知识点07：概率与统计的综合 概率与统计综合题常以统计图表（频数表、条形图、扇形图）给出数据，先从图中读取频数、频率，再按等可能模型求概率或用频率估计概率。 例如：抽查某班50名学生的鞋号，23码的有10人，从中随机抽1人，P（抽到23码的学生）＝10÷50＝；若用此样本估计全校2000人，穿23码的约有2000×1÷5＝400人。 注意：从统计图表读数时注意总量与各部分量；用样本估计总体的前提是样本具有代表性。 25．（2024·辽宁丹东·模拟预测）某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计． 请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由． 26．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）为了美化校园，某校初一年级在各班教室门前种植了郁金香，花色多样．为了解校园中郁金香开红色花的比例，生物课上，老师带领同学们准备随机采集一些郁金香植株进行试验研究．五个小组的成员分别随机选取部分班级的郁金香，统计其花色，最后汇总各组数据．数据记录如下表所示： 项目 一组 二组 三组 四组 五组 开红色花的植株数量 39 1 82 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 118 93 129 出现红色花的频率 0.39 a 0.41 0.4 b (1)表中______， ______； (2)在上述五个小组的数据中，你认为第______组的数据不适合用频率估计概率．你认为一棵郁金香开出红色花的概率是______（结果精确到0.1）； (3)为进一步美化校园，学校在校园各处种植郁金香，经统计其中开红色花的郁金香有524株，请你估计该校郁金香植株的总数量． 27．（24-25九年级下·福建厦门·期中）大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 28．（25-26七年级下·河南郑州·期末）实践情景：3月25日，由郑州市公园广场事务中心世纪公园主办的2026年世纪公园首届梨花展正式拉开帷幕．本次梨花展以古梨树为底蕴、以园艺为特色，为市民游客献上一场集赏花观景、艺术展示、生态科普、文化体验于一体的春日盛宴． 知识呈现：“公梨”和“母梨”并非生物学上的性别区分，而是民间根据梨底部萼片（花托）是否脱落形成的外观差异进行的俗称． 母梨 公梨 看梨脐（底部凹陷） 萼片完全脱落，底部形成深且光滑的凹陷，周围平整．通常果形圆润端正，果皮细腻． 萼片宿存（未脱落），底部呈凸起状或凹陷极浅，周围不平滑，常带有花瓣状的硬梗． 口感与品质对比 果肉细腻多汁，石细胞（颗粒感）少，甜度较高，果核相对较小，口感更佳，市场接受度高． 果肉相对粗糙、偏硬，石细胞较多，吃起来可能有“渣”感，甜度和风味通常略逊于母梨，果核较大． 实践背景：为了解古梨树结出“公梨”和“母梨”的比例，植物社团的成员打算随机收集一些古梨树的果实进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集一棵古梨树的果实，区分出“公梨”和“母梨”的个数，最后统计各组数据． 数据记录： 选择一棵古梨树 一组 二组 三组 四组 五组 “公梨”的个数 39 1 71 63 86 “母梨”的个数 61 9 101 93 129 结出“公梨”的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_________，_________； (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一棵古梨树结出“公梨”的概率是____（结果精确到0.1）． (3)据统计，世纪公园共有230棵古梨树，今年平均每棵树结出100个梨，请你估计该公园今年结出“母梨”的个数． ▌知识点08：概率与方程、函数的综合 概率与代数综合题把概率值作为已知条件建立方程，或把含字母的数量代入概率公式求解参数；也可结合函数观点分析概率随数量的变化规律。 例如：袋中有红球x个、白球3个，P（摸到红球）＝，则x÷(x＋3)＝，解得x＝6，检验x＋3＝9≠0，即红球6个；又如袋中总球数不变时，红球越多P（摸到红球）越大，可用函数观点分析。 注意：列方程后要检验分母不为0且概率在0与1之间；求出的球的个数必须为正整数，不符合实际的要舍去。 29．（2026·福建泉州·二模）依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． (1)可以估计柑橘完好的概率约为_（精确到）； (2)在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售） (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 30．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 48 81 130 201 250 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是________； (2)估算袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 31．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (3)估计袋中黑球的个数为__________只； (4)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了__________个黑球． 32．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共100个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 (1)①请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近_；（精确到0.1） ②假如你去摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为_；（精确到0.1） (2)先从盒子中取出x个红球，再从盒子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则x＝_； (3)若先从盒子中取出y个红球，再放入y个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求y的值． ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·北京·阶段检测）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（     ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·贵州遵义·一模）小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 8．（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 10．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 11．（25-26七年级下·山东烟台·期末）二维码是黑白方块按一定规则在平面排列的图形，利用二进制“0，1”存储文字、网址、数字等信息．如图所示的二维码是一个边长为的正方形，为了估计黑色部分的面积，在该正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，由此可估计黑色部分的面积约为________． 12．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 13．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）在一个不透明的袋子中装有4个红球、2个白球和1个黑球，每个球除颜色外完全相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球颜色不同的概率为__________． 14．（2026·广东东莞·模拟预测）三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 15．（25-26九年级上·陕西西安·期中）桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 16．（2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 三、解答题 17．（2026·四川宜宾·模拟预测）为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了_名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为_，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 18．（25-26七年级下·广东深圳·期末）一枚质地均匀的正十二面体形状的骰子（如图），其中的1个面标有“”，1个面标有“”，2个面标有“”，2个面标有“”，3个面标有“”，其余面标有“”（如表1）． 表1正十二面体骰子每面对应字母统计表 字母 对应的个数 1 1 2 2 3 ？ (1)标有“”的面有_________个． (2)任意掷这枚骰子，掷出“”的概率是多少？ (3)小明和小华参与游戏：任意掷这枚骰子，若掷出“”或“”或“”，则小明赢，否则小华赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 19．（25-26七年级下·四川成都·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)小华和小颖决定周末去春游，小华想先去爬山，小颖想先去观水，最后两个人设计了一个转盘游戏，谁胜听谁的．如图是小华和小颖共同设计的自由转动的等分转盘，上面写有8个自然数． ①求转动一次转盘，转得的数是3的倍数的概率； ②若转动一次转盘，转得的数是奇数，则小华胜；转得的数是偶数，则小颖胜， 这个游戏对双方公平吗？请说明理由． (2)已知直线，点在直线上，点在直线，之间，，点在直线上，点在直线上（点在点的右侧），． ①当时，证明； ②当时，求的度数． 20．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 (1)上述表格中：________，________； (2)当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； (3)如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； (4)根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第六章 概率的进一步认识 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合运用树状图、表格求等可能事件的概率，规范处理放回与不放回模型。 2. 能综合判断游戏公平性、解决转盘与面积类概率问题，并用频率估计概率。 3. 能解决概率与统计、方程、函数相结合的综合问题，形成知识网络，发展随机观念与数据分析观念。 ▌课时目录 知识点01：等可能事件概率的综合计算 知识点02：树状图与表格求概率的综合 知识点03：放回与不放回模型的综合辨析 知识点04：游戏公平性的综合判断与设计 知识点05：转盘与面积类概率问题的综合 知识点06：用频率估计概率的综合应用 知识点07：概率与统计的综合 知识点08：概率与方程、函数的综合 ▌知识点01：等可能事件概率的综合计算 等可能事件概率的计算统一用P（A）＝，关键两步：①用列举、树状图或表格不重不漏地得到所有等可能结果n；②数出事件A包含的结果数m。 例如：从标有1、2、3、4的四张卡片中任抽两张，所有结果6种：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4），两张之和为偶数的有（1，3）、（2，4）2种，P＝2÷6＝。 注意：抽两张“不分先后”与“有放回抽两次”是不同的模型，前者结果数为6种，后者为4×4＝16种，审题先定模型。 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，找到两次都摸到红球的结果数，依据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种， ∴两次都摸到红球的概率为． 2．（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 【答案】 【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解． 【详解】解：由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块， 小球停在黑砖上的概率为． 3．（2026·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 【答案】 【分析】它最终停留在黑砖上的概率是黑色区域的面积与总面积的比值，解答即可． 【详解】解：设每块小正方形的面积为1，则总面积为12，黑砖的面积为6， 故它最终停留在黑砖上的概率是． 4．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 【答案】/0.5 【分析】利用画树状图法求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色小球的等可能性一共有2种， 故两次都摸到相同颜色的小球的概率是． ▌知识点02：树状图与表格求概率的综合 两步试验优先用表格或树状图，三步及以上用树状图；各步结果数不同时树状图更可靠。综合题常与“放回、不放回”“先后顺序”结合。 例如：袋中有2个红球（编号红1、红2）、1个白球，不放回摸两球，树状图第一层3支、第二层各2支，共6种结果，两球同色的只有（红1，红2）、（红2，红1）2种，P＝2÷6＝。 注意：同色球必须先编号再列举；数路径后可用“各步结果数相乘”核对总数，防止漏支。 5．（2026·安徽蚌埠·三模）为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：两种方法： ①根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． ②用列表法，如下表所示： 第一名第二名 甲 乙 丙 甲 —— （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） —— （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） —— 由上表可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． 6．（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查放回试验的概率计算，可通过列表法得到所有等可能结果，再结合概率公式计算所求概率． 【详解】解：记白球为白，红球为红，根据题意列出所有可能结果如下： 白 红 白 （白，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） ∵ 一共有种等可能的结果，其中两次摸出都是白球的结果有种． ∴ 两次摸出都是白球的概率为． 7．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种， 甲、乙两名同学选到同一地点的概率为． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期末）电视剧《主角》讲述了一代秦腔名伶逐梦戏台的故事．秦腔分为生、旦、净、丑四大经典行当．非遗文化体验活动上，两名剧迷小明和小红参与秦腔角色抽卡游戏．工作人员准备了张外观完全相同的不透明卡片，正面分别印有生、旦、净、丑四种秦腔行当图案，将卡片背面朝上充分洗匀． (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到角色为“旦”的概率是___________． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，小红再从余下的3张卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用单一目标卡片数量除以卡片总数求得单次抽取概率； （2）通过列表列出不放回抽取的全部种等可能情况，统计其中包含“净”的情况数量，再用符合条件情况数除以总情况数算出对应概率． 【详解】（1）解：共有张卡片，抽到每张卡片的可能性相等， 共有种等可能的结果，其中，抽到角色为“旦”的结果只有一种， 抽到角色为“旦”的概率是； （2）解：设四张卡片分别为生、旦、净、丑，列表列举所有等可能结果： 小明小红 生 旦 净 丑 生 （生，旦） （生，净） （生，丑） 旦 （旦，生） （旦，净） （旦，丑） 净 （净，生） （净，旦） （净，丑） 丑 （丑，生） （丑，旦） （丑，净） 全部等可能结果共种，含“净”的结果有：（生，净），（旦，净），（净，生），（净，旦），（净，丑），（丑，净）种，故两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率为． ▌知识点03：放回与不放回模型的综合辨析 模型辨析：放回——两次试验互不影响，结果数为n×n；不放回——第二次少一个对象，结果数为n×(n－1)；“一次性摸两个”等同于不放回。 例如：3张卡片1、2、3，放回抽两次，“和为4”有（1，3）、（2，2）、（3，1）3种，P＝3÷9＝；不放回抽两张，“和为4”有（1，3）、（3，1）2种，P＝2÷6＝——概率虽相同，但结果构成不同，不能凭结果相同就混用模型。 注意：辨析题要分别列举、分别计算；常见错误是把不放回按放回列成9种结果，导致概率全错。 9．（2026·河北保定·模拟预测）2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，正面印有吉祥物形象的四张卡片如图4所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回，洗匀再抽取一张，则恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列表法或画树状图法，求概率即可． 【详解】解：用字母A，B，C，D分别代指抽到“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，列表如下： 第一次抽取第二次抽取 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由表1可知，共有16种等可能的情况，其中恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的情况有2种， 故概率为． 10．（2026·江苏徐州·模拟预测）三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是． 11．（2026·山东聊城·模拟预测）不透明的袋中装有个红球，个白球，个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球再放回，再摸出一个球，两次摸出的都是白球的概率是______． 【答案】 【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个白球的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：画树状图如图：   共有个等可能的结果，两次摸出的都是白球的结果有个，  两次摸出的都是白球的概率为． 12．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）爱知·名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获金银铜，总计枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷．九年级开展“亚运逐梦，青春自强”主题班会．老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D．                      A．团体项目：女子乒乓球团体            B．团体项目：男子米自由泳接力 （孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵）        （徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕）                                   C．个人项目：女子米跳台（陈芋汐）        D．个人项目：男子米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛项目．用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率． 【答案】 【分析】先列表得到所有的等可能性的结果数，然后找到两人介绍的都是团体项目的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小刚小明 共有种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人介绍的都是团体项目的结果有两种：、， ∴两人介绍的都是团体项目的概率是． ▌知识点04：游戏公平性的综合判断与设计 综合流程：列举求双方获胜概率（或平均得分）→比较→判断公平性并指出对谁有利→不公平则修改规则（调条件或调得分）→重新验证。 例如：掷两枚骰子，点数和大于7甲胜、小于7乙胜、等于7平局。36种结果中和大于7有15种、小于7有15种、等于7有6种，P（甲胜）＝P（乙胜）＝15÷36＝，游戏公平。 注意：有平局时判断标准仍是“双方获胜概率相等”，平局概率不必为0；设计类问题答案不唯一，但必须给出验证过程。 13．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）在班上的“元旦迎新晚会”中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小芳想了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到偶数，则小丽去；反之，则小芳去．你认为这个游戏公平吗？请应用概率知识说明理由． 【答案】这个游戏不公平，因为偶数有2个，奇数有4个，摸到奇数的概率是，摸到偶数的概率是， ∵， ∴小芳去的可能性大． 【分析】根据所有出现的可能，分别计算每个人能赢的概率，即可解答． 【详解】略 14．（25-26八年级下·北京海淀·期末）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． (1)若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值_ ． 【答案】(1)列表如下： 3 2 共有6种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：，，共2种，小刚获胜的结果有：，，，共3种， ∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． 答：小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． (2)（答案不唯一） 【分析】对于（1），因为m值确定，所以先通过列表法或树状图列出所有a、b的等可能组合，再分别统计满足的组合数，根据古典概型概率公式计算对应概率． 对于（2），因为要使两人获胜概率相同，所以需满足的组合数等于的组合数，分析a的两个取值分别与乙口袋三个数的大小关系，建立关于m的大小关系条件，选取符合要求的整数m． 【详解】（1）略 （2）（2）列表如下： m 3 2 共有6种等可能的结果． 要使小明和小刚获胜的概率相同，则m的值应该满足， ∴整数m的值为，0，1中的任意一个． 15．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 【答案】(1) (2) 这个规则不公平，理由如下： 抽到尾端为白色的竹签的概率为，抽到尾端为绿色竹签的概率为， 琪琪参加的概率为，小颖参加的概率为， ， 这个规则不公平； 要使规则公平，只需让白色竹签和绿色竹签的数量相等，使两人参加的概率都为即可，例如从竹筒中取出个尾端为白色的竹签，其余规则不变即可．（答案不唯一，只要使白色竹签与绿色竹签数量相等即可） 【分析】（1）用白色竹签数量除以总竹签数量得到所求概率； （2）分别计算两人参加活动的概率，比较概率是否相等判断规则是否公平，若不公平，调整竹签数量使两人获胜概率相等即可得到公平方案． 【详解】（1）解：由题意可知，总竹签数量为（个），尾端为白色的竹签有个， 抽到尾端为白色的竹签的概率为； （2）略 16．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代具有代表性的数学典籍．某数学兴趣小组开展以“古代数学典籍”为主题的读书分享会，上台的每位成员均要从这四部典籍中随机选择一部典籍进行分享．（每位成员选择每部典籍的可能性相同，且相互之间不受影响） (1)“上台的成员甲选择典籍《海岛算经》进行分享”是_事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)已知成员乙和成员丙只有一人能上台分享，两人通过掷骰子游戏来确定谁上台．规则如下：小组组长随机掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是奇数，则成员乙上台；向上一面的点数是偶数，则成员丙上台．这个游戏是否公平？请通过计算说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体） 【答案】(1)随机 (2)公平，理由如下： ∵骰子的六个面上刻有1，3，5个小圆点的面有三个， ∴成员乙上台的概率为， ∵骰子的六个面上刻有2，4，6个小圆点的面有三个， ∴成员丙上台的概率为， ∵， 这个游戏公平． 【分析】（1）首先明确必然、随机、不可能事件的定义，因为甲从四部典籍中选择，选择《海岛算经》的结果具有不确定性，所以对应事件类型可根据定义判断． （2）首先确定掷骰子所有等可能的基本事件总数，再分别计算点数为奇数、点数为偶数的事件数，因为概率公式为（为总基本事件数，为事件包含的基本事件数），所以可分别求出乙、丙上台的概率，比较两者概率即可判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：∵甲从四部典籍中选择，选择《海岛算经》的结果具有不确定性， ∴对应事件类型随机． （2）略 【点睛】 ▌知识点05：转盘与面积类概率问题的综合 转盘与面积类概率＝区域面积（格数、圆心角）÷总量；不等分转盘先细分为等可能小区域；几何概型用面积比。 例如：转盘由圆心角90°与270°的两个扇形组成，细分后共4个等可能区域，小扇形对应概率；半径为r的圆内接于边长为2r的正方形，随机投点落在圆内的概率为πr²÷(2r)²＝π。 注意：“配紫色”类综合题要把两个转盘分别细分编号后再用表格列举；面积类问题中π可保留，比较大小时同乘4再比。 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． (1)若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； (2)青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，得到共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”， ∴选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是； （2）解：画树状图，如图 共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种， ∴两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率为． 18．（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示的转盘，转盘被等分成16份，指针停在每个扇形区域的机会相等．活动规则如下：顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准打折区域，那么顾客就可以获得此项待遇（若指针停在分界线上，则需重新转动，直至指针落在扇形区域为止）． (1)甲顾客消费150元，求甲顾客获得打折待遇的概率． (2)乙顾客消费120元，求乙顾客获得八折待遇的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）直接利用概率公式进行计算即可. 【详解】（1）解：总共分成16份，其中打折区域有6份， 故甲顾客获得打折待遇的概率为； （2）解：总共分成16份，其中八折区域有2份； ∴乙顾客获得八折待遇的概率为. 19．（2026·山东青岛·模拟预测）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“元”、“元”、“元”、“元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费元，转了两次转盘．请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于元的概率． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于元的有种情况， 该顾客所获购物券金额不低于元的概率为：． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）在五一期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个如图1所示的可以自由转动的转盘，转盘被等分为20个扇形，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、10元的购物券．已知甲顾客购买东西花费300元． (1)甲顾客获得100元购物券的概率是多少？ (2)甲顾客获得购物券的概率是多少？ (3)请你利用图2所示的转盘，重新设计一个转盘，使得顾客获得购物券的概率是． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）消费200元，获得一次转动转盘的机会，根据概率公式计算获得购物券的概率即可； （2）根据概率公式计算获得购物券的概率即可； （3）将转盘等分成16个扇形，其中红色区域有1个，黄色区域有3个，绿色区域有4个，进而求解即可． 【详解】（1）∵顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，甲顾客购物300元 ∴甲顾客获得一次转动转盘的机会 ∵转盘被等分成20个扇形，其中红色区域有2个 ∴他得到100元的购物券的概率是； （2）∵转盘被等分成20个扇形，其中红色区域有2个，黄色区域有3个，绿色区域有4个 ∴甲顾客获得购物券的概率是； （3）如图所示， 游戏规则：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元，10元的购物券（转盘被等分成16个扇形）． ∵转盘被等分成16个扇形，其中红色区域有1个，黄色区域有3个，绿色区域有4个 ∴他获得购物券的概率是． ▌知识点06：用频率估计概率的综合应用 综合应用围绕一条主线：大量重复试验→频率稳定→用频率估计概率→用概率求未知数量（部分＝总数×概率，总数＝部分÷概率）。 例如：不透明袋中只有黑白两色球共50个，放回摸球400次中摸到黑球120次，频率为0.3，估计摸到黑球的概率约为0.3，黑球约有50×0.3＝15个，白球约有35个。 注意：摸球必须“放回摇匀”才能保证每次条件相同；估计结果要取整数并说明是“约”，增加试验次数可能修正估计值。 21．（2026·江苏常州·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】35 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 22．（25-26七年级下·四川成都·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 指针落在“谢谢参与”区域的次数 指针落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与” 【答案】(1)， (2)， (3)大概有人转到“谢谢参与”． 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得和的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）用参加活动的总人数乘指针落在“谢谢参与”区域的频率，即可求解． 【详解】（1）解：，． （2）解：若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是． （3）解：（人） 答：大概有人转到“谢谢参与”． 23．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 发芽的粒数 发芽频率 (1)上表中的_____，_____． (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是_____．（结果精确到） (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗棵，试估计需要准备多少粒这种植物的种子进行发芽培育． 【答案】(1) ， (2) (3) 需要准备粒种子进行发芽培育. 【分析】（1）根据发芽频率的计算公式，即可得和的值； （2）大量重复试验中，频率稳定在某一常数附近，该常数就是概率的估计值，据此得到概率； （3）用需要得到的幼苗数量除以估计的发芽概率，即可得到需要准备的种子数量． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ． （2）解：观察表格中的频率数据可得，随着试验种子数不断增加，发芽频率逐渐稳定在附近， ∴任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率； （3）解： （粒） ∴需要准备粒这种植物的种子进行发芽培育． 24．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共30个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.605 0.6 (1)求出表中___________，___________； (2)当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）；估计此口袋里白球有___________个； (3)若从口袋里拿出个白球后，再从剩下的口袋里任意摸出一球是白球的概率为，请估计的值为多少？ 【答案】(1)， (2)0.6，18； (3)12 【分析】（1）根据频率和频数的定义求解即可； （2）随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6，即可求解； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 此口袋里白球有个； （3）解：由题意可得， 解得． ▌知识点07：概率与统计的综合 概率与统计综合题常以统计图表（频数表、条形图、扇形图）给出数据，先从图中读取频数、频率，再按等可能模型求概率或用频率估计概率。 例如：抽查某班50名学生的鞋号，23码的有10人，从中随机抽1人，P（抽到23码的学生）＝10÷50＝；若用此样本估计全校2000人，穿23码的约有2000×1÷5＝400人。 注意：从统计图表读数时注意总量与各部分量；用样本估计总体的前提是样本具有代表性。 25．（2024·辽宁丹东·模拟预测）某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计． 请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由． 【答案】(1) ． (2)“”的可能性大，理由： 由表知：评为“”的频率是， 由此估计全区七年级参加竞赛的学生约有（人）被评为“”． ，，，，   ， 随机抽查一名参赛学生的成绩等级，“”的可能性大． 【分析】本题是统计图的基础应用题，难度一般，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题． （１）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，；据此可补全频数分布直方图． （２）根据题意：依次求出个等级的概率，比较可得：“”的概率最高，故是“”的可能性大； 通过数学可以估计整体的数据的分布情况，让考生发现数学的“预测”功能． 【详解】（1）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，； （2）略 26．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）为了美化校园，某校初一年级在各班教室门前种植了郁金香，花色多样．为了解校园中郁金香开红色花的比例，生物课上，老师带领同学们准备随机采集一些郁金香植株进行试验研究．五个小组的成员分别随机选取部分班级的郁金香，统计其花色，最后汇总各组数据．数据记录如下表所示： 项目 一组 二组 三组 四组 五组 开红色花的植株数量 39 1 82 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 118 93 129 出现红色花的频率 0.39 a 0.41 0.4 b (1)表中______， ______； (2)在上述五个小组的数据中，你认为第______组的数据不适合用频率估计概率．你认为一棵郁金香开出红色花的概率是______（结果精确到0.1）； (3)为进一步美化校园，学校在校园各处种植郁金香，经统计其中开红色花的郁金香有524株，请你估计该校郁金香植株的总数量． 【答案】(1)0.1，0.4 (2)二，0.4 (3)1310株 【分析】（1）用频数除以总数，进行求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率求数量即可． 【详解】（1）解：；； （2）解：第二组的数据样本量过小，不适合用频率估计概率，由表格可知一棵郁金香开出红色花的概率大约是； （3）解：由（2）可知，一棵郁金香开出红色花的概率是， ∴（株）； 答：估计该校郁金香植株的总数量为1310株． 27．（24-25九年级下·福建厦门·期中）大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【答案】(1)万件 (2)每件衬衣至少需要定价元 【分析】本题考查了由频率估计概率，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频率估计概率，然后根据概率求出抽检2万件衬衣中合格衬衣件数即可； （2）设每件衬衣需要定价x元，根据销售利润至少有220万列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为，因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有： （万件）； （2）解：设每件衬衣需要定价x元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件衬衣至少需要定价元． 28．（25-26七年级下·河南郑州·期末）实践情景：3月25日，由郑州市公园广场事务中心世纪公园主办的2026年世纪公园首届梨花展正式拉开帷幕．本次梨花展以古梨树为底蕴、以园艺为特色，为市民游客献上一场集赏花观景、艺术展示、生态科普、文化体验于一体的春日盛宴． 知识呈现：“公梨”和“母梨”并非生物学上的性别区分，而是民间根据梨底部萼片（花托）是否脱落形成的外观差异进行的俗称． 母梨 公梨 看梨脐（底部凹陷） 萼片完全脱落，底部形成深且光滑的凹陷，周围平整．通常果形圆润端正，果皮细腻． 萼片宿存（未脱落），底部呈凸起状或凹陷极浅，周围不平滑，常带有花瓣状的硬梗． 口感与品质对比 果肉细腻多汁，石细胞（颗粒感）少，甜度较高，果核相对较小，口感更佳，市场接受度高． 果肉相对粗糙、偏硬，石细胞较多，吃起来可能有“渣”感，甜度和风味通常略逊于母梨，果核较大． 实践背景：为了解古梨树结出“公梨”和“母梨”的比例，植物社团的成员打算随机收集一些古梨树的果实进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集一棵古梨树的果实，区分出“公梨”和“母梨”的个数，最后统计各组数据． 数据记录： 选择一棵古梨树 一组 二组 三组 四组 五组 “公梨”的个数 39 1 71 63 86 “母梨”的个数 61 9 101 93 129 结出“公梨”的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_________，_________； (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一棵古梨树结出“公梨”的概率是____（结果精确到0.1）． (3)据统计，世纪公园共有230棵古梨树，今年平均每棵树结出100个梨，请你估计该公园今年结出“母梨”的个数． 【答案】(1)， (2)二；该组试验次数过少，不符合用频率估计概率对大量重复试验的要求； (3)个 【分析】（1）根据频率所求情况数总情况数计算a和b的值； （2）依据用频率估计概率需要大量重复试验的前提，判断不适合的小组，再计算整体频率得到公梨概率的估计值；（3）用总梨数乘以母梨的估计概率，得到最终估计结果． 【详解】（1）解：二组公梨数为，母梨数为，总个数为， 因此， 五组公梨数为，母梨数为，总个数为， 因此； （2）解：用频率估计概率需要进行大量重复试验，二组仅收集了个梨，试验次数太少，因此二组的数据不适合， 所有小组收集的总公梨数为， 总梨数为 ， 公梨的频率约为， 因此估计一棵古梨树结出“公梨”的概率为； （3）解：世纪公园总产梨数为（个）， 估计结出母梨的概率为， 因此估计母梨个数为（个）， 答：估计该公园今年结出“母梨”的个数为个． ▌知识点08：概率与方程、函数的综合 概率与代数综合题把概率值作为已知条件建立方程，或把含字母的数量代入概率公式求解参数；也可结合函数观点分析概率随数量的变化规律。 例如：袋中有红球x个、白球3个，P（摸到红球）＝，则x÷(x＋3)＝，解得x＝6，检验x＋3＝9≠0，即红球6个；又如袋中总球数不变时，红球越多P（摸到红球）越大，可用函数观点分析。 注意：列方程后要检验分母不为0且概率在0与1之间；求出的球的个数必须为正整数，不符合实际的要舍去。 29．（2026·福建泉州·二模）依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． (1)可以估计柑橘完好的概率约为_（精确到）； (2)在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售） (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 【答案】(1) (2)元 (3)要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/ 【分析】（1）由橘子完好的频率估计概率即可，注意精确到； （2）先求出采购总质量，根据柑橘完好率求出实际销售柑橘质量，再根据：利润总售价－成本； （3）由之间的关系及柑橘完好率列出一元二次方程，解方程即可，注意． 【详解】（1）解：随着采购量增大，柑橘完好的频率逐渐稳定在附近， 柑橘完好的概率； （2）解：依题意得元采购的柑橘的总质量（）， ∴，即售价， 又实际销售柑橘质量为（）， ∴可获得的利润是元 （3） 根据题意得 将代入上式得： 即 解得， 把代入 ∵在范围内 ∴符合题意 ∴要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/． 30．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 48 81 130 201 250 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是________； (2)估算袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1) (2)袋中白球有3个 (3) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，利用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系、概率公式及列表法求概率是解题的关键．（1）根据大量重复试验中频率的稳定值估计黑球概率；（2）设白球个数，利用黑球概率公式列方程求解；（3）按“第一列是第一次、第一行是第二次”的格式列表，统计所有结果及符合“一黑一白”的结果数，计算概率． 【详解】（1）解：观察表格，当试验次数增多时，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，故估计从袋中摸出一个黑球的概率是， 故答案为：； （2）设袋中白球有x个，则球的总个数为个， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴袋中白球有3个； （3）袋中球为1个黑球（记为B）、3个白球（记为、、），小强同学无放回地连续两次摸球，列表如下： 第一次\第二次 B B — — — — 总结果数为12种，其中“一个黑球一个白球”的结果有6种（、、、、、）， 故摸出一个黑球一个白球的概率：． 31．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (3)估计袋中黑球的个数为__________只； (4)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了__________个黑球． 【答案】(1)不可能事件 (2)0.5 (3)20 (4)10 【分析】（1）不可能事件是必然不会发生的事件； （2）当重复大量随机试验后，频率会稳定在一个固定的常数，观察图象即可得到答案； （3）根据黑球个数小球总数摸到黑球的频率计算即可得到答案； （4）设小明后来放进了个黑球，根据黑球个数小球总数摸到黑球的频率列方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵袋子里装有黑白两种颜色的球， ∴从袋子中随机摸一个红球是不可能事件； （2）解：由图可知，当摸球次数越来越大时，摸到黑球的频率接近0.5； （3）解：黑球的个数（个）； （4）解：设小明后来放进了个黑球， 由题意得， 解得， ∴小明后来放进了个黑球． 32．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共100个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 (1)①请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近_；（精确到0.1） ②假如你去摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为_；（精确到0.1） (2)先从盒子中取出x个红球，再从盒子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则x＝_； (3)若先从盒子中取出y个红球，再放入y个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求y的值． 【答案】(1)①0.3；②0.3 (2)30 (3) 【分析】（1）根据表格数据分析即可； （2）将红球都拿出来后，则为必然事件； （3）构造等量关系解方程即可． 【详解】（1）解：观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到红球的频率稳定在附近， 因此摸到红球的频率将会接近， 假如你去摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为； （2）解：∵摸到红球的频率为：， ∴盒子中红球的数量为：（个）， ∴当盒中红球都摸出的时候，盒子中都是黑球，则“摸出黑球”为必然事件， ∴； （3）解：设先从盒子中取出y个红球，再放入y个一样的黑球， 则得:, 解得：， 则盒子中取出个红球． ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可． 【详解】解：A、此选项中石子落在阴影部分可能性为； B、此选项中石子落在阴影部分可能性为； C、此选项中石子落在阴影部分可能性为； D、此选项中石子落在阴影部分可能性为； 所以石子落在阴影部分可能性最大的是B选项所示图形， 2．（25-26九年级下·北京·阶段检测）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将黄球编号以保证结果等可能，用列举法求概率． 【详解】解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂． 摸出2个球的所有等可能结果为：（红，黄₁）、（红，黄₂）、（黄₁，黄₂），共3种． ∵符合“1个红球和1个黄球”的结果有2种． ∴概率． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：设字母A、B、C分别表示三个入口， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人刚好从同一个入口进站的情况有种， ∴两人刚好从同一个入口进站的概率为． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该排座位共有五个座位， 已经售出，剩余座位为， 所有情况列表如下， C 共有6种等可能结果，其中符合题意的有，2种， 所以小亮和爸爸相邻而坐的概率是． 5．（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 7．（2026·贵州遵义·一模）小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 8．（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 二、填空题 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 【答案】20 【分析】大量的试验后，频率约等于概率，利用红色卡片的数量除以其频率即可求出总的卡片数量． 【详解】解：根据题意有：． 10．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 【答案】 【分析】大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，可将这个常数作为该事件发生概率的估计值． 【详解】解：观察表格数据可得，随着射击总次数不断增大，击中靶心的频率逐渐稳定在附近，因此估计该运动员射击一次击中靶心的概率为． 11．（25-26七年级下·山东烟台·期末）二维码是黑白方块按一定规则在平面排列的图形，利用二进制“0，1”存储文字、网址、数字等信息．如图所示的二维码是一个边长为的正方形，为了估计黑色部分的面积，在该正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，由此可估计黑色部分的面积约为________． 【答案】3.75 【分析】先求出正方形的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，计算即可得出结果． 【详解】解：正方形的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴黑色部分的面积约为． 12．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 13．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）在一个不透明的袋子中装有4个红球、2个白球和1个黑球，每个球除颜色外完全相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球颜色不同的概率为__________． 【答案】 【分析】先列表确定所有等可能的结果总数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 第一次第二次 红 红 红 红 白 白 黑 红 红，红 红，红 红，红 红，红 白，红 白，红 黑，红 红 红，红 红，红 红，红 红，红 白，红 白，红 黑，红 红 红，红 红，红 红，红 红，红 白，红 白，红 黑，红 红 红，红 红，红 红，红 红，红 白，红 白，红 黑，红 白 红，白 红，白 红，白 红，白 白，白 白，白 黑，白 白 红，白 红，白 红，白 红，白 白，白 白，白 黑，白 黑 红，黑 红，黑 红，黑 红，黑 白，黑 白，黑 黑，黑 共有49种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不同的结果数为28种， ∴两次摸出的球颜色不同的概率为． 14．（2026·广东东莞·模拟预测）三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 【答案】/ 【分析】先算总共有多少种抽取2个的情况，然后再算含A的有多少种，根据概率公式 计算即可． 【详解】解：我们将4个盲盒分别记为A、B、C、D， 从4个盲盒中随机抽取2个， 所有等可能的组合共12种等可能结果，如图所示 其中包含A款的结果共6种符合条件的结果， ∴所求概率为 ． 15．（25-26九年级上·陕西西安·期中）桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了游戏公平性． 通过计算数字之和为偶数和奇数的概率，判断游戏是否公平． 【详解】解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 16．（2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 三、解答题 17．（2026·四川宜宾·模拟预测）为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了_名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为_，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【答案】(1)，， 补全条形统计图如图所示： (2)名 (3) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：该校此次调查共抽取学生人数：（名）． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为． 组中八年级的学生人数为（名）． 补全条形统计图略； （2）解：根据题意，八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数为：（名）． （3）解：将七年级的名同学分别记为甲、乙，八年级的名同学分别记为丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中恰好选中七、八年级各名同学的情况有种， ∴（恰好选中七、八年级各名同学）． 18．（25-26七年级下·广东深圳·期末）一枚质地均匀的正十二面体形状的骰子（如图），其中的1个面标有“”，1个面标有“”，2个面标有“”，2个面标有“”，3个面标有“”，其余面标有“”（如表1）． 表1正十二面体骰子每面对应字母统计表 字母 对应的个数 1 1 2 2 3 ？ (1)标有“”的面有_________个． (2)任意掷这枚骰子，掷出“”的概率是多少？ (3)小明和小华参与游戏：任意掷这枚骰子，若掷出“”或“”或“”，则小明赢，否则小华赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)这个游戏对双方不公平． 理由如下： 小明赢的概率为， 小华赢的概率为， 因为， 所以这个游戏对双方不公平． 【分析】（1）根据题意可得，标有“”的面数等于总面数减去其他字母的面数之和，即可解答； （2）根据概率公式即可解答； （3）分别计算小明赢的概率和小华赢的概率，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，正十二面体形状的骰子共有个面， 标有“”的面有（个）． （2）解：任意掷这枚骰子，所有等可能的结果有12种，掷出字母“”的结果有3种， 所以，掷出“”的概率为． （3）略 19．（25-26七年级下·四川成都·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)小华和小颖决定周末去春游，小华想先去爬山，小颖想先去观水，最后两个人设计了一个转盘游戏，谁胜听谁的．如图是小华和小颖共同设计的自由转动的等分转盘，上面写有8个自然数． ①求转动一次转盘，转得的数是3的倍数的概率； ②若转动一次转盘，转得的数是奇数，则小华胜；转得的数是偶数，则小颖胜， 这个游戏对双方公平吗？请说明理由． (2)已知直线，点在直线上，点在直线，之间，，点在直线上，点在直线上（点在点的右侧），． ①当时，证明； ②当时，求的度数． 【答案】(1)①；②这个游戏对双方公平，理由如下： ∵转动一次转盘，转得的数共有8种等可能的结果，其中，转得的数是奇数的结果是自然数，共4种结果；转得的数是偶数的结果是自然数，共4种结果， ∴小华胜的概率为，小颖胜的概率为， ∴两人获胜的概率相等， ∴这个游戏对双方公平． (2)①证明：如图：过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． ②. 【分析】（1）①利用概率公式求解即可；②利用概率公式分别求出两人获胜的概率，再比较大小即可； （2）①如图：过P作，易得、，进而证明，即可证明结论；②如图：过P作，先求得，则，再利用三角形内角和的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵转动一次转盘，转得的数共有8种等可能的结果，其中，转得的数是3的倍数的结果有2种，即自然数3和自然数6， ∴转动一次转盘，转得的数是3的倍数的概率为． ②略 （2）①略． ②如图：过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 (1)上述表格中：________，________； (2)当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； (3)如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； (4)根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由统计表数据求解即可； （2）由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况即可得到答案； （3）由频率估计概率得到指针落在《中国国家天文》区域的概率，再由题意得到指针落在《大国航天》区域的概率，结合三类书籍或杂志概率为，列式计算即可； （4）当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近，由频率计算即可. 【详解】（1）解：由统计表可知，解得；； （2）解：由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况可知，当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近； （3）解：由（2）知，指针落在《中国国家天文》区域的概率为， 指针落在《大国航天》区域的概率为， 指针落在《问天少年》区域的概率为； （4）解：当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近， 转动转盘次，估计指针落在《中国国家天文》区域次数大约为. / 学科网（北京）股份有限公司 $