第4章 投影与视图 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第四章 投影与视图 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合辨析中心投影与平行投影的特征，根据光线特点判断投影类型并解决相关计算问题。 2. 能综合运用三视图的画法与还原方法，完成画图、识图、计数与表面积、体积的计算。 3. 能运用投影与视图知识解决生活中的综合问题，体会转化思想，形成本章完整的知识网络。 ▌课时目录 知识点01：中心投影与平行投影的概念辨析与特征对比 知识点02：根据光线特点判断投影类型 知识点03：利用平行投影的比例关系解决实际问题 知识点04：利用中心投影的性质确定光源位置或影子长度 知识点05：三视图画法与“长对正、高平齐、宽相等”规律的综合应用 知识点06：由三视图还原几何体并计算相关量 知识点07：投影与视图在生活中的综合应用 知识点08：阴影面积的计算 知识点09：动点问题的投影分析 知识点10：跨学科综合问题 ▌知识点01：中心投影与平行投影的概念辨析与特征对比 中心投影的光线从点光源发出（如灯光），投影线交于一点；平行投影的光线互相平行（如太阳光）。辨析时先判断光线是“汇聚于一点”还是“互相平行”。 特征对比：①中心投影下，同一时刻物高与影长不成固定比；平行投影下成正比。②中心投影下等高物体的影长随位置变化；平行投影下等高物体同一时刻影长相等。 注意：题目只给出一个物体的影子时，往往无法判断投影类型，要结合光源描述或两个物体的影子综合判断。 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象，手影戏中的手影属于_____________．（填“平行投影”或“中心投影”）． 【答案】 中心投影 【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：手影戏表演时，使用点光源（如灯泡）照射手部，投影线从光源点发射并投射到屏幕，形成影子，因此属于中心投影． 故答案为：中心投影． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）古龙桥，又名崇仁桥，位于三原县清峪河上，是西北地区著名的古桥之一．古龙桥在路灯灯光下的影子为________投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的判断，投影分为中心投影和平行投影．中心投影的光线从一点（光源）发出，而平行投影的光线是平行的． 路灯灯光是点光源，光线从一点发出，呈放射状，因此影子是中心投影． 【详解】解：路灯灯光是点光源，光线从光源点向四周发散， 因此古龙桥在路灯灯光下形成的影子是中心投影． 故答案为：中心． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）皮影戏是中国民间古老的非物质文化遗产．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏油灯，其投影属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】根据中心投影的定义，点光源发出的光线形成的投影是中心投影． 本题考查了投影的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：皮影戏使用油灯作为光源，油灯是一个点光源，光线从一点向四周发散，因此投影属于中心投影． 故答案为：中心． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）阳光照射小树在地面上形成的投影属于______投影（填“平行”或“中心”）． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行投影，阳光来自太阳，由于太阳距离地球很远，光线可视为平行光，因此形成的投影属于平行投影． 【详解】解：根据投影的定义，平行投影是指互相平行的光线形成的投影，而中心投影是指光线从一点发出形成的投影，阳光是平行光，因此小树在地面上的投影属于平行投影． 故答案为：平行． ▌知识点02：根据光线特点判断投影类型 判断方法：①看光源——灯、蜡烛、手电筒等是点光源，对应中心投影；太阳光对应平行投影。②看投影线——延长两条投影线，相交于一点的是中心投影，互相平行的是平行投影。③看影子——同一时刻两个等高物体影长不同，一般为中心投影。 例如：甲、乙两根等高竹竿的影子顶端与竿顶的连线延长后相交，说明光线汇聚于一点，是中心投影。 注意：作图判断时投影线要选“物顶—影顶”的连线，且至少取两个物体才能判断光线是否平行。 5．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图为达·芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是______消失点在该变换中的类似物是______． 【答案】 中心投影 投影中心 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：透视画法在数学上的类似变换是中心投影，消失点在该变换中的类似物是投影中心， 故答案为：中心投影，投影中心． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）横山是历史悠久的革命老区．横山起义纪念碑在路灯灯光下的投影为______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查了中心投影，解题关键是掌握中心投影． 根据中心投影的意义求解即可． 【详解】解：平行投影由平行光线形成，如阳光；中心投影由点光源发出的放射状光线形成． 路灯灯光为点光源，因此纪念碑的投影为中心投影． 故答案为：中心． 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）华州皮影戏又称“灯影”“影子”．在灯光照耀下，舞动影人，隔亮布演唱，观众在外观听．华州皮影中的“影”属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题主要考查了平行投影和中心投影，熟练掌握中心投影和平行投影定义，是解题的关键．根据中心投影定义，进行判断即可． 【详解】解：华州皮影中的“影”属于中心投影． 故答案为：中心． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）．根据平行投影的定义判断即可． 【详解】解：①灯是点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ②太阳光近似平行光线，形成平行投影，符合题意； ③萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ④灯光为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； 故答案为：②． ▌知识点03：利用平行投影的比例关系解决实际问题 解题步骤：①明确同一时刻“物高∶影长”为定值；②选一根可测量的参照物（竹竿、人），测得其高度与影长；③列比例式 待测物高/待测影长＝参照物高/参照影长；④解方程并作答。 例如：身高1.6m的学生影长1.2m，同一时刻树影长9m，设树高x m，由解得x＝12，即树高12m。 注意：影子落在墙面、台阶等非水平面上时，要分段处理：先求出落在地面部分对应的高度，再加上墙面部分的高度，不能直接套比例。 9．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 【答案】 【分析】本题考查平行投影的性质，核心是同一时刻、同一地点，太阳光下物体的高度与影长的比值为定值(由相似三角形对应边成比例推导而来)． 【详解】解：厘米米，小红的身高为米； 设小红的影长为米， ∴， 解得； 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 12．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 【答案】鸿门寺塔的高为27米 【分析】证明，得，整理得①；再证明，得，整理得：②，联立①②得，求出，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 整理得①； 由平面镜反射原理得：， 又， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， 又，（米）， ∴， ∴， 整理得：② 联立①②得， 解得， ∴（米）， 答：鸿门寺塔的高为27米． ▌知识点04：利用中心投影的性质确定光源位置或影子长度 确定光源：分别连接两个物体的顶端与其影子顶端，两条连线的交点即点光源。求影长或物高：利用“光源—物顶—影顶”三点共线，构造相似三角形列比例求解。 例如：灯杆高8m，一人高1.6m，当他走到距杆底10m处，设影长x m，由解得x＝2.5，即影长2.5m。 注意：中心投影的比例式中，大三角形的底边是“杆底到影顶”的总距离（人距＋影长），不是单纯的影长，这是最常见的错误。 13．（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 14．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【分析】根据证明，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 15．（2026·宁夏银川·三模）如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是若，则的面积是______． 【答案】 【分析】由中心投影可知与是位似图形，根据位似图形的性质，面积比等于位似比的平方，求出位似比即可求解． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形，点为位似中心． ， ， ， 与的位似比为， ， ， ． 16．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 【答案】(1) (2)3m 【分析】（1）根据相似三角形的性质，建立等量关系即可求解； （2）先证，，根据相似三角形的性质建立等量关系即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，掌握平行投影是解题关键． 【详解】（1）解：,, ， , , , 则， ， 故答案为：． （2）即为所求． ，，， ，，， ，， 又， ， 设， 则， 解得， 由（1）得， ， 假山的高度为． 故答案为：． ▌知识点05：三视图画法与“长对正、高平齐、宽相等”规律的综合应用 综合画三视图的步骤：①分析几何体的组成与摆放；②先画主视图；③按“长对正”在主视图正下方画俯视图，按“高平齐”在主视图正右方画左视图；④用“宽相等”核对左视图与俯视图；⑤看不见的轮廓线补画虚线。 例如：画底面边长为3、高为4的正四棱柱上放一个直径为2的半球，主视图为长方形上方加半圆，俯视图是正方形内有一个圆。 注意：三视图的布局位置不能随意挪动；“宽相等”最常出错，可用45°辅助线把俯视图的宽转移到左视图。 17．（25-26九年级上·甘肃白银·阶段检测）请画出此零件的三视图． 【答案】零件的三视图如图所示： 【分析】本题主要考查立体图形的三视图，理解并掌握三视图的概念，及绘图方法是解题的关键．根据立体图形的三视图的特点，主视图：从正面观察立体图形，主视图的宽、高与立体图形的宽、高相等；左视图：从左面看立体图形，左视图的长、高与立体图形的长、高相等；俯视图：从上往下看立体图形，俯视图的宽、长与立体图形的宽、长相等；由此即可求解． 【详解】略 18．（25-26九年级上·山东·单元复习）添线补全下列几何体的三种视图 【答案】 如图所示为所求： 【分析】本题考查了作图−三视图，注意实线和虚线在三视图的用法．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其它部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．据此解答即可． 【详解】略 19．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】 如图所示． 【分析】本题考查了作图−三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法． 画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 【详解】略 20．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，取得圆满成功．如图是小明制作的火箭模型的半成品，请你画出该模型的三视图． 【答案】 解：三视图如图所示： 【分析】本题考查画三视图，根据主视图就是从正面看得到的图形；左视图就是从左面看得到的图形；俯视图就是从上面看得到的图形画图即可，也是解题关键． 【详解】略 ▌知识点06：由三视图还原几何体并计算相关量 还原流程：主视图定正面形状与长高→俯视图定底面占位→左视图核对→想象几何体。计算体积用公式或“块数×单块体积”，计算表面积时注意凹槽、孔洞等隐藏面。 例如：三视图显示底面为2×2占位、各位置层数为2、2、1、1的小立方块组合体，共6块，体积为6；主视图、左视图、俯视图面积均为4，表面积＝2×（4＋4＋4）＝24。 注意：还原后要把三个视图逐一回代检验；计算表面积时，两个小立方块贴合的面不外露，不能计入。 21．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为____． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图求侧面积，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识． 作，由左视图可知，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据几何体的侧面积个相同的长方形面积相加计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，如图，作，由左视图可知，三棱柱的高为2， ∵俯视图是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该几何体的侧面积． 故答案为：． 22．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是________． 【答案】38 【分析】本题考查了几何体的组成及表面积计算．先分析几何体各个方向的面的情况，从上下方向，面积之和为，从前后方向，面积之和为，从左右方向，面积之和为，最后再依次计算几何体的表面积并相加即可． 【详解】解：该几何体的表面积是：， 故答案为：38． 23．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查长方体的三视图、体积的计算方法及用平面截几何体的方法，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （2）由三视图确定长方体的长、宽、高，利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形． 故答案为：①②③ （2）解：由主视图可知长方体的长为，高为， 由俯视图可知长方体的宽为， ∴该几何体的体积为． 24．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)该几何体的主视图是_，左视图是_；（填序号） (2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 【答案】(1)①，② (2)， 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积以及体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分别从正面、左面看到的图形，得出几何体的主视图和左视图，进行作答即可． （2）根据三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，根据面积计算公式即可得到这个几何体的表面积；根据体积计算公式利用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可得到这个几何体的体积． 【详解】（1）解：由题意可得，该几何体的主视图是①，左视图是②； 故答案为：①，②； （2）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变， 则这个几何体的表面积为：， 这个几何体的体积为：， 答：这个几何体的表面积与体积分别为，． ▌知识点07：投影与视图在生活中的综合应用 投影与视图广泛应用于建筑设计（房屋采光与阴影分析）、机械制造（零件图纸）、美术摄影（布光与剪影）等领域。 例如：两栋楼之间的日照间距设计，就是利用冬至日正午太阳光（平行投影）下前楼的影长不遮挡后楼底层窗台来计算的；机械零件的图纸用三视图表达形状与尺寸。 注意：解决应用题时先判断属于平行投影还是中心投影，再选择“比例法”或“相似三角形法”；画零件三视图时注意用虚线表达内部结构。 25．（2026·陕西西安·模拟预测）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ， ，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为． 【分析】根据平行投影的性质可得，易得，令与的交点为H，则四边形和是矩形，设，证明得到，求出x值即可． 【详解】解：∵阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处， ∴，即； 如图，令与的交点为H，则四边形和是矩形， ∴ ∵， ，，． ∴ ， 设，则， ， ， ∵， ， ，即，解得：． 答：纪念碑的高度为． 26．（2026·河南信阳·二模）某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)测量长度时存在读数误差 【分析】（1）根据同一时刻太阳光线平行得，易证明，则，据此求解即可； （2）根据光的反射定律得到，证明，则，结合（1）中结论进行求解即可； （3）结合测量过程的实际操作场景，从测量工具、测量条件、操作误差等角度分析误差原因即可． 【详解】（1）解：由题意得：、， ， 同一时刻太阳光线平行， ， ， ， ，即， ； （2）解：根据光的反射定律，， 由题意得：、， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 解得：， 即大厦高度为； （3）解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等． 27．（2026·河北廊坊·一模）廊坊金丰农科园属于省级农业科技园区，是全国青少年农业科普示范基地．图1为园区内一处休息区的座椅，其主视图尺寸如图2所示． (1)请用含b的代数式表示a； (2)已知，求这个主视图的面积． 【答案】(1) (2)56 【分析】（1）根据主视图尺寸得到，变形后即可得到答案； （2）根据，可设，，，列方程并解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）根据，可设，，， 由（1）得， 解得， ∴，，， ∴这个主视图的面积为． 28．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 【答案】任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∵可以直接测量出的长度， ∴建筑物的高度可以通过计算得出； 任务2：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 任务1：证明出得到，即可求解； 任务2：证明，则＝，由任务1得，＝，故＝，再代入数据求解即可； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差． 【详解】解：任务1：略 任务2：∵∠， ∴， ∴＝， 由任务1得，＝， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴， ∵，即， ∴． 答：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． ▌知识点08：阴影面积的计算 阴影面积问题通常有两类：①投影类——求物体在投影面上影子的面积，先确定影子的形状（三角形、平行四边形、矩形等），再用面积公式计算；②视图类——求视图中阴影部分的面积，把视图分解为基本图形求和或求差。 例如：阳光下斜放的矩形纸板在地面上的影子是平行四边形，量得其底为4、高为2，则阴影面积为 4×2＝8；台阶形几何体主视图的阴影面积可用大长方形减去缺口小长方形计算。 注意：求影子面积先判断投影类型并画出影子轮廓；图形不规则时用割补法，切忌直接用原物体的面积代替影子的面积。 29．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 30．（25-26九年级上·山西晋中·期末）在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，分式方程的应用，如图，设直射灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、，根据题意知：，，证明，，进一步推出，代入数据求解即可．解题的关键是正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【详解】解：如图，设直射筒灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、， 根据题意知：，， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴直射筒灯距离城墙大约． 故选：A． 31．（25-26九年级上·河南信阳·期末）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼6，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为2，已知此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1，那么这棵大树高___________． 【答案】11 【分析】本题考查平行投影的应用，矩形性质和判定，熟练掌握同一时刻，物高与影长成正比是解题的关键． 过点D作于E，证明四边形为矩形，利用矩形性质得到，进而得到，再根据“同一时刻，物高与影长成正比”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于E， 由题易知，， 四边形为矩形， ， ， 设这棵大树高，则， 此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1， ， 解得； 故答案为：11． 32．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由投影可得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （2）由题意得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （3）直线与，，分别交于点R，T，W，可得矩形，，，，由此求出相关线段长度，证明，，根据对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：为的影子，为的影子， ， ， 又， ， ， ， 即旗杆的高度为， 故答案为：； （2）解：如图2， 由题意知，， ， ，即， ， 即旗杆的高度为； （3）解：如图，直线与，，分别交于点R，T，W， 由题意得，四边形，，，均为矩形， ，，，，， ， 设，， ，， ， ，即， 解得， 同理可证， ，即， ， 解得， ， 即阿炳像的高度为． ▌知识点09：动点问题的投影分析 动点投影问题研究物体（或点）运动时其影子的变化。基本思路：抓住“光源—物顶—影顶”的相对关系，用相似三角形建立影长与位置之间的等量关系。 例如：一人以1m/s的速度从路灯正下方向外走，灯高6m，人高1.5m，设走x m，影长y m，由得，即影长与路程成正比；影子顶端移动的路程是，速度为m/s。 注意：列关系式时底边要取“灯杆底部到影子顶端”的总长；求影子端点速度时，端点路程是“人走路程＋影长”，不能只看影长。 33．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（）在某一灯光下的影子为，继续按原速行走2秒到达点F，此时他（）在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（）在同一灯光下的影子为（点C，E，G在一条直线上） (1)请在图中画出小明位于点F时的影子（不写画法）； (2)求小明原来的速度． 【答案】(1) 解：图形如图所示： ； (2) 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长． （1）利用中心投影的定义画图； （2）设小明原来的速度为，则，，，，根据相似三角形的判定方法得到，，则，，推出，即，然后解方程解决． 【详解】（1）略 （2）解∶设小明原来的速度为，则，，，， ∵点C，E，G在一条直线上，， ∴，， ∴，， ∴，即， 解得， 经检验为方程的解， ∴小明原来的速度为． 答：小明原来的速度为． 34．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求： (1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）； (2)路灯杆的高度． 【答案】(1)和 (2)米 【分析】本题主要涉及相似三角形的判定和性质． （1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似来找出相似三角形． （2）利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于路灯杆高度和相关线段长度的方程，进而求解路灯杆的高度． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ； （2）解：由题可知，，，， ， ， ， 即①， ， ， 即②， 联立①②解得，； 答：路灯杆的高度米． 35．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（）图，图； （）如图所示，线段和点即为所求； （）；（）米 【分析】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （）根据中心投影的定义画出图形； （）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：（）反映平行投影的情形图是图，反映中心投影的情形图是图， 故答案为：图，图； （）略 （）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：； （）如图，过点作于点，设米，米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴米，米， 又同理可得：， 即， 解得， 答：的影长为米． 36．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 【答案】(1)路灯的高度为9.6米 (2)的长是米 【分析】本题考查相似三角形的应用、列代数式，属于中档题． （1）由证△△，用相似比求高度； （2）由证△△，代入求长度． 【详解】（1）解：由题意，可知，米，米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为9.6米； （2）解：， 米， 米，米， 米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； ▌知识点10：跨学科综合问题 投影与视图常与物理（光沿直线传播、日食月食、小孔成像）、地理（正午太阳高度角与纬度）、美术（透视与素描明暗）等学科结合命题。 例如：北半球某地冬至日正午太阳高度角最小，楼影最长，地理上据此确定采光间距；物理中的小孔成像与中心投影原理一致，像与物倒立且大小满足相似比。 注意：跨学科问题中提取数学条件是关键——把“太阳高度角相同”转化为“平行投影下物高与影长成正比”，把“小孔”转化为“点光源”，再按本章方法求解。 37．（25-26九年级上·广东佛山·期中）仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时还能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的投影是（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的投影是平行投影． 故选：A． 38．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内．在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度的变化情况是（    ） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先逐渐变长，后逐渐变短 D．先逐渐变短，后逐渐变长 【答案】D 【分析】本题考查平行投影；根据太阳光照射角度随时间的变化而变化，得出影子的长短随时间的变化而变化，早晨和傍晚影子长，中午影子短；据此即可求解． 【详解】解：依题意，从早到晚在太阳光下孟母像的影子变化是先逐渐变短，后逐渐变长． 故选：D． 39．（2025·广东茂名·模拟预测）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：太阳光下表的影子为平行投影． 故选B． 40．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是______（填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是__________（填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的______有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变______（填“长”或“短”），白昼时间变______（填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图中的______（填序号），此过程太阳的直射点向______移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的______有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是______前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是______（填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 【答案】（1）正北；（2）先变短再变长；自转；（3）长；短；③；南；（4）公转；（5）夏至日；冬季 【分析】本题主要考查了平行投影，解题的关键是熟练掌握影子的画法． （1）根据影子的画法进行判断即可； （2）根据图形进行回答即可； （3）根据表格记录数据进行解答； （4）根据地理知识进行解答即可； （5）根据地球公转特点进行解答即可． 【详解】解：（1）正午12点，竹竿影子的朝向是正北； （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是先变短再变长；此现象与地球的自转有关； （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变长，白昼时间变短，测量期间太阳直射点最接近图中的③，此过程太阳的直射点向南移动； （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的公转有关； （5）B图中影子比较短，因此测绘的时间可能是夏至日前后，假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是冬季． ▌全章训练 一、选择题 1．（2026·辽宁·模拟预测）如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，都是两个并列的小正方形，即看到的图形为 ． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源是一盏煤油灯，属于点光源， ∴光线从一点发出，形成中心投影． 故选：A． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，圆的周长，掌握相似的性质是关键． 根据题意相似的性质得到，即可求解． 【详解】解：桌面距地面，若灯泡距地面， ∴灯泡距离桌面， 设桌面阴影的半径为， ∴， 解得，， ∴地面上的阴影部分的面积为， 故选：A ． 4．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 解：从左边看，看到的图形是一个长方形，且内部有一条看不见的线，即用虚线表示， 所以D正确． 5．（2026·河南平顶山·三模）如图是郑州博物馆收藏的汉兽纹长颈铜壶，若仅观察其轮廓，忽略表面纹饰．则关于它的三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】根据三视图定义，结合图形分析，即可解题． 【详解】解：由三视图的定义，可知该铜壶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图都不同． 6．（2026·河南开封·模拟预测）如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（     ） A．①④ B．③④ C．① D．②③ 【答案】A 【分析】根据主视图的定义，画出四个图形的主视图，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】 解：①几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； ②几何体的主视图为：，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ③几何体的主视图为：，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； ④几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 即主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是①④． 7．（2025·广东惠州·一模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据题意可知与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ∵， ∴， ∴与的位似比为， ∴， 解得． 故选：D． 8．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中心投影，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出，进而求出，确定点的坐标． 【详解】过点作轴，垂足为， 由题意得，米，米， ， ， ， ∵轴， ∴， ， ， 即：， 解得 ， 点的坐标是，． 故选：B． 9．（23-24九年级上·福建泉州·期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，分式方程解实际应用题，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意可得，故， ， ， 设乙的速度为，故甲的速度为， 根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即， 故可得， 解得． 故选B． 二、填空题 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列现象属于中心投影的是________（填序号）    【答案】②③ 【分析】本题需要理解中心投影的概念，并根据定义判断哪些现象属于中心投影；中心投影是指所有光线从一个点发出，投射到平面上形成影子的现象． 逐一分析每个现象，由此得到答案． 【详解】①沙漠中一棵小树的影子，太阳光近似平行光， 不符合中心投影定义； ②皮影戏，光线从一个点发出，投射到屏幕上形成影子，符合中心投影定义； ③手影，光线从一个点发出，投射到墙上形成影子，符合中心投影定义； ④日晷，利用太阳光的平行光束，不符合中心投影定义． 故答案为：②③． 11．（2026·四川成都·一模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 【答案】 【分析】边形的内角和（其中为多边形的边数，且，为正整数），先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：该六棱柱的俯视图为六边形， 根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为． 12．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要_____个小立方块，最少要____个小立方块． 【答案】 15 10 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是结合从正面和上面看到的形状图，分析每层小立方块的数量范围． 先根据从上面看到的形状图确定底层小立方块数量，再结合从正面看到的形状图分别确定第二层、第三层小立方块的最多和最少数量，最后求和得到几何体最多和最少的小立方块总数． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，组成这个几何体的底面小正方体有7个， 由从正面看到的形状图可知，第二层最多有5个，第三层最多有3个， ∴组成这个几何体最多要（个）小立方块， 第二层最少有2个，第三层最少有1个， ∴组成这个几何体最少要（个）小立方块， 故答案为：15，10． 13．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）小明家的客厅有一张直径为，高的圆桌，在距地面的A处有一盏灯，圆桌的影子为．如图，根据题意，以为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质求出的长，再求出的长，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，的边上的高为，的边上的高为， ∴， ∴，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是_______． 【答案】④③①② 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长． 【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再由短变长．可知先后顺序是④③①②． 故答案为：④③①②． 15．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 【答案】 【分析】由俯视图确定底层小立方块的分布与数量，结合主视图确定几何体的层数及每列的最高层数，进而分析出最多和最少的小立方块数量． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底层有个小立方块，分为左、右两列，左列有个位置，右列有个位置， 由主视图可知，该几何体共有层，且左列、右列的最高层数均为层， 当上层每个位置都放置小立方块时，总数最多，此时上层有个， ； 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即左列、右列各至少放个时，总数最少，此时上层最少有个， ； ． 16．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 【答案】468 【分析】根据题意，找到个数与面积之间的规律：表面积为，即可计算第12个几何体的面积． 【详解】解：第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，可以写成： ， 第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，可以写成： ， 第（3）个几何体的表面积为36个平方单位，可以写成： ， 第（4）个几何体的表面积为60个平方单位，可以写成： ， 第（n）个几何体的表面积可以写成： ， 则第（12）个几何体的表面积可以写成： ， 现在，用表示总面积，则， 再写成的形式， 则， 解得， 所以第（12）个几何体的表面积为468个平方单位． 三、解答题 17．（26-27六年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、从左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看到的形状图不变，最多可以再添加____________个相同的小立方块． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）先确定观察方向，因为从正面看的形状图反映几何体的列数和每列最高层数，所以先数出几何体的列数，再确定每列小正方形的层数，同理确定从左面看、从上面看的形状图的行列分布与层数，对应在网格中绘制． （2）因为喷漆不含底面，所以分别统计前、后、左、右、上五个方向的正方形面的数量加上已经暴露出被遮挡的正方形的数量，每个面面积为，用面数乘单个面面积得到总面积；也可利用三视图的面积关系计算，前后面面积相等、左右面面积相等． （3）因为要保持从上面看的形状图不变，所以底层小正方体的位置不能改变，又因为要保持从正面看的形状图不变，所以每一列的最大层数不能超过原几何体该列的最大层数，逐个位置判断可添加的小正方体数量，求和得到最多添加量． 【详解】（1）解：从正面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、1、2； 从左面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、1、1； 从上面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、2、1． 按照上述数量在对应网格中填充正方形即可得到符合要求的形状图． （2）解：小正方体每个面的面积为 ，我们分别统计几何体不含底面的外表面的正方形面数： 前面、后面各能看到6个正方形面，共 个； 左面、右面各能看到5个正方形面，共 个； 顶面（不含底面）能看到6个正方形面． 左面、右面都不能看到暴露出的2个正方形面． 总面数为 ， ∴喷漆总面积为 ； （3）保持从正面看、从上面看到的形状图不变，需保证从正面向后看三列的最大高度仍分别为3、1、2： 从正面看第一列的层数最多3层； 从上面看左面一列的中间行的位置最多可加2个小立方块（该列最大高度要求为3，可补2层）， 下面行的位置最多可加2个小立方块（该列最大高度要求为3，可补2层）． 因此最多可以再添加 4个小立方块． 18．（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）【问题情境】小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔 ． 【操作探究】 (1)图中的图形________经过折叠能围成无盖正方体纸盒（填序号）． (2)将图小正方体移走后，得到一个新的几何体，与原几何体相比，从三个方向看到的形状图没有发生变化的是__________． ．从正面和上面看到的形状图．从左面和上面看到的形状图 ．从正面和左面看到的形状图．从正面、左面、上面看到的形状图 (3)如果图在原几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． (4)若图小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可； 分别画出图小正方体移走前、后从不同方向看到的形状图，然后比较即可； 根据从正面和左面看到的形状图不变，可在左侧和上面分别添加一个小正方体，从而求解； 通过从不同方向看到的形状图的面积和乘以，再加上个小正方形面积即可． 【详解】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由个面组成，但图经折叠后有两个面重复， 因此图中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒， 故答案为：； （2）解：图小正方体从不同方向看到的形状图， 图小正方体移走后从不同方向看到的形状图， ∴从三个方向看到的形状图没有发生变化的是从正面和左面看到的形状图， 故选：； （3）解：保持从正面和左面看到的形状图不变，可在左侧和上面分别添加一个小正方体， 所以最多可以再添加个小正方体， 故答案为：； （4）解：∵图小正方体的棱长为， ∴小正方形面积为， ∴该几何体的表面积为． 19．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，某条道路上安装路灯的路面比旁边农田的地面高（即），在路灯的照射下，路基在农田地面上留下的影长为，已知点E、P、Q在同一直线上，于点B，于点P，． (1)此光源下形成的投影属于_______；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2)路灯的高度为4.5米 【分析】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键． （1）根据由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影解答即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵路灯是点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影． 故答案为：中心投影； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为4.5米． 20．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第四章 投影与视图 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合辨析中心投影与平行投影的特征，根据光线特点判断投影类型并解决相关计算问题。 2. 能综合运用三视图的画法与还原方法，完成画图、识图、计数与表面积、体积的计算。 3. 能运用投影与视图知识解决生活中的综合问题，体会转化思想，形成本章完整的知识网络。 ▌课时目录 知识点01：中心投影与平行投影的概念辨析与特征对比 知识点02：根据光线特点判断投影类型 知识点03：利用平行投影的比例关系解决实际问题 知识点04：利用中心投影的性质确定光源位置或影子长度 知识点05：三视图画法与“长对正、高平齐、宽相等”规律的综合应用 知识点06：由三视图还原几何体并计算相关量 知识点07：投影与视图在生活中的综合应用 知识点08：阴影面积的计算 知识点09：动点问题的投影分析 知识点10：跨学科综合问题 ▌知识点01：中心投影与平行投影的概念辨析与特征对比 中心投影的光线从点光源发出（如灯光），投影线交于一点；平行投影的光线互相平行（如太阳光）。辨析时先判断光线是“汇聚于一点”还是“互相平行”。 特征对比：①中心投影下，同一时刻物高与影长不成固定比；平行投影下成正比。②中心投影下等高物体的影长随位置变化；平行投影下等高物体同一时刻影长相等。 注意：题目只给出一个物体的影子时，往往无法判断投影类型，要结合光源描述或两个物体的影子综合判断。 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象，手影戏中的手影属于_____________．（填“平行投影”或“中心投影”）． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）古龙桥，又名崇仁桥，位于三原县清峪河上，是西北地区著名的古桥之一．古龙桥在路灯灯光下的影子为________投影．（填“中心”或“平行”） 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）皮影戏是中国民间古老的非物质文化遗产．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏油灯，其投影属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）阳光照射小树在地面上形成的投影属于______投影（填“平行”或“中心”）． ▌知识点02：根据光线特点判断投影类型 判断方法：①看光源——灯、蜡烛、手电筒等是点光源，对应中心投影；太阳光对应平行投影。②看投影线——延长两条投影线，相交于一点的是中心投影，互相平行的是平行投影。③看影子——同一时刻两个等高物体影长不同，一般为中心投影。 例如：甲、乙两根等高竹竿的影子顶端与竿顶的连线延长后相交，说明光线汇聚于一点，是中心投影。 注意：作图判断时投影线要选“物顶—影顶”的连线，且至少取两个物体才能判断光线是否平行。 5．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图为达·芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是______消失点在该变换中的类似物是______． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）横山是历史悠久的革命老区．横山起义纪念碑在路灯灯光下的投影为______投影．（填“平行”或“中心”） 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）华州皮影戏又称“灯影”“影子”．在灯光照耀下，舞动影人，隔亮布演唱，观众在外观听．华州皮影中的“影”属于________投影．（填“平行”或“中心”） 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． ▌知识点03：利用平行投影的比例关系解决实际问题 解题步骤：①明确同一时刻“物高∶影长”为定值；②选一根可测量的参照物（竹竿、人），测得其高度与影长；③列比例式 待测物高/待测影长＝参照物高/参照影长；④解方程并作答。 例如：身高1.6m的学生影长1.2m，同一时刻树影长9m，设树高x m，由解得x＝12，即树高12m。 注意：影子落在墙面、台阶等非水平面上时，要分段处理：先求出落在地面部分对应的高度，再加上墙面部分的高度，不能直接套比例。 9．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 11．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 12．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． ▌知识点04：利用中心投影的性质确定光源位置或影子长度 确定光源：分别连接两个物体的顶端与其影子顶端，两条连线的交点即点光源。求影长或物高：利用“光源—物顶—影顶”三点共线，构造相似三角形列比例求解。 例如：灯杆高8m，一人高1.6m，当他走到距杆底10m处，设影长x m，由解得x＝2.5，即影长2.5m。 注意：中心投影的比例式中，大三角形的底边是“杆底到影顶”的总距离（人距＋影长），不是单纯的影长，这是最常见的错误。 13．（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 14．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 15．（2026·宁夏银川·三模）如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是若，则的面积是______． 16．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． ▌知识点05：三视图画法与“长对正、高平齐、宽相等”规律的综合应用 综合画三视图的步骤：①分析几何体的组成与摆放；②先画主视图；③按“长对正”在主视图正下方画俯视图，按“高平齐”在主视图正右方画左视图；④用“宽相等”核对左视图与俯视图；⑤看不见的轮廓线补画虚线。 例如：画底面边长为3、高为4的正四棱柱上放一个直径为2的半球，主视图为长方形上方加半圆，俯视图是正方形内有一个圆。 注意：三视图的布局位置不能随意挪动；“宽相等”最常出错，可用45°辅助线把俯视图的宽转移到左视图。 17．（25-26九年级上·甘肃白银·阶段检测）请画出此零件的三视图． 18．（25-26九年级上·山东·单元复习）添线补全下列几何体的三种视图 19．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 20．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，取得圆满成功．如图是小明制作的火箭模型的半成品，请你画出该模型的三视图． ▌知识点06：由三视图还原几何体并计算相关量 还原流程：主视图定正面形状与长高→俯视图定底面占位→左视图核对→想象几何体。计算体积用公式或“块数×单块体积”，计算表面积时注意凹槽、孔洞等隐藏面。 例如：三视图显示底面为2×2占位、各位置层数为2、2、1、1的小立方块组合体，共6块，体积为6；主视图、左视图、俯视图面积均为4，表面积＝2×（4＋4＋4）＝24。 注意：还原后要把三个视图逐一回代检验；计算表面积时，两个小立方块贴合的面不外露，不能计入。 21．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为____． 22．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是________． 23．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 24．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)该几何体的主视图是_，左视图是_；（填序号） (2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． ▌知识点07：投影与视图在生活中的综合应用 投影与视图广泛应用于建筑设计（房屋采光与阴影分析）、机械制造（零件图纸）、美术摄影（布光与剪影）等领域。 例如：两栋楼之间的日照间距设计，就是利用冬至日正午太阳光（平行投影）下前楼的影长不遮挡后楼底层窗台来计算的；机械零件的图纸用三视图表达形状与尺寸。 注意：解决应用题时先判断属于平行投影还是中心投影，再选择“比例法”或“相似三角形法”；画零件三视图时注意用虚线表达内部结构。 25．（2026·陕西西安·模拟预测）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ， ，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，求纪念碑的高度． 26．（2026·河南信阳·二模）某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 27．（2026·河北廊坊·一模）廊坊金丰农科园属于省级农业科技园区，是全国青少年农业科普示范基地．图1为园区内一处休息区的座椅，其主视图尺寸如图2所示． (1)请用含b的代数式表示a； (2)已知，求这个主视图的面积． 28．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． ▌知识点08：阴影面积的计算 阴影面积问题通常有两类：①投影类——求物体在投影面上影子的面积，先确定影子的形状（三角形、平行四边形、矩形等），再用面积公式计算；②视图类——求视图中阴影部分的面积，把视图分解为基本图形求和或求差。 例如：阳光下斜放的矩形纸板在地面上的影子是平行四边形，量得其底为4、高为2，则阴影面积为 4×2＝8；台阶形几何体主视图的阴影面积可用大长方形减去缺口小长方形计算。 注意：求影子面积先判断投影类型并画出影子轮廓；图形不规则时用割补法，切忌直接用原物体的面积代替影子的面积。 29．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·山西晋中·期末）在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（    ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·河南信阳·期末）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼6，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为2，已知此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1，那么这棵大树高___________． 32．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． ▌知识点09：动点问题的投影分析 动点投影问题研究物体（或点）运动时其影子的变化。基本思路：抓住“光源—物顶—影顶”的相对关系，用相似三角形建立影长与位置之间的等量关系。 例如：一人以1m/s的速度从路灯正下方向外走，灯高6m，人高1.5m，设走x m，影长y m，由得，即影长与路程成正比；影子顶端移动的路程是，速度为m/s。 注意：列关系式时底边要取“灯杆底部到影子顶端”的总长；求影子端点速度时，端点路程是“人走路程＋影长”，不能只看影长。 33．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（）在某一灯光下的影子为，继续按原速行走2秒到达点F，此时他（）在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（）在同一灯光下的影子为（点C，E，G在一条直线上） (1)请在图中画出小明位于点F时的影子（不写画法）； (2)求小明原来的速度． 34．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求： (1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）； (2)路灯杆的高度． 35．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 36．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ ▌知识点10：跨学科综合问题 投影与视图常与物理（光沿直线传播、日食月食、小孔成像）、地理（正午太阳高度角与纬度）、美术（透视与素描明暗）等学科结合命题。 例如：北半球某地冬至日正午太阳高度角最小，楼影最长，地理上据此确定采光间距；物理中的小孔成像与中心投影原理一致，像与物倒立且大小满足相似比。 注意：跨学科问题中提取数学条件是关键——把“太阳高度角相同”转化为“平行投影下物高与影长成正比”，把“小孔”转化为“点光源”，再按本章方法求解。 37．（25-26九年级上·广东佛山·期中）仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时还能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的投影是（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 38．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内．在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度的变化情况是（    ） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先逐渐变长，后逐渐变短 D．先逐渐变短，后逐渐变长 39．（2025·广东茂名·模拟预测）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 40．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是______（填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是__________（填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的______有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变______（填“长”或“短”），白昼时间变______（填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图中的______（填序号），此过程太阳的直射点向______移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的______有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是______前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是______（填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． ▌全章训练 一、选择题 1．（2026·辽宁·模拟预测）如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南平顶山·三模）如图是郑州博物馆收藏的汉兽纹长颈铜壶，若仅观察其轮廓，忽略表面纹饰．则关于它的三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 6．（2026·河南开封·模拟预测）如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（     ） A．①④ B．③④ C．① D．②③ 7．（2025·广东惠州·一模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·福建泉州·期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列现象属于中心投影的是________（填序号）    11．（2026·四川成都·一模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 12．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要_____个小立方块，最少要____个小立方块． 13．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）小明家的客厅有一张直径为，高的圆桌，在距地面的A处有一盏灯，圆桌的影子为．如图，根据题意，以为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 14．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是_______． 15．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 16．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 三、解答题 17．（26-27六年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、从左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看到的形状图不变，最多可以再添加____________个相同的小立方块． 18．（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）【问题情境】小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔 ． 【操作探究】 (1)图中的图形________经过折叠能围成无盖正方体纸盒（填序号）． (2)将图小正方体移走后，得到一个新的几何体，与原几何体相比，从三个方向看到的形状图没有发生变化的是__________． ．从正面和上面看到的形状图．从左面和上面看到的形状图 ．从正面和左面看到的形状图．从正面、左面、上面看到的形状图 (3)如果图在原几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． (4)若图小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 19．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，某条道路上安装路灯的路面比旁边农田的地面高（即），在路灯的照射下，路基在农田地面上留下的影长为，已知点E、P、Q在同一直线上，于点B，于点P，． (1)此光源下形成的投影属于_______；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)求路灯的高度． 20．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） / 学科网（北京）股份有限公司 $