6.2 用频率估计概率 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第六章 概率的进一步认识 6.2 用频率估计概率 ▌课时目标 1. 理解频率与概率的关系，知道大量重复试验中频率稳定于概率附近。 2. 掌握用频率估计概率的方法，能设计模拟试验估计复杂事件的概率。 3. 能运用频率估计概率解决求未知数量、估计总体等实际问题，体会用样本估计总体的思想。 ▌课时目录 知识点01：频率与概率的关系 知识点02：用频率估计概率的方法 知识点03：大量重复试验中频率的稳定性 知识点04：用频率估计概率求未知数量 知识点05：模拟试验 知识点06：生日相同的概率问题 知识点07：用频率估计总体的数量 ▌知识点01：频率与概率的关系 在相同条件下重复做n次试验，事件A发生了m次，则叫做事件A发生的频率。当试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件A发生的概率。 频率是试验得到的统计值，随试验而波动；概率是理论值，是确定的常数。频率是概率的估计，概率是频率的稳定值。 例如：抛一枚均匀硬币100次，正面朝上52次，频率为0.52；抛10000次，频率会非常接近0.5，即概率。 注意：少数几次试验的频率不能作为概率的估计值，如抛5次硬币出现4次正面，不能据此说正面概率是0.8。 1．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球 C．掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上 D．转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）我国的射击运动历史悠久，是一项传统优势竞技项目．某射击运动员在同一条件下射中环的频率如图所示，估计该运动员射击一次射中环的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘．在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图．为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在左右．据此估计，该湖泊的面积约为_________平方千米． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 ▌知识点02：用频率估计概率的方法 估计方法：在相同条件下进行大量重复试验，统计事件发生的频率，当频率逐渐稳定时，用稳定的频率值作为概率的估计值。 适用情形：试验结果不等可能或概率无法直接计算时，如抛图钉钉尖朝上的概率、种子的发芽率、射手命中10环的概率。 例如：某射手射击1000次命中10环812次，则命中10环的概率约为812÷1000≈0.81；一批种子发芽试验中发芽频率稳定在0.95，则发芽概率约为0.95。 注意：估计值是近似值，表述时用“约为”“估计为”；试验次数越多，估计一般越可靠。 5．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有_________棵． 7．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 8．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ ▌知识点03：大量重复试验中频率的稳定性 试验次数较少时，频率波动较大；随着试验次数增加，频率的波动逐渐减小，呈现出稳定性，稳定在某个常数（概率）附近，这一现象叫频率的稳定性。 例如：历史上多位数学家抛硬币试验，抛几千到几万次，正面朝上的频率都接近0.5，且次数越多越接近。 注意：“稳定”不等于“等于”——频率稳定于0.5并不意味着恰好一半，而是围绕0.5小幅波动；也不能由某次频率0.51反推概率就是0.51。 9．（25-26七年级下·宁夏·期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 11．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如表是某厂质检部门对该厂生产的一批灯泡质量检测的情况． 抽取的灯泡数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 987 1488 1982 2973 3960 合格品率 0.988 0.987 0.992 0.991 0.990 (1)求出表中_____，_____； (2)根据上表，估计从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率（精确到0.01）． 12．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    ▌知识点04：用频率估计概率求未知数量 已知总体数量与某类个体的频率（概率估计值），可求该类个体数量：某类数量＝总数×频率；反过来，已知部分数量与频率，可求总数＝部分数量÷频率。 例如：箱中共有小球100个，摸球试验中摸到红球的频率稳定在0.3，则红球约有100×0.3＝30个；若白球有45个、摸出白球的频率为0.45，则总球数约为45÷0.45＝100个。 注意：求得的往往是近似值，需取整数时要结合实际四舍五入；此类“先摸球估计、再推算数量”的题要写明“频率≈概率”这一依据。 13．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 14．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 15．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 16．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则纸箱中红球和黑球共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌知识点05：模拟试验 当实际试验费时、费力或难以操作时，可用替代物进行模拟试验：用摸球、抽签、随机数等模拟原试验，要求替代试验中各结果的概率与原试验相同。 例如：调查“3个人中至少有2人生日月份相同”的概率，可在1~12的随机数中每次取3个数模拟3个人的生日月份，重复多次统计频率。 注意：模拟的关键是“等效”——替代物的结果个数与概率结构必须与原试验一致，如用骰子模拟12个月份就不等效（骰子只有6个面）。 17．（25-26八年级下·江苏常州·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率（精确到） 则这种油菜籽发芽的概率的估计值是_________（精确到）． 18．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 19．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）实验项目：估计盒子内白球的数量 实验工具：在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共50个． 实验过程：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程． 实验数据：下表是试验中的统计数据 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 b 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 a 0.605 0.599 0.602 (1)数据整理：表中_，_； (2)统计计算：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为_；（精确到0.1） (3)实验结论：根据实验结果，估算盒子内白球的数量． 20．（25-26七年级下·辽宁·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小科做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数 30 52 69 123 200 b 750 摸到白球频率 a 0.260 0.230 0.246 0.250 0.251 0.250 (1)填空：_________，_________；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_________（精确到0.01）． (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_________． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．桌子上有写着1、2、3、4的4张卡牌，随机抽一张，抽到卡牌上的数字是4． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ ▌知识点06：生日相同的概率问题 生日问题是经典的概率问题：如“50个人的班级中，很可能有2人生日相同”。由于直接计算超出初中范围，教材要求用模拟试验估计其概率。 模拟方法：用1~365（或1~12表示月份）的随机数，每组产生若干个数，检查组内是否有重复，有重复则记为“发生”，大量重复后用频率估计概率。 例如：模拟1000组“10个人的生日月份”，其中有2人及以上月份相同的组约980组，可估计10个人中至少2人生日同月的概率约为0.98，远比直觉猜想的大。 注意：本问题只要求会用模拟方法估计概率、感受“直觉与概率的差距”，不要求用公式计算。 21．（23-24九年级上·四川成都·期末）王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（    ） A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验 B．关于“50个同学中，有2个同学生日相同”的试验 C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验 D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验 22．（23-24九年级上·云南昭通·期末）下列说法错误的是( ) A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的事件不可能发生 D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件 23．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）调查全班50个人生日相同的概率，记录其中有无2个人的生日相同，每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录表中： 试验总次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 “有2个人的生日相同”的次数 480 900 1320 1920 2350 2910 3400 “有2个人的生日相同”的频率 0.96 0.90 0.88 0.96 0.94 0.97 0.97 根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为________． 24．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）现有四张卡片，每张卡片的正面各写有一个事件内容，卡片背面完全相同．四张卡片的内容分别为： ①过马路时恰好遇到红灯；②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数；③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月；④水中捞月． 小萌和小颖玩游戏，游戏规则是：将四张卡片背面朝上洗匀后，小萌随机抽取一张不放回，小颖再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件则小萌获胜；若抽到两张卡片上的事件都是随机事件则小颖获胜，请你通过计算判断这个游戏是否公平． ▌知识点07：用频率估计总体的数量 利用频率估计概率的思想可以估计总体数量，典型方法是“标记重捕”：先从总体中取出n个做标记放回，充分混合后再抽取样本，样本中标记个体出现的频率≈n÷N（N为总数），从而N≈n÷（样本中标记个体的频率）。 例如：估计鱼塘中鱼的数量，先捕100条做标记放回，再捕200条发现其中有标记的10条，频率为10÷200＝0.05，则鱼总数约为100÷0.05＝2000条。 注意：样本要“充分混合、随机抽取”，否则频率没有代表性；估计结果是近似值，样本量越大越可靠。 25．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 26．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的红、蓝两种小球共50个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数n a 128 180 302 481 599 1806 摸到红球的频率 0.66 0.64 b 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)求出a，b的值； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到红球的概率约为______（精确到0.1）； (3)盒子里约有红球______个； (4)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中红球只有2个，然后每次将球搅均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5，请你推测x可能是多少？ 27．（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是_； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 28．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【综合实践】 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共30个，小明通过摸球试验来估计盒子里有多少个白球；他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 b 800 1000 3000 摸到白球的次数 62 122 171 302 481 c 1806 摸到白球的频率 a (1)表格中________，________，________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到），盒子里约有白球_____个． (3)五一期间，某风景区为了吸引游客，设置了一种游戏，游客凭景区门票参加游戏，每张票限一次．其规则如下，在一个不透明纸箱中装有红、白两种球共20个，每个球除颜色外其他都相同，游客从中随机摸出一个小球，摸到红球就可获奖（免费得到一个景点的吉祥物）．据统计，五一当天，参与这种游戏的游客共有3000人，景区一共为参与游戏的游客免费发放吉祥物1200个． ①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是________； ②景区为了吸引更多的游客来景区游玩，往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，提高游客中奖的几率，若想把中奖率提高到，请你根据上面的计算结果估算x的值是________． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图．下列选项可能是这个事件的是（     ） A．朝上点数小于3 B．朝上点数小于2 C．朝上点数是奇数 D．朝上点数不小于3 4．（26-27九年级上·北京·期中）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 （精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 6．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 三、解答题 9．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 (1)表中____________，____________． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． (3)学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第六章 概率的进一步认识 6．2 用频率估计概率 ▌课时目标 1. 理解频率与概率的关系，知道大量重复试验中频率稳定于概率附近。 2. 掌握用频率估计概率的方法，能设计模拟试验估计复杂事件的概率。 3. 能运用频率估计概率解决求未知数量、估计总体等实际问题，体会用样本估计总体的思想。 ▌课时目录 知识点01：频率与概率的关系 知识点02：用频率估计概率的方法 知识点03：大量重复试验中频率的稳定性 知识点04：用频率估计概率求未知数量 知识点05：模拟试验 知识点06：生日相同的概率问题 知识点07：用频率估计总体的数量 ▌知识点01：频率与概率的关系 在相同条件下重复做n次试验，事件A发生了m次，则叫做事件A发生的频率。当试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件A发生的概率。 频率是试验得到的统计值，随试验而波动；概率是理论值，是确定的常数。频率是概率的估计，概率是频率的稳定值。 例如：抛一枚均匀硬币100次，正面朝上52次，频率为0.52；抛10000次，频率会非常接近0.5，即概率。 注意：少数几次试验的频率不能作为概率的估计值，如抛5次硬币出现4次正面，不能据此说正面概率是0.8。 1．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球 C．掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上 D．转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域 【答案】A 【详解】解：由题干折线统计图可得，当试验次数很多时，频率稳定在， A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率为，故A符合题意； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球的概率为，故B不符合题意； C、掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上的概率为，故C不符合题意； D、转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域的概率为，故D不符合题意． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）我国的射击运动历史悠久，是一项传统优势竞技项目．某射击运动员在同一条件下射中环的频率如图所示，估计该运动员射击一次射中环的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.88，估计这名运动员射击一次时“射中环”的概率是0.88． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘．在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图．为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在左右．据此估计，该湖泊的面积约为_________平方千米． 【答案】 【分析】利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，湖泊面积等于航拍区域总面积乘以点落入湖泊区域的概率． 【详解】解：∵大量重复试验后，点落在湖泊区域的频率稳定在， ∴估计点落在湖泊区域的概率为， ∵航拍区域总面积为平方千米， ∴该湖泊的面积约为平方千米． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【答案】 【分析】大量重复试验中，频率稳定后的值可作为概率的估计值，观察表格中试验次数增大后的频率即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在，则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． ▌知识点02：用频率估计概率的方法 估计方法：在相同条件下进行大量重复试验，统计事件发生的频率，当频率逐渐稳定时，用稳定的频率值作为概率的估计值。 适用情形：试验结果不等可能或概率无法直接计算时，如抛图钉钉尖朝上的概率、种子的发芽率、射手命中10环的概率。 例如：某射手射击1000次命中10环812次，则命中10环的概率约为812÷1000≈0.81；一批种子发芽试验中发芽频率稳定在0.95，则发芽概率约为0.95。 注意：估计值是近似值，表述时用“约为”“估计为”；试验次数越多，估计一般越可靠。 5．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以大量重复试验的频率估计概率，可先计算不达标频率，再推导达标概率． 【详解】解：∵共完成次检测，其中次检测到的元件耐压不达标， ∴不达标检测的频率为， ∴可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率为． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有_________棵． 【答案】 800 【分析】观察折线统计图，发现随着移植数量增加，成活频率在0.8附近波动并趋于稳定，据此估计成活概率，再计算1000棵的成活数． 【详解】解：由折线统计图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.8附近． ∴ 这种树苗成活的概率约为0.8． ∵ 移植这种树苗1000棵， ∴ 成活的大约有 （棵）． 7．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 【答案】(1)①0.48；②0.4； (2)． 【分析】（1）① 因为频率=参加项目人数÷调查总人数，所以对应调查总人数为200时，用该组参加人数除以200即可得到所缺频率．② 因为大量重复试验时频率会逐渐稳定在概率附近，所以选取调查总人数最大的组对应的频率，按要求精确到0.1得到估算概率． （2）首先确定甲、乙各自分配项目的所有等可能结果，通过列表或画树状图枚举所有情况；再找出恰好有一人被分配到C项目的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率． 【详解】（1）解：① 频率的计算公式为：， 代入对应数据得：． ② 当试验总人数越大，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格里的频率随样本量增大逐步趋近于0.405， 精确到0.1后结果为0.4． ∴本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率为0.4． （2）解： 甲            乙 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种， ∴P（甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目）． 8．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】(1)0.6 (2)10 【详解】（1）解：根据表中数据，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； （2）解：估算盒子里原来约有白球（个）， ∵放入的x个球中白球只有1个， ∴， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． ▌知识点03：大量重复试验中频率的稳定性 试验次数较少时，频率波动较大；随着试验次数增加，频率的波动逐渐减小，呈现出稳定性，稳定在某个常数（概率）附近，这一现象叫频率的稳定性。 例如：历史上多位数学家抛硬币试验，抛几千到几万次，正面朝上的频率都接近0.5，且次数越多越接近。 注意：“稳定”不等于“等于”——频率稳定于0.5并不意味着恰好一半，而是围绕0.5小幅波动；也不能由某次频率0.51反推概率就是0.51。 9．（25-26七年级下·宁夏·期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1)1427，0.949，0.95 (2) (3)5个 【分析】（1）根据表格数据，用频率估计概率和频率公式即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出x个黑球，则放入x个黄球，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由得， ， ∵随着抽取的彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， ∴估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是0.95； （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有（种），且每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ∴从袋子中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：设取出x个黑球，则放入x个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 11．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如表是某厂质检部门对该厂生产的一批灯泡质量检测的情况． 抽取的灯泡数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 987 1488 1982 2973 3960 合格品率 0.988 0.987 0.992 0.991 0.990 (1)求出表中_____，_____； (2)根据上表，估计从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率（精确到0.01）． 【答案】(1)494   0.991 (2)从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率为0.99 【分析】（1）利用500乘以其合格品率即可求出，利用1982除以2000即可求出； （2）由表中数据可判断合格品率在0.99左右摆动，根据频率估计概率可判断从这批灯泡中任意抽取一颗是合格品的概率． 【详解】（1）解：，． （2）解：随着抽取灯泡数增大，合格品频率逐渐稳定在0.99附近，根据频率估计概率，且结果精确到0.01， 从这批灯泡中任意抽取一颗，它是合格品的概率为0.99． 12．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据落在不规则图案内的频率落在不规则图案的次数试验次数，计算即可得出结果； （2）由频率估计概率，并结合表格分析即可得出结果； （3）先求出长方形的面积，再结合沙包落在阴影区域的概率是，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是； （3）解：长方形的面积为， 故不规则图案的面积大约． ▌知识点04：用频率估计概率求未知数量 已知总体数量与某类个体的频率（概率估计值），可求该类个体数量：某类数量＝总数×频率；反过来，已知部分数量与频率，可求总数＝部分数量÷频率。 例如：箱中共有小球100个，摸球试验中摸到红球的频率稳定在0.3，则红球约有100×0.3＝30个；若白球有45个、摸出白球的频率为0.45，则总球数约为45÷0.45＝100个。 注意：求得的往往是近似值，需取整数时要结合实际四舍五入；此类“先摸球估计、再推算数量”的题要写明“频率≈概率”这一依据。 13．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 【答案】C 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 14．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 【答案】C 【详解】解：摸到红球的频率稳定在左右， 摸到红球的概率为， 布袋中白球的个数为． 15．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋子中有x个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有x个黑球， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则袋子中有个黑球． 16．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则纸箱中红球和黑球共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设红球和黑球共有个，根据题意可以得到摸到红球的概率，再根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设红球和黑球共有个， ∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴纸箱中红球和黑球共有个． ▌知识点05：模拟试验 当实际试验费时、费力或难以操作时，可用替代物进行模拟试验：用摸球、抽签、随机数等模拟原试验，要求替代试验中各结果的概率与原试验相同。 例如：调查“3个人中至少有2人生日月份相同”的概率，可在1~12的随机数中每次取3个数模拟3个人的生日月份，重复多次统计频率。 注意：模拟的关键是“等效”——替代物的结果个数与概率结构必须与原试验一致，如用骰子模拟12个月份就不等效（骰子只有6个面）。 17．（25-26八年级下·江苏常州·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率（精确到） 则这种油菜籽发芽的概率的估计值是_________（精确到）． 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，频率稳定在某个常数附近，该常数即为概率的估计值，观察表格中频率的稳定范围即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着试验次数增加，这种油菜籽发芽的频率稳定在附近， ∴这种油菜籽发芽的概率的估计值为． 18．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大量重复试验下频率的稳定值估计摸到红球的概率； （2）根据黑球数量与黑球的概率计算总球数，进而求得红球个数； （3）根据放入红球后的概率列方程求解的值． 【详解】（1）解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 19．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）实验项目：估计盒子内白球的数量 实验工具：在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共50个． 实验过程：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程． 实验数据：下表是试验中的统计数据 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 b 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 a 0.605 0.599 0.602 (1)数据整理：表中_，_； (2)统计计算：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为_；（精确到0.1） (3)实验结论：根据实验结果，估算盒子内白球的数量． 【答案】(1)0.604；484 (2)0.6 (3)30 【分析】（1）根据频率进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率求数量即可. 【详解】（1）解：；； （2）解：由表格可知，若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为； （3）解：（个）； 答：估算盒子内白球的数量有30个. 20．（25-26七年级下·辽宁·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小科做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数 30 52 69 123 200 b 750 摸到白球频率 a 0.260 0.230 0.246 0.250 0.251 0.250 (1)填空：_________，_________；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_________（精确到0.01）． (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_________． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．桌子上有写着1、2、3、4的4张卡牌，随机抽一张，抽到卡牌上的数字是4． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)，， (2)B (3)需要往盒子里再放入50个白球 【分析】（1）根据频率频数总次数计算和，再利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可； （2）分别计算三个选项中事件的概率，和得到的概率估计值对比，选出符合要求的选项即可； （3）先计算原有白球的数量，设再放入白球的个数为，根据概率公式列分式方程，求解检验后得到结果，即可解题． 【详解】（1）解：由频率公式可得， ， 观察表格，当摸球次数足够大时，摸到白球的频率稳定在， 因此摸到白球的概率估计值为； （2）解：分别计算各选项事件的概率： A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地结果为正面朝上的概率是，不符合； B. 从4张不同卡牌中随机抽一张，抽到数字4的概率是，符合； C. 在“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出剪刀的概率是，不符合； 因此符合结果的试验是B； （3）解：盒子中原有100个球，根据概率估计值可得原有白球数量为（个）， 设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意列方程得：， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， 答：需要往盒子里再放入50个白球． ▌知识点06：生日相同的概率问题 生日问题是经典的概率问题：如“50个人的班级中，很可能有2人生日相同”。由于直接计算超出初中范围，教材要求用模拟试验估计其概率。 模拟方法：用1~365（或1~12表示月份）的随机数，每组产生若干个数，检查组内是否有重复，有重复则记为“发生”，大量重复后用频率估计概率。 例如：模拟1000组“10个人的生日月份”，其中有2人及以上月份相同的组约980组，可估计10个人中至少2人生日同月的概率约为0.98，远比直觉猜想的大。 注意：本问题只要求会用模拟方法估计概率、感受“直觉与概率的差距”，不要求用公式计算。 21．（23-24九年级上·四川成都·期末）王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（    ） A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验 B．关于“50个同学中，有2个同学生日相同”的试验 C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验 D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验 【答案】A 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验的频率约为，符合题意； B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验的频率为1，不符合题意； C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验的频率为，不符合题意； D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验的频率为，不符合题意； 故选：A． 22．（23-24九年级上·云南昭通·期末）下列说法错误的是( ) A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的事件不可能发生 D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了抽样调查、事件发生的可能性的大小，解本题的关键在根据相关的定义，认真分析题意． 【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，故该选项说法正确，不符合题意； B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，故该选项说法正确，不符合题意； C、概率很小的事件不可能发生，说法错误，符合题意； D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，故该选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 23．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）调查全班50个人生日相同的概率，记录其中有无2个人的生日相同，每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录表中： 试验总次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 “有2个人的生日相同”的次数 480 900 1320 1920 2350 2910 3400 “有2个人的生日相同”的频率 0.96 0.90 0.88 0.96 0.94 0.97 0.97 根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 发现当实验总次数越多的时候，频率会逐渐稳定在，据此回答即可． 【详解】解：发现当实验总次数越多的时候，频率会逐渐稳定在， ∴估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为， 故答案为： ． 24．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）现有四张卡片，每张卡片的正面各写有一个事件内容，卡片背面完全相同．四张卡片的内容分别为： ①过马路时恰好遇到红灯；②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数；③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月；④水中捞月． 小萌和小颖玩游戏，游戏规则是：将四张卡片背面朝上洗匀后，小萌随机抽取一张不放回，小颖再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件则小萌获胜；若抽到两张卡片上的事件都是随机事件则小颖获胜，请你通过计算判断这个游戏是否公平． 【答案】游戏不公平 【分析】考查概率的求法，事件的分类．列举出所有情况，看抽取的两张卡片上的事件都正确的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：①过马路时恰好遇到红灯，属于随机事件； ②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数，属于随机事件； ③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月，属于必然事件； ④水中捞月，属于不可能事件； 画树状图得： 共12种情况，抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件③的有6种，小萌获胜的概率为；抽到两张卡片上的事件都是随机事件的有2种，小颖获胜的概率为； ∴游戏不公平． ▌知识点07：用频率估计总体的数量 利用频率估计概率的思想可以估计总体数量，典型方法是“标记重捕”：先从总体中取出n个做标记放回，充分混合后再抽取样本，样本中标记个体出现的频率≈n÷N（N为总数），从而N≈n÷（样本中标记个体的频率）。 例如：估计鱼塘中鱼的数量，先捕100条做标记放回，再捕200条发现其中有标记的10条，频率为10÷200＝0.05，则鱼总数约为100÷0.05＝2000条。 注意：样本要“充分混合、随机抽取”，否则频率没有代表性；估计结果是近似值，样本量越大越可靠。 25．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【分析】由多次试验中频率稳定值近似等于概率，得到摸到黑球的概率，设出红球个数后根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 26．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的红、蓝两种小球共50个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数n a 128 180 302 481 599 1806 摸到红球的频率 0.66 0.64 b 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)求出a，b的值； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到红球的概率约为______（精确到0.1）； (3)盒子里约有红球______个； (4)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中红球只有2个，然后每次将球搅均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5，请你推测x可能是多少？ 【答案】(1)66；0.6 (2)0.6 (3)30 (4)14 【分析】（1）根据频率公式进行求解即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率求数量即可； （4）根据频率估算概率，再根据概率求数量即可. 【详解】（1）解：； （2）解：由表格可知，摸到红球的概率约为； （3）解：∵摸到红球的概率约为， ∴红球有个； （4）解：∵摸到红球的频率稳定在0.5， ∴摸到红球的概率为0.5， ∴， 解得. 27．（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是_； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】(1) (2)游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． 【详解】（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 28．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【综合实践】 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共30个，小明通过摸球试验来估计盒子里有多少个白球；他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 b 800 1000 3000 摸到白球的次数 62 122 171 302 481 c 1806 摸到白球的频率 a (1)表格中________，________，________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到），盒子里约有白球_____个． (3)五一期间，某风景区为了吸引游客，设置了一种游戏，游客凭景区门票参加游戏，每张票限一次．其规则如下，在一个不透明纸箱中装有红、白两种球共20个，每个球除颜色外其他都相同，游客从中随机摸出一个小球，摸到红球就可获奖（免费得到一个景点的吉祥物）．据统计，五一当天，参与这种游戏的游客共有3000人，景区一共为参与游戏的游客免费发放吉祥物1200个． ①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是________； ②景区为了吸引更多的游客来景区游玩，往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，提高游客中奖的几率，若想把中奖率提高到，请你根据上面的计算结果估算x的值是________． 【答案】(1)；500，590 (2)，18 (3)①； ②10 【分析】（1）根据摸到白球的频率=摸到白球的次数除以摸球的总次数，变形计算求解即可； （2）根据试验次数最多时，摸到白球的频率稳定在，故摸到白球的概率约为，利用简单的概率公式求解即可． （3）①根据用频数除以样本容量等于频率计算即可； ②根据题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意，得，，； （2）解：根据试验次数最多时，摸到白球的频率稳定在， 故摸到白球的概率约为， 故盒子里约有白球（个）． （3）解：①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是； ②解：根据题意，得原来纸箱中红球的数量为：（个），往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，中奖率为，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故根据上面的计算结果估算x的值是10； ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， ∴现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【分析】先计算各次试验“针与直线相交”的频率，确定出随着抛掷次数的增加，频率趋于稳定的值的大小，最后将这一数值乘以8000，即可求解． 【详解】解：各次试验“针与直线相交”的频率，依次为： ，，， ，， 随着抛掷次数增加，频率稳定在附近， 即投掷次时，频数约为， 该数值最接近． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图．下列选项可能是这个事件的是（     ） A．朝上点数小于3 B．朝上点数小于2 C．朝上点数是奇数 D．朝上点数不小于3 【答案】A 【分析】根据统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，说明该事件发生的概率约为，分别计算各选项事件的概率即可得出答案． 【详解】解：由折线统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近， 该事件发生的概率约为， A、朝上点数小于的情况有两种，其概率为，符合题意； B、朝上点数小于的情况有一种，其概率为，不符合题意； C、朝上点数是奇数的情况有三种，其概率为，不符合题意； D、朝上点数不小于的情况有四种，其概率为，不符合题意． 4．（26-27九年级上·北京·期中）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 （精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【详解】解：A、成活数不一定为90棵，频率具有随机性，说法错误，不符合题意； B、从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为 ，均在左右摆动，显示出稳定性，可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，说法正确，符合题意； C、随着移植的幼树总数的增加，成活率逐渐趋于并稳定于一个数值，说法错误，不符合题意； D、基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如 ），说法错误，不符合题意． 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据概率公式分别求出取出两种公仔的概率，再观察折线图中频率的稳定值，将两者进行对比即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，箱子中共有公仔（个）， 则取出A型公仔的概率为，取出B型公仔的概率为 观察折线统计图可知，随着试验次数的增加，该种公仔出现的频率在至之间波动并趋于稳定， ∵在至之间，而不在该范围内， ∴该折线图所反映的频率最有可能是型公仔． 6．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【答案】 【分析】设这个“福”字的面积是，由题意可得，然后解方程即可． 【详解】解：设这个“福”字的面积是， 由题意可得， 解得， ∴这个“福”字的面积是． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【答案】25 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率，根据统计图得到频率的稳定值，进而得到摸到白球的概率，再根据概率公式估计白球的数量即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为， ∴估计盒子里白球有个． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【答案】 【分析】由图②得小球落在不规则图案内的概率约为，求出矩形的面积，再根据小球落在不规则图案内的概率估计其面积即可． 【详解】解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为， 由题意得矩形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， ∴， ∴不规则图案的面积大约为． 三、解答题 9．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 (1)表中____________，____________． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． (3)学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 【答案】(1)， (2)第二组不适合用频率估计概率，一株该植物开出红花的概率约为 (3)棵 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）第二组不适合用频率估计概率，理由：试验的植株数太少； 除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； （3）（棵）， 答：该学校此植物植株的总数量为棵． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【答案】(1)100；803 (2) (3)120 (4)④ 【分析】（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可； （4）分别计算出①④的概率，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：，． （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是． （3） 解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为120次． （4）解：①转转盘箭头停在阴影部分的概率为，不符合题意； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6的概率为，不符合题意； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分的概率为，不符合题意； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色的概率为，符合题意． / 学科网（北京）股份有限公司 $