6.1 课时3 用概率玩“配紫色”游戏 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第六章 概率的进一步认识 6．1 用树状图或表格求概率 课时3 用概率玩“配紫色”游戏 ▌课时目标 1. 掌握转盘问题中概率的计算方法，能把不等可能的结果转化为等可能的结果。 2. 能用树状图或表格分析“配紫色”游戏的概率，解决与几何图形面积有关的概率问题。 3. 能判断转盘游戏的公平性并设计游戏方案，体会概率在游戏决策中的应用，发展随机观念。 ▌课时目录 知识点01：转盘问题中概率的计算 知识点02：把不等可能的结果转化为等可能的结果 知识点03：“配紫色”游戏的概率分析 知识点04：几何图形面积与概率 知识点05：转盘游戏的公平性判断 知识点06：概率在游戏中的综合应用 ▌知识点01：转盘问题中概率的计算 转盘被均匀分成若干扇形时，指针落在每个扇形的可能性相等，落在某区域的概率＝该区域扇形个数÷总格数（或区域圆心角度数÷360°）。 例如：转盘均分8格，其中红色3格，则P（指针指向红色）＝；若红色区域圆心角为135°，则P（指向红色）＝135÷360＝。 注意：概率由面积（格数或圆心角）决定，与颜色排列的位置无关；转盘必须“均匀分割”才能保证等可能，不等分时要先转化。 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 2．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是　　　　　　　　；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的可能性和未得到购物券的可能性哪个大? 【答案】(1)不可能事件 (2)得不到购物券的概率大 【分析】（1）由于转盘上没有获得100元的购物券的区域，从而得到答案； （2）转动一次转盘共有16种等可能的结果．其中得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种，从而得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为，从而即可判断得到答案． 【详解】（1）解：∵转盘只设置了红色、黄色或绿色区域，分别对应元、元、元的购物券， ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：转动一次转盘共有16种等可能的结果． 其中：转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， 转动一次转盘得到购物券的概率为， 得不到购物券的概率为， ， 得不到购物券的概率大． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：如图， ∴（谢谢），（古灶挂件），（祖庙模型）（电影票）， ∴（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【分析】根据概率公式即可求解； 先列表，然后通过概率公式即可求解； 根据概率公式进行图案设计即可． 【详解】（1）解：一次就抽到“古灶挂件”的概率是； （2）解：列表如下， 谢谢 谢谢 谢谢 古灶挂件 古灶挂件 醒狮恤 国潮狮头 祖庙模型 电影票 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 国潮狮头，醒狮恤 祖庙模型，醒狮恤 电影票，醒狮恤 国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 醒狮恤，国潮狮头 祖庙模型，国潮狮头 电影票，国潮狮头 祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 醒狮恤，祖庙模型 国潮狮头，祖庙模型 电影票，祖庙模型 电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 古灶挂件，电影票 古灶挂件，电影票 醒狮恤，电影票 国潮狮头，电影票 祖庙模型，电影票 一共有种等可能的结果，第二次抽到“古灶挂件”的结果有种， ∴第二次抽到“古灶挂件”的概率是； （3）略． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，一等奖占一个， ∴小艺获得一等奖的概率； （2）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，其中6个有奖品， ∴小诚获奖的概率． ▌知识点02：把不等可能的结果转化为等可能的结果 当转盘的扇形大小不同时，各结果不等可能，不能直接数个数求概率。转化方法：按各扇形面积的倍数关系，把大扇形细分成若干个相等的小扇形，使每个小扇形等可能，再数格计算。 例如：转盘由圆心角120°的红区和240°的蓝区组成，把蓝区再均分为两个120°区域，共3个等可能区域，红色占1个，P（指向红色）＝，P（指向蓝色）＝。 注意：细分后必须在图中标明并重新编号；“配紫色”类问题中不转化而直接用红、蓝两个结果列树状图，是典型错误，因为两个结果不等可能。 5．（2026·福建莆田·模拟预测）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际决定：凡购物满100元，则可参加摸球抽奖活动（活动设置一、二、三等奖）．摸球规则如下：现有两只不透明的口袋甲和乙，甲袋中装有2个白球和1个红球，乙袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，两个袋子搅匀后，先从甲袋中任意摸出1个球，再从乙袋中任意摸出1个球． (1)求摸出两个球均为白球的概率； (2)根据两次摸球的结果，请你设计一个兑奖方案，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率，并说明理由． 【答案】(1) (2) 设计方案：摸出两个红球时获得一等奖，摸出两个白球或甲袋摸出红球乙袋摸出白球时获得二等奖，摸出甲袋白球乙袋红球时获得三等奖 理由：获一等奖（两红）的概率为； 获二等奖（两白或甲红乙白）的概率为； 获三等奖（甲白乙红）的概率为 因为，所以该方案符合要求 【分析】（1）用列表法列出所有等可能结果，根据概率公式计算即可 （2）先计算不同结果的概率，再按照题目要求的概率大小关系设计兑奖方案 【详解】（1）解：记甲袋2个白球为白，白，红球为红甲；乙袋1个白球为白乙，2个红球为红，红. 列表如下： 白 白 红甲 白乙 白，白乙 白，白乙 红甲，白乙 红 白，红 白，红 红甲，红 红 白，红 白，红 红甲，红 总共有种等可能的结果，其中两个球均为白球的结果有种 因此摸出两个球均为白球的概率为 （2）略 6．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，质地均匀的转盘中八个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在某个区域内（若指针落在区域分界线上，则重新转动，直到落在某个区域内为止）． (1)下列事件，是随机事件的是（   ） A．指针落在标有9的区域内 B．指针落在标有数字的区域内 C．指针落在标有1的区域内 (2)某商场举行抽奖活动，规定转动转盘一次，指针落在标有1的区域内获得一等奖，落在标有偶数的区域内获得三等奖，要使获得二等奖的概率大于获得一等奖的概率，而且小于获得三等奖的概率，请帮助该商场设计一个获得二等奖的方案．（注意：二等奖与一等奖、三等奖不可兼得哦！） 【答案】(1)C (2)指针落在标有3，5，7（或3，5或3，7，或5，7）的区域内获得二等奖 【分析】（1）随机事件指可能发生也可能不发生的事件，结合题意即可判断； （2）先根据概率公式得出获得一等奖、三等奖的概率，结合奖项不可兼得即可求解． 【详解】（1）解：A．转盘上没有数字9，因此“指针落在标有9的区域内”一定不发生，为不可能事件； B．“指针落在标数字的区域内”一定发生，为必然事件； C．“指针落在标有1的区域内”可能发生也可能不发生，是随机事件； （2）解：指针落在标有1的区域内获得一等奖， 获得一等奖的概率为， 落在标有偶数的区域内获得三等奖，8个数字中有4个是偶数， 获得三等奖的概率为， 由题意得获得二等奖的概率大于且小于， 获得二等奖的概率为或， 又二等奖与一等奖、三等奖不可兼得， 指针落在标有3，5，7（或3，5或3，7，或5，7）的区域内获得二等奖． 7．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： 在一个不透明的盒子中装入个除颜色外完全一样的小球，其中个黄球，个白球； 从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： 若取出的是黄球，则获得奖品； 若取出的是白球，则获得奖品． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是______；“获得奖品”的概率是______； (2)若从原方案的盒子中取走个黄球和个白球，请利用剩下的个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 【答案】(1)，； (2) “获得奖品A”的概率，“获得奖品”的概率． 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）根据题意设计摸球方案与获奖规则即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有种，取出的是白球的结果有种， ∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为， 故答案为：，； （2）解：新的摸球方案：从袋中剩余的个黄球，个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球； 获奖规则：若取出的两个球颜色相同，则获得奖品；若取出的两个球颜色不同，获得奖品， 此时列表如下： 黄 白 白 黄 黄，黄 黄，白 黄，白 白 白，黄 白，白 白，白 白 白，黄 白，白 白，白 共有种等可能的结果，其中取出的两个球颜色相同的结果有种，取出的两个球颜色不同的结果有种， ∴“获得奖品A”的概率，“获得奖品”的概率． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)设计方案如图， 【分析】转盘被等分为，指针落在每个扇形区域的概率等于该区域圆心角与的比值，分别计算各扇形圆心角占的比例，可解答（1）-（4）； （5）由概率之和为1求出七折优惠的概率，再将各概率乘以得到对应圆心角，据此设计转盘． 【详解】（1）解：转盘的圆心角总和为， 七折优惠对应的圆心角为， ． （2）解：20元对应的圆心角为， ． （3）解：中奖得现金包括获得10元或20元两种情况， 对应的圆心角之和为， ． （4）解：谢谢参与对应的圆心角为， ． （5）解：各结果概率之和为1， ， 各扇形对应的圆心角分别为： 七折优惠：， 20元：， 10元：， 谢谢参与：． 设计方案如下：将转盘分成四个扇形区域，七折优惠和20元的圆心角均为，10元的圆心角为，谢谢参与的圆心角为． 图略． ▌知识点03：“配紫色”游戏的概率分析 “配紫色”游戏：两个转盘各转一次，一个转得红色、另一个转得蓝色，即可配成紫色获胜。求概率时先把各转盘转化为等可能的小区域并编号，再用树状图或表格列举。 例如：A盘红1格、蓝1格（各占1÷2），B盘红1格、蓝2格（红占、蓝占，编号蓝1、蓝2）。列举：（A红，B红）、（A红，蓝1）、（A红，蓝2）、（A蓝，B红）、（A蓝，蓝1）、（A蓝，蓝2），共6种等可能结果；能配紫的有（A红，蓝1）、（A红，蓝2）、（A蓝，B红）3种，P（配成紫色）＝3÷6＝。 注意：B盘“红、蓝”两个结果不等可能（与），必须先细分编号；“红＋蓝”与“蓝＋红”都是配紫成功，列举时两种都要数。 9．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】(1) (2)3个 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）根据概率求出符合要求的个数． 【详解】（1）解：因为共有20种等可能结果，其中获得中性笔的有3种，所以获得中性笔的概率是； （2）解：因为获得奖品的概率提高为，所以涂色的区域一共（个）， 所以（个）， 所以需要再将3个空白扇形涂上颜色． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． （2）略 11．（25-26七年级下·山东济宁·期末）暑假期间，某书城为了招揽顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：读者每购买元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)写出任意转动一次转盘获得元的概率为_； (2)写出任意转动一次转盘获得元的概率为_； (3)写出任意转动一次转盘获得元的概率为_． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：转盘均分12份，红色占1份，故任意转动一次转盘获得元的概率为； （2）解：转盘均分12份，黄色占2份，故任意转动一次转盘获得元的概率为； （3）解：转盘均分12份，绿色占3份，故任意转动一次转盘获得元的概率为. 12．（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． ▌知识点04：几何图形面积与概率 随机取点落在几何图形内的概率模型：点落在某区域的概率＝该区域面积÷总面积。这类概率由面积比决定。 例如：边长为4的正方形内有一半径为1的圆，随机投一点，落在圆内的概率为π×1²÷16＝π；飞镖投向由两个同心圆组成的靶面，小圆半径1、大圆半径2，投中小圆的概率为π÷(4π)＝。 注意：前提是“随机、均匀”地投点；面积比与点的具体位置无关；π取值按题目要求，比较大小时常保留π即可。 13．（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出整个图案的面积，再求出落在阴影区域内的总概率，最后根据几何概率公式可得答案． 【详解】解：∵最大圆的半径为1， ∴整个图案的面积为， ∵经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，， ∴落在阴影区域内的总概率为， ∴阴影区域的总面积为． 14．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】小球停留在某区域的概率 阴影区域的面积 大正方形的总面积． 【详解】解： 根据七巧板的构造规律，对整个大正方形面积拆分后可得： 图中阴影平行四边形的面积，占整个大正方形面积的， 因此小球最终停留在阴影区域的概率是． 15．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】利用阴影部分的面积除以正方形的面积，即可得出结果. 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的面积为，以正方形各边为直径的半圆的半径为，四个半圆的面积和为 ， 阴影部分的面积等于四个半圆的面积和减去正方形的面积： ， ∴这个点取在阴影部分的概率是. 16．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】由几何概率模型的求法直接求解即可． 【详解】解：图中共有个小等边三角形，其中阴影区域包含个小等边三角形，则击中阴影区域的概率是． ▌知识点05：转盘游戏的公平性判断 转盘游戏的公平性同样用“双方获胜概率相等”判断，概率按区域面积（或细分后的格数）计算。 例如：转盘4等分，红2格、黄1格、蓝1格，转得红色甲胜、黄色乙胜、蓝色重来。P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，游戏不公平，对甲有利；改为红、黄各2格（或红1格、黄1格、其余重来）即公平。 注意：含“重来”结果时，比较的是甲胜与乙胜的概率，重来的结果不影响公平性判断；修改方案要重新验证概率相等。 17．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【详解】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 18．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【答案】(1)； (2) 这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵， ∴乙获胜的概率大． 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性， （1）根据概率公式计算即可； （2）比较（1）中求出的概率求解即可． 【详解】（1）∵共有1，2，3，4，5五个数字，其中2个偶数，3个奇数， ∴转出偶数的概率是；转出奇数的概率是； （2）略 19．（25-26七年级下·山东烟台·期末）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． (1)转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： ∵根据题意：列表如下： 图1转盘 1 1 1 2 2 2 3 3 3 图2转盘 4 5 6 4 5 6 4 5 6 和 5 6 7 6 7 8 7 8 9 ∴转盘停止指针指向的两个数字之和的所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4 （和为奇数）；（和为偶数）， 则（和为奇数）（和为偶数） ∴不公平． 公平游戏规则：同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和大于时小明获胜；两个数字之和小于时小红胜，两个数字之和等于时平局．（注：答案不唯一） 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先列表可得所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4；再利用概率公式分别求得小明、小红获胜的概率，然后比较即可判断游戏的公平性；最后根据列表设计公平的游戏规则即可． 【详解】（1）解：图转盘被均分为份，标有或的有份， ∴转动图转盘时，该转盘指针指向“”或“”的概率是． （2）解：不公平，理由略，公平游戏规则见答案． 20．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】 不公平，理由：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】略 ▌知识点06：概率在游戏中的综合应用 概率知识可综合运用在游戏的分析、评价与设计中：先用列举法（树状图、表格）或面积比求概率，再判断公平性，最后修改或设计方案。 例如：商场“幸运转盘”抽奖，转盘12等分，一等奖1格、二等奖3格、其余为空，P（中奖）＝4÷12＝；若商家想把中奖率控制为，可把二等奖改为2格，使P（中奖）＝3÷12＝。 注意：综合题往往多问递进，前一问求出的概率是后一问判断、设计的基础；回答“是否合算”“是否公平”都要以计算出的概率为依据。 21．（25-26七年级下·广东深圳·期末）2026年深圳市观澜河龙舟赛共有44支队伍参赛，分为三个组别：公开组12支，机关企事业组15支，社区组17支． (1)从全部队伍中随机抽取一支进行采访，抽到社区组队伍的概率为______； (2)若赛后组委会准备从公开组和机关企事业组中抽取9支队伍进行“龙舟文化”宣讲，小明认为：“既然机关企事业组比公开组多3支队伍，那么从机关企事业组抽6支，公开组抽3支，对每支队伍都公平．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；如果不公平，请你重新设计一种对每支队伍都公平的抽取方式． 【答案】(1) (2)小明的说法不正确， 按照小明的抽取方案，公开组每支队伍被抽中的概率为， 机关企事业组每支队伍被抽中的概率为， 二者概率不相等，因此小明的说法不正确； 要保证公平，需使两组单支队伍被抽中的概率一致，公开组和机关企事业组共27支， 抽取9支，单支被抽中的概率为， ∴，， ∴公平的抽取方案为从公开组抽取4支队伍，从机关企事业组抽取5支队伍 【分析】（1）利用简单概率公式进行计算； （2）根据概率求出频数． 【详解】（1）解：抽到社区组队伍的概率为； （2）解：略． 22．（2026·陕西西安·模拟预测）小明和小红玩游戏：将正面分别写有数字，，，的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后放盒子里，小明从中任意抽取一张卡片，小红从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是负数，则小明获胜，为正数则小红获胜． (1)小明抽到的卡片是负数的概率是________； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）分别求出和为负数、和为正数的概率，进行比较即可判断． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有负数的卡片有两张， ∴小明抽到的卡片是负数的概率是． （2）解：列表如下：           小明 小红 共有种等可能的结果，其中和为负数的有种，和是负数的概率是，其中和为正数的有4种，和是正数的概率是， ∵， ∴这个游戏不公平． 23．（2026·陕西咸阳·模拟预测）课间休息时，小林和小张在教室储物柜里发现了四张写着数字1，5，6，6的卡片（这些卡片除数字外其余均相同），这是他们班上周用来布置“数字互动游戏”的道具，两人决定来玩一场趣味对决，规则是小林先从四张卡片中任意抽取一张卡片（不放回），小张再从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是6的倍数，则由小林挑选下周班级出游的零食，否则由小张挑选． (1)小林抽到写有偶数卡片的概率是_________； (2)请利用画树状图或列表法，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡片上的数字之和是6的倍数的结果数和两张卡片上的数字之和不是6的倍数的结果数，最后根据概率公式求出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张， ∴小林抽到写有偶数的卡片的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是6的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是6的倍数的结果数有8种， ∴小林获胜的概率为，小张获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 24．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图1和图2均是一个大小相同的可以自由转动的转盘．图1被平均分成9等份，图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是． (1)设计转盘：请在图1的转盘中将扇形填涂黑色，要求转动转盘，当转盘停止后，使指针指向白色区域的概率是，（当指针恰好指在分界线上时重转）． (2)转动图2的转盘（当指针恰好指在分界线上时重转），当转盘停止后，求指针指向绿色的概率． (3)现有一张电影票，小明和小亮都想要，小明和小亮想通过转盘决定胜负，获胜的一方获得电影票．于是在完成第（1）题的基础上，小明转动图1的转盘，若指针指向黑色区域则获胜；小亮转动图2的转盘，若转出的颜色是绿色则获胜，那么游戏对双方公平吗？说明理由， 【答案】(1)填涂的扇形如图所示： 当转盘使指针指向白色区域的概率是； (2) (3)公平；理由如下： ∵转动图1的转盘，指针指向黑色区域的概率； 转动图2的转盘，转出的颜色是绿色的概率， 两者的概率相等， ∴游戏对双方公平. 【分析】（1）根据题意，只要填涂3个黑色扇形区域即可； （2）用绿色部分扇形的圆心角除以360度可得答案； （3）先计算两个事件的概率，若二者相等则公平，不相等则不公平，据此即可判断. 【详解】（1）略； （2）解：∵转盘中绿色部分扇形的圆心角是， ∴转盘停止后，指针指向绿色的概率是． （3）略. ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期中）小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 【答案】C 【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图，再分别求出概率逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中： 小明获胜概率：， 小颖获胜概率：， 小凡获胜概率：即， 这个游戏不公平，故选项C说法正确，符合题意， 故选：C． 3．（2026·河北邯郸·三模）某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 4．（2026·河北石家庄·一模）如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 二、填空题 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？_____（填公平或不公平）_____ 获胜的概率大，概率是______ ． 【答案】 不公平 小兰 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 6．（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 7．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 8．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 三、解答题 9．（25-26七年级下·山西太原·期中）某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． (1)求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． (2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． (3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择转转盘方式或翻奖牌方式，理由见解析 【分析】（）本题考查古典概型，解题核心是数出转盘中 “10 元” 区域的数量，结合总区域数，用概率公式计算； （）本题考查古典概型，解题核心是数出翻奖牌中能获得代金券的卡片数量，结合总卡片数，用概率公式计算； （）本题考查概率的实际应用与决策，解题核心是分别计算两种方式的期望代金券金额，通过比较大小选择更有利的方式． 【详解】（1）解：转转盘方式中，所有等可能的结果有8种，其中顾客获得10元代金券的结果有4种，所以（顾客获得10元代金券）； （2）解：翻奖牌方式中，所有等可能的结果有9种，其中顾客获得代金券的结果有6种，所以（顾客获得代金券）； （3）解：答案不唯一．例如： 选择转转盘方式：因为转转盘方式获得代金券的概率为，大于翻奖牌方式获得代金券的概率． 选择翻奖牌方式：因为翻奖牌方式有的概率获得30元的代金券． 10．（25-26七年级下·山东淄博·期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准区域“D”，则顾客未中奖；指针对准“A”“B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得4元、12元、24元的购物券一张（转到公共线位置时重转），凭购物券可以在商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元． (1)某顾客转动1次转盘，求其获得购物券的概率； (2)若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是多少? (3)若小丽购买了120元商品，那么： ①她获得12元购物券的概率是多少? ②转转盘和直接获得购物券相比，小丽选择哪种方式更合算?请你通过计算说明． 【答案】(1) (2)0 (3)①；②选择直接获得购物券更合算 【分析】（1）由图算出的圆心角为，即可求解； （2）由得小亮不能获得转动转盘的机会，即可求解； （3）由得能获得一次转动转盘的机会，小丽能获得一次转动转盘的机会， ①根据概率公式即可求解； ②根据概率公式求解，即可判断． 【详解】（1）解：的圆心角为：， 其未中奖的概率为； 故某顾客转动1次转盘，其中奖的概率为； （2）解：每购买100元商品，才能获得一次转动转盘的机会， ， 若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是0； （3）解：①由题意得，小丽获得12元购物券的概率为； ②P（获得4元购物券），P（获得12元购物券）， P（获得24元购物券）， （元）， ， 选择直接获得购物券更合算． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第六章 概率的进一步认识 6．1 用树状图或表格求概率 课时3 用概率玩“配紫色”游戏 ▌课时目标 1. 掌握转盘问题中概率的计算方法，能把不等可能的结果转化为等可能的结果。 2. 能用树状图或表格分析“配紫色”游戏的概率，解决与几何图形面积有关的概率问题。 3. 能判断转盘游戏的公平性并设计游戏方案，体会概率在游戏决策中的应用，发展随机观念。 ▌课时目录 知识点01：转盘问题中概率的计算 知识点02：把不等可能的结果转化为等可能的结果 知识点03：“配紫色”游戏的概率分析 知识点04：几何图形面积与概率 知识点05：转盘游戏的公平性判断 知识点06：概率在游戏中的综合应用 ▌知识点01：转盘问题中概率的计算 转盘被均匀分成若干扇形时，指针落在每个扇形的可能性相等，落在某区域的概率＝该区域扇形个数÷总格数（或区域圆心角度数÷360°）。 例如：转盘均分8格，其中红色3格，则P（指针指向红色）＝；若红色区域圆心角为135°，则P（指向红色）＝135÷360＝。 注意：概率由面积（格数或圆心角）决定，与颜色排列的位置无关；转盘必须“均匀分割”才能保证等可能，不等分时要先转化。 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 2．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是　　　　　　　　；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的可能性和未得到购物券的可能性哪个大? 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． ▌知识点02：把不等可能的结果转化为等可能的结果 当转盘的扇形大小不同时，各结果不等可能，不能直接数个数求概率。转化方法：按各扇形面积的倍数关系，把大扇形细分成若干个相等的小扇形，使每个小扇形等可能，再数格计算。 例如：转盘由圆心角120°的红区和240°的蓝区组成，把蓝区再均分为两个120°区域，共3个等可能区域，红色占1个，P（指向红色）＝，P（指向蓝色）＝。 注意：细分后必须在图中标明并重新编号；“配紫色”类问题中不转化而直接用红、蓝两个结果列树状图，是典型错误，因为两个结果不等可能。 5．（2026·福建莆田·模拟预测）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际决定：凡购物满100元，则可参加摸球抽奖活动（活动设置一、二、三等奖）．摸球规则如下：现有两只不透明的口袋甲和乙，甲袋中装有2个白球和1个红球，乙袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，两个袋子搅匀后，先从甲袋中任意摸出1个球，再从乙袋中任意摸出1个球． (1)求摸出两个球均为白球的概率； (2)根据两次摸球的结果，请你设计一个兑奖方案，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率，并说明理由． 6．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，质地均匀的转盘中八个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在某个区域内（若指针落在区域分界线上，则重新转动，直到落在某个区域内为止）． (1)下列事件，是随机事件的是（   ） A．指针落在标有9的区域内 B．指针落在标有数字的区域内 C．指针落在标有1的区域内 (2)某商场举行抽奖活动，规定转动转盘一次，指针落在标有1的区域内获得一等奖，落在标有偶数的区域内获得三等奖，要使获得二等奖的概率大于获得一等奖的概率，而且小于获得三等奖的概率，请帮助该商场设计一个获得二等奖的方案．（注意：二等奖与一等奖、三等奖不可兼得哦！） 7．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： 在一个不透明的盒子中装入个除颜色外完全一样的小球，其中个黄球，个白球； 从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： 若取出的是黄球，则获得奖品； 若取出的是白球，则获得奖品． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是______；“获得奖品”的概率是______； (2)若从原方案的盒子中取走个黄球和个白球，请利用剩下的个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） ▌知识点03：“配紫色”游戏的概率分析 “配紫色”游戏：两个转盘各转一次，一个转得红色、另一个转得蓝色，即可配成紫色获胜。求概率时先把各转盘转化为等可能的小区域并编号，再用树状图或表格列举。 例如：A盘红1格、蓝1格（各占1÷2），B盘红1格、蓝2格（红占、蓝占，编号蓝1、蓝2）。列举：（A红，B红）、（A红，蓝1）、（A红，蓝2）、（A蓝，B红）、（A蓝，蓝1）、（A蓝，蓝2），共6种等可能结果；能配紫的有（A红，蓝1）、（A红，蓝2）、（A蓝，B红）3种，P（配成紫色）＝3÷6＝。 注意：B盘“红、蓝”两个结果不等可能（与），必须先细分编号；“红＋蓝”与“蓝＋红”都是配紫成功，列举时两种都要数。 9．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 11．（25-26七年级下·山东济宁·期末）暑假期间，某书城为了招揽顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：读者每购买元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)写出任意转动一次转盘获得元的概率为_； (2)写出任意转动一次转盘获得元的概率为_； (3)写出任意转动一次转盘获得元的概率为_． 12．（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． ▌知识点04：几何图形面积与概率 随机取点落在几何图形内的概率模型：点落在某区域的概率＝该区域面积÷总面积。这类概率由面积比决定。 例如：边长为4的正方形内有一半径为1的圆，随机投一点，落在圆内的概率为π×1²÷16＝π；飞镖投向由两个同心圆组成的靶面，小圆半径1、大圆半径2，投中小圆的概率为π÷(4π)＝。 注意：前提是“随机、均匀”地投点；面积比与点的具体位置无关；π取值按题目要求，比较大小时常保留π即可。 13．（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 16．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是__________． ▌知识点05：转盘游戏的公平性判断 转盘游戏的公平性同样用“双方获胜概率相等”判断，概率按区域面积（或细分后的格数）计算。 例如：转盘4等分，红2格、黄1格、蓝1格，转得红色甲胜、黄色乙胜、蓝色重来。P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，游戏不公平，对甲有利；改为红、黄各2格（或红1格、黄1格、其余重来）即公平。 注意：含“重来”结果时，比较的是甲胜与乙胜的概率，重来的结果不影响公平性判断；修改方案要重新验证概率相等。 17．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 18．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 19．（25-26七年级下·山东烟台·期末）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． (1)转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 20．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． ▌知识点06：概率在游戏中的综合应用 概率知识可综合运用在游戏的分析、评价与设计中：先用列举法（树状图、表格）或面积比求概率，再判断公平性，最后修改或设计方案。 例如：商场“幸运转盘”抽奖，转盘12等分，一等奖1格、二等奖3格、其余为空，P（中奖）＝4÷12＝；若商家想把中奖率控制为，可把二等奖改为2格，使P（中奖）＝3÷12＝。 注意：综合题往往多问递进，前一问求出的概率是后一问判断、设计的基础；回答“是否合算”“是否公平”都要以计算出的概率为依据。 21．（25-26七年级下·广东深圳·期末）2026年深圳市观澜河龙舟赛共有44支队伍参赛，分为三个组别：公开组12支，机关企事业组15支，社区组17支． (1)从全部队伍中随机抽取一支进行采访，抽到社区组队伍的概率为______； (2)若赛后组委会准备从公开组和机关企事业组中抽取9支队伍进行“龙舟文化”宣讲，小明认为：“既然机关企事业组比公开组多3支队伍，那么从机关企事业组抽6支，公开组抽3支，对每支队伍都公平．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；如果不公平，请你重新设计一种对每支队伍都公平的抽取方式． 22．（2026·陕西西安·模拟预测）小明和小红玩游戏：将正面分别写有数字，，，的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后放盒子里，小明从中任意抽取一张卡片，小红从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是负数，则小明获胜，为正数则小红获胜． (1)小明抽到的卡片是负数的概率是________； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 23．（2026·陕西咸阳·模拟预测）课间休息时，小林和小张在教室储物柜里发现了四张写着数字1，5，6，6的卡片（这些卡片除数字外其余均相同），这是他们班上周用来布置“数字互动游戏”的道具，两人决定来玩一场趣味对决，规则是小林先从四张卡片中任意抽取一张卡片（不放回），小张再从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是6的倍数，则由小林挑选下周班级出游的零食，否则由小张挑选． (1)小林抽到写有偶数卡片的概率是_________； (2)请利用画树状图或列表法，判断这个游戏是否公平． 24．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图1和图2均是一个大小相同的可以自由转动的转盘．图1被平均分成9等份，图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是． (1)设计转盘：请在图1的转盘中将扇形填涂黑色，要求转动转盘，当转盘停止后，使指针指向白色区域的概率是，（当指针恰好指在分界线上时重转）． (2)转动图2的转盘（当指针恰好指在分界线上时重转），当转盘停止后，求指针指向绿色的概率． (3)现有一张电影票，小明和小亮都想要，小明和小亮想通过转盘决定胜负，获胜的一方获得电影票．于是在完成第（1）题的基础上，小明转动图1的转盘，若指针指向黑色区域则获胜；小亮转动图2的转盘，若转出的颜色是绿色则获胜，那么游戏对双方公平吗？说明理由， ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 2．（24-25九年级上·山西晋中·期中）小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 3．（2026·河北邯郸·三模）某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 4．（2026·河北石家庄·一模）如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？_____（填公平或不公平）_____ 获胜的概率大，概率是______ ． 6．（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 7．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 8．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 三、解答题 9．（25-26七年级下·山西太原·期中）某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． (1)求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． (2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． (3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 10．（25-26七年级下·山东淄博·期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准区域“D”，则顾客未中奖；指针对准“A”“B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得4元、12元、24元的购物券一张（转到公共线位置时重转），凭购物券可以在商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元． (1)某顾客转动1次转盘，求其获得购物券的概率； (2)若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是多少? (3)若小丽购买了120元商品，那么： ①她获得12元购物券的概率是多少? ②转转盘和直接获得购物券相比，小丽选择哪种方式更合算?请你通过计算说明． / 学科网（北京）股份有限公司 $