6.1 课时1 用树状图或表格求概率 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第六章 概率的进一步认识 6．1 用树状图或表格求概率 课时1 用树状图或表格求概率 ▌课时目标 1. 理解等可能事件概率的意义，能说出用列举法求概率的前提是各种结果等可能。 2. 掌握用树状图或表格列举两步试验所有结果的方法，做到不重不漏，会求相应概率。 3. 能辨析放回与不放回试验的差异，解决两步及多步试验的概率问题，发展随机观念。 ▌课时目录 知识点01：等可能事件的概率 知识点02：用列举法求概率 知识点03：用树状图求两步试验的概率 知识点04：用表格求两步试验的概率 知识点05：树状图与表格的选择 知识点06：放回与不放回试验的辨析 知识点07：多步试验的概率 ▌知识点01：等可能事件的概率 一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝m÷n。 前提条件：①试验的所有结果个数是有限的；②每种结果发生的可能性相等。两者缺一不可。 例如：掷一枚均匀的骰子，共6种等可能结果，掷出点数大于4的结果有5、6两种，P（点数大于4）＝2÷6＝。 注意：概率的取值范围是0≤P（A）≤1；“等可能”是用此公式的前提，掷图钉这类不等可能的试验不能直接套用。 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】概率所求情况数与总情况数之比，先确定线段的长在线段的长度中所占的比例，根据此比例即可解答． 【详解】解：的长为5厘米，的长为1厘米， ∴随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为． 2．（2026·广东湛江·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为， 根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为； 小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为； 因此小球停在阴影部分的概率为． 3．（2026·四川乐山·二模）在分别写有、、、的四张卡片中，随机抽取一张，这张卡片上的数为正数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正确识别正数，统计符合条件的卡片数与总卡片数，计算概率． 【详解】解：四张卡片上的数分别为、、、随机抽取一张共有种等可能的结果，其中正数为，，共种结果，所求概率为． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一单位，求出该车天窗的面积，再利用概率等于天窗的面积与车顶面积的比，计算即可． 【详解】解：，， 该车天窗的面积为， 汽车车顶面积为平方米， 通过天窗掉进车内的概率是． ▌知识点02：用列举法求概率 当试验结果较少时，可直接列举出所有等可能的结果，再数出事件A包含的结果数，代入P（A）＝m÷n计算。 列举要求：不重不漏，通常按一定顺序（从小到大、先甲后乙等）逐个写出。 例如：袋中有1个红球、2个白球（编号白1、白2），任摸一球，所有结果为红、白1、白2共3种，P（摸到白球）＝。 注意：球除颜色外无差别时，也必须把同色球编号后再列举，否则“红、白”两种结果不是等可能的，会得出P＝的错误结论。 5．（26-27九年级上·广东·期中）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用列举法可得同时抛掷两枚质地均匀的硬币所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， ∴两枚硬币全部正面向上的概率是： ． 故选A． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 由3、6、9组成的各位数字不同的三位数有369、396、639、693、936、963，共6种等可能的结果，能打开行李箱的结果只有1种． ∴ 一次就能打开行李箱的概率为． 7．（2026·山东东营·中考真题）为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记两名男生为，，两名女生为，， 从4人中任选2人的所有等可能结果为：，，，，，，共6种， 其中恰好为一男一女的结果有，，，，共4种， 故所求概率为． 8．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． 【答案】 【分析】根据方程有实数根，二次项系数为，即可得，据此列出不等式，解出即可得的取值范围，再根据的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种，代入概率公式计算即可得答案． 【详解】解：∵方程有实数根，二次项系数为， ∴，整理得：，解得：， ∵的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种， ∴记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是． ▌知识点03：用树状图求两步试验的概率 两步（或两个因素）试验中，用树状图列举所有结果：第一步的各种结果作为第一层分支，每个分支再分出第二步的所有结果，最后一层的路径总数即所有等可能结果数。 例如：袋中有红、白两球，摸出记下颜色后放回，再摸一次。树状图第一层分红、白，第二层各再分红、白，共4条路径：（红，红）、（红，白）、（白，红）、（白，白），P（两次同色）＝2÷4＝。 注意：画树状图要分层清晰、分支齐全；（红，白）与（白，红）是两种不同的结果，不能合并，否则破坏了等可能性。 9．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 10．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 【答案】 【分析】先计算小明和小华选车的所有等可能结果数，再计算两人同坐一辆车的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三辆车分别为1， 2， 3， 根据题意画树状图得： 共有9种等可能的结果，其中两人同坐一辆车的结果数为3， ∴所求概率为 ． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在不透明的箱子里放有个乒乓球，个乒乓球上分别写有数字−、−、，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字．若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为纵坐标． (1)请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明． (2)求这样的点落在第四象限的概率． 【答案】(1)画树状图如下： 由树状图可知，两次摸球共有种等可能的结果，对应的点坐标分别为、、、、、、、、． (2) 【分析】（1）画出树状图，写出对应的坐标即可； （2）根据直角坐标系中，各象限的点的坐标特征，结合（1）中结果，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由（1）可知，共有种等可能的结果，其中，第四象限的点有、两种， ∴点落在第四象限的概率为． 12．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． (1)若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． (2)老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． 【答案】(1)抽中“云粉蝶”的概率为． (2)两人抽到同种蝴蝶的概率为． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）设“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片分别为A、B、C、D，然后根据题意画树状图得出所有等可能的结果数以及两人抽到同种蝴蝶的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：若随机抽取一张卡片，有4种结果，抽中“云粉蝶”的情况只有一种，抽中“云粉蝶”的概率为． （2）解：设“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片分别为A、B、C、D， 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中两人抽到同种蝴蝶的结果有4种， 所以两人抽到同种蝴蝶的概率为． ▌知识点04：用表格求两步试验的概率 两步试验也可用表格列举：第一步的结果列在表头一行，第二步的结果列在表头一列，表内每个格子对应一种结果，格子总数即所有等可能结果数。 例如：同时掷两枚骰子，表格为6行6列共36种等可能结果，点数和为7的有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）共6种，P（点数和为7）＝6÷36＝。 注意：表格只适用于两步试验，三步及以上要用树状图；填表时每个格子都要对应“第一步结果＋第二步结果”的有序组合。 13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能的结果，再得出两次摸到的都是黑球的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：记两个红球分别为A，B，黑球为C，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑球的结果有1种， ∴两次摸到的都是黑球的概率为． 14．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_； (2)请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 【答案】(1) (2)列表如下： 小春小长 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得出所有等可能的结果，再得出小长和小春选择的活动不同的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3个活动，且小长选择每项活动的可能性相同， ∴小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为； （2）解：由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中小长和小春选择的活动不同的结果有6种， ∴小长和小春选择的活动不同的概率． 15．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）文晖实验学校隐秀数学节活动中，答题卡片上写有，，3这三个数，从中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标（横坐标与纵坐标不相等）． (1)请用画树状图或列表的方法，列出所有可能； (2)图象过点P的正比例函数中，求y随自变量x的增大而增大的概率． 【答案】(1) 用列表法列出所有等可能的结果如下： 共有6种等可能的结果． (2) 【分析】（1）用列表法列出所有符合条件的点，得到全部等可能结果； （2）结合正比例函数增减性确定符合条件的结果数，计算概率． 【详解】（1）略； （2）解：∵ 正比例函数中，随的增大而增大， ∴ ， ∵ 点在的图象上， ∴ ，即， ∴ ， 即与同号， 由（1）得共有6种等可能的结果，其中横、纵坐标同号的结果有2种， ∴ 所求概率为． 16．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． (1)若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ (2)从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 【答案】(1) 抽到自然景观的概率为； (2) 取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率为． 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先列出表格，得到所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种，进而即可求解． 【详解】（1）解：（张）， ； （2）解：列表格如下：            D            E       A       B       C 所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种， ∴． ▌知识点05：树状图与表格的选择 两种方法都能列举两步试验的所有结果：表格直观紧凑，适合两步且每步结果不多的试验；树状图层次清楚，适合两步以上或各步结果数不同的试验。 例如：掷两枚硬币可用表格（2×2）也可用树状图；“先后从两个不同的袋子中各摸一球，再掷一次骰子”是三步试验，只能用树状图。 注意：无论用哪种方法，最后都要数清“所有结果数n”与“事件包含的结果数m”，并检查每个结果是否等可能。 17．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 【详解】略 18．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）箱子里有四个球，分别标有数字1，2，3，4，各球除所标的数字外其他均相同．从箱子里任意摸出一个球，记下数后从剩下的三个球中再任意摸出一个球，记下数字． 问：记录的两个数的和是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请通过列表或画树状图列举出所有可能的结果具体说明可能性． 【答案】两数之和为奇数的可能性更大 ∵两数之和为奇数有8种情况，两数之和为偶数有4种情况， ∴两数之和为奇数的可能性更大 【分析】由树状图数出两数之和为奇数与偶数的情况种数，比较后下结论． 【详解】略 19．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次搅匀后从袋中任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”你认为乙的说法_（填正确或错误） (2)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①请求出的取值范围； ②请直接写出发生这种情况的概率是_． 【答案】(1)错误； (2)①；②． 【分析】（1）由于有四种球，因此每次摸到3为其中一种可能，虽然前8次都没有摸到3，但是第9次也不可能一定摸到3，据此即可解答； （2）①根据题意列出关于a的不等式组，再解不等式组即可；②先根据题意列出表格，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）乙同学的说法错误． 理由：摸球共有四种可能，每种可能性相同，摸到3为其中一种可能，故得3分的概率为， 故乙同学的说法错误． （2）解：①前8次摸球得分的和为， 根据题意得：， 解得：． ②列表得 第10次    第9次 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵最后两次摸球得分共有16种情况，每种情况可能性相同，符合的共有6种情况， ∴发生这种情况的概率． 20．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学兴趣小组做酸碱实验，器材箱内装有5瓶试剂，其中3瓶为酸性试剂，2瓶为碱性试剂，试剂瓶标签模糊无法辨认，除标签外完全相同． (1)从中随机取出1瓶，求取出碱性试剂的概率． (2)从中随机不放回地取出两瓶试剂，求两瓶试剂混合后能够发生酸碱中和反应（即取出1瓶酸性试剂、1瓶碱性试剂）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵器材箱内装有5瓶试剂，其中3瓶为酸性试剂，2瓶为碱性试剂， ∴从中随机取出1瓶，取出碱性试剂的概率为； （2）解：列表如下：          酸1 酸2 酸3 碱1 碱2 酸1 酸2，酸1 酸3，酸1 碱1，酸1 碱2，酸1 酸2 酸1，酸2 酸3，酸2 碱1，酸2 碱2，酸2 酸3 酸1，酸3 酸2，酸3 碱1，酸3 碱2，酸3 碱1 酸1，碱1 酸2，碱1 酸3，碱1 碱2，碱1 碱2 酸1，碱2 酸2，碱2 酸3，碱2 碱1，碱2 共有种可能出现的结果，其中两瓶试剂混合后能够发生酸碱中和反应的结果有种， ∴两瓶试剂混合后能够发生酸碱中和反应的概率是． ▌知识点06：放回与不放回试验的辨析 放回试验：第一次摸出后放回再摸第二次，两次的结果互不影响，第二步的结果与第一步完全相同。不放回试验：摸出后不放回，第二步的结果比第一步少一个。 例如：袋中有红、白2球，放回地摸两次，共4种结果；不放回地摸两次，所有结果为（红，白）、（白，红）共2种，P（一红一白）放回时为2÷4＝，不放回时为2÷2＝1。 注意：审题时先找“放回”或“不放回”字样，两者列举的结果数不同，概率往往不同，这是最易混淆的地方；“同时摸两球”相当于不放回。 21．（2026·山西运城·二模）2026年6月13日是“文化和自然遗产日”，某校为此举办“世遗守护人”选拔活动，准备了三张不同主题的“山西世遗”推荐卡：A．平遥古城，B．云冈石窟，C．五台山，这三张推荐卡除图案外，其他完全相同．参赛选手小明先从这三张卡中随机抽取一张进行模拟推介，记录下主题后不放回，再从剩下的两张卡中随机抽取一张作为补充素材．则小明抽取的两张推荐卡中，恰好有一张是“五台山”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列表法得出所有等可能结果，统计符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 由表格可知，共有6种等可能的情况，其中恰好有一张是“五台山”的情况有4种， 则恰好有一张是“五台山”的概率是． 22．（2026·山西·中考真题）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． 【答案】 【分析】用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再运用概率公式计算即可． 【详解】解：分别用A，B，C表示“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，用列表法表示所有等可能结果如下， 共有6种等可能结果，其中恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有2种，即， ∴他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是 ． 23．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：这个游戏规则不公平． 根据题意列表如下： 小明/小亮 2 3 4 2 2 1 2 4 6 3 −6   6 9 观察图表可知共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为无理数的结果有0种，乘积是有理数的结果是16种， ，， ， 该游戏规则不公平． 【分析】（1）根据卡片是负数情况的可能性除以总情况即可求出卡片上的数字是负数的概率． （2）根据列表法，求出乘积是无理数的情况，即可求出小明和小亮分别胜出的概率，从而判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：负数的卡片的个数是2个，总的卡片是4个， 负数抽取的概率是． （2）略 24．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的列表可知，两球上的数字之和为的结果数有种 ∴乙获胜(记作事件）的概率 ∵ ， ∴甲获胜的概率小于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【分析】（1）根据题意，画出树状图，即可得到所有等可能的结果，进行解答，即可； （2）根据树状图，得到甲乙双方的获胜概率，进行解答，即可． 【详解】（1）解：树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种，即：，， ∴甲获胜(记作事件）的概率； （2）略． ▌知识点07：多步试验的概率 三步及以上的试验用树状图列举：逐层分支，总路径数为各步结果数之积。 例如：连续掷三枚硬币，树状图共2×2×2＝8条路径，“恰有两次正面朝上”的结果有（正，正，反）、（正，反，正）、（反，正，正）3种，P＝。 注意：多步试验路径多，要按固定顺序（如“正先反后”）逐层展开防止遗漏；也可用乘法先算总数，再分类数出符合条件的结果数。 25．（2025·安徽蚌埠·三模）袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”的概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一个关于古典概型概率计算的问题．通过有放回地从装有红、黄、白球各一个的袋中取球 3 次这一试验情境，计算不同事件的概率．本题主要考查古典概型的概率计算、对立事件的概率性质以及分步乘法计数原理．解题的关键在于准确确定基本事件总数，以及各事件所包含的基本事件个数，合理运用概率公式和相关原理进行计算，同时要注意对立事件关系的运用． 【详解】解：画出如图所示的树状图． 共有27种等可能的结果，则 ∴，，， 故选 A． 26．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）小宏和小倩玩抛硬币游戏，规定∶将一枚硬币连续抛掷三次，若三次国徽都朝上，则小宏胜，若三次中只有一次国徽朝上，则小倩胜．你认为这个游戏_______胜的可能性大． 【答案】小倩 【分析】本题考查了画树状图或列表法计算概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 画树状图，列出所有等可能情况总数，分别求出小宏和小倩获胜的概率并进行对比，即可作答． 【详解】解：根据题意，画出树状图： 由图可知，所有等可能情况总数为8，三次国徽都朝上的情况数为1，只有一次国徽朝上的情况数为3， 则， ∵ ∴这个游戏小倩胜的可能性大． 故答案为：小倩 27．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）将一枚质地均匀硬币掷三次，落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法求概率；画树状图，共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面和一个反面朝上的结果有3种，再由概率公式求解即可. 【详解】解：画树状图如下: 共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面和一个反面朝上的结果有3种， ∴落地后出现两个正面一个反面朝上的概率是. 故答案为：. 28．（24-25九年级上·江西新余·期末）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次． （1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，足球踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表） （2）如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由． 【答案】（1）； （2）应从小明开始踢如图： 若从小明开始踢，P（踢到小明处）= 同理，若从小强开始踢，P（踢到小明处）= 若从小华开始踢，P（踢到小明处）= 故应从小明开始踢． 【分析】（1）列举出所有情况，看足球踢到了小华处的情况数占所有情况数的多少即可； （2）可设球从小明处先开始踢，得到3次踢球回到小明处的概率，进而根据树状图可得球从其他2位同学处开始，3次踢球回到小明处的概率，比较可得可能性最小的方案． 【详解】（1）如图： ∴P（足球踢到小华处）=； （2） 略 【点评】考查用列树状图的方法解决概率问题；分类得到3次踢球踢到小明处的情况数是解决本题的难点；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·山东济南·中考真题）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，画出树状图，然后即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰有一人直行，另一人右拐的结果数为2， 所以恰好有一人直行，另一人右拐的概率为： ． 2．（2026·黑龙江大庆·中考真题）现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，即红红、黄黄、绿绿， ∴从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为． 3．（2026·甘肃兰州·中考真题）甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州）， 画树状图如下： 从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果有种， 恰好能组成“兰州”一词的概率是． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 二、填空题 5．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种， ∴能让灯泡发光的概率为． 6．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 【答案】 【分析】先画出树状图，列举两人选择运动的所有等可能结果，再找出两人选择同一项运动的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：记羽毛球为，滚铁环为，篮球为．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小晴和小茵选择同一项运动的结果有种，故所求概率为． 7．（26-27九年级上·重庆·开学考试）为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 【答案】 【分析】先通过树状图找出所有等可能的选取结果总数，再找出恰好选中1名男生1名女生的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，得树状图如下： 由图可知，共种等可能结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果共种， ∴所求概率为． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 三、解答题 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1) (2)解：共有12种不同的游玩方案，理由如下： 可画树状图如下： 由树状图可得，所有结果出现的可能性相等，因此共有12种不同的游玩方案． 【分析】（1）确定总等可能结果数与符合条件的结果数，结合概率公式计算； （2）通过画树状图统计总数量． 【详解】（1）解： ∵ 从4个打卡点中随机选择1个，共有4种等可能的结果， 选择A西湖的结果有1种， ∴选择A西湖的概率为； （2）略 10．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是_． (2)小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， ∴小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红， ∴结果变红的概率：； （2）解：由题意可得：列表如下： A B C D A B C D ∵共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有，，，，，，，共8种结果， ∴1瓶变红、1瓶不变色的概率为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第六章 概率的进一步认识 6．1 用树状图或表格求概率 课时1 用树状图或表格求概率 ▌课时目标 1. 理解等可能事件概率的意义，能说出用列举法求概率的前提是各种结果等可能。 2. 掌握用树状图或表格列举两步试验所有结果的方法，做到不重不漏，会求相应概率。 3. 能辨析放回与不放回试验的差异，解决两步及多步试验的概率问题，发展随机观念。 ▌课时目录 知识点01：等可能事件的概率 知识点02：用列举法求概率 知识点03：用树状图求两步试验的概率 知识点04：用表格求两步试验的概率 知识点05：树状图与表格的选择 知识点06：放回与不放回试验的辨析 知识点07：多步试验的概率 ▌知识点01：等可能事件的概率 一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝m÷n。 前提条件：①试验的所有结果个数是有限的；②每种结果发生的可能性相等。两者缺一不可。 例如：掷一枚均匀的骰子，共6种等可能结果，掷出点数大于4的结果有5、6两种，P（点数大于4）＝2÷6＝。 注意：概率的取值范围是0≤P（A）≤1；“等可能”是用此公式的前提，掷图钉这类不等可能的试验不能直接套用。 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东湛江·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川乐山·二模）在分别写有、、、的四张卡片中，随机抽取一张，这张卡片上的数为正数的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． ▌知识点02：用列举法求概率 当试验结果较少时，可直接列举出所有等可能的结果，再数出事件A包含的结果数，代入P（A）＝m÷n计算。 列举要求：不重不漏，通常按一定顺序（从小到大、先甲后乙等）逐个写出。 例如：袋中有1个红球、2个白球（编号白1、白2），任摸一球，所有结果为红、白1、白2共3种，P（摸到白球）＝。 注意：球除颜色外无差别时，也必须把同色球编号后再列举，否则“红、白”两种结果不是等可能的，会得出P＝的错误结论。 5．（26-27九年级上·广东·期中）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山东东营·中考真题）为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． ▌知识点03：用树状图求两步试验的概率 两步（或两个因素）试验中，用树状图列举所有结果：第一步的各种结果作为第一层分支，每个分支再分出第二步的所有结果，最后一层的路径总数即所有等可能结果数。 例如：袋中有红、白两球，摸出记下颜色后放回，再摸一次。树状图第一层分红、白，第二层各再分红、白，共4条路径：（红，红）、（红，白）、（白，红）、（白，白），P（两次同色）＝2÷4＝。 注意：画树状图要分层清晰、分支齐全；（红，白）与（白，红）是两种不同的结果，不能合并，否则破坏了等可能性。 9．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在不透明的箱子里放有个乒乓球，个乒乓球上分别写有数字−、−、，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字．若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为纵坐标． (1)请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明． (2)求这样的点落在第四象限的概率． 12．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． (1)若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． (2)老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． ▌知识点04：用表格求两步试验的概率 两步试验也可用表格列举：第一步的结果列在表头一行，第二步的结果列在表头一列，表内每个格子对应一种结果，格子总数即所有等可能结果数。 例如：同时掷两枚骰子，表格为6行6列共36种等可能结果，点数和为7的有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）共6种，P（点数和为7）＝6÷36＝。 注意：表格只适用于两步试验，三步及以上要用树状图；填表时每个格子都要对应“第一步结果＋第二步结果”的有序组合。 13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 14．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_； (2)请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 15．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）文晖实验学校隐秀数学节活动中，答题卡片上写有，，3这三个数，从中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标（横坐标与纵坐标不相等）． (1)请用画树状图或列表的方法，列出所有可能； (2)图象过点P的正比例函数中，求y随自变量x的增大而增大的概率． 16．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． (1)若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ (2)从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． ▌知识点05：树状图与表格的选择 两种方法都能列举两步试验的所有结果：表格直观紧凑，适合两步且每步结果不多的试验；树状图层次清楚，适合两步以上或各步结果数不同的试验。 例如：掷两枚硬币可用表格（2×2）也可用树状图；“先后从两个不同的袋子中各摸一球，再掷一次骰子”是三步试验，只能用树状图。 注意：无论用哪种方法，最后都要数清“所有结果数n”与“事件包含的结果数m”，并检查每个结果是否等可能。 17．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 18．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）箱子里有四个球，分别标有数字1，2，3，4，各球除所标的数字外其他均相同．从箱子里任意摸出一个球，记下数后从剩下的三个球中再任意摸出一个球，记下数字． 问：记录的两个数的和是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请通过列表或画树状图列举出所有可能的结果具体说明可能性． 19．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次搅匀后从袋中任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”你认为乙的说法_（填正确或错误） (2)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①请求出的取值范围； ②请直接写出发生这种情况的概率是_． 20．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学兴趣小组做酸碱实验，器材箱内装有5瓶试剂，其中3瓶为酸性试剂，2瓶为碱性试剂，试剂瓶标签模糊无法辨认，除标签外完全相同． (1)从中随机取出1瓶，求取出碱性试剂的概率． (2)从中随机不放回地取出两瓶试剂，求两瓶试剂混合后能够发生酸碱中和反应（即取出1瓶酸性试剂、1瓶碱性试剂）的概率． ▌知识点06：放回与不放回试验的辨析 放回试验：第一次摸出后放回再摸第二次，两次的结果互不影响，第二步的结果与第一步完全相同。不放回试验：摸出后不放回，第二步的结果比第一步少一个。 例如：袋中有红、白2球，放回地摸两次，共4种结果；不放回地摸两次，所有结果为（红，白）、（白，红）共2种，P（一红一白）放回时为2÷4＝，不放回时为2÷2＝1。 注意：审题时先找“放回”或“不放回”字样，两者列举的结果数不同，概率往往不同，这是最易混淆的地方；“同时摸两球”相当于不放回。 21．（2026·山西运城·二模）2026年6月13日是“文化和自然遗产日”，某校为此举办“世遗守护人”选拔活动，准备了三张不同主题的“山西世遗”推荐卡：A．平遥古城，B．云冈石窟，C．五台山，这三张推荐卡除图案外，其他完全相同．参赛选手小明先从这三张卡中随机抽取一张进行模拟推介，记录下主题后不放回，再从剩下的两张卡中随机抽取一张作为补充素材．则小明抽取的两张推荐卡中，恰好有一张是“五台山”的概率是（     ） A． B． C． D． 22．（2026·山西·中考真题）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． 23．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 24．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． ▌知识点07：多步试验的概率 三步及以上的试验用树状图列举：逐层分支，总路径数为各步结果数之积。 例如：连续掷三枚硬币，树状图共2×2×2＝8条路径，“恰有两次正面朝上”的结果有（正，正，反）、（正，反，正）、（反，正，正）3种，P＝。 注意：多步试验路径多，要按固定顺序（如“正先反后”）逐层展开防止遗漏；也可用乘法先算总数，再分类数出符合条件的结果数。 25．（2025·安徽蚌埠·三模）袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”的概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）小宏和小倩玩抛硬币游戏，规定∶将一枚硬币连续抛掷三次，若三次国徽都朝上，则小宏胜，若三次中只有一次国徽朝上，则小倩胜．你认为这个游戏_______胜的可能性大． 27．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）将一枚质地均匀硬币掷三次，落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是__________． 28．（24-25九年级上·江西新余·期末）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次． （1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，足球踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表） （2）如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·山东济南·中考真题）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江大庆·中考真题）现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃兰州·中考真题）甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 6．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 7．（26-27九年级上·重庆·开学考试）为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 三、解答题 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 10．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是_． (2)小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． / 学科网（北京）股份有限公司 $