5.3 课时2 图形面积问题 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 5．3 二次函数的应用 课时2 图形面积问题 ▌课时目标 1. 能用二次函数表示图形面积，建立面积与边长之间的函数关系式。 2. 掌握利用配方法求面积最大值的方法，能结合自变量取值范围确定实际最值。 3. 能解决围栏、场地设计、动点面积等问题，体会优化思想，发展模型观念与应用意识。 ▌课时目录 知识点01：用二次函数表示图形的面积 知识点02：面积最大值的求解 知识点03：围栏问题 知识点04：矩形场地设计问题 知识点05：动点形成的面积问题 知识点06：自变量取值范围对最值的影响 ▌知识点01：用二次函数表示图形的面积 用二次函数表示面积的步骤： 1. 设出一个变化的边长（或相关量）为x； 2. 用含x的代数式表示图形的其他边长； 3. 按面积公式列出y与x的关系式，整理成二次函数； 4. 写出自变量x的取值范围。 例如：用长24m的篱笆围成矩形菜园，设一边长xm，则邻边为(12－x)m，面积y＝x(12－x)＝－x²＋12x（0＜x＜12）。 注意：设元要选使关系最简单的量；面积关系式化简后二次项系数往往为负，这正说明面积有最大值。 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 4．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． ▌知识点02：面积最大值的求解 面积y是x的二次函数且二次项系数为负时，函数有最大值，最大值在顶点处取得。 求法： 1. 配方法化为顶点式读出最大值； 2. 公式法求，再代入求最大面积。 例如：y＝－x²＋12x＝－(x－6)²＋36，当x＝6时面积最大，最大面积为36m²，此时矩形是边长6m的正方形。 注意：求得最大值后要说明此时的边长与形状；若x的取值范围不包含对称轴，则最值在区间端点处取得，不能机械地取顶点。 5．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 6．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究 如图，在等腰直角三角形中，分别为边和边上的动点，，设的长为． (1)如图1，若四边形的面积为150，求的值． (2)如图2，过点作于点，过点作于点． ①当取何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？ ②将沿翻折得到与四边形重叠部分的面积记为S，当S的值为40时，直接写出此时的值． 7．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动．设运动时间为t秒()． (1)用含t的式子表示线段，的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的六分之一？若存在，求出t的值． 8．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求：①抛物线的解析式； ②直线的解析式； (2)求：①点的坐标； ②的面积最大值． ▌知识点03：围栏问题 围栏问题的特点：篱笆总长固定，围成矩形（或含一边靠墙），求面积最大值。一边靠墙时，篱笆只围三边，靠墙一边不需要篱笆。 例如：用30m篱笆靠墙围矩形，垂直于墙的边长xm，则平行于墙的边长为(30－2x)m，面积y＝x(30－2x)＝－2x²＋30x＝－2(x－7.5)²＋112.5，当x＝7.5时最大面积为112.5m²，此时平行于墙的边长15m。 注意：靠墙问题中“篱笆总长＝两条宽＋一条长”，列式前要先画图标明哪边靠墙；x的范围要保证各边为正，如0＜x＜15。 9．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过（围栏宽忽略不计）． (1)设平行于墙的一边长为，生态园的总面积为，求出与的函数关系式并指出自变量的取值范围． (2)生态园的总面积为，求生态园与墙平行的一边的长； 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 11．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）内蒙古不仅是全国重要的牲畜产品供应基地和乳业核心产区，更是维护北方生态安全、传承民族文化的战略支柱.某牧场主为大力发展优势特色产业，计划合理规划牧场资源，以下是需要解决的两个问题. 问题1：牲畜数量与饲料分配.牧场计划增加牛和羊两种牲畜的数量共110，已知每头牛每天消耗10公斤草料，每只羊每天消耗2公斤草料.若牧场每天供给新增牛、羊草料的总量为500公斤，则牛和羊的数量各增加多少？ 问题2：牧场扩建，牧场主计划用总长为200米的围栏扩建一个矩形牧场，靠墙（墙足够长）的一边不设围栏.设垂直于墙面的一条边的长为米，其面积为平方米，写出关于的函数解析式，并求出的最大值. 12．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，某农户因地制宜，利用一面墙（墙长17米），用总长度34米的栅栏（图中实线部分）围成两个围栏（分别为矩形，矩形），且，米，、的中间各留一个1米的小门，设栅栏 的长为x 米． (1)若矩形围栏的面积为48平方米，求栅栏 的长； (2)求围成的两个矩形围栏的面积和S关于x的函数关系式． ▌知识点04：矩形场地设计问题 场地设计问题常在矩形内部加隔断（如分成若干间），面积关系中含多个变量，要统一用x表示后再列式。 例如：用48m篱笆围成中间有一道隔断的矩形羊圈（隔断与宽平行），设宽xm，则长为(48－3x)m（篱笆沿宽的方向共3条），面积y＝x(48－3x)＝－3x²＋48x，对称轴x＝8，最大面积y＝－3×64＋48×8＝192m²。 注意：有n道平行隔断时，该方向用料为(n＋2)条边；务必先弄清篱笆在各方向上的条数，这是列式的关键，也最易出错。 13．（26-27九年级上·天津·阶段检测）如图要围一个矩形菜园，其中一边靠墙，墙长，其余的三边，，用篱笆围成，篱笆总长为，请问围成的菜园最大面积是否能达到，如果能请说明理由；如果不能，请求出菜园的最大面积． 14．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长．设垂直于墙的一边为． (1)用含有x的代数式表示为_； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 15．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）根据以下素材，完成项目式探索任务： 素材1：如图是某农场计划建一个矩形饲养室，其中一边靠现有旧墙（墙长不限），需再建三面新墙，建筑材料可建新墙的总长为20米． 素材2： 实际需求：1．想改造为两间矩形饲养室并安装两个门；饲养室的一面靠现有旧墙（旧墙长16米），中间用一道新墙隔开，建筑材料可建新墙的总长仍为20米，开2个门，且门宽均为1米（如图所示）．2．总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元，2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1.5米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米 (1)根据素材1，设垂直于墙的一边米，怎样围成面积为48平方米的饲养室？ (2)根据素材、，设米，矩形的面积为S，求S关于x的函数解析式． (3)在任务2条件下确定设计方案我的设计方案是选型号______门，当______米，______米时，S有最大值，最大值为______平方米． 16．（第五章 二次函数 ☆问题解决活动：怎样围面积最大）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ ▌知识点05：动点形成的面积问题 动点问题中，点按一定速度沿线段运动，相关图形的面积随时间t变化，面积可表示为t的二次函数，进而求某时刻的面积或面积的最大值。 步骤： 1. 用“速度×时间”表示动点所走路程； 2. 用含t的代数式表示图形的底与高； 3. 列面积关系式并求最值，注意t的范围由动点的起止位置决定。 例如：矩形ABCD中AB＝6，BC＝8，点P从A沿AB以1个单位/秒向B运动，点Q从B沿BC以2个单位/秒向C运动，设运动t秒，△PBQ的面积y＝(1/2)(6－t)·2t＝－t²＋6t（0≤t≤3），当t＝3时面积最大为9。 注意：t的范围由“最先到达终点的动点”决定；底、高都要用含t的式子表示完整，漏乘速度是常见错误。 17．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，为正方形中边上一点，，．动点，同时从点出发，以相同的速度分别沿，向点，点移动，连接，，．设点运动的路程为，的面积为，的面积为． (1)分别写出，关于的函数解析式及的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 18．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 19．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点坐标． 20．（2026·青海西宁·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，当时，函数有最小值，P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． (1)求抛物线所对应的二次函数的表达式； (2)N为线段上一点，若使得 ，求N点的坐标； (3)当P点的横坐标时，过P点作y轴的垂线，垂足为Q．问：是否存在P点，使 ？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌知识点06：自变量取值范围对最值的影响 实际问题中x受条件限制，二次函数的最值不一定在顶点处取得。判断方法：若对称轴在取值范围内，最值在顶点处取得；若不在，最值在离对称轴较近的那个端点处取得。 例如：y＝－x²＋12x的对称轴为x＝6，若实际限制0＜x≤5，对称轴不在范围内，由开口向下知x＜6时y随x增大而增大，故x＝5时最大，最大值为－25＋60＝35。 注意：求最值前先写出x的取值范围并判断对称轴是否在其中，这是实际问题求最值必不可少的步骤；端点能否取到还要看范围中带不带等号。 21．（2026·吉林四平·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，顶点为，点是该抛物线上的动点，其横坐标为，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数解析式及点的坐标； (2)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求的值； (3)当平行四边形的面积被轴平分时，求的值； (4)当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 22．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)如图1，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，点为线段上一动点，作交抛物线于点，点在第一象限，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作，交于点，连接，，，设和的面积和为． ①求面积的最大值； ②直接写出面积最大时点的坐标； (3)抛物线与抛物线关于轴对称，当时抛物线与时抛物线组成新的函数，若函数图象上有不重合的两点和，点和点的横坐标分别为和，图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，求的取值范围． 23．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 24．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． ▌课时训练 一、选择题 1．（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 2．（26-27九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 3．（2026·河南信阳·二模）如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，点D为上一点，作交于点E，相交于点F，记的面积为x，的面积为y．已知的面积为3，则y关于x的函数表达式为__________，若的面积为13，则的值为__________． 8．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，，其中，，若点是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是_____． 三、解答题 9．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（墙足够长，）．长方形的面积为，的长为． (1)写出长方形的面积与之间的函数解析式，并求出的范围； (2)当为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 10．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并求出它的顶点C的坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线介于点M，N之间的部分（包含M，N两点）为图象G．设M，N两点的水平距离为d，规定；记图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为h． ①当，时，则d的值为； ②当，时，则m的值为； ③当直线过定点时，且，求点M的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 5．3 二次函数的应用 课时2 图形面积问题 ▌课时目标 1. 能用二次函数表示图形面积，建立面积与边长之间的函数关系式。 2. 掌握利用配方法求面积最大值的方法，能结合自变量取值范围确定实际最值。 3. 能解决围栏、场地设计、动点面积等问题，体会优化思想，发展模型观念与应用意识。 ▌课时目录 知识点01：用二次函数表示图形的面积 知识点02：面积最大值的求解 知识点03：围栏问题 知识点04：矩形场地设计问题 知识点05：动点形成的面积问题 知识点06：自变量取值范围对最值的影响 ▌知识点01：用二次函数表示图形的面积 用二次函数表示面积的步骤： 1. 设出一个变化的边长（或相关量）为x； 2. 用含x的代数式表示图形的其他边长； 3. 按面积公式列出y与x的关系式，整理成二次函数； 4. 写出自变量x的取值范围。 例如：用长24m的篱笆围成矩形菜园，设一边长xm，则邻边为(12－x)m，面积y＝x(12－x)＝－x²＋12x（0＜x＜12）。 注意：设元要选使关系最简单的量；面积关系式化简后二次项系数往往为负，这正说明面积有最大值。 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 4．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 【答案】 【分析】根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即与之间的函数解析式为． ▌知识点02：面积最大值的求解 面积y是x的二次函数且二次项系数为负时，函数有最大值，最大值在顶点处取得。 求法： 1. 配方法化为顶点式读出最大值； 2. 公式法求，再代入求最大面积。 例如：y＝－x²＋12x＝－(x－6)²＋36，当x＝6时面积最大，最大面积为36m²，此时矩形是边长6m的正方形。 注意：求得最大值后要说明此时的边长与形状；若x的取值范围不包含对称轴，则最值在区间端点处取得，不能机械地取顶点。 5．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，利用分割法表示出的面积，利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：把、代入，得： ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 连接，设， 则 ， ∴当时，的面积最大为1. 6．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究 如图，在等腰直角三角形中，分别为边和边上的动点，，设的长为． (1)如图1，若四边形的面积为150，求的值． (2)如图2，过点作于点，过点作于点． ①当取何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？ ②将沿翻折得到与四边形重叠部分的面积记为S，当S的值为40时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①当时，四边形的面积最大，最大值为100；②的值为或 【分析】（1）根据列出方程即可求解； （2）①证明四边形是矩形，易得是等腰直角三角形，由勾股定理求得，再求出，即可得四边形的面积关于x的函数关系式，由二次函数的性质即可求解； ②分以下两种情况：（i）当时；（ii）当时；根据重叠面积为40，建立关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得， 解得（负值已舍去）． （2）解：①， ， ． ， ， 四边形为平行四边形． ； 四边形为矩形． ∵， ∴， 的长为，则． 由勾股定理得． 设矩形的面积为， 则， 当时，四边形的面积最大，最大值为100． ②分以下两种情况： （i）当时，如图3，点在内部（含在边上）， 此时重叠面积，解得（负值舍去）． ， 符合条件． （ii）当时，如图4，点在的外部． 设此时的直角边分别与交于点和点， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 解得（舍去），． 综上所述，的值为或． 7．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动．设运动时间为t秒()． (1)用含t的式子表示线段，的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的六分之一？若存在，求出t的值． 【答案】(1)， (2)，最大值为9 (3)存在， 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）表示出，再根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意可得，求解即可； 【详解】（1）解：由运动速度可得． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时S最大，最大值为9． （3）解：矩形面积为， 当，即时， 解得或． 又， 故(时点Q已到达点C，舍去)． 8．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求：①抛物线的解析式； ②直线的解析式； (2)求：①点的坐标； ②的面积最大值． 【答案】(1)①② (2)①②32 【分析】（1）①将和点坐标代入抛物线解析式里即可求出抛物线的解析式；②利用抛物线的解析式求出点的坐标，结合点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式． （2）①利用抛物线解析式求出其对称轴即可知道点的横坐标，将其横坐标代入直线解析式里即可求出的纵坐标，进而知道的坐标；②过点作轴交于点，过点作，利用点的横坐标相等，设，，从而求出的长度，利用割补法用表示的面积，将其转化成顶点式，即可求出最大值． 【详解】（1）解：①和经过抛物线， 解得． 抛物线的解析式为． ②令， 解得或， ， ． ， 设直线的解析式为， ，解得． 直线的解析式为． （2）解：①抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点的横坐标为3， 点在直线的解析式上， 点的纵坐标为． ． ②过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，如图所示， 设，， ， ，， ， 时，的面积最大，且最大是32． ▌知识点03：围栏问题 围栏问题的特点：篱笆总长固定，围成矩形（或含一边靠墙），求面积最大值。一边靠墙时，篱笆只围三边，靠墙一边不需要篱笆。 例如：用30m篱笆靠墙围矩形，垂直于墙的边长xm，则平行于墙的边长为(30－2x)m，面积y＝x(30－2x)＝－2x²＋30x＝－2(x－7.5)²＋112.5，当x＝7.5时最大面积为112.5m²，此时平行于墙的边长15m。 注意：靠墙问题中“篱笆总长＝两条宽＋一条长”，列式前要先画图标明哪边靠墙；x的范围要保证各边为正，如0＜x＜15。 9．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过（围栏宽忽略不计）． (1)设平行于墙的一边长为，生态园的总面积为，求出与的函数关系式并指出自变量的取值范围． (2)生态园的总面积为，求生态园与墙平行的一边的长； 【答案】(1)， (2)生态园与墙平行的一边的长为24米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）求出与墙垂直的边长，利用矩形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，与墙垂直的边长为， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可知：， 当时，解得， ∵， ∴； 答：生态园与墙平行的一边的长为24米． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 【答案】(1)栅栏的长为米 (2)矩形围栏面积存在最大值，的长为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）设矩形围栏面积为，首先得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； （2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 11．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）内蒙古不仅是全国重要的牲畜产品供应基地和乳业核心产区，更是维护北方生态安全、传承民族文化的战略支柱.某牧场主为大力发展优势特色产业，计划合理规划牧场资源，以下是需要解决的两个问题. 问题1：牲畜数量与饲料分配.牧场计划增加牛和羊两种牲畜的数量共110，已知每头牛每天消耗10公斤草料，每只羊每天消耗2公斤草料.若牧场每天供给新增牛、羊草料的总量为500公斤，则牛和羊的数量各增加多少？ 问题2：牧场扩建，牧场主计划用总长为200米的围栏扩建一个矩形牧场，靠墙（墙足够长）的一边不设围栏.设垂直于墙面的一条边的长为米，其面积为平方米，写出关于的函数解析式，并求出的最大值. 【答案】问题1：新增牛的数量为35头，新增羊的数量为75只；问题2：，最大值 【分析】此题考查了二元一次方程和二次函数的应用，根据题意正确列方程组和二次函数解析式是解题的关键. （1）设新增牛的数量为x头，新增羊的数量为y只，根据题意列出方程组冰洁方程组即可； （2）根据题意列出二次函数解析式，求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】问题1：解：设新增牛的数量为头，新增羊的数量为y只，根据题意可列方程 解得： 答：新增牛的数量为35头，新增羊的数量为75只 问题2：根据题意可得 ∵ ∴ ∵ ∴当时，S取最大值为 12．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，某农户因地制宜，利用一面墙（墙长17米），用总长度34米的栅栏（图中实线部分）围成两个围栏（分别为矩形，矩形），且，米，、的中间各留一个1米的小门，设栅栏 的长为x 米． (1)若矩形围栏的面积为48平方米，求栅栏 的长； (2)求围成的两个矩形围栏的面积和S关于x的函数关系式． 【答案】(1)栅栏 的长为米． (2) 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设栅栏 的长为x 米，结合栅栏的全长34米可得： 米．可得米，再利用面积公式建立方程即可； （2）由题意可得：，代入数据，再整理即可； 【详解】（1）解：设栅栏 的长为x 米，则、处用的栅栏长为米， 由栅栏的全长34米可得：， 又， ∴米． ∴米， 又∵矩形围栏面积为平方米，即， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，，符合题意； ∴栅栏 的长为6米． （2）解：由题意可得： ； ∴围成的两个矩形围栏的面积和S关于x的函数关系式为： ； ▌知识点04：矩形场地设计问题 场地设计问题常在矩形内部加隔断（如分成若干间），面积关系中含多个变量，要统一用x表示后再列式。 例如：用48m篱笆围成中间有一道隔断的矩形羊圈（隔断与宽平行），设宽xm，则长为(48－3x)m（篱笆沿宽的方向共3条），面积y＝x(48－3x)＝－3x²＋48x，对称轴x＝8，最大面积y＝－3×64＋48×8＝192m²。 注意：有n道平行隔断时，该方向用料为(n＋2)条边；务必先弄清篱笆在各方向上的条数，这是列式的关键，也最易出错。 13．（26-27九年级上·天津·阶段检测）如图要围一个矩形菜园，其中一边靠墙，墙长，其余的三边，，用篱笆围成，篱笆总长为，请问围成的菜园最大面积是否能达到，如果能请说明理由；如果不能，请求出菜园的最大面积． 【答案】菜园的面积不能达到．菜园的最大面积为． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 解得， 依题意，得： ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴菜园的面积不能达到． 菜园的面积， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，菜园的面积最大，最大值为． 14．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长．设垂直于墙的一边为． (1)用含有x的代数式表示为_； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1) (2)当长为时，矩形花圃的面积最大为． 【分析】（1）设垂直于墙的一边为，则． （2）先根据题意得出x的取值范围，再根据矩形的性质列出面积，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边为，则． （2）解：∵墙长， ∴， 解得：， ， ∵， ∴抛物线开口向下， 故当时，S取得最大值，． 答：当长为时，矩形花圃的面积最大为． 15．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）根据以下素材，完成项目式探索任务： 素材1：如图是某农场计划建一个矩形饲养室，其中一边靠现有旧墙（墙长不限），需再建三面新墙，建筑材料可建新墙的总长为20米． 素材2： 实际需求：1．想改造为两间矩形饲养室并安装两个门；饲养室的一面靠现有旧墙（旧墙长16米），中间用一道新墙隔开，建筑材料可建新墙的总长仍为20米，开2个门，且门宽均为1米（如图所示）．2．总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元，2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1.5米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米 (1)根据素材1，设垂直于墙的一边米，怎样围成面积为48平方米的饲养室？ (2)根据素材、，设米，矩形的面积为S，求S关于x的函数解析式． (3)在任务2条件下确定设计方案我的设计方案是选型号______门，当______米，______米时，S有最大值，最大值为______平方米． 【答案】(1)当长米、长米或长米、长米时，围成面积为48平方米的饲养室 (2) (3)①，，， 【分析】（1）设垂直于墙的一边米，则平行于墙的一边的长为米，根据长方形的面积公式列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设米，则米，米，米，再根据矩形的面积公式计算即可得出结果，由求出； （3）由（2）可得米，则米，米，米，表示出与现有墙垂直方向的墙建筑费用为元，与现有墙平行方向的墙建筑费用为元，分别求出两扇门的总费用，再分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意可得， 整理可得， 解得，， 当时，米，符合要求； 当时，米，符合要求； ∴当长米、长米或长米、长米时，围成面积为48平方米的饲养室； （2）解：设米，则米，米， ∴米， ∵矩形的面积为S， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得米，则米，米，米， 与现有墙垂直方向的建筑材料的总长度为米，故与现有墙垂直方向的墙建筑费用为元， 与现有墙平行方向的建筑材料的总长度为米，故与现有墙平行方向的墙建筑费用为元， 两扇门的总费用为：型号①：（元）； 型号②：（元）； 型号③：（元）； ∵总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元， ∴当门选择型号①时，， 解得； 当门选择型号②时，， 解得； 当门选择型号③时，， 解得； 由（2）可得， ∵， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，面积S有最大值，此时米，米，的最大值为平方米， 综上所述，我的设计方案是选型号①门，当米，米时，S有最大值，最大值为平方米． 16．（第五章 二次函数 ☆问题解决活动：怎样围面积最大）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为和 (3)符合 【分析】（1）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， 当时，有最大值， ∴当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和； （3）解：∵当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和． 由（1）知， 该方案围成面积最大时符合墙长要求． ▌知识点05：动点形成的面积问题 动点问题中，点按一定速度沿线段运动，相关图形的面积随时间t变化，面积可表示为t的二次函数，进而求某时刻的面积或面积的最大值。 步骤： 1. 用“速度×时间”表示动点所走路程； 2. 用含t的代数式表示图形的底与高； 3. 列面积关系式并求最值，注意t的范围由动点的起止位置决定。 例如：矩形ABCD中AB＝6，BC＝8，点P从A沿AB以1个单位/秒向B运动，点Q从B沿BC以2个单位/秒向C运动，设运动t秒，△PBQ的面积y＝(1/2)(6－t)·2t＝－t²＋6t（0≤t≤3），当t＝3时面积最大为9。 注意：t的范围由“最先到达终点的动点”决定；底、高都要用含t的式子表示完整，漏乘速度是常见错误。 17．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，为正方形中边上一点，，．动点，同时从点出发，以相同的速度分别沿，向点，点移动，连接，，．设点运动的路程为，的面积为，的面积为． (1)分别写出，关于的函数解析式及的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)列表： ，的函数图象如下： 的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由题意得，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 由题意得， ， ， ； （2）略 （3）由函数图象知，当时，的取值范围为． 18．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或或； (3)和的最小值为， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据抛物线的对称性求得点B坐标，进而求得，设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式列方程求解即可； （3）根据抛物线的对称性得到，则，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为；求得直线的函数解析式为，求出当时的y值即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，，，， ∴满足条件的点P的坐标为或或或； （3）解：∵点A和点B关于对称轴对称，点M在对称轴上， ∴， ∴，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为； 如图， 设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为． 19．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点坐标． 【答案】(1)； (2)的面积最大值为，． 【分析】先求出，，再利用待定系数法即可求解； 先求出直线解析式为，过作轴，交于点，设，则，则，所以的面积为，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由直线得，当时，；当时，； ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过作轴，交于点， 设，则， ∴， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大，为， 此时的纵坐标为， ∴． 20．（2026·青海西宁·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，当时，函数有最小值，P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． (1)求抛物线所对应的二次函数的表达式； (2)N为线段上一点，若使得 ，求N点的坐标； (3)当P点的横坐标时，过P点作y轴的垂线，垂足为Q．问：是否存在P点，使 ？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)N点的坐标为； (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）求出点C的坐标，可证明，则；过点N作轴于点H，则是等腰直角三角形，可推出，；根据，推出；由勾股定理得，则，进而求出，则，故； （3）分两种情况，P在第二象限和P在第三象限讨论，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，函数有最小值， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线所对应的二次函数的表达式为 ， 将代入得 ， 解得， ∴抛物线所对应的二次函数的表达式为 ，即； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，过点N作轴于点H，则是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2， 在中，当时，当，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 设，当点P在第二象限时， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 化简，得 ． 解得或（不符合题意，舍）， ∴， ∴P点坐标为； 当点P在第三象限时，同理可得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． ▌知识点06：自变量取值范围对最值的影响 实际问题中x受条件限制，二次函数的最值不一定在顶点处取得。判断方法：若对称轴在取值范围内，最值在顶点处取得；若不在，最值在离对称轴较近的那个端点处取得。 例如：y＝－x²＋12x的对称轴为x＝6，若实际限制0＜x≤5，对称轴不在范围内，由开口向下知x＜6时y随x增大而增大，故x＝5时最大，最大值为－25＋60＝35。 注意：求最值前先写出x的取值范围并判断对称轴是否在其中，这是实际问题求最值必不可少的步骤；端点能否取到还要看范围中带不带等号。 21．（2026·吉林四平·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，顶点为，点是该抛物线上的动点，其横坐标为，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数解析式及点的坐标； (2)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求的值； (3)当平行四边形的面积被轴平分时，求的值； (4)当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2)的值为或 (3)， (4)或 【分析】（1）根据题意，得，求解即可； （2）设，当时，最高点为，最低点为，当时，最高点为，最低点为，列方程求解即可； （3）当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得，根据平行四边形的性质，列式解答即可； （4）延长，交抛物线与点G，设，根据抛物线的性质，分类求解即可． 【详解】（1）解：因为抛物线与轴交于点，顶点为， 所以， 解得， 故抛物线的解析式为， 令时，得， 故； （2）解：设， 根据题意，得， 因为该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5，顶点为，， ∴或， 当时，最高点为，最低点为， ，解得（舍），； 当时，最高点为，最低点为， ， 解得（舍），． 综上，的值为或． （3）解：当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得， 因为，，必须为正数， 故， 解得，． （4）解：延长，交抛物线与点G，设， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，点P在对称轴的右侧， 当点P与点G重合时，四边形不存在， 当点P在点G的上方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧， 因为抛物线开口向上， 所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求， 故； 当点P在点G的下方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧， 因为抛物线开口向上， 所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求， 当点P与点A重合时，四边形不存在， 故；   当时，点P在对称轴的作出，如图，抛物线不能落在平行四边形内部，不符合要求； 综上所述，符合要求的m的范围是：或 ． 22．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)如图1，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，点为线段上一动点，作交抛物线于点，点在第一象限，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作，交于点，连接，，，设和的面积和为． ①求面积的最大值； ②直接写出面积最大时点的坐标； (3)抛物线与抛物线关于轴对称，当时抛物线与时抛物线组成新的函数，若函数图象上有不重合的两点和，点和点的横坐标分别为和，图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①的最大值；② (3)或 【分析】（1）把和代入即可求出抛物线的解析式； （2）①先求出直线为，设，，则，可表示出，由，可得，即可求出，据此即可求出的最大值；②由①得：当时，取最大值，可得，由，即可求出的坐标； （3）过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，当时，即，此时点在点的左侧，图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，则点要在函数的段，点要在函数的段；当时，即，此时点在点的右侧，同理，点要在函数的段，点要在函数的段；分别根据这两种情况列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：把和代入中得： ，解得：， ∴． （2）解：①令，得，解得：或， ∴， 设直线的解析式为，将，代入可得： ，解得， ∴直线为， ∵轴， ∴轴， 设，，则， ∴， ∵，轴， ∴轴，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，； ②由①得：当时，取最大值， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∴． （3）解：设的顶点为， ∵， ∴， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴， 过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令，解得：或， ∵的图象是的部分， ∴点的横坐标为， 当时，即，此时点在点的左侧，如图所示： 图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，则点要在函数的段，点要在函数的段， ∴，解得：， 当时，即，此时点在点的右侧，如图所示： 同理，点要在函数的段，点要在函数的段， ∴，解得：， 综上：或． 23．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式中，即可求出抛物线解析式； （2）设点，先根据题意分别求出直线、、的解析式，将直线、解析式联立求出点的坐标，根据，从而求出的表达式，即可求出的最大值，连接，设，由建立方程求解即可求出点的坐标； （3）当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点，先根据题意求出平移后，由得出从而求出直线解析式为，与联立即可求出第一个点的横坐标，作等腰，此时点也符合题意，设，利用求出，进而求出的解析式，与联立即可求出第二个点的横坐标． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式中得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图所示，设点，，则， ∵抛物线解析式为， 令，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点代入解析式得：，解得：， ∴直线的解析式为， 将直线解析式与直线解析式联立得： ，解得：， ∴点，即， ∴ ， ∴当时，取最大值为，此时直线的解析式为， ∴， 连接，设，，即，， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． （3）解：如图所示，当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点， ∵， ∴沿射线的方向平移，即当向左平移个单位长度时，就要向下平移个单位长度， ∴，解得：， ∴沿射线的方向平移个单位长度，即向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴，即点， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 又∵平移后， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 将直线解析式与直线的解析式联立得： ，解得：， ∴点， ∴， 如图所示，在上取一点作等腰，此时，， ∴此时点也符合题意， 设， ∴，解得：或， 当时，对应的是点的坐标， ∴， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 综上：点的横坐标为或． 24．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4)的值为或 【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式． （2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长． （3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解． （4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分，，三种情况，分别讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为列方程求． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得，． ． ． （3）解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上随增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． （4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 即， 解得． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 得， 解得． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． ▌课时训练 一、选择题 1．（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 2．（26-27九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 【答案】A 【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积. 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上， 长方形关于轴对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为，当时，， 点的坐标为， ，， 根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积， 阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积， . 3．（2026·河南信阳·二模）如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点Q作，交的延长线于点E，证明，可得，从而得到，进而得到y关于t的函数解析式，即可． 【详解】解：连接，过点Q作，交的延长线于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 根据图2得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y最小，为， 即图象中最低点的坐标是． 4．（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 二、填空题 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 【答案】8 【分析】根据抛物线解析式得到点的坐标，易得点到的距离、线段的长度，所以根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由抛物线知，顶点． ∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍， ∴． 则， 解得． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，点D为上一点，作交于点E，相交于点F，记的面积为x，的面积为y．已知的面积为3，则y关于x的函数表达式为__________，若的面积为13，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，函数关系，由，推出，可得，即，推出；由，推出，可得，构建方程组求出x，y可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：，． 8．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，，其中，，若点是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是_____． 【答案】 【分析】通过证明．可得，，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：过点N作延长线于H， 在中， ， ， 是等腰直角三角形． ，． ． 是等腰直角三角形， ， ． ． ， ， ， ． ，． ，． ． ． ． ， 面积的最大值是． 三、解答题 9．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（墙足够长，）．长方形的面积为，的长为． (1)写出长方形的面积与之间的函数解析式，并求出的范围； (2)当为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当时，长方形面积最大，面积最大为 【分析】（1）首先表示出长方形的长，根据长方形面积长宽列出函数关系式； （2）将函数关系式配方成二次函数顶点式，即可知其最大值． 【详解】（1）解：当长方形的宽时，其长， 故长方形的面积，， 即，其中； （2）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，长方形面积最大，面积最大为， 答：当时，长方形面积最大，面积最大为． 10．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并求出它的顶点C的坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线介于点M，N之间的部分（包含M，N两点）为图象G．设M，N两点的水平距离为d，规定；记图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为h． ①当，时，则d的值为； ②当，时，则m的值为； ③当直线过定点时，且，求点M的坐标． 【答案】(1)，顶点； (2)①；②或；③或． 【分析】（1） 将两点坐标代入抛物线解析式，列二元一次方程组求出、，再配方求顶点坐标． （2）①由确定左端点，判断顶点是否在图象上，由反推右端点，从而求． ②由得，分顶点在上和不在上两种情况，由列方程求． ③利用、横坐标相同得轴，以为底将面积转化为，联立抛物线用一元二次方程根与系数关系表示，解出后求坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点和， ， 解得，， 抛物线的函数表达式为， ， 顶点的坐标为． （2）①解：当时，． 抛物线开口向下，顶点为最高点． 当顶点在图象上，，，不符合题意， ∴顶点不在图象上， ， ．即， 整理得， 解得或（舍去）． ． ． ②解：， ， 当顶点在图象上时，即，， 此时，， 若时，，则， 解得或， ， ， 若时，，则， 解得或， ， ， 当顶点不在图象上时， 若，图象在对称轴右侧，随x增大而减小， ， 由得，不满足，舍去， 若即，图象在对称轴左侧，随x增大而增大， ， 由得，不满足，舍去， 综上所述，或． ③解：由题意，与横坐标相同，轴且． 设直线的解析式为， 联立解析式，得，， 消去得， 设、的横坐标分别为、（）， 由一元二次方程根与系数关系：，，， 在直线上，以为底，、到直线的水平距离为高，， 、在两侧，， ， ， ， 则， 当时，方程为， 解得，， 的横坐标为，， ， 当时，方程为， 解得，， 的横坐标为，， ， 综上所述，点的坐标为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $