5.3 课时3 生产销售问题 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 5．3 二次函数的应用 课时3 生产销售问题 ▌课时目标 1. 理解利润问题中单价、销量、成本之间的数量关系，能列出利润与售价的函数关系式。 2. 掌握用二次函数求最大利润的方法，能处理涨价、降价引起的销量联动问题。 3. 能通过计算与比较确定最优定价方案，体会二次函数在经济决策中的应用价值。 ▌课时目录 知识点01：利润问题的数量关系 知识点02：用二次函数表示利润 知识点03：最大利润的求解 知识点04：涨价与降价问题 知识点05：销量与单价联动问题 知识点06：最优定价方案 ▌知识点01：利润问题的数量关系 利润问题的基本数量关系：总利润＝单件利润×销量；单件利润＝售价－进价（成本）；销售额＝售价×销量。 涨价或降价会引起销量变化，题目通常给出“每涨（降）1元，销量减少（增加）多少件”的联动条件。 例如：某商品进价20元，售价30元时每件利润10元，月销200件；若每件涨价x元，则单件利润为(10＋x)元。 注意：分清“利润”与“销售额”，最大利润与最大销售额往往不是同一售价；单件利润必须为正，否则无经营意义。 1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱． (1)写出平均每天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式； (2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每箱的利润=售价-进价）； (3)当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为1200元？ 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的一次函数关系式． (2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？ 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． (1)求与之间的关系式； (2)是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 ▌知识点02：用二次函数表示利润 设每件涨价（或降价）x元，用含x的代数式分别表示单件利润与销量，相乘即得总利润y与x的二次函数关系式，并写出x的取值范围。 例如：进价20元、原售价30元、月销200件，每涨1元少卖10件，则y＝(10＋x)(200－10x)＝－10x²＋100x＋2000（0≤x＜20）。 注意：展开整理成一般形式后，二次项系数为负说明利润有最大值；x的范围由“销量≥0”且“单件利润＞0”共同确定。 5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题： (1)请直接写出与的关系式_____； (2)当销售单价为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？ (3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数． (1)销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ (2)设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 8．（24-25九年级上·云南·期中）中秋将至，某水果超市进行软籽石榴优惠促销活动，经调查，发现石榴日销售量（千克）与销售单价（元/千克）有如图所示的关系，石榴的进价为6元/千克，石榴的售价不低于进价且不高于18元/千克． (1)求日销售量（千克）与销售单价（元/千克）的关系式； (2)求当销售单价为何值时日销售利润最大，并写出最大利润． ▌知识点03：最大利润的求解 求最大利润即求二次函数的最大值：配方化为顶点式，或用求出涨价（降价）数，再代入求最大利润，并回答此时的售价。 例如：y＝－10x²＋100x＋2000＝－10(x－5)²＋2250，当x＝5时利润最大，最大利润为2250元，此时售价为30＋5＝35元。 注意：答最值问题要写全三要素——涨价（降价）多少、此时售价多少、最大利润多少；若x的取值不含对称轴，要结合范围在端点处求最值。 9．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 项目主题 运城盐湖景区“七彩盐湖”文创产品销售策划 项目情境 随着运城盐湖“山海经·盐泽神境”夜游项目的火爆，景区决定推出一款名为“七彩盐湖”的文创冰箱贴，景区运营部对这款产品的销量和利润进行了调研与测算． 素材1 运营部发现，该系列文创产品上市第一年（2024年）售出10万件，随着景区夜游项目的加持，第三年（2026年）售出14.4万件． 素材2 该冰箱贴每件成本为20元，最初定价为每件40元时，每天可售出100件．为了配合国庆黄金周的宣传，景区决定降价促销．经市场调查发现：售价每降低1元，每天可多售出10件． 问题解决 驱动问题一 (1)求这两年间该文创产品销量的年平均增长率． 驱动问题二 (2)若景区希望每天获得2240元的利润，且为了扩大宣传效果、尽可能增加销量，每件冰箱贴应该降价多少元？ 驱动问题三 (3)当每件冰箱贴降价______元时，每天获得的利润最大，最大利润为______元． 10．（26-27九年级上·上海·阶段检测）上海博物馆销售一种成本为每件40元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于80元，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系． (1)求每天销售该商品的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 11．（26-27九年级上·吉林·期中）某商店经销一种纪念品，进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可售出100件；市场调查发现，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5件． (1)设每件售价上涨x元，写出每天所得利润W(元)与x之间的函数关系式； (2)售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)若商店要求每天的利润不低于1120元，结合函数图象说明售价应控制在什么范围内． 12．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ (3)求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． ▌知识点04：涨价与降价问题 涨价与降价是同一模型的两个方向：涨价时单件利润增加、销量减少；降价时单件利润减少、销量增加。设法相同，都是设价格变动x元，再分别表示两个量。 例如：某商品进价25元，售价40元时每天卖100件，每降价1元多卖20件，设降价x元，则利润y＝(15－x)(100＋20x)＝－20x²＋200x＋1500。 注意：降价问题中单件利润随x增大而减小，x的范围要保证15－x＞0，即x＜15；涨价、降价方向不要设反，建议统一设“变动x元”并注明方向。 13．（2026·天津河北·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 14．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ (3)为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，方案一：每件商品涨价不超过a元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由． 15．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）某书店销售一种图书，进价为每本元，当售价定为每本元时，每月可售出本，经调查：售价每降低元，月销量就增加本（售价不低于元）． (1)设每本降价元，写出每月销售利润（元）关于的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若每月销售利润不低于元，求每本降价元的取值范围． 16．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用的代数式表示） (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)若售价不低于90元，不高于100元，降多少元利润最大，最大利润是多少？ ▌知识点05：销量与单价联动问题 联动问题的核心是“单价变、销量跟着变”。处理时抓住两个代数式：单件利润＝原利润±x，销量＝原销量（每元变动量）·x，两者此消彼长。 例如：售价每涨2元少卖5件，则涨x元少卖x件；若出现分数，可改设“涨2t元”使系数为整数，设元技巧能简化计算。 例如：原利润8元、日销60件，每涨1元少卖3件，y＝(8＋x)(60－3x)＝－3x²＋36x＋480，对称轴x＝6，最大利润y＝－3×36＋36×6＋480＝588元。 注意：联动比例“每涨a元少卖b件”中，x若以“元”为单位，少卖件数为x，最易把a、b的位置用反。 17．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 18．（2026·广东深圳·三模）端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食．某商店在端午节来临之前订购了豆沙粽和肉粽两种进行试销．已知肉粽的进价是豆沙粽进价的2倍，用1500元购进肉粽的数量比用500元购进豆沙粽的数量多50个． (1)求豆沙粽和肉粽的进价分别是多少元？ (2)经市场调研，若肉粽的售价为每个12元时，每天可以售出200个，售价每提高1元，销量会相应减少20个．求当售价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 19．（2026·四川德阳·一模）为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要元、元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多元． (1)服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？ (2)若服装甲以每件元的价格出售，每天可售出件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低元，每天可多售出件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润． 20．（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）阳春三月，春意正浓，正是踏春寻味的好时节．青团作为春日限定的时令点心，带着艾草的清香，寓意着团圆与新生．“豆沙青团”与“咸蛋黄肉松青团”是当地老字号糕团店的招牌，深受食客喜爱．某糕点店在春日尝鲜时节，特意前往这家老字号订购两种青团试销．已知咸蛋黄肉松青团的单价是豆沙青团的2倍，且用1600元购进咸蛋黄肉松青团的数量，比用700元购进豆沙青团的数量多50个． (1)豆沙青团和咸蛋黄肉松青团的单价分别是多少？ (2)若小店将咸蛋黄肉松青团定价为6元/个时，半个月可售出200个．根据销售经验，单价每提高1元，销量会相应减少20个．当售价定为多少元/个时，半个月获得的利润最大，最大利润是多少？ ▌知识点06：最优定价方案 最优定价即求使利润最大的售价。流程： 1. 设变动量列利润函数； 2. 求出最大值及对应变动量； 3. 换算成实际售价； 4. 若有多种方案（如涨价方案与维持原价），分别计算后比较取优。 例如：上例中最大利润588元对应涨价6元，若原售价30元，则最优定价为36元；若商场要求“让利促销”只能降价，则需按降价模型重新计算，不能直接套用涨价结论。 注意：题目附加限制（限价、销量不得低于某值）时，要先检查最优解是否满足限制，不满足时在允许范围的端点处取最优。 21．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 22．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息： 信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 模型建立 (1)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为_元，A品的销量为_件，每件B品的利润为_元，B品的销量为_件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式． 方案设计 (2)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润． 23．（2026·山东青岛·一模）请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 (1)根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 (2)设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 (3)确定使每日总利润最大的分配方案． 24．（2026·山东青岛·三模）某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生产数量不超过10万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系，如下表所示： 生产数量x（万件） … 1 3 4 7 … 每件生产成本y（元） … 9 8 7.5 6 … 企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，保证每月生产的产品当月销售完，且抖音和门店销售产品的数量按分配销售． 抖音销售：售价12.5元/件； 门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2元，销售数量将增加1万件，当企业以16.5元/件的销售单价出售时，可以销售1万件． (1)判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式； (2)设门店的售价为m元，则m与x的关系式为________________： (3)你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？ ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·河南周口·二模）第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津北辰·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2026·甘肃平凉·一模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 4．（25-26九年级上·天津西青·期中）某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A．这种商品的销售利润可表示为 B．这种商品的销售利润随x的增大而增大 C．每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D．若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 二、填空题 5．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是__________元． 6．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 7．（2022九年级上·湖南永州·竞赛）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 8．（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 三、解答题 9．（2026·山西晋城·二模）综合与实践 项目主题：确定实现火龙果亩利润最大化的最佳每日补光时长 项目背景：在白天正常日照下，通过“分段式补光技术”在夜间给火龙果进行补光会提高成花蕾率，但每日夜间补光时长过长或过短都会使花蕾数量降低．现该基地需通过数学建模分析每日补光时长与花蕾数量的关系，并制定兼顾产量与成本的优化方案． 数据收集：该基地栽培时期无阴雨天气下花蕾数量（）、电费成本（）与每日补光时长（）的相关数据如下： 每日补光时长 花蕾数量（个/亩） 电费成本（单位：元/亩） 模型构建： (1)根据表中信息可知，与符合_______填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）关系，并求出与的函数关系式； (2)经过研究发现，与成二次函数关系，且其函数关系式为，请求出与的函数关系式，同时描述随着的增加如何变化； 模型应用： (3)在一个生长周期内，每个花蕾后期可产约果实，除电费成本外，维护等其他固定成本为元/亩，已知火龙果售价为元（全部售出），求每亩取得最大利润时的每日补光时长．（每亩总利润每亩总收入每亩电费成本每亩固定成本） 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某公司销售一种新型节能产品，现准备从线上和线下两种销售方案中选择一种进行销售．若只在线上销售，每件售价y（元）与月销量x（件）之间的函数表达式为，每件成本为20元，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为（元）（利润＝销售额成本广告费）．若只在线下销售，每件售价为150元，受各种不确定因素影响，每件成本为a元（a为常数，且），当月销量为x件时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为（元）（利润＝销售额成本附加费）． (1)当件时，_____ ；_____； (2)分别求出、与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围）； (3)当x为何值时，的值最大？若的最大值与的最大值相同，求a的值； (4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策：选择在线上销售还是在线下销售才能使所获月利润较大？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 5．3 二次函数的应用 课时3 生产销售问题 ▌课时目标 1. 理解利润问题中单价、销量、成本之间的数量关系，能列出利润与售价的函数关系式。 2. 掌握用二次函数求最大利润的方法，能处理涨价、降价引起的销量联动问题。 3. 能通过计算与比较确定最优定价方案，体会二次函数在经济决策中的应用价值。 ▌课时目录 知识点01：利润问题的数量关系 知识点02：用二次函数表示利润 知识点03：最大利润的求解 知识点04：涨价与降价问题 知识点05：销量与单价联动问题 知识点06：最优定价方案 ▌知识点01：利润问题的数量关系 利润问题的基本数量关系：总利润＝单件利润×销量；单件利润＝售价－进价（成本）；销售额＝售价×销量。 涨价或降价会引起销量变化，题目通常给出“每涨（降）1元，销量减少（增加）多少件”的联动条件。 例如：某商品进价20元，售价30元时每件利润10元，月销200件；若每件涨价x元，则单件利润为(10＋x)元。 注意：分清“利润”与“销售额”，最大利润与最大销售额往往不是同一售价；单件利润必须为正，否则无经营意义。 1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱． (1)写出平均每天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式； (2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每箱的利润=售价-进价）； (3)当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为1200元？ 【答案】(1) (2) (3)当每箱牛奶售价为60元时，平均每天的利润为1200元 【分析】本题考查了二次函数的销售问题，求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合生产厂家要求每箱售价在元之间．若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．进行分类讨论，化简作答即可； （2）根据利润等于单价利润乘上销售量，再化简作答即可； （3）理解题意，得出，然后进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在元之间．若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱． ∴当时，则； 当，则， ∴平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式为：； （2）解：由（1）得 依题意， ， ∴平均每天销售这种牛奶的利润W（元），与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式为； （3）解：由（2）得 依题意，当时，则， 整理得， 解得， 答：当每箱牛奶售价为60元时，平均每天的利润为1200元． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的一次函数关系式． (2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？ 【答案】(1) (2)第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设该产品第天的销售额为元，根据题意，得，然后利用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设与的一次函数关系式为， 将和代入函数关系式， 得，解得， 与的一次函数关系式为． （2）解：设该产品第天的销售额为元，根据题意，得， ． 抛物线的对称轴为，， 当时，随的增大而减小． 当时，销售额最大，此时该产品的单价为67元． 即第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【答案】(1) (2)90元/千克或110元/千克 (3)当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． （2）解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． （3）解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． (1)求与之间的关系式； (2)是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 【答案】(1) (2) 解：不存在，理由如下： 由， 化简得：， ，方程无解， 销售利润不可能达到600元 (3)当（元/箱）时，销售利润最大值为450元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出，化简即可； （2）化简之后利用根的判别式求解即可； （3）先求出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的关系式为． （2）略 （3）解：设， ∵， 当（元/箱）时，销售利润最大值为450元． ▌知识点02：用二次函数表示利润 设每件涨价（或降价）x元，用含x的代数式分别表示单件利润与销量，相乘即得总利润y与x的二次函数关系式，并写出x的取值范围。 例如：进价20元、原售价30元、月销200件，每涨1元少卖10件，则y＝(10＋x)(200－10x)＝－10x²＋100x＋2000（0≤x＜20）。 注意：展开整理成一般形式后，二次项系数为负说明利润有最大值；x的范围由“销量≥0”且“单件利润＞0”共同确定。 5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得，，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得， ， 故选：D． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题： (1)请直接写出与的关系式_____； (2)当销售单价为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？ (3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为3200． (3)售单价应为60元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据销售利润每千克的利润销售量列出函数解析式即可； （2）用配方法化简函数式求出的最大值即可． （3）令时，求出的解，再根据题意解答即可． 【详解】（1）解：， 与的关系式为：， 故答案为：； （2）解：，即 ，抛物线开口向下， ∵， 当时，有最大值，最大值为3200． （3）解：令，则， 解得， 依题意，， 故不符合题意，舍去， 所以销售单价应为60元． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数． (1)销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ (2)设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)当单价定为元或元时，商场获得的利润恰为元 (2)销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是求出二次函数解析式和一元二次方程． （1）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出方程，然后求出值即可； （2）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：已知成本为每件元，销售量为件，销售单价为元， 则每件的利润为元， 且销售量与销售单价满足，， ， 整理得， 解得， 当单价定为元或元时，商场获得的利润恰为元． （2）已知成本为每件元，销售量为件，销售单价为元， 则每件的利润为元， 且销售量与销售单价满足，， ， 即， 当时，取最大值为， 销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元． 8．（24-25九年级上·云南·期中）中秋将至，某水果超市进行软籽石榴优惠促销活动，经调查，发现石榴日销售量（千克）与销售单价（元/千克）有如图所示的关系，石榴的进价为6元/千克，石榴的售价不低于进价且不高于18元/千克． (1)求日销售量（千克）与销售单价（元/千克）的关系式； (2)求当销售单价为何值时日销售利润最大，并写出最大利润． 【答案】(1) (2)当销售单价为18元时，该批苹果的日获利最大；最大获利是720元． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质的应用、求一次函数解析式等知识点，正确列出二次函数解析式并根据二次函数的性质求最值成为解题的关键． （1）根据图象利用待定系数法即可求出日销售量（千克）与销售单价（元/千克）的关系式即可； （2）利用“每件利润×总销量=总利润”，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式， 把分别代入， 得，解得：， ∴． （2）解：设该公司日获利润为W元， ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W有最大值，． 答：当销售单价为18元时，该批苹果的日获利最大；最大获利是720元． ▌知识点03：最大利润的求解 求最大利润即求二次函数的最大值：配方化为顶点式，或用求出涨价（降价）数，再代入求最大利润，并回答此时的售价。 例如：y＝－10x²＋100x＋2000＝－10(x－5)²＋2250，当x＝5时利润最大，最大利润为2250元，此时售价为30＋5＝35元。 注意：答最值问题要写全三要素——涨价（降价）多少、此时售价多少、最大利润多少；若x的取值不含对称轴，要结合范围在端点处求最值。 9．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 项目主题 运城盐湖景区“七彩盐湖”文创产品销售策划 项目情境 随着运城盐湖“山海经·盐泽神境”夜游项目的火爆，景区决定推出一款名为“七彩盐湖”的文创冰箱贴，景区运营部对这款产品的销量和利润进行了调研与测算． 素材1 运营部发现，该系列文创产品上市第一年（2024年）售出10万件，随着景区夜游项目的加持，第三年（2026年）售出14.4万件． 素材2 该冰箱贴每件成本为20元，最初定价为每件40元时，每天可售出100件．为了配合国庆黄金周的宣传，景区决定降价促销．经市场调查发现：售价每降低1元，每天可多售出10件． 问题解决 驱动问题一 (1)求这两年间该文创产品销量的年平均增长率． 驱动问题二 (2)若景区希望每天获得2240元的利润，且为了扩大宣传效果、尽可能增加销量，每件冰箱贴应该降价多少元？ 驱动问题三 (3)当每件冰箱贴降价______元时，每天获得的利润最大，最大利润为______元． 【答案】(1)这两年间该文创产品销量的年平均增长率为； (2)每件冰箱贴应该降价6元； (3)5，2250． 【分析】（1）设年平均增长率为，因为初始销量为10万件，经过2年增长后销量为14.4万件，所以根据复利增长公式列一元二次方程求解即可． （2）设每件降价元，因为单件利润为元，销量为件，所以根据“总利润=单件利润×销量”列一元二次方程，求解后选择对应销量更大的解． （3）设总利润为元，降价元，因为总利润和降价金额满足二次函数关系，所以将函数整理为顶点式，结合二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设这两年间销量的年平均增长率为。 已知第一年销量为10万件，经过两年增长到第三年的14.4万件． 根据增长率公式可列方程： ，解得：，开方得． ∵增长率为正， ∴舍去负解，得． （2）解：设每件冰箱贴降价元。 单件利润为元，降价后日销量为件， 根据总利润=单件利润×销量，列方程： 整理得： 解得， 题目要求尽可能增加销量，降价越多销量越高，因此选择． （3）解：设每天总利润为元，降价元时， ， 这是开口向下、对称轴为的二次函数，当时，取得最大值2250． 10．（26-27九年级上·上海·阶段检测）上海博物馆销售一种成本为每件40元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于80元，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系． (1)求每天销售该商品的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) （） (2) 当销售单价为70元时，每天的利润最大，最大利润为1800元 【分析】（1）利用总利润单件利润销售量的数量关系，结合给定的销售量与单价的一次函数式推导利润函数，根据单价的限制条件确定自变量取值范围； （2）利用二次函数的顶点性质，结合自变量的取值范围求解利润的最大值. 【详解】（1） 解： 由题意得，每件商品的利润为元，销售量为件， ∵ 总利润单件利润销售量， ∴ ， ∵ 销售单价不低于成本单价，且不高于80元， ∴ ， 即与的函数关系式为（）； （2）解：在中，，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在自变量取值范围内， ∴ 当时，取得最大值， 将代入，得， ∴ 当销售单价为70元时，每天的利润最大，最大利润为1800元. 11．（26-27九年级上·吉林·期中）某商店经销一种纪念品，进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可售出100件；市场调查发现，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5件． (1)设每件售价上涨x元，写出每天所得利润W(元)与x之间的函数关系式； (2)售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)若商店要求每天的利润不低于1120元，结合函数图象说明售价应控制在什么范围内． 【答案】(1) (2)35元，1125元 (3)34元到元之间 【分析】（1）根据每天的销售利润等于销售量乘以单件利润可得关系式； （2）先将关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质即可得出答案； （3）根据题意可得，再求出解集即可． 【详解】（1）解：根据题意可得． （2）解：∵， 故当时W最大， 此时售价为(元)，最大利润为1125元． （3）解：令，解得， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当函数值不小于1120时，自变量x的取值在对应方程的两个根之间，即， 故售价应控制在34元到元之间． 12．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ (3)求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)（） (2)每件销售价格应定为20元 (3)函数关系式为（）；当时，日销售利润最大，最大利润为1170元 【分析】（1）根据日销量随售价的变化规律列等式，化简得到一次函数关系式； （2）根据日销售利润的计算方法列一元二次方程，结合售价上限筛选符合条件的解； （3）先推导利润关于售价的二次函数关系式，再结合二次函数的增减性与自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：， 由题意知，每件销售价格不低于18元，不超过25元， ， （）； （2）解：由题意知，， 整理得， 解得，， ， ，即每件销售价格应定为20元； （3）解：由题意知，， 整理得，， 二次项系数，， 时，取最大值，最大值为：， 即时，日销售利润最大，最大利润为1170元． ▌知识点04：涨价与降价问题 涨价与降价是同一模型的两个方向：涨价时单件利润增加、销量减少；降价时单件利润减少、销量增加。设法相同，都是设价格变动x元，再分别表示两个量。 例如：某商品进价25元，售价40元时每天卖100件，每降价1元多卖20件，设降价x元，则利润y＝(15－x)(100＋20x)＝－20x²＋200x＋1500。 注意：降价问题中单件利润随x增大而减小，x的范围要保证15－x＞0，即x＜15；涨价、降价方向不要设反，建议统一设“变动x元”并注明方向。 13．（2026·天津河北·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据题意得到利润关于售价的函数表达式，再依次验证三个结论即可． 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意，每件利润为元， 每日销量为 ， 因此得 ； ①当时， ，故①正确。 ②二次函数 开口向下，对称轴为 ， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； ③令 ，得方程： ， 整理得 ，解得 ，，两个根均为正整数， ∴有两种定价，③正确． 综上，正确的结论共2个． 14．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ (3)为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，方案一：每件商品涨价不超过a元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由． 【答案】(1)售价为30元，进价为24元 (2)售价为47元时，商品的销售利润最大，最大为2645元 (3)解：当时，方案二最大利润更高；当时两种方案最大利润一样；当时，方案一最大利润更高； 理由：方案二：每件商品的利润至少为24元，则有 解得， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，利润最大，最大利润为（元）； 方案一：每件商品涨价不超过a元，即， 当时，∵，且对称轴为， ∴在的范围内，w随x的增大而增大，最大值在处， ∴， 当时，w在处取得最大值，元， 当时，， ∴方案二利润更高； 当时，，与方案二利润相等， 当时，， ∴方案一利润更高； 当时，， ∴方案一利润更高， ∴当时，方案二最大利润更高；当时两种方案最大利润一样；当时，方案一最大利润更高． 【分析】（1）设售价为元，进价为元，根据“售价比进价多6元”和“5件进价4件售价”列方程组，进行求解即可； （2）由题意得，单件利润为元，销量为件，利润函数为（，由销量非负得），再根据二次函数的性质求解即可； （3）方案二：利润元得，即；在内，随增大而减小，故时利润为2640元；方案一：，分（最大值在处，）和（最大值为2645元），将两种方案进行分类对比即可得到解答． 【详解】（1）解：设该商品的售价m元，进价为n元， 由题意得， 解得， 答：商品的售价为30元，进价为24元； （2）解：∵每天最少卖出0件商品， ∴ 解得， 由题意得， ， ∵， ∴当每件商品涨价17元，即售价为元时，商品的销售利润最大，最大为2645元； （3）略 15．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）某书店销售一种图书，进价为每本元，当售价定为每本元时，每月可售出本，经调查：售价每降低元，月销量就增加本（售价不低于元）． (1)设每本降价元，写出每月销售利润（元）关于的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若每月销售利润不低于元，求每本降价元的取值范围． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当售价定为元时，每月销售利润最大，最大利润是元． (3)每本降价元的取值范围是． 【分析】（1）根据题意列出代数式，从而得到二次函数的关系式，再根据题目要求得到自变量的取值范围； （2）根据二次函数的图象和性质及自变量的取值范围解答即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 售价不低于元， ， ， 自变量的取值范围是． （2）解： ， 当时，有最大值， 此时售价为：， 答：当售价定为元时，每月销售利润最大，最大利润是元． （3）解：根据题意得： ， 整理得：， ， 或， 或无解， 每本降价元的取值范围是． 16．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用的代数式表示） (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)若售价不低于90元，不高于100元，降多少元利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元 (3)降价20元利润最大，最大利润为1200元 【分析】（1）根据“如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数；根据“每件盈利每件售价每件成本”，即可解得每件的盈利； （2）根据“总利润单件利润数量”，列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设每天的利润为元，根据“总利润单件利润数量”，列出关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，该款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，每件童装降价1元，那么平均可多售出2件， 设每件童装降价元时，每天可销售（件）， 每件盈利（元）； （2）解：根据题意，可得 ， 整理可得 ， ∴， 解得，， ∵要求尽快减少库存， ∴选降价多的，即每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元； （3）解：设每天的利润为元， 根据题意，可得， ∵， ∴抛物线的开口向下，且对称轴为， ∵售价不低于90元，不高于100元，即， ∴， ∴当时，可获得最大利润，最大利润为（元）， 即降价20元利润最大，最大利润1200元． ▌知识点05：销量与单价联动问题 联动问题的核心是“单价变、销量跟着变”。处理时抓住两个代数式：单件利润＝原利润±x，销量＝原销量（每元变动量）·x，两者此消彼长。 例如：售价每涨2元少卖5件，则涨x元少卖x件；若出现分数，可改设“涨2t元”使系数为整数，设元技巧能简化计算。 例如：原利润8元、日销60件，每涨1元少卖3件，y＝(8＋x)(60－3x)＝－3x²＋36x＋480，对称轴x＝6，最大利润y＝－3×36＋36×6＋480＝588元。 注意：联动比例“每涨a元少卖b件”中，x若以“元”为单位，少卖件数为x，最易把a、b的位置用反。 17．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当每盒降价4元（即售价为36元）时，每天的销售利润最大，最大利润为576元 【分析】（1）根据总利润等于单盒利润乘以销量列出函数关系式进行求解即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：降价后每盒的利润为元，每天的销售量为盒． 由题意，． 又且， ∴． （2）解： ． ∵， ∴抛物线开口向下，当时y有最大值576． 答：当每盒降价4元时，每天的销售利润最大，最大利润为576元． 18．（2026·广东深圳·三模）端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食．某商店在端午节来临之前订购了豆沙粽和肉粽两种进行试销．已知肉粽的进价是豆沙粽进价的2倍，用1500元购进肉粽的数量比用500元购进豆沙粽的数量多50个． (1)求豆沙粽和肉粽的进价分别是多少元？ (2)经市场调研，若肉粽的售价为每个12元时，每天可以售出200个，售价每提高1元，销量会相应减少20个．求当售价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)豆沙粽的进价是每个5元，肉粽的进价是每个10元 (2)当售价定为16元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是720元 【分析】（1）设豆沙粽的进价是元，则肉粽的进价是元，根据“用1500元购进肉粽子的数量比用500元购进豆沙粽的数量多50个”列出分式方程求解即可； （2）设肉粽的售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设豆沙粽的进价是每个x元，则肉粽的进价是每个元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：豆沙粽的进价是每个5元，肉粽的进价是每个10元； （2）设肉粽的售价定为a元，每天的利润为W元， 依题意，得：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，W有最大值，最大值为720元， 答：当售价定为16元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是720元． 19．（2026·四川德阳·一模）为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要元、元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多元． (1)服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？ (2)若服装甲以每件元的价格出售，每天可售出件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低元，每天可多售出件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元 (2)当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，根据题意列出分式方程，求解并检验即可得到答案； （2）设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，根据题意可得，变形得，该二次函数的图象开口向下，因此在顶点处取得最大值． 【详解】（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元； （2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元， 根据题意得：， ， ， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 20．（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）阳春三月，春意正浓，正是踏春寻味的好时节．青团作为春日限定的时令点心，带着艾草的清香，寓意着团圆与新生．“豆沙青团”与“咸蛋黄肉松青团”是当地老字号糕团店的招牌，深受食客喜爱．某糕点店在春日尝鲜时节，特意前往这家老字号订购两种青团试销．已知咸蛋黄肉松青团的单价是豆沙青团的2倍，且用1600元购进咸蛋黄肉松青团的数量，比用700元购进豆沙青团的数量多50个． (1)豆沙青团和咸蛋黄肉松青团的单价分别是多少？ (2)若小店将咸蛋黄肉松青团定价为6元/个时，半个月可售出200个．根据销售经验，单价每提高1元，销量会相应减少20个．当售价定为多少元/个时，半个月获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)豆沙青团单价为2元/个，咸蛋黄肉松青团单价为4元/个 (2)当售价定为10元/个时，半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 【分析】（1）设豆沙青团的单价为x元/个，则咸蛋黄肉松青团的单价为元/个，根据两种青团的数量关系列分式方程求解即可； （2）根据“总利润单个利润销售量”列出利润的二次函数解析式，再求最大值即可． 【详解】（1）解：设豆沙青团的单价为x元/个，则咸蛋黄肉松青团的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以 答：豆沙青团单价为2元/个，咸蛋黄肉松青团单价为4元/个. （2）解：设咸蛋黄肉松青团的售价定为m元/个，半个月获得的利润为W元， 由题意得，单个进价为4元，单个利润为元， 销售量为， 则， ∵ 当时，W取得最大值，最大值为720． 答：当售价定为10元/个时，半个月获得的利润最大，最大利润是720元． ▌知识点06：最优定价方案 最优定价即求使利润最大的售价。流程： 1. 设变动量列利润函数； 2. 求出最大值及对应变动量； 3. 换算成实际售价； 4. 若有多种方案（如涨价方案与维持原价），分别计算后比较取优。 例如：上例中最大利润588元对应涨价6元，若原售价30元，则最优定价为36元；若商场要求“让利促销”只能降价，则需按降价模型重新计算，不能直接套用涨价结论。 注意：题目附加限制（限价、销量不得低于某值）时，要先检查最优解是否满足限制，不满足时在允许范围的端点处取最优。 21．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； (2)； (3)制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1300元， 答：制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 22．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．制作一件A品成本为6元，制作一件B品成本为4元，同时收集到如下信息： 信息1：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息2：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 模型建立 (1)设销售A品和B品的总利润为w元，A品涨价后的售价为m元/件，则每件A品的利润为_元，A品的销量为_件，每件B品的利润为_元，B品的销量为_件，求总利润w关于A品涨价后的售价m的函数解析式． 方案设计 (2)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案，并求出此时的最大利润． 【答案】(1)；；12；； (2)A品的销量为件，B品的销量为件，最大值为4800元 【分析】（1）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为； （2）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为4800元， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 23．（2026·山东青岛·一模）请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 (1)根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 (2)设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 (3)确定使每日总利润最大的分配方案． 【答案】(1)（或） (2) (3)方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服 【分析】（1）安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服，可得加工明制汉服的有人，进一步求解即可； （2）列式，再整理即可； （3）结合（2），再利用二次函数的性质解答即可. 【详解】（1）解：任务1： ∵安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服， 则加工明制汉服的有人， ∴，整理得：（或）． （2）解：任务2： 根据题意得：， 整理得：． （3）解：任务3： 由任务2得，， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， 当时，W随x的增大而减小． ∵且x，y均取正整数， ∴当或12时，利润最大． ∴方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服． 24．（2026·山东青岛·三模）某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生产数量不超过10万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系，如下表所示： 生产数量x（万件） … 1 3 4 7 … 每件生产成本y（元） … 9 8 7.5 6 … 企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，保证每月生产的产品当月销售完，且抖音和门店销售产品的数量按分配销售． 抖音销售：售价12.5元/件； 门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2元，销售数量将增加1万件，当企业以16.5元/件的销售单价出售时，可以销售1万件． (1)判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式； (2)设门店的售价为m元，则m与x的关系式为________________： (3)你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？ 【答案】(1) 一次函数，表达式为 (2) (3) 生产6万件时每月收益最大，最大收益为22.5万元 【分析】 （1）观察表格数据可知y随x均匀变化，符合一次函数特征，用待定系数法即可求出函数表达式； （2）根据门店销售量与降价幅度的关系，结合门店销售量为，整理推导即可得到m与x的关系式； （3） 分别表示出抖音销售额、门店销售额，相加后减去总成本得到总收益关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大值，结合x的取值范围得到生产方案. 【详解】（1）解：观察表格数据，y随x的增加均匀减少，符合一次函数关系， 设， 将代入得 ， 解得， 验证：当时，，当时，，符合表格数据， 又每月生产数量不超过10万件， ∴函数表达式为； （2）解：由题意，抖音和门店销售数量比为，生产x万件全部售出，故门店销售量为万件； 由题意，得， 整理，得； （3） 解：设每月总收益为w万元，生产数量为x万件，， ∵抖音和门店销售数量比为， ∴抖音销量为万件，门店销售量为万件， 由题意得 ， 由可知，是关于的二次函数且开口向下，且， ∴当时，最大，最大值为22.5万元， 答：生产6万件时，每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是22.5万元； ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·河南周口·二模）第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用总利润单个玩偶的利润销售量，分别表示出单个玩偶的利润和销售量，即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设每个涨价元，则现在的售价为元，单个利润为元， 由于售价每上涨元，每周少卖个， 则涨价元后，每周的销售量为个， 根据题意得：． 2．（2026·天津北辰·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】先根据题意得到利润关于售价的二次函数表达式，再依次验证三个结论，统计正确结论的个数即可； 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意：每件利润为元，每日销量为，因此利润函数为： 验证结论①：当时，， ∵结论中说利润为元，∴结论①错误； 验证结论②：二次函数开口向下，对称轴为， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； 验证结论③：令，得方程，整理得， 解得，，两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确； 综上，正确结论只有个； 3．（2026·甘肃平凉·一模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【答案】A 【分析】解题思路是根据总利润单件利润销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值． 【详解】解：设销售该文具每天获得的利润为元， 根据题意可得， ， ∵，二次函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值， 又∵，在的取值范围内， ∴当时，的最大值为元． 4．（25-26九年级上·天津西青·期中）某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A．这种商品的销售利润可表示为 B．这种商品的销售利润随x的增大而增大 C．每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D．若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 利润为售价减进价后乘以销量，即利润．该二次函数开口向下，有最大值，通过求顶点或代入值验证选项即可． 【详解】解：∵这种商品的销售利润可表示为 ， ∴选项A错误， ∵这种商品的销售利润为 ，二次项系数为负， ∴函数开口向下，利润随x增大先增后减，选项B错误． 当0时，利润为； 当时，利润为； ∵， ∴选项C错误． ∵二次函数顶点横坐标， ∴当时，利润最大，选项D正确． 故选D． 二、填空题 5．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是__________元． 【答案】4000 【详解】解：设销售单价涨价元，销售利润为元， 由题意得，， ∵， ∴当时，取得最大值为4000元， ∴每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是4000元． 6．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 【答案】 【分析】根据日盈利等于每件盈利乘以日销售量，建立与的二次函数关系，求二次函数的最大值点即可得到结果． 【详解】解：∵每件商品降价元， ∴降价后每件盈利为元，日销售量为件， 因此日盈利 ∵二次项系数， ∴二次函数的图象开口向下，存在最大值， 当时，取得最大值， 因此每件商品降价元时日盈利最大． 7．（2022九年级上·湖南永州·竞赛）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 8．（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价元时，利润最大，可设解析式为，其中，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大，据此结合题意列不等式组即可求解. 【详解】设月利润为元，涨价额为元，二次函数为，，其对称轴为． 存在最大值， 抛物线开口向下，，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大， 由题意可得：， 当时，不等式组可化为：，不等式组无解， 当时，不等式组可化为：，解得， 当时，不等式组可化为：，该不等式组恒成立， 综上所述：． 三、解答题 9．（2026·山西晋城·二模）综合与实践 项目主题：确定实现火龙果亩利润最大化的最佳每日补光时长 项目背景：在白天正常日照下，通过“分段式补光技术”在夜间给火龙果进行补光会提高成花蕾率，但每日夜间补光时长过长或过短都会使花蕾数量降低．现该基地需通过数学建模分析每日补光时长与花蕾数量的关系，并制定兼顾产量与成本的优化方案． 数据收集：该基地栽培时期无阴雨天气下花蕾数量（）、电费成本（）与每日补光时长（）的相关数据如下： 每日补光时长 花蕾数量（个/亩） 电费成本（单位：元/亩） 模型构建： (1)根据表中信息可知，与符合_______填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）关系，并求出与的函数关系式； (2)经过研究发现，与成二次函数关系，且其函数关系式为，请求出与的函数关系式，同时描述随着的增加如何变化； 模型应用： (3)在一个生长周期内，每个花蕾后期可产约果实，除电费成本外，维护等其他固定成本为元/亩，已知火龙果售价为元（全部售出），求每亩取得最大利润时的每日补光时长．（每亩总利润每亩总收入每亩电费成本每亩固定成本） 【答案】(1)一次函数，； (2) 解：把，代入，得， 解得， 与的函数关系式为， ∴， ∴函数图象开口向下，又对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当每日补光时长时，火龙果花蕾数量随着每日补光时长的增加而增加，当每日补光时长时，火龙果花蕾数量随着每日补光时长的增加而减少； (3)小时． 【分析】（1）根据表格中数据呈线性增长，且过原点，判断与关系，再用待定系数法求函数式； （2）代入数据求，分析随的增减性； （3）列利润函数，利用顶点公式求最大值对应值． 【详解】（1）解：表格中的数据呈线性增长，且过原点，符合一次函数的性质； 设与的函数关系式为， 把，代入，得，解得， ∴与的函数关系式为； （2）略 （3）解：设每亩总利润为元， 依题意可得，， ∵，， ∴当时，有最大值， ∴每日补光时长为小时时，每亩取得最大利润． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某公司销售一种新型节能产品，现准备从线上和线下两种销售方案中选择一种进行销售．若只在线上销售，每件售价y（元）与月销量x（件）之间的函数表达式为，每件成本为20元，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为（元）（利润＝销售额成本广告费）．若只在线下销售，每件售价为150元，受各种不确定因素影响，每件成本为a元（a为常数，且），当月销量为x件时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为（元）（利润＝销售额成本附加费）． (1)当件时，_____ ；_____； (2)分别求出、与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围）； (3)当x为何值时，的值最大？若的最大值与的最大值相同，求a的值； (4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策：选择在线上销售还是在线下销售才能使所获月利润较大？ 【答案】(1)140元，57500元 (2)， (3)当时，取得最大值， (4) 当时，在线下和线上销售都一样； 当时，选择线下销售获利更多； 当时，选择线上销售获利更多． 【分析】 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键． （1）将代入得，将代入解析式，即可求解； （2）根据题中给出的线上和线下销售的利润构成关系，分别列出函数表达式即可； （3）根据二次函数的最值求法求解即可； （4）当时，（元），故当时，，然后进行比较即可． 【详解】（1） 解：将代入， 得（元）， ， 故， 当时，（元）． （2）解：根据题意，得， ，其中． （3）解：根据题意，得 ， 故当时，取得最大值，且为360000元， 由，得其最大值为 又的最大值与的最大值相同， 故， 整理得， 故或， 解得或， 又， 则舍去， 故． （4）解：根据题意，得 ， 故当时， （元）， 故当时，， 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 又． / 学科网（北京）股份有限公司 $