5.2 课时3 二次函数y＝a(x－h)²的图象与性质 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 5．2 二次函数的图象 课时3 二次函数y＝a(x－h)²的图象与性质 ▌课时目标 1. 掌握y＝a(x－h)²的图象与性质，能直接说出它的对称轴与顶点坐标。 2. 掌握“左加右减”的平移规律，能说明y＝a(x－h)²与y＝ax²图象的平移关系。 3. 能根据图象的平移确定函数表达式，分析函数的增减性，发展推理能力与数形结合意识。 ▌课时目录 知识点01：二次函数y＝a(x－h)²的图象与性质 知识点02：y＝a(x－h)²与y＝ax²图象的平移关系 知识点03：对称轴与顶点的确定 知识点04：平移规律（左加右减） 知识点05：y＝a(x－h)²的增减性 知识点06：由图象平移确定表达式 ▌知识点01：二次函数y＝a(x－h)²的图象与性质 二次函数y＝a(x－h)²（a≠0）的图象是抛物线，对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0)。 性质：a＞0时开口向上，当x＜h时y随x增大而减小，当x＞h时y随x增大而增大，x＝h时y取最小值0；a＜0时开口向下，增减性相反，x＝h时y取最大值0。 例如：y＝(x－2)²开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点(2，0)；y＝－2(x＋1)²开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点(－1，0)。 注意：y＝(x＋1)²要看成y＝[x－(－1)]²，即h＝－1，h的符号与括号内的运算符号相反，这是最易错处。 1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）若抛物线的图象上有三个点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东·阶段检测）下列二次函数的图象中，开口向下的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． ▌知识点02：y＝a(x－h)²与y＝ax²图象的平移关系 抛物线y＝a(x－h)²（a≠0）可以由抛物线y＝ax²沿x轴平移得到：h＞0时向右平移h个单位，h＜0时向左平移|h|个单位。 平移前后，开口方向与大小不变，对称轴由y轴变为直线x＝h，顶点由(0，0)变为(h，0)。 例如：y＝(x－3)²由y＝x²向右平移3个单位得到；y＝(x＋2)²由y＝x²向左平移2个单位得到。 注意：平移方向看h的符号而不是括号里的运算符号，“(x－3)”对应右移，“(x＋2)”对应左移。 5．（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）如果抛物线的图像向右平移5个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 6．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）向左或向右平移二次函数的图象，完成以下问题： (1)将的图象向右平移4个单位长度，直接写出平移后图象对应的函数表达式； (2)平移的图象，能使平移后的图象过点吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 8．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知直线与x轴交于点A，抛物线的顶点平移后与点A重合． （1）求平移后的抛物线C的解析式； （2）若点，在抛物线C上，且，试比较，的大小． ▌知识点03：对称轴与顶点的确定 确定y＝a(x－h)²（a≠0）的对称轴与顶点的方法：令x－h＝0得x＝h，直线x＝h即对称轴；此时y＝0，顶点为(h，0)。 因为平方数(x－h)²≥0，所以a＞0时y≥0，x＝h时取最小值0；a＜0时y≤0，x＝h时取最大值0。 例如：y＝3(x－5)²的对称轴是直线x＝5，顶点(5，0)，最小值为0；y＝－(x＋4)²即h＝－4，对称轴是直线x＝－4，顶点(－4，0)，最大值为0。 注意：对称轴必须写成“直线x＝h”的完整形式，只写“x＝h”不规范；顶点的横坐标为h、纵坐标为0。 9．（25-26九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是直线．请你写出这个二次函数：________． 11．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 12．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，形状和开口大小与抛物线相同，但开口方向相反． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当为何值时，随的增大而增大？ ▌知识点04：平移规律（左加右减） 由y＝ax²平移得到y＝a(x－h)²（a≠0）的规律可概括为“左加右减”：向左平移h个单位，括号内为(x＋h)；向右平移h个单位，括号内为(x－h)（h＞0）。 本质：向右平移k个单位后，原图象上点(x，y)变为(x＋k，y)，因此表达式中x要用(x－k)替换。 例如：y＝2x²向左平移3个单位得y＝2(x＋3)²，向右平移1个单位得y＝2(x－1)²；由y＝5(x－4)²可知它是由y＝5x²向右平移4个单位得到的。 注意：“左加右减”作用于自变量x本身，与上一课时竖直方向平移的“上加下减”作用在函数值上，两者不要混淆；本课时只含水平平移。 13．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（     ） A． B． C． D． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）将抛物线的图象向右平移个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为________． 15．（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）将二次函数的图象沿x轴方向平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________． 16．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线是___________． ▌知识点05：y＝a(x－h)²的增减性 增减性以对称轴直线x＝h为界：a＞0时，x＜h（对称轴左侧）y随x增大而减小，x＞h时y随x增大而增大；a＜0时恰好相反。 比较函数值大小可利用对称性：图象上到对称轴距离相等的两点纵坐标相等，即x＝h＋t与x＝h－t时函数值相等。 例如：y＝(x－1)²中，比较x＝4与x＝－1的函数值：x＝－1关于直线x＝1的对称点是x＝3，由x＞1时递增知x＝3的值小于x＝4的值，故x＝－1时函数值较小。 注意：比较或判断增减性时，必须先把各点转化到对称轴的同侧，不能跨对称轴直接比较。 17．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测），，是抛物线上三点，，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）已知点，都在二次函数的图像上，则______（填>，<或=） 19．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______． 20．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． ▌知识点06：由图象平移确定表达式 已知平移过程求表达式：先确定平移前的表达式，再按“左加右减（对x）、上加下减（对y）”写出平移后的表达式。 已知两条抛物线互相平移得到，可先由形状相同确定a相同，再由顶点位置确定h。 例如：把y＝－3x²向左平移2个单位，得y＝－3(x＋2)²；某抛物线由y＝x²平移得到且顶点为(6，0)，则其表达式为y＝(x－6)²。 注意：求出表达式后可取一个已知点代入检验；平移不改变a，若题中a改变则不是单纯的平移变换。 21．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 22．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 23．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是______． 24．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线表达式为______． ▌课时训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·山西忻州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 4．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 二、填空题 5．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）将的图象向______平移2个单位长度，再向______平移3个单位长度，就得到的图象． 6．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知二次函数，当时，随的增大而增大，那么实数的取值范围是__________． 7．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）若抛物线经过和两点，则______． 8．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若二次函数 的对称轴是直线，则顶点坐标为____________． 三、解答题 9．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）抛物线过点． (1)求的值． (2)判断点是否在此抛物线上； (3)当为何值时随增大而减小． 10．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数图象的草图； (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最值？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 5．2 二次函数的图象 课时3 二次函数y＝a(x－h)²的图象与性质 ▌课时目标 1. 掌握y＝a(x－h)²的图象与性质，能直接说出它的对称轴与顶点坐标。 2. 掌握“左加右减”的平移规律，能说明y＝a(x－h)²与y＝ax²图象的平移关系。 3. 能根据图象的平移确定函数表达式，分析函数的增减性，发展推理能力与数形结合意识。 ▌课时目录 知识点01：二次函数y＝a(x－h)²的图象与性质 知识点02：y＝a(x－h)²与y＝ax²图象的平移关系 知识点03：对称轴与顶点的确定 知识点04：平移规律（左加右减） 知识点05：y＝a(x－h)²的增减性 知识点06：由图象平移确定表达式 ▌知识点01：二次函数y＝a(x－h)²的图象与性质 二次函数y＝a(x－h)²（a≠0）的图象是抛物线，对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0)。 性质：a＞0时开口向上，当x＜h时y随x增大而减小，当x＞h时y随x增大而增大，x＝h时y取最小值0；a＜0时开口向下，增减性相反，x＝h时y取最大值0。 例如：y＝(x－2)²开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点(2，0)；y＝－2(x＋1)²开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点(－1，0)。 注意：y＝(x＋1)²要看成y＝[x－(－1)]²，即h＝－1，h的符号与括号内的运算符号相反，这是最易错处。 1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式中、的意义确定图象性质，再判断各选项． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故C正确，不符合题意； ∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大，故D不正确，符合题意． 2．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）若抛物线的图象上有三个点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向与对称轴，利用点到对称轴的水平距离比较函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·广东·阶段检测）下列二次函数的图象中，开口向下的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次项系数的符号判断开口方向，系数为负的图象开口向下，据此即可解答． 【详解】解：A、C、D选项的二次项系数分别为、、，均大于0，图象开口向上； B选项的二次项系数为，小于0，图象开口向下． 4．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数由一次项系数判断增减性，二次函数结合开口方向、对称轴与的位置关系判断增减性． 【详解】解：∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而增大，故选项A不符合题意． ∵二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵满足，故选项B符合题意． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项C不符合题意． ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意． ▌知识点02：y＝a(x－h)²与y＝ax²图象的平移关系 抛物线y＝a(x－h)²（a≠0）可以由抛物线y＝ax²沿x轴平移得到：h＞0时向右平移h个单位，h＜0时向左平移|h|个单位。 平移前后，开口方向与大小不变，对称轴由y轴变为直线x＝h，顶点由(0，0)变为(h，0)。 例如：y＝(x－3)²由y＝x²向右平移3个单位得到；y＝(x＋2)²由y＝x²向左平移2个单位得到。 注意：平移方向看h的符号而不是括号里的运算符号，“(x－3)”对应右移，“(x＋2)”对应左移。 5．（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）如果抛物线的图像向右平移5个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 【答案】 【答案】5 【分析】根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，再利用对称轴是轴的条件求解. 【详解】解：将抛物线向右平移5个单位后，根据“左加右减”的平移规律，得到平移后的解析式为. ∵ 平移后抛物线的对称轴是轴，顶点式的对称轴为，对称轴轴即. ∴ . ∴ . 6．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）向左或向右平移二次函数的图象，完成以下问题： (1)将的图象向右平移4个单位长度，直接写出平移后图象对应的函数表达式； (2)平移的图象，能使平移后的图象过点吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，向左平移15个单位长度或3个单位长度．理由如下： 设平移后的函数解析式为， 将点代入得， 解得或， 所以平移后的图象对应的函数解析式为或， 所以函数的图象向左平移15个单位长度或3个单位长度，能过点． 【分析】（1）根据抛物线的平移规律求解即可； （2）设平移后的函数解析式为，将点代入求解即可． 【详解】（1）解：将的图象向右平移4个单位长度，所得的函数表达式为； （2）略 7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式： （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，满足题意的抛物线解析式为； （2）解：将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式为． 8．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知直线与x轴交于点A，抛物线的顶点平移后与点A重合． （1）求平移后的抛物线C的解析式； （2）若点，在抛物线C上，且，试比较，的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）令，求出点的坐标，然后根据二次函数的平移求解即可． （2）根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴令，则， ∴，即抛物线C的顶点坐标为， 又抛物线C是由抛物线平移得到的， ∴， ∴抛物线C的解析式为． （2）由（1）知，抛物线C的对称轴为直线． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知二次函数的基本性质是解本题的关键． ▌知识点03：对称轴与顶点的确定 确定y＝a(x－h)²（a≠0）的对称轴与顶点的方法：令x－h＝0得x＝h，直线x＝h即对称轴；此时y＝0，顶点为(h，0)。 因为平方数(x－h)²≥0，所以a＞0时y≥0，x＝h时取最小值0；a＜0时y≤0，x＝h时取最大值0。 例如：y＝3(x－5)²的对称轴是直线x＝5，顶点(5，0)，最小值为0；y＝－(x＋4)²即h＝－4，对称轴是直线x＝－4，顶点(－4，0)，最大值为0。 注意：对称轴必须写成“直线x＝h”的完整形式，只写“x＝h”不规范；顶点的横坐标为h、纵坐标为0。 9．（25-26九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是关键；抛物线方程为顶点形式，直接根据顶点式公式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选 C． 10．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是直线．请你写出这个二次函数：________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵这个二次函数图象的形状、开口方向与的相同， ∴二次项系数， ∵顶点在轴上，对称轴是直线， ∴顶点坐标为， ∴这个二次函数的解析式可以是． 11．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 【答案】 【分析】已知二次函数为顶点式，结合给出的对称轴，利用顶点式的性质直接推导顶点坐标． 【详解】解：当时，， 因此它的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， 代入得二次函数为， 因此顶点坐标为． 12．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，形状和开口大小与抛物线相同，但开口方向相反． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】(1) (2) 当时，随的增大而增大. 【分析】（1）由抛物线的对称轴、开口大小和方向确定顶点式中参数和的值； （2）根据抛物线开口方向与对称轴，结合二次函数增减性求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵ 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵该抛物线形状和开口大小与抛物线相同，开口方向相反， ∴， 将，，代入，得该抛物线的函数表达式为． （2）解：∵，抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． ▌知识点04：平移规律（左加右减） 由y＝ax²平移得到y＝a(x－h)²（a≠0）的规律可概括为“左加右减”：向左平移h个单位，括号内为(x＋h)；向右平移h个单位，括号内为(x－h)（h＞0）。 本质：向右平移k个单位后，原图象上点(x，y)变为(x＋k，y)，因此表达式中x要用(x－k)替换。 例如：y＝2x²向左平移3个单位得y＝2(x＋3)²，向右平移1个单位得y＝2(x－1)²；由y＝5(x－4)²可知它是由y＝5x²向右平移4个单位得到的。 注意：“左加右减”作用于自变量x本身，与上一课时竖直方向平移的“上加下减”作用在函数值上，两者不要混淆；本课时只含水平平移。 13．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将的图象向左平移3个单位长度，得，再向上平移4个单位长度，得． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）将抛物线的图象向右平移个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【详解】解：平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线顶点坐标为． 15．（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）将二次函数的图象沿x轴方向平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________． 【答案】或 【分析】沿轴平移未指定方向，需分向左、向右两种情况，利用二次函数平移规律“左加右减”求解． 【详解】解：若二次函数的图象沿x轴方向向左平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为； 若二次函数的图象沿x轴方向向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为． 因此所得抛物线的表达式为或． 16．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线是___________． 【答案】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，即可求出平移后的新抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为， 再向上平移个单位长度，得到新抛物线解析式为． ▌知识点05：y＝a(x－h)²的增减性 增减性以对称轴直线x＝h为界：a＞0时，x＜h（对称轴左侧）y随x增大而减小，x＞h时y随x增大而增大；a＜0时恰好相反。 比较函数值大小可利用对称性：图象上到对称轴距离相等的两点纵坐标相等，即x＝h＋t与x＝h－t时函数值相等。 例如：y＝(x－1)²中，比较x＝4与x＝－1的函数值：x＝－1关于直线x＝1的对称点是x＝3，由x＞1时递增知x＝3的值小于x＝4的值，故x＝－1时函数值较小。 注意：比较或判断增减性时，必须先把各点转化到对称轴的同侧，不能跨对称轴直接比较。 17．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测），，是抛物线上三点，，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出函数值，再判断函数值大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 18．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）已知点，都在二次函数的图像上，则______（填>，<或=） 【答案】 【分析】通过代入计算函数值直接比较即可解答． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图像上， ∴将代入解析式得， 将代入解析式得，， ∵， ∴． 19．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据开口向上的二次函数的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：由二次函数解析式可得，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由开口向上的二次函数，点离对称轴越远，对应的函数值越大， ∵， ∴． 20．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴左侧为上升，判断抛物线开口方向，进而得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象在对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴． ▌知识点06：由图象平移确定表达式 已知平移过程求表达式：先确定平移前的表达式，再按“左加右减（对x）、上加下减（对y）”写出平移后的表达式。 已知两条抛物线互相平移得到，可先由形状相同确定a相同，再由顶点位置确定h。 例如：把y＝－3x²向左平移2个单位，得y＝－3(x＋2)²；某抛物线由y＝x²平移得到且顶点为(6，0)，则其表达式为y＝(x－6)²。 注意：求出表达式后可取一个已知点代入检验；平移不改变a，若题中a改变则不是单纯的平移变换。 21．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 22．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线平移遵循左加右减，上加下减，向左平移2个单位，自变量加2，向下平移3个单位，整体减3，代入得到新解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移3个单位，得． 23．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，逐步变换解析式即可得到结果． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是． 24．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线表达式为______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移的“上加下减”规律，计算得到平移后的抛物线表达式． 【详解】解：∵ 原抛物线表达式为，向下平移个单位，平移符合“上加下减”的规律， ∴ 平移后得到的抛物线表达式为． ▌课时训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·山西忻州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图像的平移法则：左加右减、上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向下平移3个单位长度，得． 2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标特征对各选项的图象分析即可． 【详解】解： 函数解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线的顶点一定在 轴上 观察图象，A、B、D选项的顶点均在轴上，C选项图象的顶点在轴正半轴上，不在轴上， 该图象不可能是函数的图象． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数解析式为中， ∴图象开口向下，该函数对称轴为直线，顶点坐标为，故A，D错误；B正确； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而增大，故C错误． 4．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 【答案】A 【分析】先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 二、填空题 5．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）将的图象向______平移2个单位长度，再向______平移3个单位长度，就得到的图象． 【答案】 左 下 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，即可确定平移方向． 【详解】解：二次函数图象平移遵循规律：左右平移改变，左加右减，上下平移改变常数项，上加下减． 原函数为，目标函数为． 将中替换为，符合左加规则， 对应向左平移2个单位长度，得到的图象． 再将整体减3，符合下减规则， 对应向下平移3个单位长度，即可得到的图象． 因此平移方向依次为左，下． 6．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知二次函数，当时，随的增大而增大，那么实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性确定的取值范围． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，对称轴右侧随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大， ∵题目要求当时，随的增大而增大， ∴． 7．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 /0.5 【分析】两点纵坐标相等，说明两点关于抛物线对称轴对称，先根据抛物线顶点式得到对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的平均值列方程求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等 ， ∴两点关于对称轴对称， ∴， 整理得，， 解得． 8．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若二次函数 的对称轴是直线，则顶点坐标为____________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质得到对称轴表达式，结合已知对称轴求出的值，即可得到顶点坐标. 【详解】解：∵顶点式形式的二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为 ∵本题中二次函数可改写为， ∴该函数的对称轴为直线， ∵已知对称轴是直线， ∴，解得， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为． 三、解答题 9．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）抛物线过点． (1)求的值． (2)判断点是否在此抛物线上； (3)当为何值时随增大而减小． 【答案】(1) (2) 点不在此抛物线上 (3) 当时，随的增大而减小 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，解方程求； （2）代入点横坐标计算对应纵坐标，与点的纵坐标比较判断； （3）结合抛物线的开口方向与对称轴，确定随增大而减小时的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴将，代入解析式得：， 即， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 将代入解析式得：， ∵， ∴点不在此抛物线上； （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小． 10．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数图象的草图； (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最值？ 【答案】(1) (2)二次函数的图象如图所示： (3)从图象上观察，当时，y随x的增大而增大；当时，函数有最值． 【分析】（1）根据对称轴和经过点，直接求出和的值，得函数表达式； （2）由描点法直接画图即可； （3）由二次函数图像可得函数值的变化情况和最值． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线 ， 过点， ， ， 抛物线的解析式为； （2）略 （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $