第5章 二次函数 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合辨析二次函数的概念，熟练运用各种形式的图象与性质解决求值与比较问题。 2. 能综合运用待定系数法、配方法与平移规律确定表达式、求顶点与最值。 3. 能综合运用二次函数解决抛物线形、面积、利润及与方程、几何综合的问题，形成知识网络。 ▌课时目录 知识点01：二次函数概念的综合辨析 知识点02：各种形式二次函数图象与性质的综合 知识点03：图象平移规律的综合应用 知识点04：由图象判断a、b、c及代数式的符号 知识点05：待定系数法求二次函数表达式的综合 知识点06：二次函数最值的综合应用 知识点07：抛物线形实际问题的综合 知识点08：面积与利润最值问题的综合 知识点09：二次函数与一元二次方程关系的综合 知识点10：二次函数与几何图形的综合（动点与存在性） ▌知识点01：二次函数概念的综合辨析 综合辨析围绕定义三要素：右边是整式、自变量最高次为2、二次项系数不为0。常与化简变形结合考查。 例如：y＝(x－1)(x＋2)展开为x²＋x－2，是二次函数；y＝x²＋右边含分式，不是；y＝(x＋1)²－(x－1)²化简为4x，不是；y＝ax²在a≠0时才是二次函数。 注意：含参数时要由“系数≠0”列不等式并检验；判断前先整理成一般形式，防止被表面形式迷惑。 1．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：、中含分式，不是二次函数，不符合题意； 、中自变量最高次数为，二次项系数不为，是二次函数； 、中自变量最高次数为，是一次函数，不符合题意； 、含二次根式，不是二次函数，不符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______． 【答案】 1 2 【分析】题干给出的是二次函数的一般形式，根据一般式中各系数的定义即可确定对应系数．即二次函数的一般形式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 3．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知（m为常数）是二次函数，那么m的值是____________． 【答案】 【分析】二次函数要求自变量的次数为，且二次项系数不为，据此列条件求解． 【详解】解：∵ （为常数）是二次函数， ∴ ，且， 解得或，即或， 由得， 因此． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，列式计算即可； （2）根据二次函数的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． ▌知识点02：各种形式二次函数图象与性质的综合 二次函数的常用形式：一般式y＝ax²＋bx＋c、顶点式y＝a(x－h)²＋k，以及y＝ax²、y＝ax²＋c、y＝a(x－h)²等特殊形式。它们的图象都是抛物线，性质都围绕开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值展开。 综合题常要求快速读出或求出上述要素：顶点式直接读，一般式用求对称轴再代回求顶点，或配方转化为顶点式。 注意：所有形式中a的作用相同（定开口方向与大小）；比较不同抛物线的开口大小比较|a|，与h、k无关。 5．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．顶点都是 C．都有最高点 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】型二次函数的顶点均为，其余性质与的符号相关． 【详解】解：由于三个抛物线的解析式均为的形式，则顶点均为； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 抛物线，二次项系数小于，开口向下，有最高点，当时，随的增大而减小； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 综上所述，三个抛物线共同性质的是顶点均为，即B选项符合题意． 6．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的最大值为10，最小值为1，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式得到开口方式和对称轴，顶点坐标和最小值，再求出时，或；结合当时，函数的最大值为10，最小值为1求解即可． 【详解】解：，二次项系数 ∴ 函数图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为，最小值为， 令，则， 解得或； ∵ 时，函数最小值为， ∴ ， ∵ 函数最大值为，且时，随的增大而增大， ∴， 综上，． 7．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的表达式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的对称轴，利用对称轴判断随的增大而增大时，的取值范围，利用自变量取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：二次函数的二次项系数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 开口向下的二次函数，在对称轴左侧，函数值随着自变量的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 要求在直线的左侧，函数值随的增大而增大， ． 8．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的对称轴是________________． 【答案】直线 【分析】抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式的特征直接求对称轴． 【详解】解：二次函数顶点式（）的对称轴为直线， 故抛物线的对称轴为直线． ▌知识点03：图象平移规律的综合应用 平移规律：自变量“左加右减”、函数值“上加下减”。任意抛物线的平移问题先化为顶点式，再按顶点(h，k)的移动描述平移过程。 例如：把y＝2x²的图象先向左平移1个单位、再向下平移3个单位，得y＝2(x＋1)²－3；把y＝x²－2x即y＝(x－1)²－1的图象向右平移2个单位，得y＝(x－3)²－1。 注意：综合题常反向设问“如何平移得到”，此时把两个表达式都化为顶点式，比较顶点坐标即可；平移中a不变，形状不变。 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线先向下平移个单位，再向左平移个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定平移后抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为，把点向下平移个单位，再向左平移个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 10．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 _______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移“上加下减”的规律求解. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，可得所得抛物线的解析式为. 11．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标； (2)如果将该抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度得到新的抛物线，写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)平移后的抛物线解析式为（或） 【分析】（1）将二次函数一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标； （2）根据平移后顶点的坐标变化，结合二次项系数不变求解新解析式． 【详解】（1）解： ， ∴ 此抛物线的顶点坐标为； （2）∵ 原抛物线顶点坐标为，抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度 ∴ 新顶点坐标为，即， ∵ 平移前后抛物线的二次项系数不变 ∴ 平移后的抛物线解析式为，即． 12．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 1 4 … … 2 3 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是________（填序号）； ①； ②； ③当时，有最大值3； ④当时，随的增大而增大． (3)将二次函数的图象向上平移4个单位长度得到新函数的图象，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①③④ (3)或 【分析】（1）根据表格中的数据描点，连线画图即可； （2）根据开口方向可判断①；根据与x轴的交点个数可判断②；根据对称性求出对称轴，结合增减性可判断③和④； （3）求出平移前抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，求出平移后抛物线与x轴的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵函数图象开口向下， ∴，故①正确； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ∵和时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∵函数图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∴当时，有最大值3，故③正确 ∵函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故④正确； 综上所述，正确的有①③④； （3）解：由（2）得可设平移前的函数解析式为， 把代入得， ∴， ∴平移前的函数解析式为， ∴平移后的函数解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴当时，的取值范围为或． ▌知识点04：由图象判断a、b、c及代数式的符号 判断方法：开口定a，与y轴交点定c，对称轴位置结合a定b（左同右异）；b²－4ac由与x轴交点个数定。 常见代数式符号判断：a＋b＋c＝x＝1时的函数值，a－b＋c＝x＝－1时的函数值，看该x处图象在x轴上方还是下方；2a＋b看对称轴与直线x＝1的位置关系。 例如：开口向上、对称轴在y轴右侧、交y轴于负半轴、与x轴有两个交点，则a＞0，b＜0，c＜0，b²－4ac＞0；若x＝1时图象在x轴下方，则a＋b＋c＜0。 注意：判断b的符号必须结合a的符号；代数式的值要转化为“某个x处的函数值”，这是解题通法。 13．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线对称轴公式得，结合开口方向、顶点位置、函数增减性逐一判断各结论． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线，，顶点在轴下方， ∵， ∴，即，故①正确； 当时，为顶点纵坐标， ∵顶点在轴下方， ∴，故②正确； ∵点关于对称轴的对称点为， 又∵抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，， ∴，故③错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故④正确． 综上，正确结论是①②④，共3个． 14．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知抛物线（，，是常数，）开口向下，过，两点，且．下列五个结论：①；②若时，则；③方程一定有两个不相等的实数根；④若点，在抛物线上，，且，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向得，根据对称轴可得，即可判定①；根据对称轴得，由点可得，即得，得到，根据二次函数的图象得，即得，即可判定②；设抛物线解析式为，根据一元二次方程根的判别式可判定③；利用抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，即可判定④；根据二次函数的解析式可得，即得，得到，即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线过，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧， ∴， ∵， ∴，故①正确； 当时，对称轴， ∴， ∴， 把代入抛物线解析式，得， 将代入，得， ∴， ∵在与之间，抛物线开口向下， ∴时，， ∴，故②错误； 设抛物线解析式为， 将方程整理为， ∴判别式， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 设对称轴为，则，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∴，即，故④正确； 由抛物线交点式得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴不一定小于，故⑤错误； 综上，正确的结论共个． 15．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③④ 【分析】由开口方向和与y轴的交点位置可判断a、c的符号，根据顶点坐标可得对称轴，据此可得a与b的关系式，进而可判断①和③；由对称性可求出抛物线经过点，可判断③；由对称性可得此抛物线经过点，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①③正确； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴由对称性可知，抛物线经过点， ∴，故②正确； 若此抛物线经过点， 则此抛物线经过点， ∴不等式的解集是，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 16．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下表列出了二次函数（，，为常数，）的自变量与函数的几组对应值． … … … … 有下列四个结论：①；②；③；④若直线（为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为________． 【答案】①③④ 【分析】求出、、的值，即可判断①③正确，②错误，从而得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再结合直线（为常数）是平行于轴的直线即可判断④正确． 【详解】解：由表格可得当时，，当时，，当时，， ∴， 解得， ∴，，，故①③正确，②错误； ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴结合表格可得，抛物线的顶点坐标为， ∵直线（为常数）是平行于轴的直线，且与二次函数的图象有两个交点， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． ▌知识点05：待定系数法求二次函数表达式的综合 设表达式的技巧： 1. 已知三点——设一般式y＝ax²＋bx＋c，列方程组； 2. 已知顶点(h，k)——设顶点式y＝a(x－h)²＋k，再代一点求a； 3. 已知与x轴两交点(x₁，0)、(x₂，0)——可设y＝a(x－x₁)(x－x₂)，再代一点求a。 例如：抛物线过点(0，1)、(1，0)、(2，3)，设y＝ax²＋bx＋c，得c＝1，a＋b＋1＝0，4a＋2b＋1＝3，解得a＝2，b＝－3，c＝1，即y＝2x²－3x＋1。 注意：根据条件选最简形式可减少计算量；求出后把未用过的已知点代入检验，防止方程组解错。 17．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）在二次函数（，，为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 给出下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若，且，则．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出二次函数的解析式，得到a，b，c的值，即可判断①；根据二次函数的增减性判断②；由题意得到与对应的函数值相等，根据对称性即可判断③． 【详解】解：由表可得，二次函数的图象过点，，， ∴，解得， ∴二次函数解析式为． ①∵，，， ∴，结论①正确． ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而减小，又， ∴，结论②错误． ③∵， ∴，即与对应的函数值相等． ∵， ∴两点关于对称轴对称， ∴，即，结论③正确． 综上所述，正确的结论是①③． 18．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，即可求解的值． 【详解】∵点在二次函数的图象上， ∴将，代入解析式得， 整理得， 解得． 19．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 【答案】(1)；直线 (2)图象如图： (3)或 【分析】（1）根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据待定系数法即可求得m、n的值； （2）列表画图即可； （3）观察图象可直接得出时，x的取值范围； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （3）解：由图象可知：当时，x的取值范围为或． 20．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，抛物线（a为常数且）与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P为抛物线上一点，的面积为，求点P的坐标； (3)当时，y有最大值，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为或 【分析】（1）将代入抛物线解析式即可求解； （2）设点，根据，可求出点P横坐标的绝对值，据此即可求； （3）函数的对称轴为直线，抛物线开口朝下，当时，则当时，有最大值；当时，则当时，有最大值，据此即可作答． 【详解】（1）解：将代入，得， ， ； （2）∵， ∴， 设点， ， 解得． ∴当时，； 当时，． ∴点或； （3）函数的对称轴为直线，抛物线开口朝下， 当时，则当时，有最大值， ， 解得． ， ； 当时，则当时，有最大值， ， ． 综上所述，的值为或． ▌知识点06：二次函数最值的综合应用 求最值的两条途径：配方法化顶点式，或公式后代入。综合题中常与自变量取值范围结合：对称轴在范围内取顶点值，不在范围内取端点值。 应用方向：面积最大、利润最大、材料最省等，先建立函数模型，再按范围求最值并作答。 例如：y＝x²－4x＋5在0≤x≤1上，对称轴x＝2不在范围内，开口向上且x＜2时y随x增大而减小，故x＝1时最小值为2，x＝0时最大值为5。 注意：闭区间上既有最大值也有最小值，端点值也要算出来比较；答题时说明取得最值的条件。 21．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数有（     ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值5 D．最小值5 【答案】C 【分析】由二次函数的顶点式可直接判断开口方向与顶点坐标，以此确定函数的最值情况． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴函数的最大值为． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（     ） A． B．点的纵坐标为204 C． D．点在该函数图象上 【答案】A 【分析】过点作于点，先结合函数图象可得，，，，且，再在中，利用勾股定理可得的值；根据对称性可得的值；然后求出的值，据此即可得点的纵坐标；最后设，求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，，（理由是垂线段最短），且， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去），则选项C错误； 由对称性可知，，即， 解得，则选项A正确； 在中，， ∵点的横坐标为0，表示的是，此时点与点重合， ∴此时，即点的纵坐标为205，则选项B错误； 如图，设，则， 在中，， ∴当时，， 即点在该函数图象上，而点不在该函数图象上，则选项D错误． 23．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在边长为4的正方形中，点E为边上的动点（不与点A、B重合），将沿着翻折得到，过点F分别作，，垂足分别为点M、N，则的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，过点F作于点H，根据折叠性质可得，垂直平分，从而、、三点共线且；延长交于，通过证明，建立与的数量关系，进而表示出，利用二次函数性质求解最大值． 【详解】解：如图所示，连接，过点F作于点H， 由折叠的性质可得 ，垂直平分， ∵， ∴、、三点共线，且， ∴ ； ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ； 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴、、三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值． 24．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，当时，二次函数的图象总在直线的下方． （1）当________时（用含的代数式表示），二次函数有最小值； （2）的最大值为________． 【答案】 【分析】（1）二次函数开口向上，最小值在对称轴处，利用对称轴公式即可求出横坐标； （2）抛物线在直线下方等价于，整理得到一元二次不等式，根据开口方向确定不等式解集为两根之间，因此的最大值就是方程的较大根，求根化简即可得到结果． 【详解】（1）解：抛物线 中，， 开口向上，最小值在顶点处取得， 抛物线的对称轴为直线，其中 ，， 可得： ， 当 时，二次函数取得最小值； （2）解：当时，抛物线图象总在直线下方， 即对任意，都满足， 将 代入不等式得：， 整理得， 令 ， ， ， 二次函数 开口向上， 不等式的解集为， 需要满足不等式恒成立， ， 整理可得：， ， 解得：， ， 的最大值为． ▌知识点07：抛物线形实际问题的综合 综合流程：审题→建系→定表达式（待定系数）→把所求转化为点的坐标问题→求解→结合实际取舍并作答。常见于拱桥、隧道、喷泉、投篮等情境。 例如：抛物线形拱桥y＝－x²＋4（顶点(0，4)，过(8，0)），求水面宽8m时拱顶距水面的高度：水面宽8m即x＝±4，此时y＝－1＋4＝3，拱顶高4m，故拱顶距水面4－3＝1m。 注意：建系方法不同表达式不同但结论一致；求“宽”要求两个横坐标之差，求“高”要看清是求纵坐标还是两点间的竖直距离。 25．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 【答案】 【分析】根据题意确定点和点的坐标，设抛物线顶点式解析式，代入坐标求出参数和，进而得到顶点纵坐标即为所求高度. 【详解】解：由题意可知，抛物线关于轴对称， ，为中点， ，即点的坐标为， 通风管距离底部，且， 点的纵坐标为，横坐标为，即； 设抛物线的解析式为， 将，代入得 ，解得 ； 抛物线解析式为， 顶点的坐标为； 拱架最高点距底部的高度为. 26．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）东湖公园有一座抛物线形的拱门，如图，以拱门底部所在的直线为x轴、以拱门的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，测得拱门的跨度AB是4m，拱门的最高处离地面4m． (1)求这条抛物线的解析式； (2)一辆宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过，能否顺利通过？通过计算作出判断． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为． (2)宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，不能顺利通过拱门． 【分析】（1）根据题意得，，拱门的顶点为，可设这条抛物线的解析式为，代入拱门的顶点解出即可得这条抛物线的解析式． （2）当宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，车的左边对应的横坐标为，右边对应的横坐标为1，计算出此时拱门的高度，再跟车顶离地面3.2m比较即可判断此箱式货车能不能顺利通过拱门． 【详解】（1）解：如图， 根据题意得：，，拱门的顶点为， ∴可设这条抛物线的解析式为， ∴，解得：， ∴， ∴这条抛物线的解析式为． （2）解：如图， 由（1）得：这条抛物线的解析式为， 当宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，车的左边对应的横坐标为，右边对应的横坐标为1， 当时，， ∴此时拱门的高度为3米， ∵车顶离地面3.2m， ∴宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，不能顺利通过拱门． 27．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）在物理课中，小明学习到：在不考虑空气阻力的情况下，竖直上抛物体离地面的高度h（米）与时间t（秒）近似满足关系，其中是初始速度（米/秒），是初始高度（米）．小明将一个篮球从离地面2米处竖直上抛，球的初始速度为8米/秒． (1)写出篮球离地面高度h与时间t的函数关系式； (2)篮球经过多长时间达到最高点？最高点离地面多少米？ (3)经过多长时间篮球落地？（结果用含根号的式子表示即可） 【答案】(1) (2)篮球经过秒达到最高点，最高点离地面米 (3)经过秒篮球落地 【分析】（1）把代入关系式，解答即可； （2）利用配方法把抛物线的关系式写成顶点式的形式，确定函数的最值即可； （3）令，求得方程的根，取正实数根即可． 【详解】（1）解：根据题意，把代入，得 ． （2）解：根据题意，得 ， ， 有最大值，且当时，函数取得最大值，且最大值为， 故篮球经过秒达到最高点，最高点离地面米． （3）解：令，得， ， 或（时间不能为负，舍去）， 故， 故经过秒篮球落地． 28．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式_，此时喷出水的最大射程为_； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围．_ 【答案】(1)， (2)点B的坐标为； (3) 【分析】（1）易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； （2）设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，（舍去）， ， 把代入，得：， 解得：，（舍去）， 点B的坐标为； （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． ▌知识点08：面积与利润最值问题的综合 两类问题的共同模型：列出二次函数y＝ax²＋bx＋c（a＜0）→确定自变量范围→求顶点或端点处的最大值→回答实际量。 面积问题抓“总长固定、各边用x表示”；利润问题抓“单件利润×销量”，注意涨价降价的联动比例。 例如：用36m篱笆靠墙围矩形，垂直于墙的边长xm，y＝x(36－2x)＝－2x²＋36x，x＝9时最大面积为162m²；利润y＝(10＋x)(200－10x)＝－10(x－5)²＋2250，x＝5时最大利润2250元。 注意：综合题常把两类模型与限制条件结合，求最值前务必核对自变量范围；答题格式要写清“何时取得、值为多少”。 29．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点． (1)请直接写出此二次函数的解析式为______； (2)试判断点是否在抛物线上，并说明理由； (3)抛物线对称轴交于点，求线段的长； (4)直接写出的面积为______． 【答案】(1) (2)点在抛物线上，理由： ∵当时，， ∴点在抛物线上； (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）将横坐标代入抛物线的解析式验证纵坐标是否一致即可； （3）将抛物线的解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，以及与轴交点的坐标，继而得到直线的解析式，根据点在抛物线的对称轴上，代入横坐标的值得到点的坐标，即可得到答案； （4）根据，利用的高即是点的横坐标和横坐标的差，代入计算后即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入抛物线的解析式，得：， 解得：， ∴此二次函数的解析式为； （2）略； （3）解：∵，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标和点坐标分别代入解析式， 得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴交于点， ∴点的横坐标为， ∴将点的横坐标代入直线的解析式，得：， ∴点的坐标为， ∴； （4）解：∵点坐标， ∴， 由（3）可知， ∴， ∴． 30．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以的速度移动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式及的取值范围 (2)点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在． 理由：， 若的面积等于的面积的一半， 则， 化简得， ，方程没有实数根， 点、在移动过程中，不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 【分析】（1）由题意得，，，则，根据，即可求解； （2），根据题意得，化简得，根据一元二次方程根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，，， ， ， ； （2）略 31．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． (1)请直接写出与之间的函数关系式； (2)当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ (3)该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 【答案】(1) (2)当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元 (3)在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元 【分析】（1）根据每周的销售利润单件的利润每周的销售量，即可求解； （2），根据二次函数的性质即可求解； （3）先根据进货成本不超过元，求出的范围，再令求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ，抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数有最大值，最大值是， 答：当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：进货成本不超过元， ， 解得， 每周能获得元，则， 解得，， ， 不合题意，舍去， 即在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元． 32．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且是整数） (2)（，且是整数） (3)电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题意可得： ， 解得． （，且是整数）． （2）解：根据题意，得（，且是整数）． （3）解：， ，且是整数， 或41时，最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． ▌知识点09：二次函数与一元二次方程关系的综合 核心对应：函数y＝ax²＋bx＋c中y＝0⇔方程ax²＋bx＋c＝0；交点个数⇔判别式符号；交点横坐标⇔方程的根。 综合题型： 1. 求交点坐标（解方程）； 2. 由交点个数求参数范围（列判别式不等式）； 3. 图象法估计方程的根； 4. 利用图象比较y与0的大小。 例如：y＝x²＋bx＋1与x轴只有一个交点，则b²－4＝0，b＝±2；方程x²－2x－3＝0的根x₁＝3、x₂＝－1即抛物线y＝x²－2x－3与x轴交点的横坐标。 注意：参数出现在二次项系数时勿忘“系数≠0”；由图象估计根要答出题目要求精确度内的近似值。 33．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示，有下列4个结论：①；②；③④，其中正确的结论是（     ） A．②④ B．③④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴位置以及抛物线与y轴的交点位置可判断①；根据时，所对应的函数值即可判断②；根据与所对应的函数值相等，可判断③；根据抛物线与x轴的交点个数可判断④ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵时，， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与所对应的函数值相等，即，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确 34．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数有下列说法： ①如果，则y有最小值3； ②如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为3； ③如果，当时y随x的增大而减小，则； ④无论取何非零实数，抛物线总过两个定点､． 其中正确的说法是_________．（把你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】 ②③④ 【分析】对每个说法逐一结合二次函数的性质计算验证，判断正误即可． 【详解】解：①当时，二次函数为，配方得， ∵， ∴的最小值为，不是，故①错误； ②若与的函数值相等，则二次函数的对称轴为， ∵和关于直线对称， ∴与的函数值相等， 把代入得， ∴时函数值为，故②正确； ③二次函数的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上，当时随的增大而减小， ∴对称轴为直线或在直线的右侧，即， ∵，不等式两边乘得，解得， ∴，故③正确； ④将二次函数整理得， 令，解得或， 当时，；当时，，结果和的取值无关， ∴无论取何非零实数，抛物线总过定点和，故④正确； 综上，正确的说法是②③④． 35．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知抛物线．求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点． 【答案】证明：令，得一元二次方程， ， ∵无论取何实数，， ∴， ∴无论取何值，该一元二次方程总有实数根， ∴无论取何值，抛物线与轴总有交点． 【分析】令，得一元二次方程，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】略． 36．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的图象与轴交于点且． (1)当，且时， ①求的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①② (2)证明：∵二次函数的图象与轴交于点， 是方程的两根， ， ， ，， ∴， ∴， ∴． ， ∴二次函数的图象与轴有两个不同的交点， ， ， 且， ∴． ． 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②利用抛物线的性质求得最小值，再利用题意列方程解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系定理求得，再利用配方法解答即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点，， ， ， ． 由上一小问得二次函数的解析式为， ， 当时，有最小值为， 当时，，， 时的值不是最大值， 时的值是最大值，最大值为， ， ， 解得：． （2）略． ▌知识点10：二次函数与几何图形的综合（动点与存在性） 二次函数与几何综合题常以抛物线为载体，结合坐标系中的三角形、四边形，考查面积计算、动点问题、特殊图形（等腰三角形、平行四边形）顶点的存在性。 通法： 1. 由函数表达式设出点的坐标，如点P在抛物线上可设为(t，at²＋bt＋c)； 2. 用坐标表示线段长（水平距离用横坐标之差、竖直距离用纵坐标之差）； 3. 按几何条件列方程求t； 4. 检验解是否符合范围。 例如：抛物线y＝x²－2x－3与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)，点P在抛物线上且△PAB面积为6，AB＝4，则P到x轴距离为3，令|y|＝3，即x²－2x－3＝3或x²－2x－3＝－3，解方程可得各点P的坐标。 注意：距离要带绝对值，解出后分类讨论；此类题综合性强，先求出基本交点、顶点坐标是入手关键。 37．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：______，______； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时的值和最大的面积值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当为时，的长度等于； (3)当时，的面积有最大值，为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，列代数式，二次函数的应用等知识，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键． （）根据两点的运动速度可得长度； （）由四边形时矩形，则，然后由勾股定理得，然后代入得，再解方程并检验即可； （）由（）得，，，根据题意得出，设的面积为，再通过面积公式得，最后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒（），由题意得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴当为时，的长度等于； （3）解：存在的值，使的面积最大， 理由：由（）得，，， ∵当点运动到点时，两点停止运动 ∴， 设的面积为， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为． 38．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． (1)①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． (2)当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 【答案】(1)①，；② (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质与判定，折叠问题； （1）根据函数图象可得时，则，当时，则点与点重合，此时是的中点，进而可得是的中位线，则，根据函数图象时，，进而根据三角形的面积公式求得，即可得出的长； ②根据得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意设抛物线解析式为：，根据函数图象可得，在抛物线上，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分，两种情况讨论；当时根据对称性可得，联立，确定和的值，代入（2）中解析式，即可求解；当时，确定的范围，联立与求得的值，进而根据的取值范围取舍，即可求解． 【详解】（1）解：①根据函数图象可得与重合时，时，则， 当时，则点与点重合，此时是的中点， 根据函数图象可得时，， 即时，，则 ∵ ∴ ∴ ∴是的中位线，则 ∴， 故答案为：，． ②∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴当时，， 故答案为：． （2）解：∵时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值， ∴设抛物线解析式为：， 将，，代入， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （3）解：∵时，，存在对应的值相等， ∴对称轴为直线① 又∵②， 联立①②解得： ∴此时与重叠部分的面积为． 当时， ∵，则 ∴ ∴ ∵当时， ∴当 整理得， 解得：或 ∵ ∴不存在此情形， 综上所述，与重叠部分的面积为． 39．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标； ②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴． ∴将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴． ∵抛物线， ∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，， ∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则， 连接，， 则，且轴， ∵在x轴上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 作点关于x轴的对称点，连接，， 则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴． ∴最小值为． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中 由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴，符合题意， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 40．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式_； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，此时为等腰直角三角形，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，若抛物线上存在点Q，使，请直接写出点Q的坐标：______． 【答案】(1) (2)8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，构造方程组解答即可； （2）设点P的横坐标为m，根据抛物线解析式为，则，且，则， 则， ， 求得当，取得最大值，且最大值为4，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分两种情况，利用待定系数法，解方程组的思想，求得交点的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设点P的横坐标为m，根据抛物线解析式为， 则，且， 则， 则， ∵为等腰直角三角形， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当，取得最大值，且最大值为4， 设面积为， ， ∴． （3）解：，， ， ， 取点， 是线段的垂直平分线， 连接， ． ， ． 过点作交抛物线于点． ．   ， 设直线解析式为， ， ， 解得， ∴直线表达式为． ，且 ∴直线表达式为． ∵点在和上， ， 整理得， 解得， 故方程组的解为或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得，此时的坐标为； 取的中点K，作直线，交于R， ， ， 是线段的垂直平分线， 作直线交抛物线于点Q， ， ， ． ， 根据题意，得 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线表达式为． ∴， 解得， ． 设直线解析式为， ∴， 解得 ∴直线表达式为． ∵点在和上， ， 整理得， 解得， 故方程组的解为或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得，此时的坐标为； 综上所述，存在点，使得，且的坐标为或． ▌全章训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，自变量最高次数为1，不符合； B选项：，自变量最高次数为1，不符合； C选项：，右边含分式，不是整式，不符合； D选项：，符合二次函数定义． 2．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴. 3．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：由关于x的不等式可知：， ∴由函数图象及题意可知：关于x的不等式的解集为或． 4．（26-27九年级上·四川成都·期中）若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数，． ∴对称轴为直线，抛物线开口向上． ∵三点到对称轴的距离分别为，，，且． ∴． 5．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据待定系数法求得解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数经过点，且函数最大值为4， ∴且． 解得． 6．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）某工厂生产一种产品，日利润y（万元，负值表示亏损）与日产量x（百件）之间近似满足二次函数关系．当日产量为3百件和5百件时，日利润分别为a万元和b万元．若，且，则n的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合与确定、的正负，再代入二次函数列不等式求解的取值范围． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵且， ∴，，即且， 解，得， 解，得， ∴， 故选项C符合题意． 7．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系可近似看作二次函数（对称轴为直线），图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（     ） A．小球从开始接触弹簧就一直减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．当弹簧长度为时，小球速度为0 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】B 【分析】先明确x的物理意义是弹簧被压缩的长度，弹簧实际长度等于原长减去x，结合二次函数图象的单调性判断小球速度变化趋势，判断A选项．二次函数开口向下，对称轴处v取最大值，对应，用弹簧原长减去该x值得到对应弹簧长度，判断B选项．图象中对应，计算对应弹簧长度，判断C选项．利用二次函数的对称性，找到与对应的v值相同的对称点对应的x值，再计算对应弹簧长度，判断D选项． 【详解】选项A：从图2的函数图象可知，x从0到时速度逐渐增大，后速度才逐渐减小， ∴小球接触弹簧后是先加速、后减速，并非一直减速，A错误． 选项B：二次函数在对称轴处取得最大值，也就是速度最大时，弹簧被压缩的长度． ∵弹簧原长为， ∴此时弹簧长度为，B正确． 选项C：弹簧长度为时，弹簧被压缩的长度， 从图象可知时小球速度才为0，C错误． 选项D：刚接触弹簧时对应压缩长度； 若弹簧长度为，对应压缩长度． 根据二次函数的对称性，对称轴为，关于对称轴的对称点是， 即和时速度相等， 处的速度和处速度不相同，D错误． 8．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）对于整式，把它的系数倒过来排列，得到新的整式，称为的“倒序式”．已知满足：，为正整数，，，均为整数，且．下列说法： ①当，时，若为二项式，则满足条件的整式共有个； ②若是方程的一个非零实数根，则是方程的根； ③当，，且时，若函数与的图象在轴上有公共点，则满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒序式的定义，逐一分析三个说法的正确性，结合整式的项数、方程的根、二次函数与x轴的交点等知识推导． 【详解】解：①当，时，，其中为正整数，为整数，且． 由倒序式定义，． 为二项式，则且，又，故只需． 由，，，得： 当时，，即，对应2个； 当时，，即，对应2个； 当时，，即，不符合． 故满足条件的共有4个，①正确． ②是的非零实数根， ． ，两边同除以，得： ， 整理得， 即，故是的根，②正确． ③当，，时，由得， 此时，． 函数与的图象在轴上有公共点，即存在实数使得且． 将两式相减，得，即． 分两种情况： 1．若，则，此时与轴有交点即满足条件． 由得，即． 此时判别式，符合条件，对应为，． 2．若，则，即或为公共根． 当时，，即，结合，解得，（舍去），对应． 当时，，即，结合，解得，（舍去），对应． 综上，满足条件的为，，，． 它们的和为：，故③正确． 二、填空题 9．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）函数的一次项系数是______． 【答案】 【详解】解：函数的一次项系数为． 10．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若函数是关于的二次函数，则的值是________． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义列式计算即可，注意二次项系数不为零． 【详解】解：函数是关于的二次函数， 且， 解得. 11．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如果抛物线开口向下，那么的取值范围为________． 【答案】 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：抛物线开口向下， 二次项系数满足， 解得． 12．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 13．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 【答案】 【分析】设二次函数解析式为，根据二次函数最小值得到顶点纵坐标，代入直线方程求出顶点横坐标，代入已知点求出二次项系数即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的最小值为， ∴， ∵图象顶点在直线上， ∴把代入，得，解得， ∴二次函数顶点坐标为， ∴解析式可写为， 把点代入解析式得 ， 计算得，解得， ∴二次函数的解析式为． 14．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 【答案】 【分析】利用对称性找出抛物线与轴的另一个坐标，再根据图象作答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的其中一个交点为 ∴根据对称性，抛物线与轴的另一个坐标为， ∴由题意可得：时，的取值范围为： ． 15．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某商场引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为________元时，该店一个月获得的利润最大． 【答案】 【分析】根据总利润每件利润销售量，列出利润关于销售单价的二次函数，利用二次函数性质求最大值点． 【详解】解：设销售单价为元，该店一个月获得的利润为元， 根据题意，每件利润为元， 销售单价上涨了元，因此月销售量减少件，月销售量为件， 可得总利润， 整理得， ，二次函数开口向下，存在最大值， 当时，取得最大值， 即当销售单价为元时，该店一个月获得的利润最大． 16．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”．若对于任意的实数，抛物线上总有两个不同的倍值点，则的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据新定义得倍值点在直线上，抛物线总有两个不同的倍值点说明联立后的方程对任意总有两个不相等的实根，转化为关于的二次不等式恒成立问题求解． 【详解】解：∵倍值点满足纵坐标是横坐标的倍， ∴所有倍值点都在直线上． ∵对任意，抛物线总有两个不同的倍值点， ∴联立有两个不同的解， 消去整理得： 该方程有两个不相等的实数根对任意恒成立，因此判别式恒成立， 对任意实数恒成立， ∵该式是关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向上，要使函数值恒大于0，需要与横轴没有交点，即， ∴令该二次函数的判别式， ，即， 对应方程的两个根是，，因为二次项系数为正，抛物线开口向上，要使函数值小于0，解集在两个根之间，即． 三、解答题 17．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 18．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）二次函数． … … … … (1)的顶点坐标为_________，与轴的交点为_________ (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，则的取值范围是_________； (4)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)；， (2)解：如图所示： (3) (4) 【分析】（1）通过配方法将一般式化为顶点式； （2）根据函数解析式画出函数图象即可； （3）在给定自变量的范围内，结合二次函数图象求函数值的取值范围． （4）利用二次函数图像找出二次函数图象在直线上方的自变量的取值范围即可； 【详解】（1）解： ， 顶点坐标为． 令得， ∴，， ∴与轴的交点为，； （2）解：填表如下 … 0 2 4 6 … … 0 6 8 6 0 … 画图象略． （3）解：当时，； 当时，， 又∵函数顶点坐标为， 由二次函数图象得，当时，的取值范围是． （4）解：令得： ，， 由二次函数图像得，若，则的取值范围是． 19．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：__（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，当时，的面积最大，则． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴, ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理可得， ∴ 解得：或， ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题可得：， ∵， ∴当时，的面积最大，则． 20．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)如图，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象，若图象的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)如图，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，设点的纵坐标为，若的面积为，求面积的最大值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)当或时，图象的最大值与最小值的差为 (3)面积的最大值为 【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点性质求解； （2）利用二次函数的增减性，分类讨论两点在对称轴的同侧还是异侧从而求解； （3）分别过点向作垂线，垂足分别为点，过点作轴的垂线，交于点，根据已知条件求得的面积，得到，进一步证明，利用平行的两直线的值相等求出直线的表达式，联立二次函数表达式求出点的坐标，列出面积的表达式，利用二次函数的最值求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， 令，解得， ∴点的坐标为； ∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，则， 解得 ， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 情况1，当时，点在抛物线对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴在点处取得最大值，在点处取得最小值， 将代入中， 解得（舍），， ∴； 情况2，当时，点在抛物线对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴在点处取得最小值，在点处取得最大值， 此时点的坐标为，即； 情况3，当时，点在对称轴两侧， 则在顶点处取得最大值，则最小值为， 将代入中， 解得， ∴此时最小值在点处取得，或者在点关于对称轴对称时取得，即， ∴； 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为． （3）解：如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为点，过点作轴的垂线，交于点， ， 由题知，点到轴的距离为， ∵点在第四象限， ∴， 则， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； 设直线的表达式为， 将点分别代入中， ，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴设直线的表达式为， 将点代入中，解得， ∴直线的表达式为； 联立，解得（舍），， 将代入，解得， ∴点的坐标为； 设点，则点的坐标为， 则， ∵， ∴， ∴面积的最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合辨析二次函数的概念，熟练运用各种形式的图象与性质解决求值与比较问题。 2. 能综合运用待定系数法、配方法与平移规律确定表达式、求顶点与最值。 3. 能综合运用二次函数解决抛物线形、面积、利润及与方程、几何综合的问题，形成知识网络。 ▌课时目录 知识点01：二次函数概念的综合辨析 知识点02：各种形式二次函数图象与性质的综合 知识点03：图象平移规律的综合应用 知识点04：由图象判断a、b、c及代数式的符号 知识点05：待定系数法求二次函数表达式的综合 知识点06：二次函数最值的综合应用 知识点07：抛物线形实际问题的综合 知识点08：面积与利润最值问题的综合 知识点09：二次函数与一元二次方程关系的综合 知识点10：二次函数与几何图形的综合（动点与存在性） ▌知识点01：二次函数概念的综合辨析 综合辨析围绕定义三要素：右边是整式、自变量最高次为2、二次项系数不为0。常与化简变形结合考查。 例如：y＝(x－1)(x＋2)展开为x²＋x－2，是二次函数；y＝x²＋右边含分式，不是；y＝(x＋1)²－(x－1)²化简为4x，不是；y＝ax²在a≠0时才是二次函数。 注意：含参数时要由“系数≠0”列不等式并检验；判断前先整理成一般形式，防止被表面形式迷惑。 1．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______． 3．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知（m为常数）是二次函数，那么m的值是____________． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． ▌知识点02：各种形式二次函数图象与性质的综合 二次函数的常用形式：一般式y＝ax²＋bx＋c、顶点式y＝a(x－h)²＋k，以及y＝ax²、y＝ax²＋c、y＝a(x－h)²等特殊形式。它们的图象都是抛物线，性质都围绕开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值展开。 综合题常要求快速读出或求出上述要素：顶点式直接读，一般式用求对称轴再代回求顶点，或配方转化为顶点式。 注意：所有形式中a的作用相同（定开口方向与大小）；比较不同抛物线的开口大小比较|a|，与h、k无关。 5．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．顶点都是 C．都有最高点 D．当时，随的增大而增大 6．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的最大值为10，最小值为1，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的表达式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 8．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的对称轴是________________． ▌知识点03：图象平移规律的综合应用 平移规律：自变量“左加右减”、函数值“上加下减”。任意抛物线的平移问题先化为顶点式，再按顶点(h，k)的移动描述平移过程。 例如：把y＝2x²的图象先向左平移1个单位、再向下平移3个单位，得y＝2(x＋1)²－3；把y＝x²－2x即y＝(x－1)²－1的图象向右平移2个单位，得y＝(x－3)²－1。 注意：综合题常反向设问“如何平移得到”，此时把两个表达式都化为顶点式，比较顶点坐标即可；平移中a不变，形状不变。 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线先向下平移个单位，再向左平移个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 _______． 11．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标； (2)如果将该抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度得到新的抛物线，写出平移后的抛物线的解析式． 12．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 1 4 … … 2 3 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是________（填序号）； ①； ②； ③当时，有最大值3； ④当时，随的增大而增大． (3)将二次函数的图象向上平移4个单位长度得到新函数的图象，当时，求的取值范围． ▌知识点04：由图象判断a、b、c及代数式的符号 判断方法：开口定a，与y轴交点定c，对称轴位置结合a定b（左同右异）；b²－4ac由与x轴交点个数定。 常见代数式符号判断：a＋b＋c＝x＝1时的函数值，a－b＋c＝x＝－1时的函数值，看该x处图象在x轴上方还是下方；2a＋b看对称轴与直线x＝1的位置关系。 例如：开口向上、对称轴在y轴右侧、交y轴于负半轴、与x轴有两个交点，则a＞0，b＜0，c＜0，b²－4ac＞0；若x＝1时图象在x轴下方，则a＋b＋c＜0。 注意：判断b的符号必须结合a的符号；代数式的值要转化为“某个x处的函数值”，这是解题通法。 13．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知抛物线（，，是常数，）开口向下，过，两点，且．下列五个结论：①；②若时，则；③方程一定有两个不相等的实数根；④若点，在抛物线上，，且，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是_________． 16．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下表列出了二次函数（，，为常数，）的自变量与函数的几组对应值． … … … … 有下列四个结论：①；②；③；④若直线（为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为________． ▌知识点05：待定系数法求二次函数表达式的综合 设表达式的技巧： 1. 已知三点——设一般式y＝ax²＋bx＋c，列方程组； 2. 已知顶点(h，k)——设顶点式y＝a(x－h)²＋k，再代一点求a； 3. 已知与x轴两交点(x₁，0)、(x₂，0)——可设y＝a(x－x₁)(x－x₂)，再代一点求a。 例如：抛物线过点(0，1)、(1，0)、(2，3)，设y＝ax²＋bx＋c，得c＝1，a＋b＋1＝0，4a＋2b＋1＝3，解得a＝2，b＝－3，c＝1，即y＝2x²－3x＋1。 注意：根据条件选最简形式可减少计算量；求出后把未用过的已知点代入检验，防止方程组解错。 17．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）在二次函数（，，为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 给出下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若，且，则．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 18．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的图象经过点，则的值为________． 19．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 20．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，抛物线（a为常数且）与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P为抛物线上一点，的面积为，求点P的坐标； (3)当时，y有最大值，求m的值． ▌知识点06：二次函数最值的综合应用 求最值的两条途径：配方法化顶点式，或公式后代入。综合题中常与自变量取值范围结合：对称轴在范围内取顶点值，不在范围内取端点值。 应用方向：面积最大、利润最大、材料最省等，先建立函数模型，再按范围求最值并作答。 例如：y＝x²－4x＋5在0≤x≤1上，对称轴x＝2不在范围内，开口向上且x＜2时y随x增大而减小，故x＝1时最小值为2，x＝0时最大值为5。 注意：闭区间上既有最大值也有最小值，端点值也要算出来比较；答题时说明取得最值的条件。 21．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数有（     ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值5 D．最小值5 22．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（     ） A． B．点的纵坐标为204 C． D．点在该函数图象上 23．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在边长为4的正方形中，点E为边上的动点（不与点A、B重合），将沿着翻折得到，过点F分别作，，垂足分别为点M、N，则的最大值为______． 24．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，当时，二次函数的图象总在直线的下方． （1）当________时（用含的代数式表示），二次函数有最小值； （2）的最大值为________． ▌知识点07：抛物线形实际问题的综合 综合流程：审题→建系→定表达式（待定系数）→把所求转化为点的坐标问题→求解→结合实际取舍并作答。常见于拱桥、隧道、喷泉、投篮等情境。 例如：抛物线形拱桥y＝－x²＋4（顶点(0，4)，过(8，0)），求水面宽8m时拱顶距水面的高度：水面宽8m即x＝±4，此时y＝－1＋4＝3，拱顶高4m，故拱顶距水面4－3＝1m。 注意：建系方法不同表达式不同但结论一致；求“宽”要求两个横坐标之差，求“高”要看清是求纵坐标还是两点间的竖直距离。 25．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 26．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）东湖公园有一座抛物线形的拱门，如图，以拱门底部所在的直线为x轴、以拱门的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，测得拱门的跨度AB是4m，拱门的最高处离地面4m． (1)求这条抛物线的解析式； (2)一辆宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过，能否顺利通过？通过计算作出判断． 27．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）在物理课中，小明学习到：在不考虑空气阻力的情况下，竖直上抛物体离地面的高度h（米）与时间t（秒）近似满足关系，其中是初始速度（米/秒），是初始高度（米）．小明将一个篮球从离地面2米处竖直上抛，球的初始速度为8米/秒． (1)写出篮球离地面高度h与时间t的函数关系式； (2)篮球经过多长时间达到最高点？最高点离地面多少米？ (3)经过多长时间篮球落地？（结果用含根号的式子表示即可） 28．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式_，此时喷出水的最大射程为_； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围．_ ▌知识点08：面积与利润最值问题的综合 两类问题的共同模型：列出二次函数y＝ax²＋bx＋c（a＜0）→确定自变量范围→求顶点或端点处的最大值→回答实际量。 面积问题抓“总长固定、各边用x表示”；利润问题抓“单件利润×销量”，注意涨价降价的联动比例。 例如：用36m篱笆靠墙围矩形，垂直于墙的边长xm，y＝x(36－2x)＝－2x²＋36x，x＝9时最大面积为162m²；利润y＝(10＋x)(200－10x)＝－10(x－5)²＋2250，x＝5时最大利润2250元。 注意：综合题常把两类模型与限制条件结合，求最值前务必核对自变量范围；答题格式要写清“何时取得、值为多少”。 29．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点． (1)请直接写出此二次函数的解析式为______； (2)试判断点是否在抛物线上，并说明理由； (3)抛物线对称轴交于点，求线段的长； (4)直接写出的面积为______． 30．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以的速度移动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式及的取值范围 (2)点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 31．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． (1)请直接写出与之间的函数关系式； (2)当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ (3)该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 32．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ ▌知识点09：二次函数与一元二次方程关系的综合 核心对应：函数y＝ax²＋bx＋c中y＝0⇔方程ax²＋bx＋c＝0；交点个数⇔判别式符号；交点横坐标⇔方程的根。 综合题型： 1. 求交点坐标（解方程）； 2. 由交点个数求参数范围（列判别式不等式）； 3. 图象法估计方程的根； 4. 利用图象比较y与0的大小。 例如：y＝x²＋bx＋1与x轴只有一个交点，则b²－4＝0，b＝±2；方程x²－2x－3＝0的根x₁＝3、x₂＝－1即抛物线y＝x²－2x－3与x轴交点的横坐标。 注意：参数出现在二次项系数时勿忘“系数≠0”；由图象估计根要答出题目要求精确度内的近似值。 33．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示，有下列4个结论：①；②；③④，其中正确的结论是（     ） A．②④ B．③④ C．①③④ D．②③④ 34．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数有下列说法： ①如果，则y有最小值3； ②如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为3； ③如果，当时y随x的增大而减小，则； ④无论取何非零实数，抛物线总过两个定点､． 其中正确的说法是_________．（把你认为正确的结论的序号都填上） 35．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知抛物线．求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点． 36．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的图象与轴交于点且． (1)当，且时， ①求的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； (2)若，求证：． ▌知识点10：二次函数与几何图形的综合（动点与存在性） 二次函数与几何综合题常以抛物线为载体，结合坐标系中的三角形、四边形，考查面积计算、动点问题、特殊图形（等腰三角形、平行四边形）顶点的存在性。 通法： 1. 由函数表达式设出点的坐标，如点P在抛物线上可设为(t，at²＋bt＋c)； 2. 用坐标表示线段长（水平距离用横坐标之差、竖直距离用纵坐标之差）； 3. 按几何条件列方程求t； 4. 检验解是否符合范围。 例如：抛物线y＝x²－2x－3与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)，点P在抛物线上且△PAB面积为6，AB＝4，则P到x轴距离为3，令|y|＝3，即x²－2x－3＝3或x²－2x－3＝－3，解方程可得各点P的坐标。 注意：距离要带绝对值，解出后分类讨论；此类题综合性强，先求出基本交点、顶点坐标是入手关键。 37．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：______，______； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时的值和最大的面积值；若不存在，请说明理由． 38．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． (1)①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． (2)当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 39．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 40．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式_； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，此时为等腰直角三角形，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，若抛物线上存在点Q，使，请直接写出点Q的坐标：______． ▌全章训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 4．（26-27九年级上·四川成都·期中）若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）某工厂生产一种产品，日利润y（万元，负值表示亏损）与日产量x（百件）之间近似满足二次函数关系．当日产量为3百件和5百件时，日利润分别为a万元和b万元．若，且，则n的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系可近似看作二次函数（对称轴为直线），图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（     ） A．小球从开始接触弹簧就一直减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．当弹簧长度为时，小球速度为0 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 8．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）对于整式，把它的系数倒过来排列，得到新的整式，称为的“倒序式”．已知满足：，为正整数，，，均为整数，且．下列说法： ①当，时，若为二项式，则满足条件的整式共有个； ②若是方程的一个非零实数根，则是方程的根； ③当，，且时，若函数与的图象在轴上有公共点，则满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）函数的一次项系数是______． 10．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若函数是关于的二次函数，则的值是________． 11．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如果抛物线开口向下，那么的取值范围为________． 12．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 13．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 14．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 15．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某商场引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为________元时，该店一个月获得的利润最大． 16．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”．若对于任意的实数，抛物线上总有两个不同的倍值点，则的取值范围是________． 三、解答题 17．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 18．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）二次函数． … … … … (1)的顶点坐标为_________，与轴的交点为_________ (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，则的取值范围是_________； (4)当时，的取值范围是__________． 19．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：__（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 20．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)如图，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象，若图象的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)如图，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，设点的纵坐标为，若的面积为，求面积的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $