第3章 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念-模型-应用”为主线，系统整合成比例线段、相似判定与性质等10个知识点，提炼设k法、模型识别等方法，强化逻辑推理与实际建模能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |成比例线段与性质|4题/连比设k|比例性质互化、设k法|从比例基础到几何应用| |相似判定与性质|8题/“A字型”“8字型”|定理选择（AA/SAS）、“知一求二”模型|判定到性质的逻辑递进| |位似与实际问题|8题/坐标系位似、测量模型|坐标变换公式、物高影长模型|几何变换与实际应用结合| |综合压轴与新定义|8题/动态几何、“镜移三角形”|全等+相似转化、规律归纳|知识综合与创新思维培养|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似全章综合训练 课时目标 1. 系统杭理本章核心知识网络，能熟练运用比例性质、相似判定与性质、位似变换解决 综合计算与证明问题，提升知识融会贯通能力。 2.掌握复杂图形中相似模型的识别方法（如“A字型”“8字型”“子母型”的嵌套与 组合)，能灵活运用多种判定定理进行逻辑推理，规范书写过程。 3. 能运用相似知识解决跨学科实际问题和综合压轴题，体会数学建模与数形结合思想， 提升分析动态几何问题与新定义问题的能力。 课时目录 知识点O1:成比例线段与比例性质的综合应用 知识点02：相似三角形判定定理的综合选择与证明 知识点03：相似三角形性质的综合计算 知识点04：相似多边形性质的综合应用 知识点05：黄金分割与几何图形的综合问题 知识点06：平行线分线段成比例与相似三角形的综合 1/27 知识点07：位似变换与坐标系的综合应用 知识点08：相似三角形与实际问题的综合 知识点09：相似三角形与全等三角形的综合压轴题 知识点10：相似变换中的规律探索与新定义问题 知识点01：成比例线段与士比例性质的综合应用 综合应用比例的基本性质、合比性质、等比性质进行复杂比例式的变形与计算。重点训练 连比问题设k法（如已知a:b:c=23:4,设a=2k,b=3k,c=4k)及比例式与等积式的互 化。 易错点：运用等比性质时忽略分母之和不为0的条件；处理比例中项时几何问题忽略线段 长度为正。 x+y-Z 典型题：已知234，求x-y+2的值。 1.(25-26八年级下山东青岛期末)已知2a=3b,则下列各式成立的是（) a 2 a+b 5 a+14 a+33 A.63 B.b=3 C.b+13 D.6+22 2.(2026江苏淮安模拟预测)有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是6：5.如果将 2 甲钉子的3钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是5：4，而它们留在墙外的部分一样长.则甲、乙、 丙的长度比是() A.30:25:26 B.6:5:4 C.30:25:16 D.6:5:7 a-b 4 h 3.(25-26九年级下山东烟台期末)已知2a+b13,则a的值是 4.(25-26八年级下·吉林期末)如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上一点，BE的延长线交 AC于F,已知AD=4,AB=3,∠BAD=90°」 2/27 (I)求BC的长： (2)若AE=1,求AF:FC的值 知识点02：相似三角形判定定理的综台选择当证明 在复杂图形中，能根据已知条件（角相等、边成比例）灵活选择最优判定定理(AA、 SAS、SSS、HL)。 重点训练： 利用“公共角十平行线”导角证AA: 利用“公共边十比例关系”证SAS: 结合勾股定理求边长证SSS。 强调证明逻辑的严密性：先写“在△XXX和△XXX中”，再列条件，最后下结论，对应 顶点书写规范。 典型题：在平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE交BA延长线于F,证明AB=AF。 利用△FAE一△CDE证相似，再由相似比得线段关系。 5.(2026河北邯郸三模)如图，在正方形网格纸中，点A,B,C,D,E都在格点上，下列四个格点 △ADE,△ACE,△BDE△CDE 三角形： 中，与ABC 相似的三角形个数是()， 3/27 A.1 B.2 C.3 D.4 6.(25-26九年级上·安徽滁州期末)如图，点D是△ABC边AB上一点，且AC2=AD·AB,若∠A=60, ∠BCD=30°，则∠ADC的度数() D A.70° B.75 C.90° D.95 7.(25-26九年级上四川成都阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,E为BD 中点，连接E若DAE=ZABC,BD=4则D,CDE 2 D B 8.(2026云南玉溪二模)如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,E是OB的中点，过点A作 AF∥BD交CE的延长线于点F,连接BF. (I)求证：四边形AFBO是菱形： (2)若矩形ABCD的面积为20，求△ACF的面积. 知识点03：相似三鱼形性质的综合计算 综合运用“对应高、中线、角平分线之比等于相似比”“周长比等于相似比”“面积比等 于相似比平方”进行层级计算。 重点掌握“知一求二”模型：已知相似比k、周长比C:C、面积比S1S2中任意一项，可求 其余两项。 4/27 典型题：△ABC~△DEF,相似比为2：3，△ABC的周长为20，面积为12，求△DEF的周 长和面积。 3 解：周长=2×20=30，面积=(2)2×12=27。 9.(2026西藏拉萨·模拟预测)如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3,BD=2,则△ADE与△ABC的 面积比为() E B A.9:25 B.35 C.9:16 D.34 10.(25-26八年级下山东威海期末)如图，DE∥BC,4D:DB=1:3.S形acE=8 B 11.(25-26八年级下山东烟台期末)△ABC∽△DEF,且AB=10cm,BC=11cm,DE=5cm,则EF的长 为 12.(25-26八年级下山东泰安期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P、D分别在边BC、AC上， ∠BAP=∠CPD (I)求证：△APD∽aACP； (2)若AB=6,AD=2,求AP的长. 知识点04：相似多边形性质的综合应里 5/27 将相似三角形的性质推广到相似多边形。 重点： 相似多边形周长比等于相似比： 面积比等于相似比平方。 应用：利用相似多边形性质解决不规则图形的面积估算问题。 典型题：一块多边形板材按1：50的比例尺缩小绘制在图纸上，图纸上面积为20c,求实 际板材面积。 解：面积比=12：502=1：2500，实际面积=20×2500=50000cm2=5m2。 13.(2026河北中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD川BC,BC=3AD,过点A作AEDC交BC 于点E,将△ABE沿AE翻折，得到△ABE.BA,B'E分别与直线DC交于M,N两点，则aMB'N 与△ABE的面积之比为() B A.2 B. c 1 D.8 14.(25-26九年级上·上海闵行期中)如图，在△PAB中，∠APB=120°，AB=14,C、D在边AB上， 且△PCD是边长为4的等边三角形，那么AC的长是 B 15.(2026·湖北武汉·中考真题)如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，连接EF.将四边 形ADFE沿EF翻折得到四边形GHFE,边GH经过点C.若AB=8,AD=6,DF=3,则CH的长 是 一，EF的长是 6/27 16.(25-26八年级下·山东烟台期末)受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方 法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方 向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A,C,E恰好在同一条直线上，此时量得 DE =32m 86 (I)求证：△ABC∽△EDC, (②)求河宽AB的长. 知识点05：黄金分割与几何图形的综合问题 5-1 将黄金分割(2≈0.618)融入几何图形计算中。 常见模型： 黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形，底腰比等于黄金比）； 正五边形对角线长与边长比为黄金比： 矩形黄金分割（宽长比约为0.618）。 典型题：已知线段AB=2,点C是AB的黄金分割点(AC>BC),求AC的长。 5-1 解：AC=2xAB=V5-1。 7/27 17.(2026陕西汉中·二模)我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格。 如图，正方形ABCD是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金 分割点，即AF2=AB·BF.若AB=10,则AF的长为() D E B A.55-5 B.15V5-5 C.6 D.8 18.(2026福建南平·二模)黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要 依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧.借助边长为的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”， 字体端庄舒展、比例协调.已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边MN、PQ上，且 BC 5-1 AB∥NP且AB=a,点C是线段AB的黄金分割点，满足AB2(AC<BC),若BC-AC=1. 则正方形习字格边长a的长为， M 19.(2026陕西西安·模拟预测)在世界超级摩托车锦标赛WSBK葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁， 德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军.据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外一内 外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关.在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C 入弯（曲线1C>曲线CB),且从入口A到入弯点C的路程为25(5-m 则弯道入口A到出口B 的路线总长为m 8/27 20.(25-26八年级下·福建南平·期中)阅读材料 BC AC 黄金分割点：若线段AB上的点C满足AC=AB(其中AC>BC),则称点C为线段AB的黄金分割 AC 5-1 点，比值AB2称为黄金比. 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形， (1)验证黄金分割点 (2)构造并验证黄金矩形 已知线段AB,按以下步骤进行尺规作 沿用(1)中得到的线段AB及它的黄金分割点 图（对应图1）： C,继续完成以下操作（对应图2）： ①过点B作DB⊥AB,垂足为点B,使 ①以AB为边，在AB的上方作正方形ABMN 得D8=4,连接D ②连接正方形的对角线BN: ③过点C作CK⊥AB,垂足为点C,线段CK ②以点D为圆心，BD的长度为半径画 分别交BN、MN于点P、K; 弧，交AD于点E; ③以点A为圆心，AE的长度为半径画 ④过点P作线段L∥AB,分别交AN、BM 弧，交AB于点C(得到的点C满足 AC>BC) 于点Q、L,得到四边形ACPQ K M D E C 图1 C B 图2 请结合上述材料，完成下列问题： (I)如图，已知线段AB=4,点C是线段AB的两个黄金分割点（其中AC>BC),点D是线段AB的 中点，求线段CD的长 DC B 9/27 (2)请结合上述作图步骤1，证明图1中的点C是线段AB的黄金分割点： B)请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形ACP№是黄金矩形. 知识点06：平行线分线段成批例与相似三鱼形的综合 识别由平行线构造的基本图形(“A字型”“8字型”“线束型”)，并将其作为导角或 得比例关系的工具。 重点： DEBC-△ADE-△ABC: OA OB ABIlCD=OC OD. 综合应用：在复杂图形中，先通过平行线找到相似三角形，再利用相似性质求解。 DE FG 典型题：如图，△ABC中，DEFGIBC.,AD=DF=FB,求FG与BC的值。 DE 1 FG 2 解：由平行线得△ADE一△AFG-△ABC,相似比分别为12：3，故FG2,BC3。 21,(25-26九年级下山东烟台期末)如图，直线∥，直线4C分别交、、5于点4，B,C, 过点9的直线DE分别交.5于点D,E.若4B=2,BC=4,DE=9,则线段D8的长为() ND A A.3 B.4 c.5 D.6 10/27 AF 2 2.(25-26九年级下黑龙江哈尔滨期中)如图，在AABC中，DE∥AB,DF∥BC,如果FB3,那 CE 么CB=() A 3 C.1 D.5 23.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)平行四边形ABCD的面积为60，点E,H在边AD上，点F,G在 边BC上，EF∥HG∥AB,连接对角线BD,分别交EF,HG于点N,O,连结AQ交EF于点M, 连练CN:C0,若4E-H-号D,则图中△B8w0与eCN0的商积和为 3 2 E D IN B F G 24.(25-26八年级下·吉林长春·期末)综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用. 图1 图2 山【制步求究】在ABC中，D6分划为BC、AC的动点，若BD=DC,4E=EC,造接AD BE交于点G.知图1若过D作DF∥BE,交4C于F,则CF与FE的比值为 G AG与 AD的比值为 (2)在(1)的条件下，求出BG与GE的比值： 3)【拓展提高】如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、 11/27 AC分别交于点G、M,若CF=DF,△BEG的面积为3，则ABCD的面积为 知识点07：位似变换与坐标系的综合应用 掌握坐标系中两类位似变换： 以原点为位似中心：点(x,)对应点为(，)或（一，一）： 以任意点P(a,b)为位似中心：点(x,y)对应点为(a十x一)，b十y一b)。 综合应用：结合平移、旋转、轴对称，进行图案设计与坐标计算。 典型题：已知点A(2,3),以原点为位似中心，位似比为-2，求对应点A'坐标。 解：A'(-4,-6。 25.(2026·甘肃天水·中考真题)如图，四边形ABCD与四边形A'B'CD'是以原点O为位似中心的位似图 形.若B'(2,0).B(4,0),4B=5,则AB=《) B A3 B.2V5 C4 D 3V5 26.(2026浙江宁波二模)如图，以点C10)为位似中心，作△1BC的位似图形△4BC,若点B的横 坐标是-3，点B的对应点B'的横坐标是3，则△ABC与△AB'C的周长之比为() A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:1 12127 27.（25-26七年级下北京期未)如图，在平面直角坐标系中，点4，A,C的坐标分别是1(-2，-2)， B(3,1)C(0,2) Q)将△MBC向上平移3个单位，再向右平移2个单位后得到 △AB,C1. 请画出平移后的图形并写出点 的坐标一 (2)直接写出△ABC的面积一： 3)设点P在y轴上，且△APC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标. 28.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形. E C -10 123456 图1 图2 (I)如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的两个点，BE=DF,连接AE、AF. 求证：四边形AECF是筝形： (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均 在格点上，以，点0为原点，点0、P所在直线为'轴，建立平面直角坐标系，P50,若点M、N 均在格点上，且四边形OPMN为筝形，请直接写出网格中所有符合条件的点M的坐标. 13127 知识点08：相似以三鱼形与实际问题的综合 运用相似知识解决测量、摄影、工程等实际问题。 核心模型： 同一时刻物高与影长成正比（太阳光下）： 视点、目标点、像点共线（中心投影）； 利用平面镜反射（入射角等于反射角导角相等）。 典型题：为测量学校旗杆高度，在某一时刻测得身高1.6m的同学影长为1m,同时旗杆影 长为7.5m(含底部2m落在墙上)，求旗杆高度。 h1.6 解：地面影长5.5m,由5.51得h=8.8m,总高=8.8+2=10.8m。 29.(25-26八年级下山东威海·期末)《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题： 今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问 树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7 步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为一尺， 树 30.(2026广东深圳三模)小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象.己 知一根点燃的蜡烛距小孔20cm,光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm,则光屏 上火焰所成像的高度为cm, 像距平一物距→ 光屏 蜡烛 小孔成像 31.(2026浙江中考真题)如图所示，是墙面！与一个显示屏AB的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等 长的支架PO和MN连接墙面与显示屏，测得PM=ON. 14127 D B mamm ()证明：PM//ON; ②)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架Pp=10cm,AB=57cm,P0⊥1，锦凌同学的眼晴O与显示 屏底部B等高，眼睛到墙面1的距离OD=200©m,锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区 CD.求CD的长度 32.(25-26八年级下山东烟台·期末)某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆EF的高度， 并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 E 示意图 BO D 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一 根标杆CD,在B和D之间找到一个合适的位置O,并在O 测量过程 处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和 点E重合（图中各点在同一平面）· DF=15m,BD=5.4m,CD=2m,点B处同学的眼睛离地 测量数据 面的高度AB=1.6m.AB,CD,EF均与水平地面垂直. 请你根据以上实践报告，求出旗杆EF的高度 知识点09：相似三角形5全美三角形的综合压轴题 在动态几何或综合证明中，先判定全等(k=1的特殊相似)得到边或角的关系，再判定相 似(k≠1)进行比例计算。 15/27 常见题型： 全等十相似证明线段倍分关系： 动态点问题中，先证三角形全等固定某些边，再证相似求变量。 典型题：正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，且CF=4CD,连接AE、 EF, 求证：△ABE~△ECF且AE⊥EF。 D :夫起提袋答 ,∠B=∠C=90°， 故△ABE一△ECF,得∠BAE=∠CEF, 又∠BAE+∠BEA=90°，故∠CEF十∠BEA=90°，即AELEF。 33.(25-26八年级下山东淄博·期末)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°. E B D 图1 图2 【观察与发现】 (I)如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD,点D与点C是对应点.点E,F分别在边 AB,AC上，AE=CF,连接DE,DF.求证：DE=DF, 【思考与探究】 (2)如图2，过点A作AH⊥AC交BC于点H.点E,F分别在边AB,AC上，CF=2AE,连接EF, HE,HF,猜想线段EF与HE的数量关系，并说明理由. 34.(25-26八年级下山东烟台期末)【尝试发现】 16127 肉1 图2 图3 备用图 (I)如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,请直接写出线段BD和CE 的数量关系是_ 【变式探究】 AB 3 (②)如图2，△ABCAADE,连接BD和CE,BD的延长线交CE于点F,AC4· BD ①求CE的值； ②判断∠DAE和∠DFE的数量关系并证明； 【联系拓广】 3)如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,AC是对角线.E是边BC上一动点，连接AE,以AE 为直角边向逆时针方向作△AEF,使△AEF∽aABC,连接CF,DF, ①求证：∠DCF=∠ACB, ②直接写出线段DF长度的最小值， 35.(25-26八年级下山东泰安期末)解答下列问题： (1)【探究解题】 如图1，等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE,使 ∠DAE=90°，AD=AE,连接CE.判断∠ABC和∠ACE数量关系并说明理由： 图1 (2)【拓展延伸】 17/27 如图2，在等腰△ABC中，AB=BC,点D是BC边上任意一点（不与点B,C重合），在AD的右侧 作等腰△ADE,使AD=DE,∠ADE=∠ABC,连接CE,则(I)中的结论是否仍然成立，并证明： 图2 备用图 3)【归纳应用】 在(2)的条件下，若AB=BC=10,AC=6,点D是直线BC上任意一点，当CD=4时，求CE的长 36.(25-26八年级下山东泰安·期末)探究正方形与矩形背景下的三角形及线段之间的关系，并完成以下 问题， 】 D D G F G G 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的动点（与点B,D不重合），连接AE,过点E 作EF⊥AE,EG⊥BD,分别交直线BC于点F、G.求证：△ABE≌△FGE: (2②)将(1)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,其他条件均不变，若AB=3,BC=9. EF ①如图2，求4E的值： ②如图3，连接CE,若CE=CD,求BF的长. 知识点10：相似变换中的规律探索与新定义问题 规律探索：观察相似图形序列（如谢尔宾斯基三角形），归纳边长、周长、面积的变化规 律（通常为等比数列）。 新定义问题：理解“友好相似形”“k阶相似”等新概念，将其转化为课本中的相似条件 (如对应边成比例、对应角相等)进行求解。 典型题：定义“倍似三角形”为两个三角形相似且一组对应边之比为2：1，若△ABC与 △DEF是倍似三角形，且AB=4,BC=6,CA=8,求△DEF的最短边长。 解：分情况讨论，若AB与某边对应，则最短边为2；若BC与某边对应，则最短边为3： 若CA与某边对应，则最短边为4。需检验是否满足三角形三边关系。 18/27 37,(25,26八年级下山东泰安期中)如图，在平面直角坐标系中，点4Q1),包0)，过点4作 44上44交y精于点4，过点4作4A上4交x轴于点，过点作4上4交y轴于点 …依此规律，则点4“的坐标为 A: 14 38.(25-26九年级上江西抚州期中)数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： (1)①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A=∠B=∠ECF=90°.若 AC≠BC,则△ACE △BFC: ②如图2，∠A=∠B=60°，当∠ECF=°时，则△ACE∽aBFC. 应用规律： (2)如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，∠EGF=∠A=∠B,求证：△ACE∽△BFD: 拓展应用： (3)如图4，在四边形 BCD中，∠ADC=90,AD=1,CD=2.BC=25,MB=5.求BD B 图1 图2 图3 图4 39.(2026河南·二模)【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得 的三角形，如果中点处的内角是90°，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”. 19127 B 图1 图2 图3 【理解定义】 I)如图1，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，∠BEF=9O°，△BEF (填 “是”或“不是”)矩形ABCD的“半直三角形”， 【运用定义】 AD 2)如图1，在(1)的条件下，求AB的值. 【拓展提升】 AC 1 3)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90,AB2,以AABC为“半直三角形”的平行四边形的一组邻 a 边记为a,b（a>b),直接写出6的值. 40.(2026山东青岛·一模)【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重 合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”. D F 图1 图2 图3 【理解新定义】 (I)如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E,F分别在AB,AC上，且DE∥AC, DF∥AB.请写出图中的一对以BC所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：一 【应用新定义】 2)如图2，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE,过点A作BC的垂线，垂足为 20127 F,交DE于点M,过点E作BC的垂线，垂足为N,△ADM与△NPE互为“镜移三角形”，若 △PEN的面积为2，则△ABF的面积为一· 【拓展新定义】 3)如图3，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E是CD的中点，F是AB的中点，那么△ADE与 △CBF互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线AB所夹的锐角为°；若“镜移轴”过EC的 中点，则平移的距离为一 课时训练 一、选择题 0A 2 1,(2026浙江舟山二模)如图，四边形4 BCD ABCD是以点0为位似中心的位似图形.已知OA3, 则四边形ABCD与四边形AB'CD'的周长之比是() A 0 B 9 c.3 3 B. D. 2.(25-26九年级上江西吉安期末)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点 AE 1 R,若ED3,AB=6:则AF的长为（) A.2 c. D.3 3.(2026重庆模拟预测)已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,若△ABC的周长为9，则△DEF的周长 为() 21127 A.27 B.18 C.36 D.9 4.(2026山西吕梁.二模)制作一块2m×1m的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制 作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为() A.600元 B.900元 C.1200元 D.2700元 5.(25-26八年级下江苏苏州期未)如图，a‖b‖c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直 线n分别交直线a,b,c于点D,E,F.若AB=6cm,BC=3cm,DF=7.5cm,则线段DE的长 为() D -b B F A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D.6cm 6.(25-26八年级下山东泰安期末)如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交 BA的延长线于点F,点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H,若AG=1, FG=3,则GH的长为() D E H GA A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2 7.(25-26八年级下山东泰安期末)如图，正方形ABCD中，E为AD边上任意一点（不与点A,D重 合)，将C绕点C逆时针旋转0°至F,连接EF,取EF的中点尸，若8P=65,则4的K为 CE () 22127 D A12 B.6 C 6v2 D.82 8.(2026四川眉山中考真题)如图，矩形ABCD中，点F在线段BC上，连接AF,AE平分∠BAF交 BC于点E,过点E作EM⊥AF,垂足为点N,交AD于点M.若AB=6,BE=2,则△AMN的面 积为() MD B E F A.12 B.24 C.36 D.48 二、填空题 9.(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是△ABC的重心，如果 AB=10,那么点C与点O的距离为 0 B 10.(2026四川成都·二模)如图，△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，已知△ABC的面积为 1,OB=BE,则△DEF的面积为一· 11.(25-26八年级下·上海普陀期中)如图，△ABC的中线AD、BF交于点O,连接CO并延长交AB于 点，如果5a=5 ，那么了a 23127 D a_2 a 12.(25-26九年级下江苏泰州阶段检测)已知：6=3，则a+b 13.(2026山西太原·三模)如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC三个顶点均在格点上，以原点O为 位似中心，相似比为2，把△ABC缩小，则点C在第一象限的对应点C的坐标为一· 4 3 2 1 A B -5-4-3-2-1Q 1 2345x 3 4 14.(24-25八年级下·黑龙江大庆期末)如果两个相似三角形的面积之比为4：9，较小的三角形的周长是 80cm,那么另一个三角形的周长为一cm 15.(2026山西太原·三模)如图，矩形ABCD,点H、点E分别是AD、AB的中点，连接CE、CH, 且CE平分∠BCH,点F为HC上靠近点H的三等分点，连接DF,已知AD=2,则DF的长为 E B D 16.(25-26八年级下·福建厦门期末)如图，在正方形 BCD中，8=25，点E为正方形 BCD外一 24127 DF 点，连接AE分别交BD,CD于点F,G,若∠AFD+∠AEC=18O°，AD3,则CE的长为 D F G E 三、解答题 17.(2026浙江温州二模)【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板ABCD上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点E, F分别在AD,BC上，连结EF交AC于点G D 【数学理解】 (I)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出△AEG一ACFG的证明过程. 2)若AB=2BF=4DE,CG=5,求AG的长， 18.(2026山西阳泉·三模)飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应 县木塔并称为“南楼北塔”.1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文 物保护单位.昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度AB,简化示意图如图所 示，昕昕在地面上的点C处测得飞云楼顶端A的仰角∠ACB=45°，请你根据下列条件，帮助昕昕完成 测量方案， 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行： 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪. 25127 (I)你所选用的测量工具是 ；(填序号) (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用a,b,c表示） 3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度AB.(用含a,b,C的代数式表示) 19.(2026上海闵行·三模)已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AD∥CB,E是 CD上一点，连接BE交AC于点F,连接DF B D (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)如果CE2=BE·EF,求证AB=BE·AF. 20.(25-26八年级下山东泰安·期末)数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以 “探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究 B B D 图1 图2 图3 (I)【问题发现】如图1，在矩形ABCD中，AD:CD=1:3,点F在对角线AC上，过F点分别作AB CF 和AD的垂线，垂足为E,G,则四边形AEFG为矩形，则DG- ②)【拓展探究】如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为a,当0°<a<180° 时，连接CF,DG,在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由. 3)【解决问题】如图3，Rt△BAC中，∠A=90°，AB=4,∠ACB=30°，点D在线段BC上运动，以AD 26/27 P 为直角边构 RaD1E,∠D1E=90°且4E=51D,连接DE,点P为线段DE的中点，连接CP 且 ①求∠DCE的度数，并说明理由： ②在点D的运动过程中，求线段CP的最小值. 27/27 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 全章综合训练 ▌课时目标 1. 系统梳理本章核心知识网络，能熟练运用比例性质、相似判定与性质、位似变换解决综合计算与证明问题，提升知识融会贯通能力。 2. 掌握复杂图形中相似模型的识别方法（如“A字型”“8字型”“子母型”的嵌套与组合），能灵活运用多种判定定理进行逻辑推理，规范书写过程。 3. 能运用相似知识解决跨学科实际问题和综合压轴题，体会数学建模与数形结合思想，提升分析动态几何问题与新定义问题的能力。 ▌课时目录 知识点01：成比例线段与比例性质的综合应用 知识点02：相似三角形判定定理的综合选择与证明 知识点03：相似三角形性质的综合计算 知识点04：相似多边形性质的综合应用 知识点05：黄金分割与几何图形的综合问题 知识点06：平行线分线段成比例与相似三角形的综合 知识点07：位似变换与坐标系的综合应用 知识点08：相似三角形与实际问题的综合 知识点09：相似三角形与全等三角形的综合压轴题 知识点10：相似变换中的规律探索与新定义问题 ▌知识点01：成比例线段与比例性质的综合应用 综合应用比例的基本性质、合比性质、等比性质进行复杂比例式的变形与计算。重点训练连比问题设k法（如已知a:b:c＝2:3:4，设a＝2k, b＝3k, c＝4k）及比例式与等积式的互化。 易错点：运用等比性质时忽略分母之和不为0的条件；处理比例中项时几何问题忽略线段长度为正。 典型题：已知，求的值。 1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设甲的长度是“1”，即可得出乙的长度，再求出甲，丙入墙的长度，然后求出丙的长度，最后求出比即可． 【详解】解：设甲的长度为“1”，则乙的长度为， 甲留在墙外的长度为，丙入墙的长度为， 由题意可知，丙留在墙外的长度与甲相同，也为，则丙的长度为， 所以． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 4．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， ▌知识点02：相似三角形判定定理的综合选择与证明 在复杂图形中，能根据已知条件（角相等、边成比例）灵活选择最优判定定理（AA、SAS、SSS、HL）。 重点训练： 1. 利用“公共角＋平行线”导角证AA； 2. 利用“公共边＋比例关系”证SAS； 3. 结合勾股定理求边长证SSS。 强调证明逻辑的严密性：先写“在△XXX和△XXX中”，再列条件，最后下结论，对应顶点书写规范。 典型题：在平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE交BA延长线于F，证明AB＝AF。 利用△FAE∽△CDE证相似，再由相似比得线段关系。 5．（2026·河北邯郸·三模）如图，在正方形网格纸中，点 , , , , 都在格点上，下列四个格点三角形：，中，与相似的三角形个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出及四个格点三角形的各边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得： 在中：，，， 计算三边的比， 再计算的三边比， 它们分别为， 根据三边成比例判定相似，可以发现与相似，即四个格点三角形中有2个三角形与相似． 6．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．由，，得，则，由，得，因为，所以，则，所以，则，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：B． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则______，______． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，由，E为的中点，，得，所以，再证明，所以，则，可证明，得，则，而，所以，再证明，得，求得，设，则，，于是得，求得符合题意的m值为，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ，E为的中点，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 8．（2026·云南玉溪·二模）如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形知，由知，故，又点是的中点，故点是的中点，从而是的中位线，又是的中点，故，故四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形； （2）由矩形的面积为得，故，由得，故，从而，． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，，相交于点， 是的中点，， ， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， 是的中位线， ， 是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形的面积为， ， ∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ▌知识点03：相似三角形性质的综合计算 综合运用“对应高、中线、角平分线之比等于相似比”“周长比等于相似比”“面积比等于相似比平方”进行层级计算。 重点掌握“知一求二”模型：已知相似比k、周长比C1:C2、面积比S1:S2中任意一项，可求其余两项。 典型题：△ABC∽△DEF，相似比为2:3，△ABC的周长为20，面积为12，求△DEF的周长和面积。 解：周长＝×20＝30，面积＝()2×12＝27。 9．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 10．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·山东烟台·期末），且，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵， ， 解得： 12．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． ▌知识点04：相似多边形性质的综合应用 将相似三角形的性质推广到相似多边形。 重点： 1. 相似多边形周长比等于相似比； 2. 面积比等于相似比平方。 应用：利用相似多边形性质解决不规则图形的面积估算问题。 典型题：一块多边形板材按1:50的比例尺缩小绘制在图纸上，图纸上面积为20cm²，求实际板材面积。 解：面积比＝12:502＝1:2500，实际面积＝20×2500＝50000cm2＝5m2。 13．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 14．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 15．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 【答案】 【分析】作于N，则四边形是矩形，则可得，．根据矩形的性质和折叠的性质可得，，根据勾股定理可得，进而可得．证明，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证明，则可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：设与的交点为M， ∵四边形是矩形，且，， ∴，，， 作于N，则四边形是矩形， ∴，， 根据折叠的性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． ▌知识点05：黄金分割与几何图形的综合问题 将黄金分割（≈0.618）融入几何图形计算中。 常见模型： 1. 黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形，底腰比等于黄金比）； 2. 正五边形对角线长与边长比为黄金比； 3. 矩形黄金分割（宽长比约为0.618）。 典型题：已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），求AC的长。 解：AC＝×AB＝。 17．（2026·陕西汉中·二模）我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分割点，即．若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题意知，，可求得． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 解得，（负值舍去）． 18．（2026·福建南平·二模）黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合，得出，则，结合，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·陕西西安·模拟预测）在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【答案】 【分析】根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：50 ． 20．（25-26八年级下·福建南平·期中）阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： (1)如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； (2)请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； (3)请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据黄金分割点的意义得，由点是线段的中点得，根据可得结论； （2）设，则，由勾股定理得，求出，计算出即可得出点是线段的黄金分割点； （3）证明四边形和四边形是矩形，得，再证明得，从而得四边形是正方形，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵由（2）知， ∴ ∴四边形是黄金矩形． ▌知识点06：平行线分线段成比例与相似三角形的综合 识别由平行线构造的基本图形（“A字型”“8字型”“线束型”），并将其作为导角或得比例关系的工具。 重点： 1. DE∥BC ⇒ △ADE∽△ABC； 2. AB∥CD ⇒ 。 综合应用：在复杂图形中，先通过平行线找到相似三角形，再利用相似性质求解。 典型题：如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，求与的值。 解：由平行线得△ADE∽△AFG∽△ABC，相似比分别为1:2:3，故，。 21．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 22．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】解：， ， ， ． 23．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 【答案】30 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【详解】解：由题意知，设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． ▌知识点07：位似变换与坐标系的综合应用 掌握坐标系中两类位似变换： 1. 以原点为位似中心：点(x,y)对应点为(kx,ky)或(－kx,－ky)； 2. 以任意点P(a,b)为位似中心：点(x,y)对应点为(a＋k(x－a),b＋k(y－b))。 综合应用：结合平移、旋转、轴对称，进行图案设计与坐标计算。 典型题：已知点A(2,3)，以原点为位似中心，位似比为-2，求对应点A'坐标。 解：A'(-4,-6)。 25．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 26．（2026·浙江宁波·二模）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 27．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，． (1)将向上平移3个单位，再向右平移2个单位后得到．请画出平移后的图形并写出点的坐标______； (2)直接写出的面积______； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)解：如图所示 (2)7 (3)或 【分析】（1）按照平移法则得到A、B、C三点的对应点，依次连接即可，同时可写出点的坐标； （2）利用割补法即可求解； （3）设，则，由面积关系解得或，即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：略； （2）解：； （3）解：设，则， 以边为底边，则， 解得或， ∴P点的坐标为或； 28．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形． (1)如图1，在菱形中，点、分别是边、上的两个点，，连接、．求证：四边形是筝形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、均在格点上，以点为原点，点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，若点、均在格点上，且四边形为筝形，请直接写出网格中所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 四边形是筝形； (2)，，， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可证、，根据筝形的定义可证结论成立； （2）根据筝形的定义分情况求解． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 综上所述，点的坐标可以是、、、． ▌知识点08：相似三角形与实际问题的综合 运用相似知识解决测量、摄影、工程等实际问题。 核心模型： 1. 同一时刻物高与影长成正比（太阳光下）； 2. 视点、目标点、像点共线（中心投影）； 3. 利用平面镜反射（入射角等于反射角导角相等）。 典型题：为测量学校旗杆高度，在某一时刻测得身高1.6m的同学影长为1m，同时旗杆影长为7.5m（含底部2m落在墙上），求旗杆高度。 解：地面影长5.5m，由得h＝8.8m，总高＝8.8＋2＝10.8m。 29．（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 30．（2026·广东深圳·三模）小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 【答案】3 【分析】如图，先证明，再根据相似三角形对应边的高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，，， ， ，， ， 又是中边上的高，是中边上的高， ，即， ， 即光屏上火焰所成像的高度为． 31．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 32．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． ▌知识点09：相似三角形与全等三角形的综合压轴题 在动态几何或综合证明中，先判定全等（k＝1的特殊相似）得到边或角的关系，再判定相似（k≠1）进行比例计算。 常见题型： 1. 全等＋相似证明线段倍分关系； 2. 动态点问题中，先证三角形全等固定某些边，再证相似求变量。 典型题：正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，且CF＝CD，连接AE、EF， 求证：△ABE∽△ECF且AE⊥EF。 证明：先证，∠B＝∠C＝90°， 故△ABE∽△ECF，得∠BAE＝∠CEF， 又∠BAE＋∠BEA＝90°，故∠CEF＋∠BEA＝90°，即AE⊥EF。 33．（25-26八年级下·山东淄博·期末）在中，，． 【观察与发现】 (1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 (2)如图，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)；理由如下： ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论； （2）证明，得出，，证明，得出，，得到，再根据勾股定理，得到，即可得出答案； 【详解】（1）略 （2）略 34．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是_． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)； (2)①； ②； 证明：记、交于点， 由知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）根据证明三角形的全等，即可得到； （2）①由相似三角形的性质，可得，，式子变形可得，根据角的数量关系，可得，利用相似三角形的判定，则，得到，即可；②由相似三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，推出，等量代换，得到；根据，等量代换，即可得到； （3）①由相似三角形的性质，可得，，得到角的数量关系，，根据相似三角形的判定和性质，得到，再根据角的数量关系，则，得到，即可求解；②由①知，点在直线上运动，当时，有最小值；利用相似三角形的判定和性质，得到，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解①∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：①略； ②由①知， ∴点在直线上运动， 当时，有最小值，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 35．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解答下列问题： (1)【探究解题】 如图1，等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； (2)【拓展延伸】 如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并证明； (3)【归纳应用】 在（2）的条件下，若，，点D是直线上任意一点，当时，求的长． 【答案】(1)，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2)成立，证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴； (3)为或． 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而可得，则问题可求证； （3）由题意可分当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图1，当点D在线段上， 根据（2）可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 如图2，当点D在线段的延长线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 综上所述，为或． 36．（25-26八年级下·山东泰安·期末）探究正方形与矩形背景下的三角形及线段之间的关系，并完成以下问题． (1)如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、．求证：； (2)将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，． ①如图2，求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是正方形，为对角线， ， ， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ， ，， ∴， ， 在和中， ， ； (2)①；②7 【分析】（1）首先证明为等腰直角三角形，易得，，再证明，利用“”即可证明； （2）①首先证明，由相似三角形的性质可得，进而解得，再证明，由相似三角形的性质可得； ②过点作于点，首先根据勾股定理和三角形面积公式解得，，的长度，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，进而可得，然后结合，，由相似三角形的性质解得，，进而由求解即可． 【详解】（1）略 （2）①解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ，， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图，过点作于点， 在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）①得， ∴，即， ∴， 由（2）①得， ∴，即 ∴， ∴． ▌知识点10：相似变换中的规律探索与新定义问题 1. 规律探索：观察相似图形序列（如谢尔宾斯基三角形），归纳边长、周长、面积的变化规律（通常为等比数列）。 2. 新定义问题：理解“友好相似形”“k阶相似”等新概念，将其转化为课本中的相似条件（如对应边成比例、对应角相等）进行求解。 典型题：定义“倍似三角形”为两个三角形相似且一组对应边之比为2:1，若△ABC与△DEF是倍似三角形，且AB＝4，BC＝6，CA＝8，求△DEF的最短边长。 解：分情况讨论，若AB与某边对应，则最短边为2；若BC与某边对应，则最短边为3；若CA与某边对应，则最短边为4。需检验是否满足三角形三边关系。 37．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作交y轴于点，过点作交x轴于点，过点作交y轴于点……依此规律，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】由条件可得，，证明得，同理可得，，…，得出规律，由此即可得出结果． 【详解】解：由条件可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，…， ∴， ∴当时，， 由坐标系可得，点落在轴正半轴， ∴点的坐标为． 38．（25-26九年级上·江西抚州·期中）数学老师在一堂数学实践课上，老师布置了下列问题： 探究规律： （1）①在如图1中，C是线段A、B上一点E、F在同侧，且．若，则________； ②如图2，，当_______时，则． 应用规律： （2）如图3，A、D、C、B点在同一条直线上，，求证：； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，，，，．求． 【答案】（1）①；②60． （2）过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，平行线的性质，三角形的外角和性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是添加适当的辅助线，利用已知条件证明相似即可． （1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）做辅助线构造平行线，可得∴，，，再根据三角形外角和性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 故答案为：． （2）略 （3）连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 39．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)或 【分析】（1）先确认、是矩形一组邻边、的中点，再确认连接的顶点不在这组邻边上，最后验证直角恰好位于中点处，完全符合定义，即可得出结论； （2）先由和矩形的直角，通过“同角的余角相等”证明，得到；再结合、是中点的性质，将各边用、表示后代入相似比，化简后即可求出的值； （3）先根据“半直三角形”的定义，分两种情况构造平行四边形；再通过作垂线构造相似三角形，利用的比例关系得到线段比；结合“中点”和“平行四边形对边相等”的性质建立方程，求出各线段长度后用勾股定理计算邻边、，最终得到的值． 【详解】（1）解：是； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：或．             ①如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值为或． 40．（2026·山东青岛·一模）【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 (1)如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 (2)如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 (3)如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 【答案】(1)与（答案不唯一） (2) (3)， 【分析】（1）根据“镜移三角形”的定义判断即可； （2）根据“镜移三角形”的定义和相似三角形的性质可得的面积； （3）两个三角形可以通过平移重合，首先两个三角形要是全等三角形，其次要两个三角形对应边平行且方向相同或者在一条直线上，或者是两个三角形对应点的连线平行且相等，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作与关于成轴对称，连接，连接交于点， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ， ∵，， ，， ， ∴点为中点，点为中点， ∵，点D是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：，， ∴，且对应点的连线互相平行且相等，即，， ∴将沿着方向平移的长度即可与重合， ∴与是一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”． （2）解：∵与互为“镜移三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接， ∵F是的中点，，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴与关于对称， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，、在同一条直线上， ∴与全等，且对应边平行且方向一致， ∴沿着方向平移4即可与重合， ∴与是以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”， ∵四边形是正方形， ∴， ∴与的其他“镜移轴”都与平行，即与的“镜移轴”与直线所夹的锐角为， 取的中点，作交于， ∴即为与过的中点的“镜移轴” 过作交于点，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴关于对称， 同理：关于对称， ∴作与关于对称，点、点在直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与全等，且对应边平行方向相同或者在同一条直线上， ∴沿着方向平移的长度即可与重合， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 综上：与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为，若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·浙江舟山·二模）如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形， 若， 四边形和的相似比为， 相似多边形的周长之比等于相似比， 四边形和的周长比为． 2．（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得且，进而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，．若的周长为9，则的周长为（     ） A．27 B．18 C．36 D．9 【答案】B 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：，且， 的周长的周长， 的周长为， 的周长为． 4．（2026·山西吕梁·二模）制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（     ） A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质可得扩大后版面面积为原来的倍，即可求解． 【详解】解：长方形版面边长均扩大为原来的2倍，则扩大后长方形与原长方形相似， ∴扩大后版面面积为原来的倍， 原来的制作费用300元，则扩大后付制作费用为（元）． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0．6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，推出．求出，，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ． ， ， ∴， ， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． 设，则， ∴， 解得， 即的长为． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，正方形中，为边上任意一点（不与点，重合），将绕点逆时针旋转至，连接，取的中点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点共线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进一步证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰直角三角形，易得；证明，由相似三角形的性质可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转至F， ∴， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴点共线， ∵点P是中点， ∴在中，，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·四川眉山·中考真题）如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质结合角平分线容易证明，则，．容易证明，则，计算得，从而得到．由可判定，从而计算出，最后计算的面积即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 二、填空题 9．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为___________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接，延长交于，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，再利用重心的性质求． 【详解】解：连接，延长交于， ∵点是的重心， 是的中点，， ，， ， ， ∴点与点的距离为． 10．（2026·四川成都·二模）如图，和是以为位似中心的位似图形，已知的面积为1，，则的面积为______． 【答案】 4 【分析】由位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比；由 得 ，即位似比为 ；位似图形面积比等于位似比的平方，从而求出 的面积． 【详解】解：和 是以 为位似中心的位似图形， ，且位似比为 ， ， ， 位似比 ， 位似图形面积比等于位似比的平方， ， ， ． 11．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，的中线、交于点O，连接并延长交于点E，如果，那么______． 【答案】15 【分析】由题意得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵的中线、交于点O，， ∴点O是的重心， ∴，， ∴， ∴． 12．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知：，则_____． 【答案】/ 【详解】解：， 设， ． 13．（2026·山西太原·三模）如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 14．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个三角形的周长为____． 【答案】120 【分析】先根据两个相似三角形面积的比得到周长的比，再根据较小的三角形的周长，即可解答． 【详解】解：∵相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方， ∴相似三角形面积的比等于周长的比的平方， ∵两个相似三角形的面积之比为， ∴这两个相似三角形的周长之比为， ∵较小的三角形的周长是， ∴另一个的三角形的周长为． 15．（2026·山西太原·三模）如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 【答案】 【分析】延长、交于点，过点作于点，证明得到，，根据题意得，进而得到，结合平分，推出，则，由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为上靠近点的三等分点， ， ，， ， ，即， ，， ， ． 16．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，在正方形中，，点为正方形外一点，连接分别交，于点，．若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，，再证，进而得到，然后可证，得到． 【详解】解：， ， 在正方形中，， ， ， ， ，则， ，即 ，， ， 在和中， ， ， ． 三、解答题 17．（2026·浙江温州·二模）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断； （2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴， （2）解：∵， ∴，， 又∵在菱形中，， ∴， ， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·山西阳泉·三模）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 【答案】(1)①③ (2)测量示意图如解图所示． 测量数据：标杆，标杆影长； (3) 【分析】（1）选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）根据题意，测量数据：标杆，标杆影长； （3）证明，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）略 （3）解：，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，即， ． 答：飞云楼的高度为．（答案不唯一） 19．（2026·上海闵行·三模）已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证． 【答案】(1)证明：在和中， ， ，  ， ， ， ， ， 又，， ， 四边形是菱形． (2)证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）先由三条边对应相等得到，结合得到，利用等角对等边得到即可得证； （2）由结合，推得，从而，再利用相似三角形性质结合可得证． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26八年级下·山东泰安·期末）数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究． (1)【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形，则_________； (2)【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． (3)【解决问题】如图3，中，，点在线段上运动，以为直角边构造且，连接，点为线段的中点，连接． ①求的度数，并说明理由； ②在点的运动过程中，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)证明：仍然成立．理由如下： ， ， ， ， 将图1中的矩形绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， (3)① 的度数是，理由如下： 在中，， ， ． 又， ． ， ， ， 即， ， ． ， ， ； ② 【分析】（1）根据，证明，，根据平行线分线段成比例，得到，继而得到，解答即可； （2）首先证明，得到，再证明，转化为（1）的情境，求解即可； （3）①首先证明，得到．结合，继而得到，即可得证； ②首先证明，然后根据点在线段上运动，时，线段长度最小，根据直角三角形的性质求解即可； 【详解】（1）解：（1）由题意得，在矩形中，四边形为矩形， ，， （平行线分线段成比例） ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：①略； ② 点为线段的中点 在中，， ， 点在线段上运动时，时，线段长度最小，如图， 此时，在中， 线段的最小值为； / 学科网（北京）股份有限公司 $