5.4 二次函数与一元二次方程 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第五章二次函数 5.4二次函数与一元二次方程 课时目标 理解二次函数与一元二次方程的关系，知道抛物线与x轴交点的横坐标即对应方程的 根。 2 掌握抛物线与x轴交点的三种情况，能由交点个数判断判别式的符号，会求交点坐标。 能用图象法求一元二次方程的近似根，利用图象比较函数值与0的大小，体会数形结 合思想。 课时目逯 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 知识点02：抛物线与x轴交点的三种情况 知识点03：由交点情况判断判别式的符号 知识点04：用图象法求一元二次方程的近似根 知识点05：抛物线与x轴交点坐标的求解 知识点06：利用图象比较函数值与0的大小 知识点07：由交点个数求字母参数的取值范围 1/15 知识点01：二次函数与一元二次方程的送系 二次函数y=2+bx十c中，当y=0时，就得到一元二次方程ax2+bx十c=0。方程的根就 是抛物线与x轴交点的横坐标。 从图象看：求方程2+bx十c=0的根，等价于求抛物线y=ar2+br十c与x轴交点的横坐 标。 例如：方程x2-3x十2=0的两根x1=1、2=2,就是抛物线y=x2-3x十2与x轴交点(1， 0)、(2,0)的横坐标。 注意：方程的根对应“交点的横坐标”，写交点时要写成坐标形式(x,0),漏写纵坐标是 不完整的。 1,(26.27九年级上重庆九龙坡阶段检测)如图，已知二次函数=+c+C与一次函数为=+m 的 图象相交于点1(-3-2).BL2 ,则关于x的方程+br+c=c+m的解是() A.=-3,西=2B.=-2.6=2 C=-35=1 D.=-2为2=1 2.(26-27九年级上广东惠州阶段检测)若一元二次方程x+bx+c=0的两个根分别为-2和4，则抛物 线'=r2+r+ 的对称轴是直线 3.(2627九年级上北京西城阶段检测)二次函数”=m+r+“的图象经过点20)和-1.0，则方程 ax2+bx+c=0 的解为■ 4,（26-27九年级上重庆阶段检测)已知二次函数'=-t+2x+m 的部分图象如图所示，则关于的一 2/15 元二次方程-x2+2x+m=0的根为. 2下10123 知识点02：抛物线与心轴交点的三种情况 抛物线y=a2+bx十c与x轴的交点个数由一元二次方程2+bx十c=0的根的个数决定， 共三种： 有两个交点一一方程有两个不相等的实数根： 有一个交点（顶点在x轴上）一一方程有两个相等的实数根： 没有交点一一方程没有实数根。 例如：y=x2一3x+2与x轴有两个交点：y=x2一2x十1=(x一1)2与x轴只有一个交点(1， 0);y=x2+1与x轴没有交点。 注意：“有一个交点”时抛物线与x轴相切，交点即顶点；此时方程有两个相等的实数 根，不能说成“没有根”。 5。(26-27九年级上天津武清阶段检测)如图，抛物线'=+ 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C, 若AC⊥BC,则aC的值为() B A.-1 B.-2 C.1 D.2 6.（26-27九年级上·天津滨海新区阶段检测)如图，抛物线'=r-4x+3 y轴交于点A,与x轴交于点 B,E 线段心在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=BE.当4D+BC CD 值最小时， 点C的坐标是 3/15 (2,0) 7.(2627九年级上江苏苏州阶段检测)己知抛物线'=Y+3mr+1-m与*轴的一个交点为 (1)求m的值： (2)求此抛物线与x轴另一个交点的横坐标. 8。（26-27九年级上天津武清阶段检测)如图，已知二次函数”=-+4r-3 (1)求抛物线与坐标轴交点坐标： (2)结合图象，写出当y>0时自变量x的取值范围： (3)若直线y=m与该抛物线有两个不同的交点，求的取值范围. 知识点03：由交点情况判断判别试的符号 判别式P-4ac与交点个数的对应关系：两个交点台b2-4ac>0;一个交点台b2-4c=0: 没有交点分b2一4<0。两者互为因果，可双向互推。 例如：抛物线y=x2+2x十3中bP一4c=4-12=-8<0,故与x轴没有交点；抛物线y=x2 -4x+3中b2-4ac=16-12=4>0,故有两个交点。 注意：判别式的符号看bP一4整体的值；反过来由图象看交点个数也能判断判别式符 号，这是数形结合的典型应用。 9.(26-27九年级上天津北辰阶段检测已知抛物线”=-2(x+2-1,下列关于它的图像说法正确的是 (). A.当x>2时，y随x的增大而增大 B.顶点坐标为 2,-1) C.当x=-2时，y有最大值-1 D.与x轴有两个交点 10.25-26九年级上辽宁朝阳阶段检抛物线'=+2r+-6+2与产销没有交点，则°的取值范 4/15 围为() A.b>2 B.b22 C.b<2 D.b≤2 1.(26-27九年级上上海静安阶段检测)若二次函数'=(m-)x+3x+ 的图像与轴有交点，则m的 取值范围是 12。（26-27九年级上·福建福州阶段检测)已知二次函数'=-2r+a-3(a≠0) (1)求这个二次函数的顶点坐标： (2)当1≤x≤4时，该二次函数图象与x轴有且只有一个交点，求的取值范围； 6)如果4(+，a-3),Bm-)在该二次函数图象上，且a+b<3,求mn的取值范国。 知识点04：用图象法求一元二次方程的近似根 图象法求近似根的步骤： 画出（或给出）相应二次函数的图象： 观察图象与x轴交点的位置，确定根在哪两个相邻整数之间； 逐步缩小范围，估计根的近似值到要求的精确度。 例如：方程x2-2x一1=0，由y=x2-2x-1知x=2时y=-1<0,x=3时y=2>0,故正 根在2与3之间；再算x=2.4时y=-0.04,x=2.5时y=0.25,根约在2.4附近。 注意：函数值由负变正（或由正变负）是缩小区间的依据：图象法结果一般是近似值，精 确求解仍用公式法。 13.(26-27九年级上福建漳州阶段检测)根据以下表格中所给出的x与a2+bx+c(a,b,c是常数且 a≠0 x2+bx+c=0 ) 的对应值（精确到0.001），判断方程 的解x所在的范围是() x的值 35.154 35.155 35.156 35.157 35.158 ax2+bx+c 的 -0.052 -0.029 -0.006 0.017 0.040 值 A.35.154<x<35.155 B.35.155<x<35.156C.35.156<x<35.157 D.35.157<x<35.158 5/15 y=ax2+bx+c 14.(26-27九年级上·辽宁葫芦岛阶段检测)下列表格中数据是二次函数1 的几组对应值： 3.17 3.18 3.19 3.20 y=ax2+bx+c 0.03 -0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程2+bx+c=0的一个解x的范围是() A.3.19<x<3.20 B.3.18<x<3.19 C.3.17<x<3.18 D.3.16<x<3.17 15。(2627九年级上渐江绍兴阶段检测)已知二次函数”=r-2x-3 (1)求二次函数与坐标轴的交点坐标： (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象： 3)不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程x2-2x=4的近似根.（精确到0.1） 18 16.(26-27九年级上·北京海淀阶段检测)小李在课后探究学习中遇到一个函数y=2+文，类比二次函 数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： 18 (1)函数y 2x+产的自变量x的取值范围是 (②)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： 1 2 1 2 4 P 257 257 17 17 257 y 4 2 2 8 64 6/15 ①的值为， ②小李用软件画出了该函数在x>0时的图象，请在平面直角坐标系xO少中补全该函数的图象： 8 5 3 0-R 891 18 3)直接写出方程2x+=x的根： 1 8 4④当x>0时，对于x的每一个值，一次函数y=(k≠0)的值都小于函数y=2x+文的值，则k 的取值范围是 知识点05：抛物线与x轴交点坐标的求解 求抛物线与x轴交点坐标的方法：令y=0,解一元二次方程ax2十bx十c=0,方程的实数根 即交点横坐标，纵坐标为0。 例如：y=x2-x一6，令y=0,得x2-x一6=0，因式分解(x一3)x十2)=0，得x1=3、2=一 2,交点为3,0)和(-2,0)。 再如：y=2x2-4x十2=2(x一1)2，令y=0得x=1,只有一个交点(1,0)。 注意：解方程优先尝试因式分解，不行再用求根公式：与y轴的交点则令x=0,得(0， c),两种交点的求法不要混淆。 y=ax+bx+ 17 .(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)抛物线 上部分点的横坐标，纵坐标' 的对应 值如表： -3 -2 -1 0 7/15 -6 0 4 6 6 容易看出， （-2,0) 是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是 与x轴的另 一个交点的坐标为 18.(26-27九年级上·上海静安·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，二次函数 y=-x2+bx+3 的图像经过点 ,顶点为B (-1,0) -1O (1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标： (②)点C是二次函数图像与x轴的另一个交点，点D是二次函数图像与'轴的交点.点E是'轴负半轴 上的一点，满足∠OCE=∠BCD,求点E的坐标， 19.(25-26九年级上辽宁朝阳阶段检测)如图，抛物线y=)x2+2x-6与x轴交于A,B两点（点4在 2 点B的左侧)与y轴交于点C,连接AC,BC (I)请直接写出A,B,C三点坐标和直线AC的函数表达式： (2)P为抛物线上一点，且在AC上方.若△PAC的面积为27，求P点坐标. 20。(2627九年级上江西镜州阶段检测)如图，抛物线y=-。+c+“经过4(-1.0，C03)两点， 并交x轴于另一点B,点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D. 8/15 (1)求该抛物线的表达式： (②)连接BD和BM,求△BDM的面积： 3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由. 知识点06：利用图象比较函数值与0的大小 利用抛物线与x轴的位置关系可判断函数值y的符号：图象在x轴上方的部分y>0,在x轴 上的点y=0,在x轴下方的部分y<0。 结合交点横坐标可确定y取正、负时x的范围：开口向上且有两交点x1<x2时，x<或x >x2时y>0,x1<x<2时y<0。 例如：y=x-3x+2的交点为(1,0)、(2,0)，开口向上，故x<1或x>2时y>0,1<x<2 时y<0,x=1或x=2时y=0。 注意：本课时只要求借助图象直观判断y与0的大小关系，为后续学习作铺垫，不要求掌 握一元二次不等式的代数解法，不作考试重点。 21.(26-27九年级上云南昆明阶段检测)如图，二次函数'=+x+c(a≠0 的图象与x轴的交点的 横坐标为-1,3，则下列结论：①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0:④对于任意x均有 ax2+x<a+b:⑤方程+hr+c=mm<0)-定有实数根：⑥若点1(-2，）、点B(2,）、点 C(33) 在该函数图像上，则少<乃<片.其中正确的有（) 9/15 0 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(26-27九年级上辽宁葫芦岛阶段检测)如图，抛物线”=+x+Ca≠0)与轴交于点 ,0) 对称轴为直线x=1.结合图象分析下列结论：①abc<0;②a-b+c=0;③4a+2b+c>0:④ 1 2a+c<0:⑤一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x=3x=-1.其中正确结论有(） x=1 A.2个 B.3个， C.4个 D.5个 23.(26-27九年级上湖北武汉阶段检测)已知二次函数’=(x-少+5 的图象如图所示. (1)该抛物线的顶点坐标是 (2)当x 时，y的值随x的增大而增大： 3)当0<x<3,y的取值范围是 ； 4)若将该函数图象向下平移m个单位后与坐标轴只有两个公共点，则m的值为 24.(26-27九年级上·湖北襄阳阶段检测)如图，二次函数'=++c(a≠0) 的图象的顶点C的坐标 10/15 为1-3引.与轴交于点 A(-3,0)B(1,0) ,根据图象回答下列问题： (I)写出方程ax2+bx+c=0的根 (2)写出方程a2+bx+c=-3的根 3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围一。 4)不等式ax2+br+c之0的解集为一. (⑤)若方程ax+bx+c=k有实数根，写出实数k的取值范围 知识点07：由交点个数求字母参数的取值范围 已知抛物线与x轴的交点个数求参数，依据判别式列不等式（或方程）：两个交点则？一 4ac>0,一个交点则b2-4ac=0,没有交点则b-4ac<0。 例如：抛物线y=x2-2x十与x轴有两个交点，则（一2）2-4>0，解得<1；若只有一 个交点，则4一4=0，m=1:若没有交点，则m>1。 注意：若二次项系数也含参数，还要加上“系数不为0”的条件，如y=(化一1)x2十2x十1与 x轴有两个交点，需4一4(k-1)>0且k≠1，解得k<2且k≠1。 25.(26-27九年级上·上海浦东新阶段检测)若抛物线y=x-4x+k与x轴无交点，则k的取值范围是 26。(2627九年级上湖北威宁阶段检测)已知揽物线G:y=(-1旷-3，现将该函数图象向右平移3个 S 单位，向下平移6个单位得到抛物线 11/15 C, (1)求抛物线的解析式； ②)当1≤x≤4时，求抛物线C的最大值和最小值： C C ③)若抛物线交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为P点，求三角形MBP的面积 27.(26:27九年级上福建龙岩期中)已知抛物线)=r-(m+x+m (m为常数)· (1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点： (2)若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围. 28.（2026九年级上：北京西城专题练习)二次函数)=+r- 中的，’的部分取值如下表： 3 2 ----1 5-4-3-219 12345 -3 =4 5 根据表中数据填空： 2 3 a -3 -3 (1)该函数图象的对称轴是 (2)与x轴的交点坐标是 (3)二次函数解析式是 4)画出该二次函数的图象： (⑤)结合图象，当-1≤x≤4时，y的取值范围是 (⑥)结合图象，方程x2+bx-3-1=0有实数解，t的取值范围是 课时训练 12/15 一、选择题 1.(26-27九年级上广东惠州阶段检测)已知关于x的二次函数 y=ax2+bx+ca≠0、 ),下列说法中正 确的个数有() ①若b=0,则该二次函数的图象与x轴总有公共点： ②若b2=4ac,则该二次函数的图象与x轴仅有一个公共点： ③若a=b=C,则该二次函数的图象与x轴无公共点： ④若b=a+C,则该二次函数的图象与x轴总有公共点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 之（2627九年缓上上烤杨清阶假检闲)如果二次品数"-+4-2的胸保的顶点在轮标辅上，事么0 的值不可能是() A.0 B.1 C.2 D.-2 3。(2627九年级上上海阶段检测)已知二次函数'=-(x+2-3, ,下列说法正确的是() A.顶点坐标为 2,-3) B.函数的最小值是一3 C.对称轴为直线x=-2 D.函数图象与y轴的交点坐标是0-3) 4.（26-27九年级上·上海闵行阶段检测)二次函数'=+x+c(a≠0) 的图像如图，给出下列五个结论： 04ac-<0,@4a+c<2b,③3动+2c<0:④m(am+）+h<a,⑥点-4y）,()都在抛物线上， 则有”<片，其中正确的结论是《) A.①③④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①④⑤ 13/15 二、填空题 5,(26-27九年级上·上海静安阶段检测)二次函数'=-2x+少+3。 的图像与轴的交点坐标为 6。（26-27九年级上江苏苏州阶段检测)在平面直角坐标系中，将二次函数”=(：-2018x-2020)+3 的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则PQ= 7（2627九年级上1方普陀阶段妆那已知次茶数'欧-2瓜+和>0的图餐上有友42列 过点A作平行于x轴的直线交抛物线于点B,则AB= 8(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)已知二次函数'=a+r+ca≠0)。 的图象如图所示，有下列四 ①b<0②c>0③b2-4ac>0④a-b+c<0 个结论： ,其中正确的有 三、解答题 y=x2+(2m-1)x+m2 9.(26-27九年级上·上海闵行阶段检测)已知抛物线 (为常数)， (I)当抛物线经过原点时，求的值： (2)当抛物线与x轴有且只有一个公共点时，求m的值： )当抛物线经过两点3，m)和m时，求m的值。 10.(26-27九年级上·广东惠州阶段检测)综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止， 这段距离称为刹车距离.某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研 发中心考察。 14/15 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行 驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象 发现：开始刹车后行驶的距离y(单位：)与刹车后行驶的时间t(单位：s)之间成二次函数关系： Ay/m 63 开始踩刹车 完全停止 27 刹车距离 0123456t/s 图1 图2 问题解决： ()求二次函数的解析式，并化为顶点式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若有一测速仪在汽车前65m处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距 7m; 3)设刹车时间为m,n(0≤m≤5,0≤n≤5) 对应的刹车距离分别为’，.若m+n=5,试判断 少+y“与75的大小关系，并证明你的结论. 15115 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第五章 二次函数 5．4 二次函数与一元二次方程 ▌课时目标 1. 理解二次函数与一元二次方程的关系，知道抛物线与x轴交点的横坐标即对应方程的根。 2. 掌握抛物线与x轴交点的三种情况，能由交点个数判断判别式的符号，会求交点坐标。 3. 能用图象法求一元二次方程的近似根，利用图象比较函数值与0的大小，体会数形结合思想。 ▌课时目录 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 知识点02：抛物线与x轴交点的三种情况 知识点03：由交点情况判断判别式的符号 知识点04：用图象法求一元二次方程的近似根 知识点05：抛物线与x轴交点坐标的求解 知识点06：利用图象比较函数值与0的大小 知识点07：由交点个数求字母参数的取值范围 ▌知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax²＋bx＋c中，当y＝0时，就得到一元二次方程ax²＋bx＋c＝0。方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标。 从图象看：求方程ax²＋bx＋c＝0的根，等价于求抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交点的横坐标。 例如：方程x²－3x＋2＝0的两根x₁＝1、x₂＝2，就是抛物线y＝x²－3x＋2与x轴交点(1，0)、(2，0)的横坐标。 注意：方程的根对应“交点的横坐标”，写交点时要写成坐标形式(x，0)，漏写纵坐标是不完整的。 1．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于x的方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：点，是与的图象交点， 所以：的解是，． 2．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）若一元二次方程的两个根分别为和4，则抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【分析】一元二次方程的根对应抛物线与轴交点的横坐标，利用抛物线的轴对称性即可计算对称轴． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为和， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线关于对称轴对称，即抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 3．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 【答案】， 【分析】二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解，已知二次函数图象过两个x轴上的点，直接可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴这两个点是二次函数图象与x轴的交点， ∴方程的解为：，． 4．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 【答案】， 【分析】求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据二次函数和一元二次方程的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∵当时，， ∴关于的一元二次方程的根为，． ▌知识点02：抛物线与x轴交点的三种情况 抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的交点个数由一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根的个数决定，共三种： 1. 有两个交点——方程有两个不相等的实数根； 2. 有一个交点（顶点在x轴上）——方程有两个相等的实数根； 3. 没有交点——方程没有实数根。 例如：y＝x²－3x＋2与x轴有两个交点；y＝x²－2x＋1＝(x－1)²与x轴只有一个交点(1，0)；y＝x²＋1与x轴没有交点。 注意：“有一个交点”时抛物线与x轴相切，交点即顶点；此时方程有两个相等的实数根，不能说成“没有根”。 5．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，进一步求出． 【详解】解：当时，，则， 由图象可知，， 故， 当时，， 解得， ∴， 则， ∵抛物线关于轴对称， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 6．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是__________． 【答案】 【分析】先令，求出点，即可求出，再将点A沿着y轴向下平移2个单位长度，得到点F，连接，然后根据平移的性质说明四边形是平行四边形，可得，接下来说明当点F，C，E三点共线时，即点C是直线与抛物线的交点时，的值最小，再求出直线的关系式，最后联立可得答案． 【详解】解：令， 解得， ∴， ∴． ∵， ∴． 将点A沿着y轴向下平移2个单位长度，得到点F，连接， ∵点A沿着y轴向下平移2个单位得到点F， ∴． ∵， ∴． ∵抛物线的对称轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在y轴上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵抛物线是轴对称图形， ∴， ∴， ∴当点F，C，E三点共线时，即点C是直线与抛物线的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ∴点． 由平移的性质可得点F的纵坐标为， ∴点． 设直线的关系式为，将点代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 在抛物线中，其对称轴为直线． 要使的值最小，则点C的坐标满足， 解得， ∴点． 7．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求此抛物线与轴另一个交点的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把交点坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出的值； （2）将求出的代入抛物线，得到完整解析式，令解一元二次方程，得到方程两个根，除去已知根，剩下即为另一个交点横坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点， 将代入解析式： ， ， ， ， ． （2）解：把代入抛物线解析式： ， 令，则， 因式分解:， 解得：， 已知一个交点横坐标是， 抛物线与轴另一个交点的横坐标为． 8．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴交点坐标； (2)结合图象，写出当时自变量x的取值范围； (3)若直线与该抛物线有两个不同的交点，求m的取值范围． 【答案】(1)与轴交点坐标为，；与轴交点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）分别令和进行解答即可； （2）画出二次函数的图象，根据二次函数图象和轴交点的横坐标进行解答即可； （3）根据抛物线开口向下，顶点坐标为即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴与轴交点坐标为； 当时，， 解得 ∴与轴交点坐标为，； （2）解：如图， 结合图象，当时自变量x的取值范围为； （3）解：∵ ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴若直线与该抛物线有两个不同的交点，m的取值范围为． ▌知识点03：由交点情况判断判别式的符号 判别式b²－4ac与交点个数的对应关系：两个交点⇔b²－4ac＞0；一个交点⇔b²－4ac＝0；没有交点⇔b²－4ac＜0。两者互为因果，可双向互推。 例如：抛物线y＝x²＋2x＋3中b²－4ac＝4－12＝－8＜0，故与x轴没有交点；抛物线y＝x²－4x＋3中b²－4ac＝16－12＝4＞0，故有两个交点。 注意：判别式的符号看b²－4ac整体的值；反过来由图象看交点个数也能判断判别式符号，这是数形结合的典型应用。 9．（26-27九年级上·天津北辰·阶段检测）已知抛物线，下列关于它的图像说法正确的是（     ）． A．当时，y随x的增大而增大 B．顶点坐标为 C．当时，y有最大值 D．与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】由抛物线顶点式得开口方向、对称轴、顶点坐标，再判断各选项． 【详解】解：抛物线中，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，故时随增大而减小，A错误， 顶点坐标为，B错误， ∵抛物线开口向下，顶点为最高点， ∴当时，有最大值，C正确， ∵顶点纵坐标为，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴无交点，D错误． 10．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若抛物线与轴无交点，则，然后列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得． 11．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】题目明确是二次函数，因此二次项系数不为0，图像与轴有交点说明对应一元二次方程的判别式大于等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵该函数是二次函数， ∴二次项系数满足，得， ∵二次函数图像与轴有交点， ∴对应一元二次方程的判别式满足，其中，，， 代入得：，解得， 综上，的取值范围是且． 12．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数． (1)求这个二次函数的顶点坐标； (2)当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； (3)如果，在该二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)的取值范围是 (3)当时，的取值范围是或；当时，的取值范围是 【分析】（1）通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得到顶点坐标； （2）结合抛物线的对称性、开口方向与在范围端点的函数值，列不等式组求解 （3）先代入点A的坐标求出的值，再代入点B的坐标得到b与a，n的关系，结合已知不等式化简后分a的正负讨论求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； （2）∵抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， 判别式， ∴当时，，抛物线与x轴无交点，不符合题意； 当时，，抛物线开口向上，与x轴有两个交点，且关于直线对称， 要使时图象与x轴有且只有一个交点，需两个交点中仅有一个落在区间范围内， ∵对称轴在范围内且顶点在x轴下方， ∴若两端点函数值均大于0，则两个交点都在范围内；若左端点函数值小于0且右端点函数值大于等于0，则仅有一个交点在范围内： 当时，； 当时，； ∵， ∴， ∴列不等式组， 解得， 综上所述，a的取值范围是； （3）解：∵点在二次函数图象上， ∴将，代入，得：， 化简得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴将，代入解析式，得：， 整理得， 将代入，得：， 化简得，即，也就是； 分两种情况讨论： 当时，，解得或，即或； 当时，，解得，即． ▌知识点04：用图象法求一元二次方程的近似根 图象法求近似根的步骤： 1. 画出（或给出）相应二次函数的图象； 2. 观察图象与x轴交点的位置，确定根在哪两个相邻整数之间； 3. 逐步缩小范围，估计根的近似值到要求的精确度。 例如：方程x²－2x－1＝0，由y＝x²－2x－1知x＝2时y＝－1＜0，x＝3时y＝2＞0，故正根在2与3之间；再算x＝2.4时y＝－0.04，x＝2.5时y＝0.25，根约在2.4附近。 注意：函数值由负变正（或由正变负）是缩小区间的依据；图象法结果一般是近似值，精确求解仍用公式法。 13．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）根据以下表格中所给出的x与（是常数且）的对应值（精确到0.001），判断方程的解x所在的范围是（     ） x的值 35.154 35.155 35.156 35.157 35.158 的值 0.040 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的连续性，找到使值异号的相邻x的范围，即为方程解的范围. 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程的解所在范围是． 14．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列表格中数据是二次函数的几组对应值： 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格得，当时，的取值范围是， ∵在该范围内， ∴方程的一个解的范围是． 15．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数． (1)求二次函数与坐标轴的交点坐标； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程的近似根．（精确到0.1） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，，进行求解即可； （2）将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，五点作图法画出函数图象即可； （3）图象法求出方程的根即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时， ， 解得， ∴二次函数与坐标轴的交点分别为． （2）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 画图略． （3）解：由图象可知，，即方程的近似根为. 16．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量x的取值范围是__________； (2)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)直接写出方程的根：__________； (4)当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)①；② (3)， (4)或 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）利用图象求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 即自变量x的取值范围是； （2）解：①当时，； ②略 （3）解：如图， 由图可知：方程的根为，； （4）解：当时， 联立方程组， 整理得， ∴， 当时，方程存在正实根，不符合题意； 当时，方程无正实根，符合题意 解得， ∴； 当时，如图， 此时一次函数（）的图象与函数的图象无交点，故符合题意， ∴， 综上，或. ▌知识点05：抛物线与x轴交点坐标的求解 求抛物线与x轴交点坐标的方法：令y＝0，解一元二次方程ax²＋bx＋c＝0，方程的实数根即交点横坐标，纵坐标为0。 例如：y＝x²－x－6，令y＝0，得x²－x－6＝0，因式分解(x－3)(x＋2)＝0，得x₁＝3、x₂＝－2，交点为(3，0)和(－2，0)。 再如：y＝2x²－4x＋2＝2(x－1)²，令y＝0得x＝1，只有一个交点(1，0)。 注意：解方程优先尝试因式分解，不行再用求根公式；与y轴的交点则令x＝0，得(0，c)，两种交点的求法不要混淆。 17．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． 【答案】 直线 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：抛物线上值相等的两个点关于对称轴对称， 由表格可知其经过，， ∴对称轴为直线， 是它与轴的一个交点， 与轴的另一个交点的坐标为． 18．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标； (2)点是二次函数图像与轴的另一个交点，点是二次函数图像与轴的交点．点是轴负半轴上的一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把点代入求出，配方得到顶点式，求出顶点坐标为． （2）先求出、，利用勾股定理逆定理证明，由和两个直角得到与相似，代入，，，求出，结合在轴负半轴，得到． 【详解】（1）解：∵ 二次函数的图像经过点， ∴ 把，代入解析式，得 ， ， 解得． ∴ 二次函数解析式为． 将解析式配方： ， ∴ 顶点的坐标为． （2）解：令，则， ， 解得，， ∵ ， ∴ ． 令，则， ∴ ． ∴ ，． 已知，连接， ， ， ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 在轴负半轴取点，设，，连接． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． 代入，，， ， ， ∴ ． ∵ 在轴负半轴， ∴ 坐标为． 19．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与轴交于点C，连接． (1)请直接写出三点坐标和直线的函数表达式； (2)P为抛物线上一点，且在上方．若的面积为27，求P点坐标． 【答案】(1)；；； 直线的解析式为． (2)点的坐标为或 【分析】（1）对于抛物线，分别令和并求解，即可确定三点坐标；然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先结合三点坐标，易得为等腰直角三角形，，结合的面积为27，可解得中边上的高；过点C作的垂线，在垂线上截取，过E点作交y轴于点D，确定点坐标，进而可得直线的解析式；联立直线的解析式和抛物线解析式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，可得， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 对于抛物线， 令，可得， ∴； 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 若的面积为27， 则中边上的高， 如下图，过点C作的垂线，在垂线上截取， 过E点作交y轴于点D， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∴满足条件的P点就是直线DE与抛物线的交点， 解方程组，得或， ∴点的坐标为或． 20．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用抛物线解析式求出点的坐标，利用的面积减去的面积即可； （3）设点，，利用平行四边形对角线互相平分的性质构造方程组，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：假设存在， 设点，， ①当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴， 解得， ∴； ②当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； ③当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； 综上所述，假设成立，点的坐标为或或． ▌知识点06：利用图象比较函数值与0的大小 利用抛物线与x轴的位置关系可判断函数值y的符号：图象在x轴上方的部分y＞0，在x轴上的点y＝0，在x轴下方的部分y＜0。 结合交点横坐标可确定y取正、负时x的范围：开口向上且有两交点x₁＜x₂时，x＜x₁或x＞x₂时y＞0，x₁＜x＜x₂时y＜0。 例如：y＝x²－3x＋2的交点为(1，0)、(2，0)，开口向上，故x＜1或x＞2时y＞0，1＜x＜2时y＜0，x＝1或x＝2时y＝0。 注意：本课时只要求借助图象直观判断y与0的大小关系，为后续学习作铺垫，不要求掌握一元二次不等式的代数解法，不作考试重点。 21．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意均有；⑤方程一定有实数根；⑥若点、点、点在该函数图像上，则．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质依次进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：开口向上，即，对称轴在y轴的右侧，根据“左同右异”可知：，抛物线与y轴交于负半轴，则有， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，3， ∴根据二次函数的对称性可知：抛物线的对称轴为直线， ∴，则，故②正确； 根据图象可知：当时，则，故③错误； 当时，y有最小值，即， ∴对于任意均有，即，故④错误； 当方程要有实数根，则可把该方程看作是抛物线与直线的交点横坐标，由图象可知：当时，方程不一定有实数根，故⑤错误； ∵点、点、点在该函数图像上，且， ∴根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小可知：，故⑥错误； 综上所述：其中正确的有①②，共2个． 22．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线（）与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的两根分别为．其中正确结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，结合对称轴公式判断的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，由此判断结论①．利用抛物线对称轴为，结合已知交点，根据抛物线对称性求出另一个与轴的交点坐标，代入抛物线解析式判断结论②．分析时对应的抛物线上的点的位置，确定的符号，判断结论③．结合对称轴得到的与的关系，以及时的函数值为0，代入推导判断结论④．一元二次方程的两个根为和．由根与系数的关系得；．代入方程，化简得解得，．判断结论⑤． 【详解】 ∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为，由对称轴公式， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴得； ∵抛物线与轴一个交点为， ∴由对称性得另一交点为． 结论①：∵， ∴，①结论正确． 结论②：∵抛物线过点， ∴将代入解析式得，②结论正确． 结论③：∵对应的函数值，在对称轴和交点之间， ∴结合图象可知该点在轴上方，即， ∴，③结论正确． 结论④：∵和， ∴代入得，即， ∴。 ∵， ∴，即，④结论错误． 结论⑤：∵抛物线的对称轴为，与x轴交于， ∴另一个交点的横坐标为，即另一个交点为． ∴一元二次方程的两个根为和． ‌根据根与系数和关系，对于方程，两根满足， ，即；，即． 把、代入方程， 得：． ∵， ∴化简得 因式分解得，解得，，⑤结论正确． 综上，正确结论共4个． 23．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示． (1)该抛物线的顶点坐标是________； (2)当________时，的值随的增大而增大； (3)当，的取值范围是________； (4)若将该函数图象向下平移个单位后与坐标轴只有两个公共点，则的值为________． 【答案】(1) (2)（或小于1） (3) (4)４或５ 【分析】（1）因为二次函数顶点式为的顶点坐标是，所以直接对比给定解析式提取对应数值即可． （2）因为该二次函数开口向下，对称轴为顶点的横坐标，所以对称轴左侧的取值范围就是随增大而增大的区间． （3）先计算区间端点、对应的值，再结合抛物线顶点为最高点，即可确定． （4）首先写出平移后的函数解析式，因为函数与坐标轴有两个公共点，分两种情况讨论：第一种是抛物线顶点在轴上，此时与轴1个交点、与轴1个交点，共2个公共点；第二种是抛物线经过原点，此时与轴2个交点（其中一个是原点）、与轴交点也是原点，共2个公共点，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的顶点式为中， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线． ∴在对称轴左侧时，随的增大而增大． （3）解：已知对称轴为，且在范围 ∴顶点是抛物线最高点， ∴时，取最大值； 分别计算区间端点的函数值： 时，； 时，． ∵取不到，且抛物线开口向下，在区间内处取得区间最小值， ∴的取值范围是． （4）解：函数向下平移个单位后，解析式变为， 分两种情况满足“与坐标轴只有两个公共点”： ① 平移后抛物线顶点落在轴上： 此时顶点纵坐标为0， 即， 解得， 此时时，， ∴抛物线仅与轴切于点、过点，总共2个公共点； ② 平移后抛物线过原点，且保留原本与轴的1个交点、与轴正半轴的一个交点： 将代入平移后解析式，得，解得， 此时，，解得或， ∴抛物线与坐标轴交于和两个点． 综上，m的值为4或5． 24．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于点，，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根______． (2)写出方程的根______． (3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围______． (4)不等式的解集为______． (5)若方程有实数根，写出实数k的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5) 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （2）根据抛物线的顶点坐标结合图象得结论； （3）根据A、的坐标，确定对称轴方程，结合图象得结论；     （4）观察图象，在轴上方的部分总大于等于0 ； （5）利用待定系数法先确定的值，根据根的判别式得不等式，解不等式得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于， ∴的根为：． （2）解：二次函数的图象的顶点C的坐标为， ∴方程的根为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于， ∴该图象的对称轴为直线， ∵图象开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 即随的增大而减小时． （4）解：∵二次函数的图象与轴交于， 观察图象可知：当或时，图象总在轴的上方． ∴不等式的解集为：或． （5）解：抛物线的顶点的坐标为，且过， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵方程有实数根， 即有实数根． ， ， 即当时，方程有实数根． ▌知识点07：由交点个数求字母参数的取值范围 已知抛物线与x轴的交点个数求参数，依据判别式列不等式（或方程）：两个交点则b²－4ac＞0，一个交点则b²－4ac＝0，没有交点则b²－4ac＜0。 例如：抛物线y＝x²－2x＋m与x轴有两个交点，则(－2)²－4m＞0，解得m＜1；若只有一个交点，则4－4m＝0，m＝1；若没有交点，则m＞1。 注意：若二次项系数也含参数，还要加上“系数不为0”的条件，如y＝(k－1)x²＋2x＋1与x轴有两个交点，需4－4(k－1)＞0且k≠1，解得k＜2且k≠1。 25．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_____． 【答案】 【分析】抛物线与轴无交点，对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式小于0列不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴根的判别式， 解不等式得． 26．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移3个单位，向下平移6个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求抛物线的最大值和最小值； (3)若抛物线交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为P点，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)最大值为16，最小值为 (3)27 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减，据此即可得到答案； （2）由二次函数的性质可得出结果． （3）先求出点A，点B的坐标，进而可求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移3个单位，向下平移6个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为16，最小值为． （3）解：， ∴抛物线的顶点的坐标为， 令，则，求得，． ， ． 27．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； (2)若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：令，得方程. ∵ ， ∴无论取何值，该方程总有实数根，即抛物线与轴总有交点 (2)的取值范围是 【分析】（1）将抛物线与轴交点问题转化为一元二次方程根的存在性问题，计算判别式证明其恒非负； （2）利用根与系数的关系，由两根异号得两根之积小于0，求解的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为，， ∵抛物线与轴的两个交点分别在原点两侧， ∴两根异号，即， 由根与系数的关系得， ∴的取值范围是． 28．（2026九年级上·北京西城·专题练习）二次函数中的，的部分取值如下表： 根据表中数据填空： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)该函数图象的对称轴是________； (2)与轴的交点坐标是________； (3)二次函数解析式是________； (4)画出该二次函数的图象； (5)结合图象，当时，的取值范围是________________； (6)结合图象，方程有实数解，的取值范围是____________． 【答案】(1)直线 (2) (3) (4)二次函数的图象如图所示： (5) (6) 【分析】（1）根据时的函数值与时的函数值相同可求出对称轴， （2）根据时，可求出与x轴的交点坐标； （3）先利用对称轴公式得到a与b的等量关系，再将已知点代入解析式，代入消元求出a、b，写出函数一般式． （4），顶点坐标．取关键点：，，，，． 在平面直角坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接，画出抛物线． （5）开口向上的抛物线，顶点是最小值；比较区间两端点函数值，确定最大值，写出范围． （6）将方程有解转化为抛物线与水平线存在交点，由抛物线最小值确定取值范围． 【详解】（1）解：由表格可知时的函数值与时的函数值相同， ∴对称轴为直线； （2）∵当时，， ∴由对称性可得，， ∴与x轴的交点坐标是； （3）解：由（1）得对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， （4）略 （5）解：抛物线解析式$y=(x-1)^2-4$，开口向上，顶点$(1，-4)$，顶点为最低点． 当时，最小值为． 再计算区间端点，对应的函数值： ，； ，． 在区间内，最大值为，最小值为． 的取值范围是． （6）解：方程变形为． 方程有实数解等价于抛物线与直线有交点． 抛物线开口向上，函数最小值为． 所以的取值范围是． ▌课时训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）已知关于x的二次函数（），下列说法中正确的个数有(     ) ①若，则该二次函数的图象与x轴总有公共点； ②若，则该二次函数的图象与x轴仅有一个公共点； ③若，则该二次函数的图象与x轴无公共点； ④若，则该二次函数的图象与x轴总有公共点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次函数（）的图象与轴的公共点个数由的符号决定，据此逐一分析各说法． 【详解】解：①若，则．当与同号时，，图象与轴无公共点，故①错误． ②若，则，图象与轴仅有一个公共点，故②正确． ③若，则． ， ， ， ∴图象与轴无公共点，故③正确． ④若，则， ， ， ∴图象与轴总有公共点，故④正确． 综上，正确的说法有3个． 2．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如果二次函数的图像的顶点在坐标轴上，那么的值不可能是（     ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】先通过配方得到二次函数的顶点坐标，再分顶点在轴、轴两类情况列方程求解的可能值． 【详解】解：将二次函数配方，得， ∴ 顶点坐标为． ∵ 图像的顶点在坐标轴上， ∴ 分两种情况讨论： ①顶点在轴上时，顶点横坐标为， ∴ ． ②顶点在轴上时，顶点纵坐标为， ∴ ， 解得或． 综上，的可能值为，，，即的值不可能是． 3．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．函数的最小值是－3 C．对称轴为直线 D．函数图象与y轴的交点坐标是 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，故A错误； 对称轴为直线，故C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，故B错误； 令，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故D错误. 4．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）二次函数的图像如图，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤点，都在抛物线上，则有，其中正确的结论是（     ） A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，函数的最值，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，得抛物线与x轴有两个不同的交点， ， ； 故①正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， ， 故②错误； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， ， ∴, 故③正确； 当时，， 当时，， ， 故抛物线有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， ； 故④错误； ∵二次函数开口向下， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵点，都在抛物线上，且， ∴， 故⑤正确． 二、填空题 5．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】因为轴上的点横坐标为，将代入函数解析式计算值，即可得到交点坐标． 【详解】解：轴上所有点的横坐标为， 把代入， 可得：， 二次函数的图像与轴的交点坐标为． 6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点之间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，即， 令，则，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为2018和2020， ∴． 7．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数的图像上有一点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则__________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用平行于轴的直线上两点纵坐标相等，且两点关于抛物线对称轴对称，得到点的横坐标，再计算的长度． 【详解】解：二次函数中，， 即抛物线对称轴为直线． ∵ 平行于轴， ∴点关于抛物线对称轴对称的点为． ∴ ． 8．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：；；；，其中正确的有________． 【答案】 【分析】由二次函数的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论、结论；由抛物线与轴的交点的个数，可判断结论；结合图像，由时的值，可判断结论． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点在轴左侧， ，， 又抛物线与y轴交于正半轴， ， 故正确； 抛物线与轴有两个交点， ， 故正确； 由图像可知，当时，， 故错误； 综上所述，正确的有． 三、解答题 9．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线（m为常数）， (1)当抛物线经过原点时，求m的值； (2)当抛物线与x轴有且只有一个公共点时，求m的值； (3)当抛物线经过两点和时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）先得出关于的一元二次方程有两个相等的实数根，再利用一元二次方程根的判别式求解即可； （3）根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， ∴将点代入得：， 解得， 即的值为0． （2）解：∵抛物线与轴有且只有一个公共点， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （3）解：∵抛物线经过两点和， ∴这个二次函数的对称轴为直线， 解得． 10．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)求二次函数的解析式，并化为顶点式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)设刹车时间为m，n，对应的刹车距离分别为，．若，试判断与75的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)该二次函数的解析式为，顶点式为 (2)经过汽车超过测速仪且与测速仪相距 (3)，证明如下： 由题意可得：， ∵， ∴， ∴ ； ∴当时，则有， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）根据y的值代入求t值； （3）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为由条件可得： ，解得：， ∴该二次函数的解析式为，配成顶点式为； （2）解：当汽车开始刹车后行驶的距离， ∴， 解得（不符合题意，舍去）． 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距． （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $